一次函数与方程、不等式综合

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一次函数与方程不等式知识点

一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y bkx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．例题精讲知识点睛一次函数与方程、不等式综合二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25y x=-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x=时，y的值；（3）求出当3y=-时，x的值；（4）观察图象，求出当x为何值时，0y>，0y=，0y<【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23y x=-+的图象在：（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41y x=-+的图象在：（1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【例5】如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【巩固】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例6】已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．【巩固】已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例7】一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（）A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【巩固】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例8】如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【巩固】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例9】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例10】已知直线3y x=-与22y x=+的交点为（-5，-8），则方程组30220x yx y--=⎧⎨-+=⎩的解是________．【巩固】如图所示的是函数y kx b=+与y mx n=+的图象，求方程组kx b ymx n y+=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例11】已知方程组y ax cy kx b-=⎧⎨-=⎩（a b c k，，，为常数，0ak≠）的解为23xy=-⎧⎨=⎩，则直线y ax c=+和直线y kx b=+的交点坐标为________．【巩固】已知24xy=⎧⎨=⎩，是方程组73228x yx y-=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y=________和y=________的交点是________．【例12】阅读：我们知道，在数轴上，1x=表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x=表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y-+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x=+的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线1x=与直线21y x=+的交点P的坐标(1，3)就是方程组1210xx y=⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13xy=⎧⎨=⎩；在直角坐标系中，1x≤表示一个平面区域，即直线1x=以及它左侧的部分，如图②；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．(1)y=2x+1x=1x=1(2)(3)回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；2y 1=2x+1(4)⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示220y x y ⎪≤-+⎨⎪≥⎩所围成的区域．⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .1. 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．2. 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．3.已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（） A ．20y -<< B ．40y -<< C ．2y <- D ．4y <-课后作业4.已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（）A ．5x >B ．12x < C ．6x <- D ．6x >-5.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？7.已知一次函数6y kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．。

一次函数与方程不等式综合题

解析：这是一道取材于山区绿化的表格信息型应用题，综合考查一次函数、一次方程组和一次不等式组．（1）经过对表格信息的观察、分析不难发现平均气温随海拔高度的增大而减小，y与x之间的满足一次函数关系．故由待定系数法可设y=kx+b，将x=0，y=22；x=100，y=21.5 分别代入y=kx+b得22=b，21.5=100k+b；把b=22代入21.5=100k+b得k=,所以y与x之间的函数关系式为y=x+22；（2）由题意18y20，即18x+2220．解不等式组可得：400≤x≤800．故该植物种植在海拔为400米—800米之间的山区较为合适．
2、某饮料厂为了开发新产品，用A，B两种果汁原料个19千克、 17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料50千克，下表是实验的相关数据：
每千克含量\饮料甲
乙
A（单位：千克） 0.5
0.2
B（单位：千克） 0.3
0.4
（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集．
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3 元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式．根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？
（3）小斌选取那种租碟方式更合算？解析：该例取材于大家最熟悉的生活中的情景，综合考查一次函
数、一元一次不等式与一次方程．由题意易得：（1）y1=x；（2）y2=0.4x+12；（3）y1<y2时零星租碟方式更合算，此时x<0.4x+12, 解得x<20；y1>y2时会员卡租碟方式更合算，此时x>0.4x+12解得 x>20；y1=y2时两种租碟方式一样合算，此时x=0.4x+12解得x=20．

中考方程(组)不等式(组)一次函数求最值的综合应用

专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。

1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。

（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。

一次函数一元一次方程一元一次不等式(组)的综合运用

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式（组）的综合运用1、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用解：(1) 设购买甲种树苗x 株，乙种树苗y 株，则列方程组⎩⎨⎧=+=+210003024800y x y x 2分解得⎩⎨⎧==300500y x 答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株. 4分(2) 设购买甲种树苗z 株，乙种树苗)800(z -株，则列不等式 800%88)800%(90%85⨯≥-+z z 6分解得320≤z7分答：甲种树苗至多购买320株.（3）设甲种树苗购买m 株，购买树苗的费用为W 元，则240006)800(3024+-=-+=m m m W 8分∵06<-∴W 随m 的增大而减小∵3200≤<m ∴当320=m 时，W 有最小值. 9分22080320624000=⨯-=W 元答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元. 10分2.在眉山市开展城乡综合治理的活动中．需要将A 、B 、C 三地的垃圾50立方M 、40立方M 、50立方M 全部运往垃圾处理场D 、E 两地进行处理.。

