§2.2.3 向量的数乘运算导学案

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河北省武邑中学高中数学 2.2.3向量数乘运算教案新人教A版必修4

河北省武邑中学高中数学2.2.3向量数乘运算教案新人教A版必修4
备课人
授课时间
课题
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课标要求
要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律。
教
学
目
标
知识目标
理解向量共线的充要条件。
技能目标
掌握实数与向量的积的定义
情感态度价值观
掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算
，
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
4．向量共线定理：
定理：如果有一个实数，使（），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
三、课堂练习：
课本例6，例7
教材P90面1、2、3题
教
学
小
结
1．掌握向量数乘运算的定义；
23 与方向相反且|3 |=3| |
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线
课后
反思
3
当时，．

2.2.3向量数乘导学案

必修4 第二章第4课时向量数乘运算【学习目标】1.理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.2.通过自主学习、合作讨论探究出向量数乘运算的规律与方法.【教学重点】数乘向量的定义与共线向量定理【教学难点】三点共线的条件【基础梳理】已知非零向量a ；试作出a +a +a 和（-a ）+（-a ）+（-a ）你能说明他们的几何意义吗？我们把a +a +a 记作3a 。

请完成下列问题：(1).3a 的方向与a 的方向_______；3a 的长度是a 的长度的_____，即∣3a ∣___ 3∣a ∣； (2).-3的方向与的方向_______；-3的长度是的长度的_____，即3（-）= -3；1、向量的数乘定义：一般地，它的长度和方向规定如下：（Ⅰ）=λ ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向；当0=λ时，=λ，方向是。

2、向量的数乘运算律：（1）λ（μa ）= （2）（λ+μ）a = （3）λ（+）= （4）λ （μ1±μ2）=3、定理：向量a （0=a ）与b 共线，当且仅当【预习自测】1．任画一向量,分别求作向量=2，=—3 2．点p 在线段AB 上，且PB AP =43,则 = ,BP = AB 3．计算： 0⨯a = 0⨯6b = 3⨯（—4）a =4．利用向量的数乘运算律变形：7 +7= ；5(—)= ；(—3) ⨯(+)= 5．化简：（1）7( +)—3(—)+2（2）(5a —2b +3c )—2(a +3b —c ) （3）(—2)(4+—3)—4(—+2—5) 【典例探究】例1.化简(1))3-4(2)2-3 5(+ (2) ))(())((y x y x ---+-例1：已知a 、是两个不共线的向量，若+=，2+=，3+=；求证：A 、B 、C 三点在一条直线上。

变式1：判断下列各小题中的向量a 与向量b 是否共线？（1） a =2e , b =—8e （2）a =e 1— e 2，b =2e 1—2e 2变式2：已知两个非零向量和不共线，如果32+=, 236+=,84-=,求证：A B D 三点共线。

《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，能够准确进行向量的数乘计算，并能够运用数乘运算解决简单的实际问题。

通过作业练习，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。

二、作业内容1. 基础练习：（1）要求学生掌握向量数乘的定义及性质，完成一定量的填空题和选择题，用以检验学生对基础知识的掌握情况。

（2）布置数乘运算的简单计算题，包括向量的数乘结果计算、与标量相乘的向量运算等。

2. 理解运用：（1）设计几道应用题，让学生在具体问题中运用向量数乘运算的知识进行计算。

如力学的物理问题中涉及向量数乘的情况。

（2）结合实际问题，如物理中力的合成与分解，要求学生运用所学知识分析并解决相关问题。

3. 综合训练：（1）布置一些综合性的数乘运算题目，要求学生能够综合运用所学知识进行计算和推理。

（2）鼓励学生通过小组合作，共同探讨和解决一些较复杂的数乘运算问题。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和计算的规范性。

2. 学生在解题过程中应注重理解题意，明确每个步骤的目的和意义，避免盲目计算。

3. 学生在完成作业后应自行检查答案的准确性，并尝试用不同的方法进行验证。

4. 鼓励学生在解题过程中记录自己的思考过程和解题方法，以便于复习和总结。

四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对每位学生的作业进行批改和评价。

2. 评价标准包括答案的准确性、计算的规范性、解题思路的清晰度以及是否有创新性等。

3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，并给予相应的奖励。

五、作业反馈1. 教师将根据作业批改情况，对学生在数乘运算中存在的问题进行总结和分析，并在课堂上进行讲解和指导。

2. 对于共性问题，教师将重点强调和讲解，帮助学生掌握正确的解题方法和思路。

3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧，共同提高数学学习能力。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是巩固学生对向量数乘运算的理解，掌握向量数乘的几何意义和代数运算法则，能够熟练运用向量数乘运算解决实际问题，提高学生的数学应用能力和逻辑思维能力。

