工程数值方法
工程数值方法
工程数值方法工程数值方法是一种应用数学的方法，通过数值计算和近似方法来解决工程问题。
它在工程领域中得到广泛应用，包括结构分析、流体力学、电磁场计算等。
工程数值方法的基本思想是将连续的物理问题离散化，转化为离散的代数问题，然后通过数值计算的方式求解。
离散化是将连续的问题转化为离散的网格或节点上的问题，通过在离散点上进行逼近，得到问题的近似解。
在工程数值方法中，最常用的方法之一是有限元方法。
有限元方法将连续域划分为有限数量的单元，通过在每个单元上建立适当的数学模型，得到整个域的近似解。
有限元方法具有广泛的适用性，可以用来解决结构分析、流体力学、热传导等各种工程问题。
另一个常用的工程数值方法是有限差分方法。
有限差分方法将连续域上的函数值用离散的差分逼近，通过差分方程求解得到问题的近似解。
有限差分方法适用于求解偏微分方程，常用于流体力学、电磁场计算等问题。
工程数值方法还包括其他一些方法，如边界元法、谱方法、网格方法等。
这些方法在不同的工程领域中有不同的应用。
例如，边界元法适用于求解边界上的问题，如电场、磁场等；谱方法适用于求解周期性问题，如光学传输、波动现象等。
工程数值方法的优点是可以求解复杂的工程问题，提供近似解的精度和稳定性可控。
然而，工程数值方法也存在一些局限性。
首先，数值计算过程中引入了误差，可能导致结果的不准确性。
其次，离散化过程需要选择适当的网格或节点，不当的选择可能会影响结果的精度和稳定性。
此外，某些问题可能需要大量的计算资源和时间来求解，限制了方法的应用范围。
工程数值方法是一种重要的工程问题求解方法，通过数值计算和近似方法来解决复杂的工程问题。
它在工程领域中发挥着重要的作用，为工程设计和分析提供了有效的工具和手段。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数值方法，并注意误差控制和计算效率。
土建工程量计算规则汇总
土建工程量计算规则汇总1.图纸测量法：根据施工图纸中的尺寸，通过测量和计算，确定各种构件的尺寸和数量。
这是最常用的工程量计算方法之一、在进行计算时，应仔细阅读和理解图纸，注意不同构件之间的连接和重叠关系。
2.单位工程量法：通过对施工过程中各项工作的单位工程量进行计算，来确定工程的总量。
例如，对于砌筑工程，可以按照每平方米的砌筑面积来计算砖块的数量和砂浆用量。
对于混凝土工程，可以按照每立方米的混凝土量来计算水泥、骨料和石膏的用量。
3.经验法：根据以往类似工程项目的经验数据，进行估算和推算。
这种方法通常用于初步设计和预算编制阶段，以帮助确定施工方案和可行性分析。
虽然经验法不够准确，但可以为工程项目提供快速参考。
4.三视图法：通过对工程构件的三视图（平面图、立面图和剖面图）进行测量和计算，确定构件的尺寸和体积。
这种方法适用于体积较大或复杂的构件，如钢筋混凝土结构的柱子和梁等。
5.区域法：将工程项目按照功能和空间划分为不同的区域，然后对每个区域进行独立计算。
这种方法适用于大型综合性工程项目，可以提高计算的准确性和可行性。
6.序列法：按照工程施工的顺序和步骤，对每个施工阶段的工程量进行计算。
这种方法适用于施工时间较长或需要分批施工的工程项目，可以帮助掌握工程进度和资源需求。
7.数量清单法：根据具体施工方案和设备材料清单，逐项列出施工中所需的设备、材料和人工工时等数量。
这种方法对工程项目的材料和设备管理非常重要，可以避免材料和设备的浪费和损失。
总之，土建工程量计算是工程项目的重要环节，需要综合运用多种方法和规则。
在进行工程量计算时，应严格遵守相关规范和标准，并结合实际情况进行合理调整和估算，以确保工程质量和施工进度的顺利进行。
数值计算方法及其在工程中的应用
数值计算方法及其在工程中的应用数值计算是以计算机为工具，通过数值分析、计算和模拟等手段，对实际问题进行数值模拟和解析的一种方法。
它在科学计算、工程技术和经济管理等领域都有广泛的应用。
本文将从数值计算方法的基本原理、常见方法及其在工程中的应用等方面进行探讨。
一、数值计算方法的基本原理1.数学模型数学模型是研究问题的基础。
它在数值计算中的作用，就相当于实验中的试验模型。
数学模型的形式很多，例如微分方程、积分方程、概率模型等等。
这些模型中的各个参量和变量都需要通过实际测量或计算得到。
2.离散化在数值计算过程中，数学模型需要离散化，将其转化为有限个变量的函数。
这样才能实现数值计算的可行性。