已知运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少l0立方来．(1) 求运往D 、E 两地的数量各是多少立方M?(2) 若A 地运往D 地a 立方M(a 为整教)， B 地运往D 地30立方M ．c 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2倍．其余全部运往E 地．且C 地运往E 地不超过 l2立方M ．则A 、C 两地运往D 、E 两地有哪几种方案?(3) 已知从A 、B 、C 三地把垃圾运往D 、E 两地处理所需费用如下表：在(2)的条件下，请说明哪种方案的总费用最少?【解题思路】（1）设运往E 地x 立方M ，由题意可列出关于x 的方程，求出x 的值即可；（2）由题意列出关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 是整数可得出a 的值，进而可求出答案；（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可．【答案】（1）设运往E 地x 立方M ，由题意得，x+2x-10=140，解得：x=50，∴2x-10=90，答：共运往D 地90立方M ，运往E 地50立方M ；（2）由题意可得，[]⎩⎨⎧≤+--<+-12)30(90502)30(90a a a ，解得：20＜a ≤22， ∵a 是整数，∴a=21或22， ∴有如下两种方案：第一种：A 地运往D 地21立方M ，运往E 地29立方M ；C 地运往D 地39立方M ，运往E 地11立方M ；第二种：A 地运往D 地22立方M ，运往E 地28立方M ；C 地运往D 地38立方M ，运往E 地12立方M ；（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），所以，第一种方案的总费用最少．【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键．难度适中．3.某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？解:⑴ 设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元． ⎩⎨⎧14x+(20-14)y=2914x+(18－14)y=24 解得：⎩⎨⎧x=1y=2.5答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元． ⑵当0≤x ≤14时；y=x当x ＞14时，y=14+2.5×(x －14)=2.5x －21所求函数关系式为：y=⎩⎨⎧x (0≤x≤14)2.5x －21 (x ＞14)⑶∵x=24＞14，把x=24代入y=2.5x －21,得到y=2.5×24－21=39 答：小英家三月份应交水费39元.4.今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A 地到甲地50千M ，到乙地30千M ；从B 地到甲地60千M ，到乙地45千M ．⑴设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表甲乙总计 A x14 B14 总计15 13 28 ⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千M ）【解题思路】通过读题、审题（1）完成表格有2个思路：从供或需的角度考虑，均能完成上表。

第9讲一次函数与方程不等式综合

一次函数与方程、不等式综合一、知识要点（一）一次函数与一元一次方程的关系1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。

所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)bk -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

（二）一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。

二、例题精讲（一）一次函数与一元一次方程综合【例1】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．（二）一次函数与一元一次不等式综合【例4】已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．（三）一次函数与二元一次方程（组）综合【例12】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．【例14】已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y = 和y =的交点是________．【例15】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0【例18】如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【例19】当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例20】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例21】已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例22】如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例23】一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（） A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【例24】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例25】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（） A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例26】 b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？三、小试牛刀1. （2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（）2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（）． A ．y ≥－7B ．y ≥9C ．y ＞9D ．y ≤93. （2011山东烟台，11,4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比y=kx+b2-2Oy x-1B A 2O y x2乙甲乙甲815105 1.510.5O时y/千米乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个4. （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是5．（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是（）6. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =1和34312+=xy 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞27. （2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是（） A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min8.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y ， •生产时间为t ，那么y 与t 的大致图象只能是（）9．如图，向高为H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y 与水深x 的关系的图象是（）10．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，•过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情学校小亮家stststts（－1，1y（2，2） 2yxyO（第7题图）况的是（）11．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（•米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回12．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次___ _ _米赛路；②甲、乙两人先到达终点的是______ ___；•③在这次赛跑中甲的速度为___ _____，乙的速度为____ __．13．如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．14.俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：①图象表示了哪两个变量的关系？②10•时和13时，他分别离家有多远？③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？。

一次函数与方程(组)、不等式(组)

专题复习一次函数与方程（组）、不等式（组）第一课时洪湖市万全镇中心学校周爱红教学目的知识与技能：1、通过回顾一次函数与方程（组）、不等式（组）之间的联系，能熟练地运用函数的观点解释方程（组）、不等式（组）及其解或解集的意义。

2、能用函数图像来表示方程（组）、不等式（组）的过程，增强数形结合的思想的运用，并提高学生的归纳和概括能力。

过程与方法：通过自主学习和小组讨论方式进行复习，让学生加深对数形结合思想的理解并运用。

情感态度与价值观：通过交互式学习模式，增强学生的合作意识和奉献精神，提高学生的学生数学的兴趣以及体会自我提升的价值。

教学重点：用函数观点看方程（组）、不等式（组）教学难点：数形结合思想的灵活运用教学手段：多媒体教学过程：特此说明：本课时中出现的字母只有x、y表示未知数，其他字母均为常数。

活动一：回顾梳理1、解．一元一次方程相当于已知．．一次函数的函数值求．对应的自变量的值。

如：解关于x的方程kx+b=c（k≠0）可看作一次函数y=kx+b 的函数值y等于 c 时，求自变量x的值。

2、每个二元一次方程解有无数对，它的解为坐标的点集合起来就是一个一次函数的图象。

因此可得①每个二元一次方程mx+ny=p（m≠0,n≠0）均可以化作一次函数y=kx+b（k≠0）的形式。

②二元一次方程mx+ny=p（m≠0,n≠0）每对解构成坐标的点，都在直线y=kx+b（k≠0）上。

3、二元一次方程组．．．．．．．都对应着两个一次函数，于是也对应两条直线。

二元一次方程组的．．．．．．．．解．相当于是它相应的两条直线的交点坐标。

4、一元一次不等式的解集．．．．．．．．．．．中满足纵坐标的值在某个范．．相当于与之对应的一次函数图象围内的点对应的横坐标的取值范围。

活动二：能力展示一、完成下列填空：第一组：1、一元一次方程的解是。

2、二元一次方程组的解是。

3、在下图的直角坐标系中，直线与x轴（或称直线y=0）的交点坐标是。

一次函数与方程、不等式(共15张PPT)