《2.2.3向量的数乘运算》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《向量的数乘运算》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“向量的数乘运算”。

向量作为数学中的一个重要概念，在物理、工程、经济等多个领域有着广泛的应用。

掌握向量的数乘运算是理解和应用向量知识的基础，对于提升学生的数学素养和解决实际问题能力具有重要意义。

二、学习目标1. 理解向量的数乘概念，掌握数乘运算的法则。

2. 能够正确进行向量的数乘运算，并能够用数乘运算解决简单的实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4. 激发学生的学习兴趣，提高自主学习和合作学习的能力。

三、评价任务1. 知识理解评价：通过课堂提问和课后小测验，评价学生对向量数乘概念的理解程度。

2. 运算能力评价：通过课堂练习和课后作业，评价学生数乘运算的准确性和速度。

3. 问题解决能力评价：通过实际问题解决，评价学生运用向量数乘知识解决问题的能力。

4. 学习过程评价：通过观察学生的学习态度、合作学习和自主学习的表现，评价学生的学习过程。

四、学习过程1. 导入新课：通过复习之前学过的内容，引出向量的概念，为学习数乘运算做铺垫。

2. 新课讲解：通过举例说明向量的数乘概念，讲解数乘运算的法则，强调运算过程中的注意事项。

3. 课堂练习：学生独立完成数乘运算的练习题，教师巡视指导，及时解答学生疑问。

4. 小组讨论：学生分组进行数乘运算的讨论，分享解题方法和经验，加深对数乘运算的理解。

5. 归纳总结：教师总结本课重点内容，强调数乘运算的重要性和应用价值。

6. 拓展延伸：介绍向量数乘在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣和求知欲。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对向量数乘概念的理解和运算的准确性。

2. 课后作业：布置适量的数乘运算练习题，要求学生独立完成并提交作业。

3. 作业评讲：教师评讲课后作业，针对学生的错误进行指导，加强学生对数乘运算的掌握。

六、学后反思1. 学生反思：学生应反思本课学习的过程和结果，总结自己的不足之处，为今后的学习提供借鉴。

高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教版必修4

223向量数乘运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。

预习内容：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F二m a，位移与速度的关系s= v t。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+ a+ a和（-；）+（-；）+（-；）向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：____________________________________________________________________________________师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）课内探究学案学习目标：1 •掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3•通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

学习过程：1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3+ 3+ 3+ 3+ 3= 3? 5的解释，类比规定：实数入与向量a的积就师：由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数2,使得b = 2 .对此定理的证明，是两层来说明的: 是2a ，它还是一个向量，但要对实数入与向量a 相乘的含义作一番解释才行。

实数入与向量a 的积是一个向量，记作 2a .它的长度和方向规定如下：（1） _______________ . _______________（2） _______________________________________ . _______________________________________2）运算律：问：求作向量2（3；）和6a （ a 为非零向量）并进行比较，向量2（a+ b ）与向量2a + 2b 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生： ______________________________ . ___________________________ 师：设a 、b 为任意向量，入、卩为任意实数，则有： r r rr r r r r r (1)(入+ 口)a = 2a + g ;(2) 2 pa) = ( 2 @) ； ( 3) 2a + b) = 2 + ?b 通常将（ 2）称为结合律，(1) （3）称为分配律。