离散化一般是将问题分成若干个小部分，每个小部分单独处理，并用数值计算方法连接起来。
3.差分格式差分格式是数值计算的核心内容之一。
它是一种将微分方程转化为差分方程的方法。
在差分格式中，一般使用有限差分法，通过对问题进行离散，用有限差分法求得差分方程的解，然后通过插值等一系列方法将其还原为原问题的解。
4.误差分析误差分析是数值计算过程中必不可少的一部分。
由于数值计算不能完全精确，因此需要对数值结果的误差进行分析。
误差分为截断误差、舍入误差、稳定性误差等等。
误差分析不仅能够评估计算精确度，还能够指导计算过程的优化。
二、数值计算方法的常见方法1. 数值积分数值积分是数值计算的基本内容之一。
它的主要目的是从一定的数据集中寻找积分值。
数值积分算法常见的有梯形公式、辛普森公式、高斯公式等。
数值积分广泛应用于工程领域，特别是在机械工程、电力工程和天文学上，能够帮助工程师更好地处理与积分有关的问题。
2. 数值微分数值微分是利用离散化的方法，对微分算子逼近的一种方法。
数值微分算法常见的有欧拉法、龙格 -库塔法等。
数值微分主要在数值模拟和优化处理方面发挥作用，例如在工程领域应用中，可以帮助工程师根据实际数据得出微分值，以评估机器设备的效果。
数值计算方法在工程问题求解中的应用
数值计算方法在工程问题求解中的应用一、引言数值计算方法是一种常见的数学计算方法，广泛应用于工程问题求解，特别是在工程设计、仿真和优化中。
本文将探讨数值计算方法在工程问题求解中的应用，包括基本概念、常见方法以及案例分析。
二、数值计算方法基本概念数值计算方法是一种数学计算方法，用于解决无法解析求解的数学问题。
它可以将数学模型转换为数字模型，并利用计算机进行计算和求解。
数值计算方法主要包括离散化、数值逼近、数值积分、数值微分和常微分方程数值解等。
离散化是将连续的数学模型转换为离散的数字模型，常见的方法包括有限元、有限差分和边界元等。
数值逼近是用有限个已知数据点来逼近连续函数，逼近函数的形式可以是多项式、三角函数或者其他函数形式。
数值积分是用数值方法来计算定积分的值，包括复合梯形、复合辛普森、高斯积分等。
数值微分是利用差商和极限方法计算函数的导数或者偏导数。
常微分方程数值解是用数值方法求解微分方程的解，包括欧拉法、梯形法、四阶龙格库塔法等。
三、数值计算方法常见应用数值计算方法在工程问题求解中有许多常见应用，包括以下几个方面：1. 工程设计与优化工程设计和优化往往需要大量复杂计算，数值计算方法可以将这些计算自动化，减少计算时间和成本。
例如，有限元法在结构分析中广泛应用，可以计算出结构的应力、应变、变形、自然频率等，并进行结构优化。
数值优化方法如遗传算法、模拟退火等常用于寻找工程设计最优解。
2. 工程仿真与模拟数值计算方法可以模拟并预测复杂现象，例如流体力学、热传递、电磁场等。
数值化仿真也可以用于评估工程方案的可行性和实用性。
例如，有限元法可以模拟热传导和流体力学现象，有限差分法可以模拟电磁场和光学现象。
3. 统计分析和数据处理数值计算方法可以用于处理和分析大量的数据，例如在工程实验和测试中所获得的数据。
数值计算方法可以通过数据拟合、回归分析等方法来分析数据的规律和趋势，提高数据分析的准确性和可靠性。
4. 控制系统分析与设计数值计算方法可以用于分析并优化复杂的控制系统，例如电机控制、自动化控制等。
岩土工程数值计算方法
岩土工程数值计算方法
岩土工程数值计算方法牛不牛？那绝对超厉害！咱先说说这步骤哈。
首先得收集岩土工程的各种数据，就像大厨准备食材一样，一点都不能马虎。
然后建立数学模型，这就好比给房子搭框架，得结实。
接着进行计算求解，这过程就像赛车冲刺，紧张又刺激。
注意事项可不少呢！数据得准确呀，要是数据错了，那不就像在沙漠里找大海，瞎忙活嘛！模型选择也得合适，不然就像穿小鞋走路，难受得很。
再说说安全性和稳定性。
这可太重要啦！要是不稳定，那不是像在摇摇欲坠的桥上走，提心吊胆嘛！所以在计算过程中一定要确保结果的可靠性，不然出了问题可不得了。
应用场景那可多了去了。
比如在建筑工程中，可以预测地基的沉降，这就像给大楼安了个保险。
在隧道工程中，能分析围岩的稳定性，就像给隧道穿上了铠甲。
优势也很明显啊，省时省力还精准，比起传统方法，那简直是鸟枪换炮。
举个实际案例，有个大型建筑项目，用了岩土工程数值计算方法，提前预测了各种问题，及时调整方案，最后顺利完工。
这效果，杠杠的！
