2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)黄金预测卷理科数学试题C卷(pdf版无答案)
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国高考数学(理科)押题预测卷01(新课标1卷)
2020年高考押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝∅C．∁U B⊆A D．∁U A⊆B2．已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆3．设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．①②B．②③C．③④D．③5．已知定义在R上的偶函数f（x）＝e|x|sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，设x0为f（x）的极大值点，则cosωx0＝（）A．B．C．D．6．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．设向量，，满足，，，若，则＝（）A．3B．4C．5D．68．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．5B．6C．8D．139．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．45B．63C．81D．9310．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣D．函数f（x）在[]上单调递增12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为（）A．3πB．3πC．2D．2π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）＝4x﹣e x在点（0，f（0））处的切线方程为．14．在等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝8，则数列{a n}的前n项和S n＝．15．在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮．已知某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是．16．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，再反向延长交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若b＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．19．已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，k OA•k OB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．20．已知x＝1是函数f（x）＝ax2+﹣xlnx的极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．（参考数据：ln2≈0.69，其中e为自然对数的底数）21．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝+log2图象上任意两点，M为线段AB 的中点．已知点M的横坐标为．若S n＝f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n＝，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．23. 选修4-5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．（1）证明：ab+bc+ca≤；（2）若不等式++≥t恒成立，求t的最大值．2020年高考数学（理科）押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．【解答】解：由B中的不等式解得：﹣2＜x＜1，即B＝{x|﹣2＜x＜1}，∵A＝{x|x≥1}，全集U＝R，∴A∪B＝{x|x＞﹣2}；A∩B＝∅；∁U B＝{x|x≤﹣2或x≥1}；∁U A＝{x|x＜1}，故选：B．2．【解答】解：设Z（x，y），A（0，1），B（0，﹣1），则|z﹣i|+|z+i|＝3的几何意义为|ZA|+|ZB|＝3＞|AB|，即Z的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选：D．3．【解答】解：∵0＜a＝0.50.4＜0.50＝1，b＝log0.40.3＞log0.40.4＝1，c＝log80.4＜log81＝0，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．4．【解答】解：若a＝，b＝，则a+b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝1，b＝1，则a+b＝2，故②推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝﹣2，b＝﹣3，则a2+b2＞2，故④推不出“a，b中至少有一个大于1”；对于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1．综上所述：能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是③，故选：D．5．【解答】解：依题意，函数y＝sin（ωx+φ）为偶函数，又0＜φ＜π，故，由图象可知，，可得ω＝2，∴f（x）＝e|x|cos2x，由函数f（x）为偶函数，故只需考虑x≥0的情况，当x≥0时，f（x）＝e x cos2x，f′（x）＝e x（cos2x﹣2sin2x）＝，当时，f（x）有极大值，故．故选：B．6．【解答】解：由题意可得＝（88+87+85+92+93+95）＝90，设被污损的数字为x，则＝（85+86+88+90+99+x）＝89+，满足题意时，＞．即：90＞89+，解得x＜6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p＝．故选：C．7．【解答】解：∵，∴设，且，∴（x+1，y+b）＝（0，0），∴x＝﹣1，y＝﹣b，∴，且，，∴，∴b2＝1，∴．故选：B．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i＝0，S＝1，P＝0满足条件i＜4，执行循环体，i＝1，t＝1，S＝1，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝2，t＝1，S＝2，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝3，t＝2，S＝3，P＝2满足条件i＜4，执行循环体，i＝4，t＝3，S＝5，P＝3此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为5．故选：A．9．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝9，S5＝30，∴，解得a1＝0，d＝3，∴a7+a8+a9＝a1+6d+a1+7d+a1+8d＝63．故选：B．10．【解答】解：根据题意，如图：△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；故选：D．11．【解答】解：由题意知A＝，＝，得T＝π，即＝π得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴﹣×2+φ＝kπ，得φ＝kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣），故A正确，由2x+＝kπ+得x＝+，则当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，即x＝时，不是对称轴，故B错误，∵x∈[]，∴2x+∈[﹣，]，则当2x+＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，故C错误，当x∈[]，∴2x+∈[，]，此时f（x）不是单调函数，故D错误，故正确的是A，故选：A．