高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题导学案新人教A版必修12

学习资料专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题导学一、向量数乘的基本运算活动与探究1计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．迁移与应用化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．二、向量的共线问题活动与探究2已知向量e 1和e 2不共线．(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．迁移与应用1．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．2．如图，已知AD ＝3AB ，DE ＝3BC ，试判断AC 与AE 是否共线．共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b ＝λa ．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB ＝λAC (λ∈R )或AB ＝λBC (λ∈R )；要证AB ∥CD ，只需证AB ＝λCD (λ∈R )．三、向量的线性运算活动与探究3如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．迁移与应用在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13b C ．12a ＋14b D ．13a ＋23b用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．当堂检测1．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ aD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |3．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知e 是任一向量，a ＝－2e ，b ＝5e ，用a 表示b ，其结果是__________．5．点C 在直线AB 上，且AC ＝3AB ，则BC ＝__________AB ．答案：课前预习导学【预习导引】1．向量向量的数乘 λa (1)|λ||a | (2)相同相反 0预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa ＝0的条件是a ＝0或λ＝0．2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb3．唯一一个 b ＝λa预习交流2 提示：定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ．4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a ±λμ2b课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ；(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．迁移与应用解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ．活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩则k ＝±1．迁移与应用 1．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩∴k ＝－2．2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC＝3(AB ＋BC )＝3AC ，∴AC 与AE 共线．活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ＝12(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53b ．迁移与应用 B解析：易知△DFE ∽△BAE ，又∵E 是OD 中点，∴DF ＝13DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13b ．【当堂检测】1．C 解析：a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确．2．C 解析：当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误．又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．3．A 解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．b ＝－52a 解析：由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入b ＝5e ，可得b ＝－52a ． 5．2 解析：BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.理解实数与向量的积的概念．2．明确实数与向量的积的定义和运算律．3．掌握向量共线定理并能够判断两向量是否共线．【预习案】1．向量的加减法的法则有____________法则和________法则．2．平行四边形法则中，两个向量必须是共________、不共线；三角形法则中的两个向量_________求其和；连终点指向被减，求其差．3．向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做______________，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；λ＜0时，λa的方向与a的方向______；λ＝0时，λa＝0.4．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．3．共线向量基本定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有_________实数λ,使b＝λa. 4．线性运算(1)向量的____________________统称为向量的线性运算．(2)任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【探究案】问题探究1．数乘向量与原向量之间有什么关系？2．在共线向量定理中，为什么要强调a≠0?考点一：向量数乘的定义及其几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．例一已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.(1)用BC→表示AB→；(2)用CB→表示AC→.【思维总结】解决此类问题，关键是准确理解数乘向量的定义，把握表示及被表示向量的长度和方向，实现问题的转化考点二向量数乘及线性运算向量的加法、减法、实数与向量的积以及它们的混合运算称为向量的线性运算．根据运算律化简．例二：计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38b )； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【思维总结】其运算规律可类比多项式的合并“同类项”考点三：共线向量定理及应用要证明向量a 、b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．例三：设两非零向量a 和b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，CD →＝3(a －b )，BC →＝2a ＋8b .求证：A 、B 、D 三点共线．【思维总结】利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a ＝λb ”，通过向量关系证出“三点共线”的结论．互动探究2 在本例前提下，证明：CA →＝xCB →＋yCD →.(其中x ＋y ＝1)方法技巧1．判断向量a 与b 是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)．2．判断A 、B 、C 三点是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使AC→＝λAB →.如例33．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”，“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．如例24．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．失误防范1．对于λa ，当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．数乘向量λa ＝0，则可得λ＝0或a ＝0；反之，也成立． 3．如果a 与b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.。

(完整版)2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案

2.2。

3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1．掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义;掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行（或共线)的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行(或共线)；3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；难点:理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件．【知识回顾】1．平行向量是指什么?共线向量又是指什么？． 2．作出两个向量的和向量的方法有、． ①第一个方法的步骤是：；②第二个方法的步骤是: ．3．作出两个向量的差向量的方法是；作两个向量的差向量的步骤是：．4．三个向量AB ，OA ，OB 有怎样的等式关系？．（向量的化简与分解）【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当a R ∈时，a a a ++= 。