岩土工程数值计算方法就是这么厉害，能解决实际问题，让工程更安全、更高效。
咱就该大胆地用起来，让它为我们的工程建设助力。
数值计算方法在工程领域中的应用案例
数值计算方法在工程领域中的应用案例引言：数值计算方法是一种基于数值模型和计算机模拟的技术，通过数学方法和算法来处理和求解实际问题。
它在工程领域中起到了至关重要的作用，帮助工程师们优化设计、分析复杂问题以及减少试错成本。
本文将介绍几个数值计算方法在工程领域中的应用案例，展示其在提高效率和准确性方面的突出贡献。
应用案例一：有限元法在结构分析中的应用有限元法是一种常用的结构力学分析方法，可用于预测和优化结构的行为。
在航空航天工程领域，有限元法可以用来模拟飞机翼的强度和刚度，以确保其在飞行过程中的安全性。
通过将结构划分为小块，建立离散的数学模型，并通过求解这些模型的方程组来计算结构的应力和位移。
这种方法不仅可以准确地预测结构的响应，还可以指导工程师进行优化设计和材料选择。
应用案例二：计算流体力学在汽车空气动力学中的应用计算流体力学（CFD）是一种数值方法，用于求解流体力学问题。
在汽车工程中，CFD可以帮助工程师们预测汽车在高速行驶时的空气动力学性能，如阻力、升力和气动稳定性。
通过对车身的几何形状建模，并应用流体力学方程和边界条件，可以模拟空气流动，并得到涡流、流速和压力分布等关键参数。
这些结果为汽车设计师提供了宝贵的指导，帮助他们改进车身外形和增加燃油效率。
应用案例三：有限容积法在燃烧工程中的应用有限容积法是一种常用的数值模拟方法，主要应用于燃烧工程领域。
在燃烧室的设计和优化中，有限容积法可以帮助工程师们预测燃料在燃烧过程中的温度、浓度和速度分布。
通过将燃烧室划分为小的控制体积，并在每个控制体积内求解质量守恒、能量守恒和动量守恒方程，可以得到详细的燃烧过程模拟结果。
这些结果对于改进燃烧效率、降低排放和预测火灾风险具有重要意义。
应用案例四：有限差分法在地下水流动模拟中的应用有限差分法是一种常用的数值解法，用于求解偏微分方程。
在地下水工程领域，有限差分法可以用于模拟地下水的流动和污染传输。
通过将区域划分为小的控制体积，将水流和污染物的传输过程离散化，并通过迭代求解差分方程组，可以预测地下水位、水流速度和污染物浓度的变化。
工程科学计算方法研究及应用
工程科学计算方法研究及应用工程科学计算方法是一门集数学、计算机和工程学等学科于一体的交叉学科，是许多领域如航空航天、机械、电子、化工、土木等工程领域中不可或缺的一门技术。
本文将探讨工程科学计算方法在工程领域中的研究和应用。
一、概述随着计算机在工程领域中的广泛应用，工程计算方法也愈加重要。
工程科学计算方法主要涉及到数值方法、统计方法、最优化方法、概率方法等多方面的研究。
通过运用这些方法，我们可以准确地计算出复杂的数学模型。
这样一来，我们就可以通过计算机模拟出工程结构的响应，这对于工程的设计和生产具有重要的作用。
二、数值方法数值方法是工程科学计算方法中最基础的分支之一。
它是通过数值计算的方法来解析工程计算中遇到的复杂数学问题。
数值方法的应用领域非常广泛，例如解析微分方程、数值求积、线性代数和优化等等。
以航空航天领域为例，早期的研究主要是过度依赖试验，成本高且效率低下。
而可靠的数值方法则可以更加快捷、高效地模拟出系统的性能，从而优化设计方案。
比如，数值实验技术可以帮助工程师评估一架飞机的结构受到连续的气动压力之后的响应情况。
这种分析可以帮助工程师设计出更加稳健和耐久的结构，并提高飞机的性能。
当然，数值方法虽然可靠且高效，但也并非万能。
有时候，在求解非常大的问题时，数值方法可能无法获得最佳的机器精度。
因此，工程师需要对数值方法的结果进行充分的分析和评估。
三、统计方法统计方法是另一种被广泛运用于工程计算中的方法。
它主要是用来分析模型和实验数据，以帮助我们更好地理解和解释一些数据。
统计方法的应用非常广泛，例如在质量管理中应用中，我们可以通过掌握一定的统计方法来对产品瑕疵、不良品率等进行更为精准的控制。
在航空航天领域，统计方法也十分经常地被运用。
例如，在航班安全分析中，统计方法可以用来评估机上仪表的可靠性和准确性等，以保障飞机的安全飞行。
与此类似，在飞机维护过程中，统计方法也可以用来预测机器的寿命，以帮助机务人员制定最佳的维护计划。
土木工程中的数值计算方法
土木工程中的数值计算方法土木工程是以科学技术为基础、以实践为基本特征的工程领域，在土木工程中，数字计算方法是不可或缺的工具。