04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次函数与方程、不等式之间的关系，掌握将实际问题转化为数学模型的方法。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着广泛的应用。例如，在购物时，我们可以通过比较商品的价格和折扣率来选择最划算的购买方案，这需要用到一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过控制生产成本和产量之间的关系来制定最优的生产计划，这也需要用到一元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其中x为自变量，y为因变量，b为截距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。

一次函数与方程不等式讲解

一次函数与方程不等式讲解一次函数与方程不等式是数学中非常重要的概念，它们在日常生活中也有广泛应用。

本文从定义、性质、求解方法等方面进行讲解，希望能够帮助读者更好地掌握这些知识。

一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，x是自变量，y是因变量。

它的图像通常是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

一次函数的性质包括：1.斜率相同的两条直线平行，斜率相反的两条直线相交于一点。

2.直线的截距可以通过函数的图像或方程求解。

3.直线的图像在x轴和y轴上的截距分别为(-b/k,0)和(0,b)。

二、一次方程的定义与性质一次方程是指形如ax+b=c的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

它的求解方法可以用解方程、平衡法、加减混合法等。

一次方程的性质包括：1.方程的解可以唯一确定未知数的取值。

2.方程的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。

3.方程的解可以分为有理数解和无理数解。

三、一次不等式的定义与性质一次不等式是指形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a、b是已知数，x是未知数。

它的求解方法与一次方程相似，只需要将等式改为不等式，并分析不等式的性质即可。

一次不等式的性质包括：1.不等式的解可以是一个区间，也可以是整个实数集。

2.不等式的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。

3.不等式的解可以分为正数解和负数解。

综上所述，一次函数、方程、不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用十分广泛。

在学习和应用过程中，我们需要了解其定义、性质和求解方法，有助于更好地掌握这些知识，并解决相关问题。

希望本文能够对读者有所启发，促进学习和实践的提高。

初二：一次函数综合题(与几何、方程、不等式综合)

题二：已知关于 x 的函数 y1=kx2 与 y2= 3x+b 交于点 A(2，1)． (1)求 k、b 的值； (2)当 x 取何值时，y1＞ y2．题三：如图，一次函数 y= x+4 的图象与 y 轴交于点 A，一次函数 y=3x6 的图象与 y 轴交于点 B，这两个函数的图象交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)若线段 AB 的中点为 D，求图象经过 C、D 两点的一次函数的解析式．
一次函数与方程和不等式
重难点易错点辨析
一次函数与一元一次方程
题一：直线 y=2x+b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于 x 的方程 2x+b=0 的解是( )
A．x=2
B．x= 4
C．x=8
D．x=10
一次函数与一元一次不等式
题二：已知一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则 ax+b＞0 的解集为
金题精讲
题一：如图，一次函数 y 3 x 3 的图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内 4
作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，则过 B、C 两点直线的解析式为( ) A. y 1 x 3
7 B. y 1 x 3
5 C. y 1 x 3
答案见微信公众号：绿爱生活
题四：某花农要将规格相同的 800 件水仙花运往 A，B，C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件
数的 3 倍，各地的运费如下表所示：
A地 B地 C地
运费(元/件) 20
10
15
(1)设运往 A 地的水仙花 x(件)，总运费为 y(元)，试写出 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围；

初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1(选择附答案)