那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？已知非零向量a ，如何作出向量aa a 和()()()a a a ？类似实数的数乘运算，可将a a a 简记为；()()()a a a 简记为，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量?a −−→请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？．【学习过程】1）定义一般地,我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘，记作a λ,该向量的方向与长度与λ、a 有什么关系呢？（1）向量a λ的长度：||a λ= .（2）向量a λ的方向： .思考:①若b a λ=且0a ≠,则λ= ．（用,a b 的模表示)②向量的数乘运算的几何意义吗？向量与数量的关系常常在物理公式中体现．你能举出几个公式吗？练一练:（课本第90页练习的第2，3题)1．已知点C 在线段AB 上,且52AC CB =,则AC AB =；BC AB =；2．将下列各小题中的b 表示为实数与向量a 的积：①3a e =，6b e =； ②8a e =，14b e =-; ③23a e =-，13b e =; ④34a e =-，23b e =-． 2）运算律：初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？,λμ为常数，,x y 为未知量，且,x y R ∈,则(););().x x x y λμλμλ=+=+=①②(③类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律：设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有:（1）()a λμ= ; （2）()λμa ；（3）()λa b 。

数学苏教版必修4学案：第2章 2.2 2.2.3 向量的数乘

2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ，即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )，所以OP －OB ＝m (OA －OB )，即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ，所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ，即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ，所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。

高一数学 2.2.3向量的数乘学案

高一数学 2.2.3向量的数乘学案教学目标：1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：向量数乘的定义及几何意义.教学难点：向量数乘的几何意义的理解.教学方法：问题探究学习.教学过程：一、情境引入一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.aO A二、学生活动问题1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）λ的大小和方向又如何确问题 3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）三、建构数学1．表述给出实数与向量的积的定义：λ，它的长度与方向规定如下：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作a（1）|λa |||λ=|a |；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当0λ= 时，λa ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0λ= 时，λa ＝0；若a ＝0，0λ≠会有λa ＝0吗？问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律. （当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(λμa ）＝()λμa ；（2）()λμ+a= λa+μa ；（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．四、数学运用1. 例题．例1 已知向量a 和向量b ，求作向量-2.5a 和向量2a -3b . 例2 计算：（1）3(a -b )-2(a +2b )；（2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c ).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？2.练习．（1）计算：①3(-4a ＋5b )；② 6(2a -4b )-(3a -2b ).（2）如图，已知向量a ，b ，求作向量：①-2a ； ②-a ＋b ；baab③2a -b.（3）已知向量a=e 1+2e 2，b=3e 1-5e 2，求4a -3b （用e 1，e 2表示）.（4）已知OA 和OB 是不共线的向量，()AP t AB t R =∈,试用OA 和OB 表示OP .（5）已知非零向量a ，求向量1|a |a 的模.五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．实数与向量积的定义；2．实数与向量积的几何意义；3．实数与向量的积的运算律.。

2.2.3《向量的数乘运算及其几何意义》学案1

2．2．3向量的数乘运算及其几何意义学案学习目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。

探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________长度和方向规定如下：（1） (2) 问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90 练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？（1）=)(a μλ（2）=+a)(μλ（3）=+)(b a λ 问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？例1．计算：（1）a 4)3(⨯- ；（2）a b a b a ---+)(2)(3 ；（3）)23()32(c b a c b a +---+ ；小露一手：教材P90 练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±.问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量)0( ≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.思考: 1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题33.A C EA D AB D E BC == 变式一：如图，已知，试判断、、三点的位置关系。

DE BC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图==总结归纳：例 3.如图，已知任意两个向量,,b a 试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA +=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,，你能用b a ,表示ND MC MB MA ,,,吗？课堂练习：教材P90练习题6题课后作业（1）教材P91 A 组习题9—13题（必做）；B 组习题3、4、5题（选做）A B C O OC OA OB 1λμλμ=++= 思考题：已知三点、、共线，是平日面内任意一点，若有，试求证学习反思：2例..33是否共线与试判断，已知，如图AE AC BC DE AB AD ==D b a A B C DE。