12．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥AC，∵E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，∴AC⊥BC1，则AC⊥平面BB1C1C，可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补形为正方体，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径R＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：∵f（0）＝﹣1，f'（x）＝4﹣e x，∴f'（0）＝4﹣1＝3，由点斜式可得切线方程为：3x﹣y﹣1＝0．故答案为：3x﹣y﹣1＝0．14．【解答】解：∵a2＝1，a5＝8∴a5＝a2q3，即q3＝＝8，即q＝2，首项a1＝，则数列{a n}的前n项和S n＝＝2n﹣1﹣，故答案为：2n﹣1﹣．15．【解答】解：某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．该同学恰好投3次就通过测试是指该同学前两次投篮投中一次，且第三次投中，则该同学恰好投3次就通过测试的概率是：P＝＝．故答案为：．16．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），∵，即，∴2（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）＝n﹣c，﹣，∴m＝，n＝，∴A（，）．由F A⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．【解答】解：（1）由正弦定理及已知，化边为角得．∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C），代入得，∴．∵0＜C＜π，∴，又∵0＜B＜π，∴．（2）∵，∴ac＝4．由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，∴（a+c）2＝b2+3ac＝16，∴a+c＝4，∴△ABC的周长为6．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），＝（1，1，0），＝（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos＜＞＝＝．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．19．【解答】解：（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a＝；此，设g（x）＝f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．又所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极大值点x＝1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）＝，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）＝0；当2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯一的极小值点x0．又∵e5＜2.725＜149，；∴则即；∵ln，∴g（）＜0；所以，且满足；所以＝；故函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．21．【解答】解：（Ⅰ）M为线段AB的中点，设M（x，y），由（x1+x2）＝x＝，可得x1+x2＝1，f（x1）+f（x2）＝1+log2+log2＝1+log2＝1+log21＝1，又S n＝f（）+f（）+…+f（），S n＝f（）+f（）+…+f（），可得2S n＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]＝1+1+…+1＝n﹣1，则S n＝（n∈N*，且n≥2）；（Ⅱ）当n＝1时，T1＜λ（S2+1），即＜（+1）λ，解得λ＞；当n≥2时，a n＝＝＝4（﹣），T n＝a1+a2+a3+…+a n＝+4（﹣+﹣+…+﹣）＝+4（﹣）＝，由T n＜λ（S n+1+1），可得＜λ，即为λ＞＝＝，由n+≥2＝4，当且仅当n＝2时，取得等号．则≤＝，即有λ＞．则实数λ的取值范围是（，+∞）．22. 选修4-4：坐标系与参数方程【解答】解：（1）直线C1的参数方程为（其中t为参数），消去t可得．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；（2）将直线C1的参数方程代入x2＝3y，得，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t 1t2＝﹣18，∴．23. 选修4-5：不等式选讲【解答】（1）证明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a＝b＝c取得等号）由题设可得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤；（2）解：+++a+b+c＝+b++c++a≥2a+2b+2c，故++≥a+b+c＝1，当且仅当a＝b＝c＝取得等号）．不等式++≥t恒成立，所以t的最大值为1．。
2020年全国I卷理科数学高考试题及答案(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4 B.-2 C.2 D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.51- B.51- C.51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+ D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB. 76πC. 43πD. 32π8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A.5 B. 23C. 13D. 510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为 A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则 A.a>2b B.a<2b C.a>2b D.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)
2绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z =1+i ,则22z z -=()A ．0B ．1C ．D ．2解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -],A ∩B=[-2,1]⇒2a-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514 B.512- C.514+ D.512解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则222211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒--=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9解：91262pp +=⇒=.选C.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y =a +bxB .y =a +bx 2C .y =a +bexD ．y =a +b ln x解：选D ．6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A ．y =-2x -1B ．y =-2x +1C .y =2x -3D ．