初中数学试题分类汇编：一次函数与方程、不等式综合训练1（选择附答案）1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式kx﹣b＞0的解集为()A．x＜2 B．x＞2 C．x＜4 D．x＞42．若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，0）D．（1，3）3．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3 D．x＜34．在同一直角坐标系内，若直线y=2x-1与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞—1 B．m＜1 C．—1＜m＜1 D．—1≤m≤1 5．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m ＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）7．如图，直线y 1＝kx+2与直线y 2＝mx 相交于点P(1，m)，则不等式mx ＜kx+2的解集是（）A ．x ＜0B ．x ＜1C ．0＜x ＜1D ．x ＞18．若以二元一次方程x +2y ﹣b=0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y=﹣12x+b ﹣l 上，则常数b=（）A ．12B ．2C ．﹣1D ．19．如图，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3解集为（）A ．x ≤－1B ．x ≥－1C ．x ≤3D ．x ≥310．如图，直线y=ax+b 过点A （0，2）和点B （﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（）A ．x=2B ．x=0C ．x=﹣1D ．x=﹣311．如图所示，函数1y x =和21433y x =+的图象相交于（–1，1），（2，2）两点．当12y y >时，x 的取值范围是（）12．如图所示，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（3 2，3），则关于x的不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≤32B．x≤3C．x≥32D．x≥313．直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜014．如图,一次函数11y k x b=+,的图象1l与22y k x b=+的图象2l相交于点P,则方程组111222y k x by k x b=+⎧⎨=+⎩的解是（）A．23xy=-⎧⎨=⎩B．32xy=⎧⎨=-⎩C．23xy=⎧⎨=⎩D．23xy=-⎧⎨=-⎩15．一次函数y kx b=+（0k≠）的图象如图所示，则关于x的不等式0kx b+>的解集为（）A．1x>-B．1x<-C．2x>D．0x>16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x ，x 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，那么这个点是A ．MB ．NC ．ED ．F17．若直线y=－2x －4与直线y=4x ＋b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（） A ．－4<b<8 B ．－4<b<0 C ．b<－4或b>8 D ．－4≤6≤818．直线y kx b =+与y mx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式kx b mx +≤的解集为（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣1D ．x ＜﹣119．如图，已知一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；②关于x 的方程3kx b +=的解为0x =；③当2x >时，0y <；④当0x <时，3y <．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④20．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3），根据图象分析，方程3x ＝ax +b 的解为（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣321．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象，则二元一次方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是（）A ．20x y =-⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=-⎩D ．12x y =⎧⎨=⎩22．如图所示，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）与正比例函数y =ax （a 为常数，且a ≠0）相交于点P ，则不等式kx +b ＞ax 的解集是（）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞2D ．x ＜223．已知点A （-1，3），点B （-1，-4），若常数a 使得一次函数y =ax +1与线段AB 有交点，且使得关于x 的不等式组45(3)65425x x a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的个数为（）24．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，有下列结论:①0a >；②0k >；③当4x <时,kx b x a +>+其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个25．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（）A ．3x 2>B ．x 3>C ．3x 2<D ．x 3<26．如图，直线与y 轴交于点（0，3）、与x 轴交于点（a ，0），当a 满足时，k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．27．一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如下图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③b ＞0；④当x ＜3时，y 1＜y 2；其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．29．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当2x <时，y 的取值范围是( )A ．4y <-B ．40y -<<C ．2y <D ．0y <30．一次函数1y ax b 与2y cx d =+ 的图象如图所示，下列说法：①0ab ＜；②函数y ax d =+ 不经过第一象限；③不等式ax b cx d ++＞的解集是3x ＜；④()13a c db -=- ．其中正确的个数有( )A ．4B ．3C ．2D ．1参考答案1．A【解析】【分析】观察函数图象得到即可．【详解】由图象可得：当2x <时，函数y kx b =-的图象在x 轴的上方，所以关于x 的不等式0kx b ->的解集是2x <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．2．A【解析】【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x ＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可．【详解】解：∵直线l 1经过点（﹣1，0），l 2经过点（2，2），关于直线x ＝1对称，∴点（﹣1，0）关于直线x ＝1对称点为（3，0），点（2，2）关于直线x ＝1对称点为（0，2），∴直线l 1经过点（﹣1，0），（0，2），l 2经过点（2，2），（3，0），∴直线l 1的解析式为：y ＝2x+2，直线l 2的解析式为：y ＝﹣2x+6，解方程组2226y x y x =+⎧⎨=-+⎩得，14x y =⎧⎨=⎩∴l 1和l 2的交点坐标为（1，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l 1与l 2的交点坐标为l 1与l 2与y 轴的交点是解题关键．3．B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．C【解析】【分析】联立两直线的解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．【详解】解：联立方程组212y xy x m=-⎧⎨=-+⎩，解得：1412mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵交点在第四象限，∴1412mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得：11m-<<．故选：C．【点睛】本题考查了两直线的交点和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活应用．5．D【解析】【分析】利用函数图象,找出直线y=x+m在直线y=kx-1的下方所对应的自变量的范围即可【详解】解析根据图象得,当x<-1时,x+m<kx-1故选D【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集和一次函数与ー元一次不等式，解题关键在于判定函数图象的位置关系6．D【解析】试题分析：∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，∴y=2×1=2，∴B（1，2），设一次函数解析式为：y=kx+b，∵过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3．故选D．考点：1.待定系数法求一次函数解析式2.两条直线相交或平行问题．7．B【解析】【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．【详解】解：∵直线y1＝kx+2与直线y2＝mx相交于点P（1，m），∴不等式mx＜kx+2的解集是x＜1，故选：B．【点睛】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．B【解析】【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【详解】因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣12x+b﹣l上，直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0，所以﹣b=﹣2b+2，解得：b=2，故选B．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．9．B【解析】【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【详解】解：观察图象知：当1x -时，3kx b +，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．10．D【解析】∵方程ax +b =0的解是直线y =ax +b 与x 轴的交点横坐标，∴方程ax +b =0的解是x =-3.故选D.11．