高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4-新人教A版

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。

——高尔基学习目标1．掌握向量数乘运算的概念.2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3．掌握向量的共线定理及应用.学习重点平面向量数乘运算法则的应用.学习难点平面向量数乘运算法则的应用自主学习1．向量的数乘运算的概念(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.(2)运算律：①=②=③=特别地，( )= ( )，＝. 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.预习评价1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形2．设，是两个不共线的向量，若向量m=－+ k(k∈R)与向量n= －2 共线，则A.k=0B.k=1C.k=2D.3．若向量，a满足2 -3( -2a)=0,则向量=________.4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与的关系_______.(共线，不共线)5． =___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2．所得向量λa的几何意义是什么？3．向量的大小与方向如何？4．共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a=λb，如何确定λ的值？(2)定理中为何要限制a≠0？5．若向量a，b不共线，且λa=μb，则λ，μ的值如何？为什么？教师点拨1．对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关.(2)当λ=0时，λa=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2．共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示——向量的数乘运算及理解已知向量a，b满足：|a|＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝A. B. C. D.变式训练设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|交流展示——共线向量定理及其应用已知向量，，，则A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线变式训练在中，点是的中点，点在上，且，求证：，，三点共线．交流展示——向量线性运算的应用下列各式计算正确的个数是 ( )①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练=A.2a−bB.2b−aC.b−aD.a−b学习小结1．向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解. 2．由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3．用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测1．化简下列各式:(1)-+--;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2．已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则实数λ的值为. 3．已知关于的方程有，则＝A. B. C. D.无解4．在平行四边形ABCD中，，，，则________(用e1,e2表示).5．已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=k e1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)向量λa，｜λ｜｜a｜，相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λbλa－aλa－λb2．b＝λa【预习评价】1．C2．D3．6a4．共线5．2b－a♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)实数λ与向量a数乘，得到向量λa，其方向由λ的正负及向量a的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2．是把向量a沿a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍或沿a的相反方向放大(λ<－1)或缩小(－1<λ<0)到原来的｜λ｜倍.3．向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量也是向量a方向上的单位向量.4．(1)当a，b同向时，λ＝，当a,b反向时，λ＝－.(2)共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在.5．:λ＝μ＝0.假设λ≠0，由于向量a，b不共线，则a≠0，b≠0，且a＝b，从而a，b共线，与向量a，b不共线矛盾，可知λ＝μ＝0.【交流展示——向量的数乘运算及理解】C【变式训练】C【解析】只有当λ>0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|.因为λ2>0,所以a与λ2a的方向相同.【交流展示——共线向量定理及其应用】B【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于与有公共点B，因此A、B、D三点共线，故答案为B.【变式训练】证明：．因为，，所以．由于，可知，即．又因为、有公共点，所以、、三点共线．【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．【交流展示——向量线性运算的应用】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1．(1)原式=(-)-(+)=-0=.(2)原式=2a+4b+9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2．-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+λb与b+λa的方向相反得到恒等式,进而得到关于λ的方程,从而得出λ的值.由a+λb与b+λa的方向相反得,a+λb=-k(b+λa),k>0,则λ=-k,-kλ=1,即λ2=1,又k>0,所以λ=-1,此时a+λb与b+λa的方向相反.3．B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得，则.4．5．（1）由，得，而与不共线，所以2,21k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩. （2）不存在.若与共线，则，有因为为非零向量，所以2λ≠且k λ≠-，所以，即，这时与共线，所以不存在实数k 满足题意. 【知识拓展】显然c≠0,否则4e 1-7e 2=0,即e 1=e 2,与e 1,e 2不共线矛盾.又d=λa+μb=(λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2(λμ≠0),假设向量d=λa+μb 与c 共线,则存在一个实数γ,使得d=γc,即( λ+2μ)e 1+(2λ-4μ)e 2=4γe 1-7γe 2,从而,消去γ,得15λ=2μ(μ≠0).所以存在非零实数λ,μ,只要它们满足15λ=2μ(μ≠0),就能使得向量d 与c 共线.。