y =2x +1解：'32'()46,(1)1,(1)2f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x πω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43π D.32π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即222212πππωωω<<⨯⇒<<又42,962k k Z πππωπ⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝⎭⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=，从而43T π=，选C ．8.()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20解：()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含x 3y 3的项为22234455y xC x y C x yx +∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）A.53B.23 C.13 D.593cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0∴cos α=23-这里α∈(0,π)，所以2225sin 1cos 1()33αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=33a r =又22234123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，22216R a r =+=2464S R ππ==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0B ．2x +y -1=0C ．2x -y +1=0D ．2x +y +1=0解：22:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥ABAC AMRt PAM Rt ACM PA PM∆∆⇒= ，即1224ACAM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,22521PM ==+由2AM MC MP = ，即225MC =，得5MC =∴555PC PM MC =-==设AB:2x+y+c =0155c =⇒=∴AB:2x+y+1=0，选D ．12.若242log 42log aba b +=+，则（）A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2解：显然2()2log xf x x =+是R +上的增函数若a <2b ，则()(2)f a f b <，即2222log 2log 2aba b +<+………………………❶又22422log 42log 2log a b b a b b+=+=+………………………………………❷❶-❷得220log 2log 1b b <-=怛成立，选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国高考数学押题卷(全国I卷)
绝密 ★ 启用前2020年高考全国高考数学押题卷（全国I 卷）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中： ①“”是“”的充分不必要条件 ②定义在上的偶函数最小值为5；此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，746．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）．A ．B ．C ．D ．22222正视图侧视图俯视图8．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．812．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0ω>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．的展开式中的系数为__________．14．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为__________．15．在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16．已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则； ②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值； ③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：共70分。
2020年全国I卷理科数学试卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A.-4B.-2C.2D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+ 4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B. 76π C. 43π D. 32π 8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为 A. 5 B. 10 C. 15 D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A. 53B. 23C. 13D. 5910. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则A.a>2bB.a<2bC.a>2bD.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(3)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事琐：L答題谊■先将自己的魅名、准君证号、常场牛准确的填写在蓉總1＜匕并认異核卑条形娼上的姓名.准弟说号、璐场号、座位号及科目，在规定位霍贴上条形码口L选搾题的作答：哲小疑选出答案后.请用用2B铅笙把答题卡上对应愿目的答峯标号涂黑。
如果需宴改动，用像皮拯擦干净后.勇选涂其他響案标号”写在本U^.L无效乜3. 斗选择題的作磐：用照色签宁笙直按特柱蓉題东上对应的苕趣区域內,写和本试卷丄无效。
4. 本试題卷共23题，全屣满分150分，考试吋问为120分《札5一君试结束后，将本试卷和薯鎚和一井收回。
、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）2 21•己知椭圆C:笃爲1（a b 0）的左、右焦点分别为Fl, F2，点P X」，Q为，在a b椭圆C上，其中为＞0，y i 0,若|PQ| 2OF? , |至|丿3，则椭圆C的离心率的取值范围PF〔 3为（）6 1A. 0, 2B. （0, 6 2]C.严八3 1]D. （0, G 1]2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,贝U输出T的值为3. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示:13123 3 533 7 9 1134 13 15 17 19根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（）A. 71B. 75C. 83D. 884. 设i是虚数单位，若复数a1°a R是纯虚数，则a的值为（）3 iA.-3B. -1C. 1D. 3A. C. 3 D. 45.在四面体ABCD中,的取值范围是（）BCD为等边三角形，ADB -，二面角B AD C的大小为，则C. c n°，3D.66 •设函数f x ax 2 2x 2，对于满足1 x 4的一切x 值都有f x 0，则实数a 的取值范围为（）A ^_5.38.有两个等差数列2, 6, 10,-, 190和2, 8, 14,-, 200,由这两个等差数列的公共项 按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）12. 如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、1 27.