数字计算方法是一种通过计算机模拟和分析数学公式来解决实际问题的方法，降低了工程设计和实施所需的时间和成本。
数值计算方法在土木工程中的应用数值计算方法在土木工程中广泛应用于结构分析、渗流分析、地震工程、岩土工程、计算流体力学等领域。
具体应用包括集中集成法、刚度法、位移法、边界元法、有限元法、有限差分法等。
集中集成法集中集成法是计算物理系统过程的方法。
该方法将物理系统离散为若干有限的小元素，运用数学计算方法计算出每个元素的特性，再将其集合起来计算系统的特性。
例如，在结构分析中，通过运用该方法，结构被离散为许多子元素，分析每个子元素的力学特性，再将其组合起来来计算整个结构的力学特性。
刚度法刚度法，又称力法，基于每一个小元素的受力平衡条件，通过分析结构杆件内部的应力和位移关系，计算整个结构的的应力和位移。
该方法依赖于结构杆件受力平衡的基本原理，在结构分析中应用广泛。
位移法位移法是一种通过分析长度、角度和应力变形来计算结构位移的方法。
位移法依赖于结构位移与应变的关系，其基本原理是遵从结构杆件内部相对路径的原理。
边界元法边界元法，是一种通过边界条件来计算复杂物理系统的方法。
该方法将物理系统接近一点外部的边界划分成离散的小元素，计算出每个元素的特性，然后将信息集中到系统的边界上，通过边界条件求解整个系统的特性。
有限元法有限元法是一种通过将物理系统离散成大量的有限元素来计算整个系统的特性的方法。
有限元素对整个系统进行数学建模，而后在计算机中进行数值计算，最终得到系统的特性，该种方法在样品测试不可行时用于计算连续系统和非线性系统的性能特征。
有限差分法有限差分法是计算物理系统泛化特征的方法。
该方法通过对空间内的物理系统进行数学模拟，将其离散为若干个小元素，通过求解差值的迭代方法取得解。
有限差分法在计算流体力学领域、地震工程领域、岩土工程领域等方面得到广泛使用。
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工程数值方法学习内容：Chapter 1 线性代数方程组的数值解法Chapter 2 插值问题与数值微分Chapter 3 数值积分方法Chapter 4 常微分方程(组)初值问题的数值方法Chapter 5 常微分方程(组)边值问题的数值方法Chapter 6 椭圆型偏微分方程的数值方法Chapter 7 加权残值方法参考书目：[1]武汉大学、山东大学合编，计算方法，高教版，1979[2]林成森编，数值计算方法（上、下），科学出版社，2000[3]中科院研究生数学丛书，工程中的数值方法，科学出版社，2000[4]曾绍林编，工程数学基础（研究生数学丛书），科学出版社，2001[5]李庆扬编，数值分析基础教程，高等教育出版社，2002[6]李庆扬编，数值分析（第4版），清华版，2003[7]关治编，数值计算方法，清华版，2004[8]李岳生、黄有谦编，数值逼近，高教版，1978[9]李荣华编，微分方程数值解法，人教版，1980[10]邱吉宝编著，加权残值法的理论与应用，宇航版，1992Chapter 1 线性代数方程组的数值解法线性代数方程组的求解是工程实践中最常遇到的问题。
据不完全统计，在工程实践中提出的计算问题中，有近一半涉及到求解线性方程组。
例如：结构有限元分析问题，大地测量问题，气象预报问题，电力传输网分析问题，各种电路分析问题，数据拟合问题，以及非线性方程组与微分方程的数值求解问题等等。
因此，学习并掌握线性代数方程组求解的基本理论与方法无疑是十分必需的。
本章将介绍目前一些利用计算机求解线性代数方程组常用的、且简单有效的数值方法。
求解线性方程组的数值方法尽管很多，但归并起来可分为两大类：（1）直接法（精确法）凡经有限次的四则运算，若运算中没有舍入误差即可求得方程组精确解LDL 的方法。
如：克莱姆（Cramer）法则方法、消元法、LD分解法、T分解法等等。
（2）迭代法（近似法）将求解方程组的问题转化为构造一个无限迭代的序列，在实现该序列过程中的每一步计算结果，均是把前一步所得的结果施行相同的计算步骤进行修正而获得的，而这一无限序列的极限就是原方程组的精确解答。
如：简单迭代法、赛德尔迭代法、牛顿法、共轭斜量法等等。
需要指出的，在一般情况下，我们使用直接法和迭代法两类方法都不可能完全获得原方程组的精确解答。
原因很显然：（1）实际中在使用直接法时不可能没有数值计算的舍入误差，故此时所谓精确方法的解并不是绝对精确的；（2）实际中在使用迭代法时，不可能将极限过程无限进行到底，而只能进行有限次的迭代，故获得是满足精度要求的近似解答。