高中数学学案向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义考试标准课标要点学考要求高考要求向量的数乘运算 c c向量数乘运算的几何意义 b b知识导图学法指导1.与实数乘法的运算律类似,向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时,要注重其几何意义．2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算,其中,向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的,它可以判断几何中三点共线和两直线平行,注意区别向量平行与直线平行．4．学习了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示,这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数λ与向量a,则λ＋a与λ－a的和是向量．( )(2)对于非零向量a,向量－3a与向量a方向相反．( )(3)对于非零向量a,向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )(4)若b与a共线,则存在实数λ,使得b＝λa.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．存在两个非零向量a,b,满足b＝－3a,则有( )A．a与b方向相同 B．a与b方向相反C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|解析：因为－3<0,所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|,即|b|＝3|a|,故选B.答案：B3．化简：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b ＝( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b解析：原式＝13[(a ＋4b)－(4a －2b)]＝13(－3a ＋6b)＝2b －a,选B.答案：B4．已知a ＝e 1＋2e 2,b ＝3e 1－2e 2,则3a －b ＝( ) A ．4e 2 B ．4e 1 C ．3e 1＋6e 2 D ．8e 2解析：3a －b ＝3(e 1＋2e 2)－(3e 1－2e 2)＝3e 1＋6e 2－3e 1＋2e 2＝8e 2. 答案：D类型一向量的线性运算例1 (1)计算：①4(a＋b)－3(a －b)－8a ； ②(5a－4b ＋c)－2(3a －2b ＋c)．(2)设向量a ＝3i ＋2j,b ＝2i －j,求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a)．【解析】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b. ②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c.(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j)＋53(2i －j)＝⎝⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j.状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算,关键是把握运算顺序,即先根据运算律去括号,再进行数乘运算,最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算．跟踪训练1 化简： (1)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (2)23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －146a －7b . 解析：(1)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(2)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝234－32a ＋－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b.先由运算律去括号,再进行数乘运算．类型二向量共线条件的应用例2 已知非零向量e 1,e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2,BC →＝2e 1＋8e 2,CD →＝3(e 1－e 2),求证A,B,D 三点共线； (2)欲使ke 1＋e 2和e 1＋ke 2共线,试确定实数k 的值．【解析】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2,BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. 所以AB →,BD →共线,且有公共点B, 所以A,B,D 三点共线． (2)因为ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线,所以存在实数λ,使ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2), 则(k －λ)e 1＝(λk－1)e 2, 由于e 1与e 2不共线,只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，所以k ＝±1.(1)欲证三点A,B,D 共线,即证存在实数λ,使AB →＝λBD →,只要由已知条件求出λ即可．(2)由两向量共线,列出关于e →1、e →2的等式,再由e →1与e →2不共线知,若λe →1＝μe →2,则λ＝μ＝0. 方法归纳向量共线定理的应用(1)若b ＝λa(a≠0),且b 与a 所在的直线无公共点,则这两条直线平行．(2)若b ＝λa(a≠0),且b 与a 所在的直线有公共点,则这两条直线重合．例如,若AB →＝λAC →,则AB →与AC →共线,又AB →与AC →有公共点A,从而A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练2 (1)已知e 1,e 2是平面内不共线的两个向量,a ＝2e 1－3e 2,b ＝λe 1＋6e 2,若a,b 共线,则λ等于( )A.－9 B ．－4 C ．4 D ．9(2)设a,b 为不共线的两个非零向量,已知向量AB →＝a －kb,CB →＝2a ＋b,CD →＝3a －b,若A,B,D 三点共线,则实数k 的值等于( )A.10 B ．－10 C ．2 D ．－2解析：(1)由a,b 共线知a ＝mb,m∈R ,于是2e 1－3e 2＝m(λe 1＋6e 2),即(2－mλ)e 1＝(6m ＋3)e 2.由于e 1,e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋3＝0，2－mλ＝0，所以λ＝－4.(2)因为A,B,D 三点共线,所以AB →＝λBD →＝λ(CD →－CB →),所以a －kb ＝λ(3a－b －2a －b)＝λ(a－2b),所以λ＝1,k ＝2.答案：(1)B (2)C(1)由a →,b →共线,得a →＝m b →,建立等式求λ. (2)A 、B 、D 三点共线,设AB →＝λBD →,建立等式求k .类型三用已知向量表示其他向量例3 如图,ABCD 是一个梯形,AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB →＝e 1,AD →＝e 2,试用e 1,e 2表示下列向量．(1)AC →＝________； (2)MN →＝________.【解析】因为AB →∥CD →,|AB →|＝2|CD →|,所以 AB →＝2DC →,DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2结合图形：由已知得AB →＝2DC →,分别用e →1,e →2表示AC →,MN →.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程．跟踪训练3 在本例中,若条件改为BC →＝e 1,AD →＝e 2,试用e 1,e 2表示向量MN →.解析：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →,MN →＝MC →＋CB →＋BN →,所以2MN →＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M,N 分别是DC,AB 的中点,所以MD →＋MC →＝0,AN →＋BN →＝0. 所以2MN →＝DA →＋CB →,所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.结合图形,在梯形ABCD 中,M N →＝M D →＋DA →＋AN →,再用e →1, e →2表示M N →. 2.2.3[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．4(a －b)－3(a ＋b)－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b. 答案：D2．点C 在直线AB 上,且AC →＝3AB →,则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →解析：如图,AC →＝3AB →,所以BC →＝2AB →. 答案：D3．已知向量a,b 是两个不共线的向量,且向量ma －3b 与a ＋(2－m)b 共线,则实数m 的值为( ) A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m)b 共线,且向量a,b 是两个不共线的向量,所以m ＝－32－m ,解得m ＝－1或m ＝3.答案：A 4.如图,已知AB →＝a,AC →＝b,BD →＝3DC →,用a,b 表示AD →,则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b.答案：D5．若点O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →＝2e 1,BC →＝3e 2,则32e 2－e 1＝( )A.BO →B.AO →C.CO →D.DO →解析：BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1,BO →＝12BD →＝32e 2－e 1.答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知|a|＝4,|b|＝8,若两向量方向同向,则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a. 解析：由于|a|＝4,b ＝8,则|b|＝2|a|,又两向量同向,故b ＝2a. 答案：27．点C 在线段AB 上,且AC CB ＝32,则AC →＝________AB →,BC →＝________AB →.解析：因为C 在线段AB 上,且AC CB ＝32,所以AC →与AB →方向相同,BC →与AB →方向相反,且AC AB ＝35,BC AB ＝25,所以AC →＝35AB →,BC →＝－25AB →. 答案：35 －258．已知向量a,b 满足|a|＝3,|b|＝5,且a ＝λb ,则实数λ的值是________．解析：由a ＝λb ,得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3,|b|＝5, ∴|λ|＝35,即λ＝±35.答案：±35三、解答题(每小题10分,共20分) 9．计算(1)13(a ＋2b)＋14(3a －2b)－12(a －b)； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b＝712a ＋23b. (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 10．已知E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC →＝a,DA →＝b,试用a,b 表示EF →. 解析：如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP.在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE →＝12BC →＝12a.在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b.在△EFP 中,EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b)．[能力提升](20分钟,40分)11．设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →＝3CD →,则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →,故选A.答案：A12．如图所示,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且BD ＝2DC,若AC →＝mAB →＋nAD →(m,n∈R),则m －n ＝________.解析：直接利用向量共线定理,得BC →＝3DC →,则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →,AC →＝－12AB →＋32AD →,则m ＝－12,n ＝32,那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－213．已知e,f 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f,BC →＝－4e －f,CD →＝－5e －3f. (1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f)＋(－4e －f)＋(－5e －3f)＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f.(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f)＝2BC →,所以AD →与BC →方向相同,且AD →的长度为BC →的长度的2倍,即在四边形ABCD 中,AD∥BC ,且AD≠BC ,所以四边形ABCD 是梯形．14．如图所示,在△ABC 中,点D 是边BC 的中点,A,D,E 三点共线,求证：存在一个实数λ,使得AE →＝λ(AB→＋AC →)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD →＝12(AB →＋AC →)．因为A,D,E 三点共线,所以可设AE →＝μAD →,则AE →＝μ2(AB →＋AC →)．令λ＝μ2,可得AE →＝λ(AB →＋AC →)．所以,存在一个实数λ,使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。