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 A. a 1B.C. 1 1 aD. a -22B,但不能到达，现在岸边取相距 4km 的C, D 两 点，测得/ ACB= 75°,/ BCD= 45°, 内），则两目标A , B 间的距离为（）/ ADG 30/ ADB= 45° (A , B , C, D 在同一平面D. 2.5A. 15B. 16C. 17D. 18 9.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R, f x 2x ，当0 x 1, f x x 2，若直线y x a 与函数f x 的图像在0,2 内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ()A. 01 B. 0或2C.D. AB BC, AD2DC . 若 AB亠 1 0或—4V uuuv vuuv uuv 八 a, AD b ，则 AC BD ()B. D. bV 2 v v a ba 211.设U 为全集，MP 是U 的两个子集，且 (C U M) P P ，则 M PA. MB. PC. C U PD.ABCD 中, C . V2b 2黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A. 120 种B. 240 种C. 144 种D. 288 种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学模拟试题(PDF版,含解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集{}3,U x x x Z =<∈，{}1,2M =，{}2,1,2N =−−，则()UMN =（ ）. A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}2 D ．{}0,1,2 2．函数()sin2xxf x e=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．3．在ABC 中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =则ADC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且56a b =，则（ ）A ．3748a a b b +≤+B ．3748a a b b +≥+C ．3748a a b b +≠+D ．3748a a b b +=+5．已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( ) A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<6．设函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+><<的图象关于点(,0)3M π对称，点M 到该函数图象的对称轴的距离的最小值为4π，则（ ） A ．()f x 的周期为2π B ．()f x 的初相6πφ=C ．()f x 在区间2[,]33ππ上是单调递减函数 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后与函数cos 2y x =图象重合 7．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．3108．若1321xlog ≤−，则函数f （x ）＝4x ﹣2x +1+1的最小值为（ ） A ．4B ．0C ．5D ．99．已知i 为虚数单位，实数a ，b 满足(2)()(8)i a bi i i −−=−−，则ab 的值为（ ） A ．6B ．-6C ．5D ．-55−10．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 0c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，已知15A =，2a =，则b cc b+的值为（ ）AB ．CD ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()26f =，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()22f x x >+的解集为（ ）A ．(),2−∞−B ．()2,+∞C ．()2,2−D ．(),−∞+∞二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于_________14．已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x ya x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是______15．在三棱锥P ABC −中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.16．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ， 则()0.6826P Z μσμσ−<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ−<<+=， (33)0.9974P Z μσμσ−<<+=．三、解答题(本题共7小题，共70分。
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -=A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A.-4B.-2C.2D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. 514- B. 51- C. 51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B. 76π C. 43π D. 32π 8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为 A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A. 5B. 23C. 13D.510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则A.a>2bB.a<2bC.a>2bD.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国1卷高考预测试卷(理科数学)
2020年全国1卷高考预测试卷理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案按要求填涂在答题卡上，否则记0分，共60分） 1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lgx }，集合B ＝{y |y ＝1+x }，那么A ∩(B C U )＝（ ）A ．φB ．（0，1]C ．（0，1）D ．（1，＋∞）2. 若复数312i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．i - B ．－1 C ．i D ．13. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1a ＝1，}{n n na S +为常数列，则n a ＝（ ）A ．131-n B ．)1(2+n n C ．)2)(1(6++n n D ．325n - 4. 设A 、B 、C 是半径为1的圆O 上的三点，且⊥，则)()(-⋅-的最大值是（ ）A ．21+B ．21-C ．12-D ．15. 已知正三棱锥V —ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种。