B【解析】试题解析：当x≥0时，y 1=x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（2，2），∴当x ＜0时，y 1=-x ，又21433y x =+， ∵两直线的交点为（-1，1），由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜-1或x ＞2．故选B ．12．C【解析】【分析】根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：已知函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（32，3），根据函数图象可以看出，当x＝32时，2x＝ax+4；当x＞32时，2x＞ax+4；当x＜32时，2x＜ax+4；故关于x的不等式2x≥ax+4的解集为32x ．故选择C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图像及交点坐标，判断关于x的不等式的解集是解答本题的关键．13．A【解析】【分析】由图知：一次函数与x轴的交点横坐标为3，且函数值y随自变量x的增大而减小，根据图形可判断出解集．【详解】解：直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），当x=3时，y=0，函数值y随x的增大而减小；根据y随x的增大而减小，因而关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b＞0或ax+b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．14．A【解析】【分析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．【详解】解：∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（-2，3），∴方程组111222y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是23x y =-⎧⎨=⎩，故选A.【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．15．A【解析】【分析】直接从一次函数的图象上即可得到答案.【详解】解：由题图可知，当x ＞﹣1时，y=kx b +＞0，则不等式0kx b +>的解集为1x >-.故选A.【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息. 16．C【解析】【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到两直线都过定点E ，得到本题结论．【详解】解：两直线都过定点E ，所以点E 表示关于x 、y 的二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，故选C ．【点睛】本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．【解析】【分析】联立y=－2x－4和y=4x＋b，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围：【详解】解：由244y xy x b=--⎧⎨=+⎩解得4683bxby+⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第三象限，∴4683bb+⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得48 bb>-⎧⎨<⎩∴－4＜b＜8．故选A．18．C【解析】【分析】根据函数图象交点左侧直线y=kx+b图象在直线y=mx图象的下面，即可得出不等式kx+b≤mx 的解集．【详解】解：由图可知，在x≥-1时，直线y=mx在直线y=kx+b上方，关于x的不等式kx+b≤mx的解是x≥-1．故选：C．本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．19．A【解析】【分析】根据一次函数的性质及一次函数与一元一次方程的关系对各结论逐一判断即可得答案.【详解】∵一次函数y=k x+b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3），∴x=2时，y=0，x=0时，y=3，∴关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；关于x 的方程3kx b +=的解为0x =， ∴①②正确，由图象可知：x>2时，y<0，故③正确，x<0时，y>3，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键.20．A【解析】【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．【详解】解：∵直线y ＝3x 和直线y ＝ax +b 交于点（1，3）∴方程3x ＝ax +b 的解为x ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组21．D【解析】【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．【详解】解：由题图可知：一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象交于(1，2)，所以方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解是：12x y =⎧⎨=⎩；故选：D ．【点睛】函数1y k x =与2y k x b =+的交点坐标就是方程组21y k x b y k x =+⎧⎨=⎩的解，明确此知识点是解题的关键．22．D【解析】分析：以函数的交点为分界线，然后看谁的图像在上面就是谁大．详解：根据函数图像可得：当x ＞2时，kx+b ＜ax ，故选C ．点睛：本题主要考查的是不等式与函数之间的关系，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是看懂函数图像．23．D【解析】【分析】根据一次函数y=ax+1与线段AB 有交点，求得-2≤a≤5，且a≠0，再解不等式组得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜，由题意得a≤4，据此a 的值为-2，-1，1，2，3，4，即可得整数a 的个数．【详解】解：把点A （﹣1，3）代入y ＝ax +1得，3＝﹣a +1，解得a ＝﹣2，把点B （﹣1，﹣4）代入y ＝ax +1得，﹣4＝﹣a +1，解得a ＝5，∵一次函数y ＝ax +1与线段AB 有交点，∴﹣2≤a ≤5，且a ≠0，解不等式组45365425x x a ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪--⎪⎩＜得18525x x a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜， ∵不等式组无解，∴a ﹣25 ≤185，解得：a ≤4，则所有满足条件的整数a 有：﹣2，﹣1，1，2，3，4．故选D ．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．24．B【解析】【分析】利用一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：①∵2y x a =+的图象与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＜0，故①错误；②∵1y kx b =+的图象从左向右呈下降趋势，∴k ＜0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为4，当x ＜4时，1y kx b =+ 在2y x a =+的图象的上方，即y 1＞y 2，故③正确；故选：B.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．利用数形结合是解题的关键.25．C【解析】【分析】【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，解得m=32．∴点A的坐标是（32，3）．∵当3x2<时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，∴不等式2x＜ax+4的解集为3x2 <．故选C．26．C【解析】【分析】【详解】解：把点（0，3）（a，0）代入，得b=3．则a=，∵，∴，解得：k≥1．故选C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．27．B【解析】【分析】根据一次函数12,y kx b y x a =+=+的图象及性质逐一分析可得答案．【详解】解：根据图象1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，故①③正确；∵2y x a =+与y 轴负半轴相交，∴a ＜0，故②错误；当x ＜3时，图象1y 在2y 的上方，所以：当x ＜3时，1y ＞2y ，故④错误．所以正确的有①③共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系，准确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．28．D【解析】【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x ＜1时，ax ＜bx+c ，推出x ＜1时，ax ＜bx+c ，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），当x ＞1时，ax ＞bx+c ，∴关于x 的不等式ax-bx ＞c 的解集为x ＞1．故选：D ．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键．29．D【解析】观察图象得到直线与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，所以当x＜2时，y＜0．【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，∴y随x的增大而增大，∴当x＜2时，y＜0．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y 随x的增大而减小.30．A【解析】【分析】仔细观察图象：①a的正负看函数y1＝ax＋b图象从左向右成何趋势，b的正负看函数y1＝ax＋b图象与y轴交点即可；②c的正负看函数y2＝cx＋d从左向右成何趋势，d的正负看函数y2＝cx＋d与y轴的交点坐标；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④看两直线都在x轴上方的自变量的取值范围．【详解】由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，∴ab＜0，故①正确；函数y＝ax＋d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②正确，由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax＋b图象在y2＝cx＋d的图象上方，∴ax＋b＞cx＋d的解集是x＜3，故③正确；∵一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象的交点的横坐标为3，∴3a＋b＝3c＋d∴3a−3c＝d−b，∴a−c＝13（d−b），故④正确，【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．。