人教版数学必修四：2.2.3向量的数乘(2)学案(教师版)

课题：§2.2 .3 向量的数乘（2）总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】（1）理解向量共线含义,掌握向量共线定理，会判断两个向量是否共线（2）学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理,证明简单的几何问题.【重点难点】重点：向量共线定理，难点：向量共线定理的证明和应用。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图：D 、E 分别为ΔABC 的边AB 、AC 的中点.问题1：与共线吗？问题2：能用线性表示吗？学生活动通过解答以上的问题，我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示。

二、知识建构与应用：向量共线定理：如果有一个实数λ,使)(≠=λ,那么与是共线向量;反之,如果与)(≠是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使λ=。

定理的证明（证明要从两方面来进行）。

让学生体会定理中的≠的含义。

三、例题例1 如图,ΔOAB 中,C 为直线AB 上一点, =λ (λ≠-1).求证:λλ++=1OC A C BO提问：上例中，当λ=1时，你能得到什么结论？E D C B A提问：当λ>0,λ<0时点C 分别在直线AB 的什么位置上?提问:当C 与A 重合时λ的值是多少? C 与B 能重合吗？探究例1的结论也可写成λλλ+++=111,其中两个系数之和是常数1，我们发现如果满足以下的要求，则C B A ,,三点共线。

