工程数值方法

工程数值方法

学习内容：

Chapter 1 线性代数方程组的数值解法

Chapter 2 插值问题与数值微分

Chapter 3 数值积分方法

Chapter 4 常微分方程(组)初值问题的数值方法

Chapter 5 常微分方程(组)边值问题的数值方法

Chapter 6 椭圆型偏微分方程的数值方法

Chapter 7 加权残值方法

参考书目：

[1]武汉大学、山东大学合编，计算方法，高教版，1979

[2]林成森编，数值计算方法（上、下），科学出版社，2000

[3]中科院研究生数学丛书，工程中的数值方法，科学出版社，2000

[4]曾绍林编，工程数学基础（研究生数学丛书），科学出版社，2001

[5]李庆扬编，数值分析基础教程，高等教育出版社，2002

[6]李庆扬编，数值分析（第4版），清华版，2003

[7]关治编，数值计算方法，清华版，2004

[8]李岳生、黄有谦编，数值逼近，高教版，1978

[9]李荣华编，微分方程数值解法，人教版，1980

[10]邱吉宝编著，加权残值法的理论与应用，宇航版，1992

Chapter 1 线性代数方程组的数值解法

线性代数方程组的求解是工程实践中最常遇到的问题。据不完全统计，在工程实践中提出的计算问题中，有近一半涉及到求解线性方程组。例如：结构有限元分析问题，大地测量问题，气象预报问题，电力传输网分析问题，各种电路分析问题，数据拟合问题，以及非线性方程组与微分方程的数值求解问题等等。因此，学习并掌握线性代数方程组求解的基本理论与方法无疑是十分必需的。

本章将介绍目前一些利用计算机求解线性代数方程组常用的、且简单有效的数值方法。

求解线性方程组的数值方法尽管很多，但归并起来可分为两大类：

（1）直接法（精确法）

凡经有限次的四则运算，若运算中没有舍入误差即可求得方程组精确解

LDL 的方法。如：克莱姆（Cramer）法则方法、消元法、LD分解法、T

分解法等等。

（2）迭代法（近似法）

将求解方程组的问题转化为构造一个无限迭代的序列，在实现该序列过

程中的每一步计算结果，均是把前一步所得的结果施行相同的计算步骤

进行修正而获得的，而这一无限序列的极限就是原方程组的精确解答。

如：简单迭代法、赛德尔迭代法、牛顿法、共轭斜量法等等。

需要指出的，在一般情况下，我们使用直接法和迭代法两类方法都不可能完全获得原方程组的精确解答。原因很显然：（1）实际中在使用直接法时不可能没有数值计算的舍入误差，故此时所谓精确方法的解并不是绝对精确的；（2）实际中在使用迭代法时，不可能将极限过程无限进行到底，而只能进行有限次的迭代，故获得是满足精度要求的近似解答。

关于这两类方法求解的误差分析，我们将在每类方法的介绍之后进行简要讨论。

§1.1 直接法—Cramer 法则与求逆方法

设n 元n 个非齐次线性代数方程组为：

11112211

21122222

1122............n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩ (1.1) 利用矩阵和向量符号，这个方程组可表为:

Ax b = (1.2)

其中,ij n n

A a ⨯⎡⎤=⎣⎦

——方程组（1.1）的系数矩阵（n n ⨯阶方阵）；

12(,,...,)T n b b b b =——方程组（1.1）的右端已知向量（n 阶列阵）； 12(,,...,)T n x x x x =——方程组（1.1）待求的解向量（n 阶列阵）。

§1.1.1 Cramer 法则

由线性代数中关于线性方程组解的定理可知：

若A 的行列式det 0A A =≠，则方程组（1.1）有唯一解。此时，根据Cramer 法则，其解的表达式为：

det (1,2,...,)det j

j A x j n A

=

= (1.3)

其中，111,111,11212,122,121,1,1,...,,,,...,,...,,,,...,det (1,2,...,)...

,...,,,,...,j j n

j j n j n n j n n j nn

a a

b a a a a b a a A j n a a b a a -+-+-+=

=

即将det A 中的第j 列元素依次换为右端已知向量b 的元素所构成的n 阶方阵的行列式。

易见，利用Cramer 法则给出的（1.3）式求解n 阶线性方程组（1.2）式，需要计算(1)n +个n 阶行列式，而每个n 阶行列式将有!n 项，其中每一项又含有n 个因子，故展开每一个n 阶行列式仅乘法运算就需(1)!n n -次（忽略加法运算次数），

而对(1)n +个n 阶行列式，其乘法运算的次数为：2

(1)(1)!(1)!n n n n n +•-=-

对式（1.3）其除法次数为：n

故求解方程组（1.2）其乘法和除法总的运算次数为：2

(1)!N n n n =-+次 例如，若20n =阶，则20

9.707310N =⨯次

这是一个十分惊人的数字，即使利用超高速的电子计算机能够胜任此计算次数，仅由于多个数的连乘亦有可能造成溢出而无法继续运算。因此，Cramer 法则这个在理论上完善且精确的求解方法，仅在理论上和一些特殊情况下可以发挥作用，而对高阶线性代数方程组的实际求解中几乎没有多少实用价值。为此，人们不得不研究其它一些计算简单、且行之有效的求解方法。

§1.1.2 求逆方法

若det 0A ≠，则A 非奇异，即1

A -存在，则方程组（1.2）的解向量可表为：

1x A b -= （1.4）

常用的矩阵求逆方法有：（1）伴随矩阵法；（2）初等变换法；

但当方阵A 的阶数n 较大时，求逆非常麻烦且计算量很大。故对高阶线性代数方程组来说，求逆方法也是一种中看不中用的方法。