关于这两类方法求解的误差分析，我们将在每类方法的介绍之后进行简要讨论。
§1.1 直接法—Cramer 法则与求逆方法设n 元n 个非齐次线性代数方程组为：11112211211222221122............n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1.1) 利用矩阵和向量符号，这个方程组可表为:Ax b = (1.2)其中,ij n nA a ⨯⎡⎤=⎣⎦——方程组（1.1）的系数矩阵（n n ⨯阶方阵）；12(,,...,)T n b b b b =——方程组（1.1）的右端已知向量（n 阶列阵）； 12(,,...,)T n x x x x =——方程组（1.1）待求的解向量（n 阶列阵）。
§1.1.1 Cramer 法则由线性代数中关于线性方程组解的定理可知：若A 的行列式det 0A A =≠，则方程组（1.1）有唯一解。
此时，根据Cramer 法则，其解的表达式为：det (1,2,...,)det jj A x j n A== (1.3)其中，111,111,11212,122,121,1,1,...,,,,...,,...,,,,...,det (1,2,...,)...,...,,,,...,j j nj j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a A j n a a b a a -+-+-+==即将det A 中的第j 列元素依次换为右端已知向量b 的元素所构成的n 阶方阵的行列式。
易见，利用Cramer 法则给出的（1.3）式求解n 阶线性方程组（1.2）式，需要计算(1)n +个n 阶行列式，而每个n 阶行列式将有!n 项，其中每一项又含有n 个因子，故展开每一个n 阶行列式仅乘法运算就需(1)!n n -次（忽略加法运算次数），而对(1)n +个n 阶行列式，其乘法运算的次数为：2(1)(1)!(1)!n n n n n +•-=-对式（1.3）其除法次数为：n故求解方程组（1.2）其乘法和除法总的运算次数为：2(1)!N n n n =-+次 例如，若20n =阶，则209.707310N =⨯次这是一个十分惊人的数字，即使利用超高速的电子计算机能够胜任此计算次数，仅由于多个数的连乘亦有可能造成溢出而无法继续运算。
因此，Cramer 法则这个在理论上完善且精确的求解方法，仅在理论上和一些特殊情况下可以发挥作用，而对高阶线性代数方程组的实际求解中几乎没有多少实用价值。
为此，人们不得不研究其它一些计算简单、且行之有效的求解方法。
§1.1.2 求逆方法若det 0A ≠，则A 非奇异，即1A -存在，则方程组（1.2）的解向量可表为：1x A b -= （1.4）常用的矩阵求逆方法有：（1）伴随矩阵法；（2）初等变换法；但当方阵A 的阶数n 较大时，求逆非常麻烦且计算量很大。
故对高阶线性代数方程组来说，求逆方法也是一种中看不中用的方法。
§1.2 直接法—Gauss （高斯）消去法尽管这是一种较为古老的方法，但至今仍不失为最常用和最有效的方法之一。
基本思想：通过逐次消元处理，将原方程组化为等价的三角形方程组进行求解。
§1.2.1 三角形方程组所谓三角形方程组无非是以下两种形式的方程组： (1)下三角形式(2.1)矩阵记为 Lx b = (2.1') 其中系数矩阵L 的元素满足关系：0()ij l i j =<——主对角线以上的元素均为零。
（2）上三角形式11112211222221,111,1.........n nn nn n n n n nn n n nu x u x u x d u x u x d ux u x d u x d -----+++=⎧⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（2.2）矩阵记为 U x d = （2.2'） 其中系数矩阵U 中主对角线以下的元素均为零，即：0()ij u i j =>对三角形方程组的求解是十分简单的。
显然对于下三角方程组（2.1），其求解步骤如下：1。
从第一个方程中解得：1111b x l =；2。
将1x 代入第二个方程中，从中解得：1211222()b l x x l -=；3。