(1) 存在确定的实数λ使AC =λCB (λ≠-1).(2)平面上另有一点C ，若存在两个实数t s ,且1=+t s ，使t s +=. 两者等价（证明选讲）例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-；其中1e ，2e 不共线（2）12a e e =+，1222b e e =-，其中1e ，2e 共线．提问：以上的例题中，“12,e e 不共线”有什么意义？四、巩固练习1．已知b a ,都是非零向量，且,032=+b a 求证：b a //.2．已知向量1222a e e =-，213()b e e =--，求证：a 与b 是共线向量。

《2.2.3向量的数乘运算》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《向量的数乘运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对向量数乘运算的理解，通过实际操作和练习，使学生能够熟练掌握向量的数乘运算法则，并能解决简单的实际问题。

二、作业内容1. 基础练习：（1）理解向量的数乘概念，完成课本中的概念性题目。

（2）掌握数乘的几何意义，理解向量数乘与大小、方向的关系，完成相应的练习题。

2. 技能应用：（1）完成数个具体的向量数乘运算，如给定向量及实数，求得数乘后的向量结果。

（2）利用数乘运算法则解决简单的物理或几何问题，如求线段的中点、平行四边形的对角线等。

3. 综合练习：（1）设计几个涉及向量数乘的实际问题，要求学生通过数乘运算解决。

（2）设计几个开放性问题，让学生自行设定向量及实数进行数乘运算，并探讨其中的规律和性质。

三、作业要求1. 学生需在理解向量的基本概念及数乘意义的基础上完成作业。

2. 每个题目应独立思考，尽量独立完成。

如有不懂之处，可查阅课本或询问老师。

3. 作业应书写规范，步骤清晰，答案准确。

对于计算题，应写出详细的计算过程。

4. 按时提交作业，不拖延。

如遇特殊情况无法按时完成，需及时向老师说明情况。

四、作业评价1. 老师将根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、作业的规范性等方面进行评价。

2. 对于表现出色的学生，将在课堂上进行表扬，并作为其他学生的榜样。

3. 对于作业中出现的错误，老师将进行详细讲解，并要求学生及时订正。

五、作业反馈1. 老师将根据学生的作业情况，对教学中的不足进行反思和调整。

2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行重点讲解和练习。

3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题思路和方法。

4. 定期收集学生的作业反馈和建议，以便更好地改进教学。

通过这种针对性的作业设计方案，希望能够在巩固学生知识的同时，也能培养学生的实践能力和解题思维，使学生能够在学习过程中取得更好的效果。

六、教学思考对于向量的数乘运算这一内容，我们在教学中不仅要让学生掌握基本概念和运算法则，还要让学生在实际应用中能灵活运用，提高学生的数学素养。

3《向量数乘运算及其几何意义》导学案

3、O 是平面上的一个定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=
OB +OC +λAP,λ∈(0,+∞),则 2
P 点的轨迹所在直线
一定通过△ABC 的( C ). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设 BC 中点为 M,则
OB +OC 2
=OM,则有OP=OM+λ AP,
+ ),∴点 P 在��上移动, |�� | |�� |
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.故选 B.
运用向量法证明三点共线
例三、如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 是 BD
1 上的一点,BN= BD,求证:M,N,C 3
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6、知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若 OP=xOA+yOB,求 x+y 的值.
【解析】由于 A,B,P 三点共线,所以向量��,�� 在同一条直线上,由共线向量定理可知,必定存在实数 λ 使AP=λ AB,即OP-OA=λ (OB-OA),所以 ��=(1-λ )OA+λ OB,故 x=1-λ ,y=λ ,即 x+y=1.
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计算(1)(-2)×(3a-2b)= -6a+4b ;
(2)(a+b)-3(a-b)= -2a+4b .
【解析】(1)(-2)×(3a-2b)=-6a+4b; (2)(a+b)-3(a-b)=-2a+4b.
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设两个向量a与b不共线. (1)证明:起点相同的三个向量a,b,3a-2b的终点在一条直线上(a≠b); (2)求实数k,使得ka+b与2a+kb共线.