第三节一次函数与方程(组)及一元一次不等式(含答案)...八年级数学学而思

第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式1.一次函数与一元一次方程的关系直线)0(=/+=k b kx y 与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx )0(0=/=+k b 的解，求直线b kx y +=与x 轴交点时，可令y=0，得到方程,0=+b kx 解方程得,kbx -= 直线b kx y +=交x 轴于kbk b --),0,(就是直线b kx y +=与x 轴交点的横坐标，注：①从“数”看：)0(0=/=+k b kx 的解⇔在一次函数)0(=/+=k b kx y 0,=y 中时，z 的值；②从“形”看：)0(0=/=+k b kx 的解⇔一次函数)0(=/+=k b kx y 的图象与x 轴交点的横坐标． 2.一次函数与一元一次不等式的关系(1)任何一元一次不等式都可以转化为0>+b ax 或ax+ b<0（a ，b 为常数，)0=/a 的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．(2)函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①图象1y 在图象2y 的上方,21y y >⇔如图9-3—1所示； ②图象1y 在图象2y 的下方,21y y <⇔如图9-3-2所示；139-- 239--③特别说明：图象y 在x 轴上方;0>⇔y 图象y 在x 轴下方 3．一次函数与二元一次方程（组）的关系(1) 一次函数的解析式)0(=/+=k b kx y 本身就是一个二元一次方程，直线k b kx y （+=)0=/上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程),0(=/+=k b kx y 因此二元一次方程的解也就有无数个．(2) 一次函数)0(=/+=k b kx y①从“数”看，它是一个二元一次方程：②从“形”看，它是一条直线．二元一次方程)0(=/+=k b kx y 的每一组解直线)0(=/+=k b kx y 上的每一个点的横、纵坐标方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222111b x k y b x k y 的解直线与1y 的交点的横纵坐标2y1.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解(1)二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 有唯一的解⇔直线11b x k y +=不平行于直线⇔+=22b x k y .21k k =/(2)二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 无解⇔直线11b x k y +=不平行于直线⇔+=22b x k y .21k k =(3)二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 有无数多个解⇔直线11b x k y +=与直线⇔+=重合22b x k y .21k k =⋅=/21b b2．比较两个函数大小的方法(1)画图象，求交点；(2)过交点作平行于y 轴的直线； (3)谁高谁大例1．(1)（山西忻州中考）如果一元一次方程03=-b x 的根x=2，那么一次函数b x y -=3的图象与x 轴的交点是( ))2,0.(A )0,2.(B )0,2.(-C )2,0.(-D(2)（江苏兴化中考）若关于x ，y 的二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-5121x y x y 的解是⎩⎨⎧==,14y x 则直线121-=x y 与5+-=x y 的交点坐标为)1,4.(A )4,1.(B )1,4.(-C )1,2.(D检测1.(1)（山东滕州中考）已知方程0=+b kx 的解是,3=x 则函数b kx y +=的图象可能是( )(2)（江苏江阴中考）若方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解是⎩⎨⎧=-=,32y x 则两条直线11b x k y +=和22b x k y +=的交点坐标为( ))3,2.(A )3,2.(-B )3,2.(-C )3,2.(--D例2．（广西南宁中考）如图9-3—1所示，已知函数2-=x y 和-=y 12+x 的图象交于点P ，根据图象可得方程组⎩⎨⎧=+=-122y x y x 的解是（）检测2.