将12,x x 代入第三个方程中，从中解得：3311322333()b l x l x x l --=；······111121122221122 ... ...n n nn n nl x b l x l x b l x l x l x b =⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如此逐个方程求解的过程向前递推下去，直到第n 步。
n 。
将121,,...,n x x x -代入第n 个方程中，从中解得：1122,11(...)n n n n n n n nnb l x l x l x x l ------=。
对上述过程其完整的求解计算格式可归结为：111111()(2,3,...,)i i ij j j i ii b x l b l x x i n l -=⎧=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩∑ （2.3）这一求解过程称为前推过程。
同理，对于上三角方程组（2.2），其求解步骤亦可如法泡制，即：1。
从第n 个方程中解得：nn nnd x u =；2。
将n x 代入第n-1个方程中，从中解得：11,11,1()n n n n n n n d u x x u ------=；3。
将n x 、1n x -代入第n-2个方程中，从中解得：22,2,1122,2()n n n n n n n n n n d u x u x x u ----------=；······n 。
将12,,...,n n x x x -代入第1个方程中，从中解得1x 。
对上述过程其完整的求解计算格式可归纳为：,11,22,(...)(1,2,...,2,1)nnnn i i i i i i i i n n i ii d x u d u x u x u x x i n n u ++++⎧=⎪⎪⎨----⎪==--⎪⎩（2.4）这一求解过程称为回代过程。
通常是将（2.4）式合并为一式表为：1()(,1,2,...2,1)ni ijjj i i iid u x x i n n n u =+-==--∑ （2.4a ）式中约定：当足标j 的取值大于其上界n 时，和式0njj ma==∑。
§1.2.2 Gauss 消去法高斯消去法的求解过程就是首先利用矩阵的初等行变换方法将原方程组逐次消元，使之化为等价的具有上三角形式的方程组，然后再按上三角方程求解的计算格式（2.4a ）式求出原方程组的解。
整个求解过程可分为消元和回代两个过程。
1. 简例为了便于说明高斯消去法的求解过程，以如下4阶方程组的求解为例：Ax b = (2.5)其展开式为：1111121314222122232431323334334142434444x b a a a a x b aa a a a a a a xb a a a a x b ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭（2.5） 其增广矩阵为： ,A b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2.5.0） （1） 消元过程利用若干轮的初等行变换处理，设法将,A b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的A 部分化为上三角形式。
若主元素．．．110a ≠，则可保留方程组中的第一个方程，并利用11a 将其余三个方程中的第一个未知量1x 消去，具体做法是取数：312141213141111111,,a a a l l l a a a ===再对增广矩阵（2.5.0）中的第i 行进行如下初等变换：11()(1) i i r i l r -⨯第行第行（i=2,3,4） （其中r 表示行或排row ）这样原方程的增广矩阵（2.5.0）被变换为如下形式：111213141(1)(1)(1)12223242(1)(1)(1)13233343(1)(1)114243444:0 :0 :0 :a a a a b a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（）（）（）（）（2.5.1） 其中被改变的元素为：(1)11(1)11(2,3,4)(2,3,4)ij ij i j i i i a a l a j i b b l b ⎫=-=⎪=⎬⎪=-⎭至此，完成了第1轮初等行变换处理。