（山东乳山中考）如图9-3-2所示，直线4:1-=x y l 与直线334:2+-=x y l 相交于点（3，-l ），则方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-4943222y x y x 的解是⎩⎨⎧-==13.y x A ⎩⎨⎧=-=⋅31y x B ⎩⎨⎧-=-=31.y x C ⎩⎨⎧==13.y x D 例3．（鄂尔多斯中考）如图9-3-3所示，直线mx y =1经过P )1,2(和 )2,4(--Q 两点，且与直线b kx y +=2交于点P ，则不等式2->>+mx b kx 的解集为239-- 339-- 439--检测3.如图9-3-4所示，已知：函数b x y +=3和3-=ax y 的图象交于点),5,2(--P 则根据图象可得不等式33->+ax b x 解集是5.->x A 2.->x B 3.->x C 2.-<x D第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式(建议用时:30分钟)实战演练1．（广西桂林中考）直线b kx y +=过点A(O ，2)和点B （-3，0），则方程0=+b ax 的解是( )2.=x A 0.=x B 1.-=x C3.-=x D2．（安徽蛹桥中考）一次函数1+=x y 和一次函数22-=x y 的图象的交点坐标是(3，4)，据此可知方程组⎩⎨⎧=--=-221y x y x 的解为( ) ⎩⎨⎧==43.y x A ⎩⎨⎧==34.y x B ⎩⎨⎧-=-=43.y x C ⎩⎨⎧-=-=34.y x D 3．（重庆中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x 的解为⎩⎨⎧==,32y x 则一次函数x y -=5与12-=x y 的交点坐标为( ))3,2.(A )2,3.(B )3,2.(-C )3,2.(-D4．（广西百色中考）直线3+=kx y 经过点),1,2(A 则不等式03≥+kx 的解集是( )3.≤x A 3.≥x B 3.-≥x C 0.≤x D5．（四川省资阳中考）已知关于x 的方程43=+mx 的解为,1=x 则直线3)2(--=x m y 一定不经过第象限． 6．（江苏拱墅中考）已知y 关于x 的一次函数,8-=kx y 函数图象经过点),2,5(-则当=k 时，y 的最大值是33≤≤-x7．（甘肃兰州永登县期末）如图9-3 -1所示，已知一次函数b ax y +=的图象为直线，则关于x 的方程1=+b ax 的解=x139--8．（江苏徐州中考）已知一次函数b ax y +=（a ，b 为常数），x 与y 的部分对应值如下表：那么方程0=+b ax 的解是．不等式0>+b ax 的解集是9．（山东省东营中考）如图9-3-2所示，直线b x y +=与直线6+=kx y 交于点P(3，5)，则关于x 的不等式6+>+kx b x 的解集是10．（山东寿光中考）观察图象9-3-3，可以得出不等式组⎩⎨⎧>+->+015.001x 3x 的解集是239-- 339-- 439--11．（青海西宁中考）如图9_3 - 4所示，直线b kx y +=经过A （一1，1）和)0,7(-B 两点，则关于x 的不等式组x b kx -<+<0的解集为12.（北京市中考）如图9-3-5所示，在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,6(-A 的直线1l 与直线x y l 2:2=相交于点).4,(m B(1)求直线1l 的表达式：(2)过动点)0,(n P 且垂直于x 轴的直线与21,l l 的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，写出x 的取值范围，539--拓展创新13.（河北迁安中考）如图9-3-6所示，函数x y 2=和4+=ax y 的图象相交于点),3,(m A 则方程42+=ax x 的解为( )23.=x A 3.=x B 23.-=x C 3.-=x D拓展1．在13题的条件下，试利用图象求不等式组x ax 240<+<的解集，解集为拓展2．在13题的条件下，利用图象求不等式4|42|<--ax x 的解集，解集为拓展3．在13题的条件下，若函数4+=ax y 的图象与z 轴的交点为B ，在坐标平面内确定一点C ，使以点0，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形．这样‘的点C 有几个？直接写出它们的坐标．极限挑战14.对于三个数,,,c b a 用},,min{c b a 表示这三个数中最小的数，例如，}3,2,1min{-,1-=⎩⎨⎧->--≤=-),1(1)1(},2,1min{a a a a 那么观察图象9-3-7，可得到,1min{+x }12,2--x x 的最大值为639-- 739--答案。

一次函数与一元一次方程、不等式

9．如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式－2＜kx＋b＜1的解集为________________．
2
易错小结
－1＜x＜2
易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐标的关系不理解导致出错(数形结合思想).
例1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋ b的图象，然后观察出直线y＝ ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值．
导引：
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的图象，如图所示，由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)，所以x＝3.
3
C
已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是( ) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1
4
C
【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
5
B
【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝－2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
2
已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1 200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟； ②小刚从家出发5分钟时乘上公交车； ③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题-2023年初中数学8年级下册同步压轴题(学生版)

专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题类型一、一次函数与方程综合例．如图，一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标为()2,0-，则下列说法正确的有( )．A ．y 随x 的增大而减小B ．0k >，0b <C ．当2x >-时，0y <D ．关于x 的方程0kx b +=的解为2x =-【变式训练1】直线y ＝ax +b (a ≠0)过点A (0，2)，B (1，0)，则关于x 的方程ax +b ＝0的解为( ) A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝3【变式训练2】如图，直线y ＝kx +b (k ≠0)与x 轴交于点(﹣5，0)，下列说法正确的是( )A ．k ＞0，b ＜0B ．直线y ＝bx +k 经过第四象限C ．关于x 的方程kx +b ＝0的解为x ＝﹣5D ．若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线y ＝kx +b 上的两点，若x 1＜x 2，则y 1＞y 2【变式训练3】如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,4，则下列结论正确的是( )A ．图像经过一、二、三象限B ．关于x 方程0kx b +=的解是4x =C ．0b <D ．y 随x 的增大而减小【变式训练4】一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图所示，则关于x 的不等式20kx b +>的解集是( )A ．2x >-B ．2x <-C ．2x <D ．2x >类型二、一次函数与不等式综合例．如图，已知函数y ＝3x +b 和y ＝ax ﹣3的图象交于点P (﹣2，﹣5)，则根据图象可得不等式3x +b ＞ax ﹣3的解集是( )A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．﹣2＜x ＜0D ．x ＞0【变式训练1】如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ＞0)的图像过点()1,0-，则不等式()20k x b -+>的解集是( )A ．x ＞－3B ．x ＞－2C ．x ＞1D ．x ＞2【变式训练2】如图，一次函数y =kx +b 的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x 的不等式0<kx +b <4的解集是______．【变式训练3】如图，一次函数y =kx +b 与y =x +2的图象交于点P (m ，5)，则关于x 的不等式kx +b >x +2的解集是______．【变式训练4】如图，直线y 1＝x ＋b 与y 2＝kx ﹣1相交于点P ，点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不等式kx ﹣1＜x ＋b 的解集为______．课后训练1．已知不等式0ax b +<的解是2x >-，下列有可能是函数y ax b =+的图像的是( )A ．B ．C ．D ．2．如图所示为两个一次函数的图象，则关于x ，y 的方程1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为________．3．函数y ax =和y kx b =+的图象相交于点()2,1A -，则方程ax kx b =+的解为______．4．已知一次函数y kx b =-(k 、b 为常数，且0k ≠，0b ≠)与13y x =的图象相交于点1(,)2M a ，则关于x 的方程1()3k x b -=的解为x =____________． 5．如图，直线1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+相交于点()1,2P ，则关于x 的不等式1x mx n +≥+的解集为______．6．如图，直线1y kx =+与直线2y x b =-+交于点()1,2A ，由图象可知，不等式12kx x b +≥-+的解为______．7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线()0y kx b k =+≠相交于点()2,3P ．根据图象可知，关于x 的不等式21x kx b ->+的解集是______8．如图，直线l 1：y 1＝ax +b 经过(﹣3，0)，(0，1)两点，直线l 2：y 2＝kx ﹣2；①若l 1∥l 2，则k 的值为 _____；②当x ＜1时，总有y 1＞y 2，则k 的取值范围是 ________．9．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A (3，0)，与y 轴交于点B (0，4)，与正比例函数y ax =的图象交于点C ，且点C 的横坐标为2，则不等式ax kx b <+的解集为______．10．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3(x﹣6)相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．。

中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系

一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图第2题图第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01．如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02．若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03．两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04．已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01．已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02．如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积．演练巩固·反馈提高 01．已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602．已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图第6题图03．如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04．直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205．直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206．如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07．若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08．已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09．已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。

一次函数与方程组、不等式的关系

一次函数与方程组、不等式的关系
一次函数与方程组、不等式的关系
一、概述
一次函数，又称一元函数，是利用一个变量由常数、指数、对数、三
角函数和其他的混合动态变量构成的函数。

它可以以简单的一次曲线
定义某一参数变化情况，也可以定义涉及多个变量的复杂方程组，对
曲线参数进行函数式分析和证明。

一次函数可以看做是方程组和不等
式的特例，与方程组、不等式关系密切。

二、一次函数与方程组的关系
一次函数可以看做方程组的特殊情况，当某一方程只有一个未知数时，它就可以转换成一次函数，并有着一定的图形表示，简化了对其进行
分析的过程，极大的提高了效率。

如当一组方程组均为一个未知数冚
构成时，若满足一次函数的性质，那么这组方程组就可以看做是一次
函数的特殊情况。

例如，若我们有一组以y=2x+1构成的一次函数，那么它就可以表示为
形如y-2x-1=0的方程，也就是图形上红色一次函数曲线对应着满足蓝
色方程线的点。

三、一次函数与不等式的关系
与方程组类似，不等式也可以通过一次函数转换，当某一不等式只有一个未知数构成时，就可以用一次函数进行表示，并且由于不等式的加减性，不同类型的不等式有着不同的图形表示。

例如，当y<2x+1的不等式表达式转换为一次函数时，我们可以得到一条红色的上限函数曲线，它就可以表示不等式表达式所给出的结果，也就是解空间位于红色曲线之下的点才符合不等式表达式。

四、总结
一次函数与方程组、不等式的关系密切，它们各自都可以通过对另一个的转换来进行数学分析和求解，而一次函数的表示也简化了数学求解的难度，可以有效的提高效率。

分式方程、不等式组、一次函数的综合应用

例1、（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽
车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份
A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相
同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额
只有90万元。（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万
元？列分式方程解应用题的一般步骤是什么？
80000 64000
400 a
a
a=1600 经检验，a=1600是原方程的解，且符合题意 ∴每台电冰箱：a+400=1600+400=2000
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的
进价为2000元。
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于 13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
这道题考查了哪些知识？
分式方程，不等式组，一次函数的综合应用
内江二中邓欢
（2015•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
用什么方法？
一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的性质
（1）当k>0时，y随x的增大而＿增大（2）当k＜0时，y随x的增大而＿减小
例1、（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有 90万元．（3）在（2）的条件下，哪种方案的所用的总资金最少，最少资金为多少？

一次函数与一次方程,一次不等式的关系

一次函数与一次方程,一次不等式的关系知识点：一、一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。

求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。

直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。

例题解析一、一次函数与一元一次方程综合已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______．二、一次函数与一元一次不等式综合1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当x=3/2时，y 的值；（3）求出当y=-3时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=02.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____4.已知一次函数y=-2x+3（1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化?（2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______．6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______．5题图 7题图8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当x=2时，y 的值；（2）x 为何值时，y<0？（3）当-2<x<1时，x 的值范围；（4）当-2<y<1时，y 的值范围．。