现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种 7. 函数)(x f ＝sin x ω（ω>0）的图象向右平移12π个单位长度得到函数y ＝)(x g 的图象，并且函数)(x g 在区间[6π，3π]是单调递增，在区间[3π，2π]上单调递减，则实数ω的值为（ ）A ．2B ．45C ．23D ．478. 在4)11(--xx 的展开式中，常数项为（ ）A ．18B ．19C ．－6D ．－5 9. 如右图，在平面直角坐标系x O y 中，过坐标原点O 作曲线xe y =的切线，切点为P ，过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，向矩形OAPB 中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为（ ）A ．e e 22-B ．ee 21-C ．e e 2-D ．ee 1-10. 已知双曲线22ax －22b y ＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线交双曲线的左支于点M ，交双曲线的右支于点N ，且2MF ⊥2NF ，2MF ＝2NF ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．5D ．2＋111. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线px y 22=（p >0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且MF PM 2=，则直线OM 斜率的最大值为（ ）A ．1B ．33C ．32D ．22 12. 已知函数)(x f ＝⎩⎨⎧-≥--<≤-+3),2(35,)4(2x x f x x ，若函数)(x g ＝)(x f －)1(+x k 有9个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[61，41] B ．（－41，－61]∪[61，41）C ．（－41，－61）∪（61，41）D ．[－41，－61]∪[61，41]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考都必须作答。
2020全国高考数学I卷_理科数学
15．已知
F
为双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a > 0，b > 0) 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且
BF 垂直于 x 轴．若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_________．
16．如图，在三棱锥 P -ABC 的平面展开图中，AC = 1，AB = AD = 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠ CAE = 30o，则 cos∠FCB = _________．
1．若 z = 1＋i，则|z2－2z| =（
）
A．0
B．1
C． 2
D．2
2．设集合 A = {x|x2－4 ≤ 0}，B = {x|2x＋a ≤ 0}，且 A∩B = {x|－2 ≤ x ≤ 1}，则 a =（
）
A．－4
B．－2
C．2
D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的 边长的比值为（ ）
B． 7 6
C． 4 3
D． 3 2
8．(x＋ y2 )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为（ x
A．5
B．10
） C．15
9．已知 α∈(0，π)，且 3cos2α－8cosα = 5，则 sinα =（ ）
A． 5 3
B． 2 3
C． 1 3
D．20 D． 5
9
10．已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙ O1 为△ABC 的外接圆，若⊙ O1 的面积为 4π，AB
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2020年全国理科数学高考试题最新预测考试卷新课标Ⅰ卷(含解析)
2020年全国理科数学高考试题最新预测考试卷新课标Ⅰ卷理科数学（含解析）（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若221i iz =++，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<<I B ．{|2}A B x x =<I C ．{|02}A B x x =<<UD ．{|12}A B x x =-<<U3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A ．1637B ．949C ．937D ．3115．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%60y m-+=过双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FA FO=（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B1C D17．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]-ππ的图象大致为A BC D8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为A ．B ．C ．5D 10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C D 11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12α-=_________.15．已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则{}n a 的前200项和200S =_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a bB c-=. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）. （1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-u u u r u u u r，求C 的方程；（2）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过（1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望. 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()e xxf x a=-. （1）若()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的最大值； （2）若01a <<，求证：2ln ()af x a+≥. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-. （1）求不等式|4|()x f x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249a b c ++≥.新课标Ⅰ卷理科数学预测试题 全解全析1．B 【解析】因为221i 2i 13i 1i iz =+=--=-+，所以z 的虚部是3-.故选B ． 2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}AB x x =-<<U ,故选D ．3．C 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．C 【解析】由题图得，3,4AB BG CI ===，根据题意得5DI =.五边形AGFID 的面积为112534343722AGFID S =+⨯⨯+⨯⨯=五边形，正方形ABCD 的面积为9，因此，所求概率为937P =.故选C ．5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选D ． 6．B 【解析】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE ，所以双曲线C 的离心率为1e=.故选B ．7．A 【解析】因为(0)1f=，所以排除C、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．8．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．9．B 【解析】延长1C P 与BC 交于点E ，则点E 为BC 中点，连接AE ，取11A D 中点F ，连接AF ，1C F ，则四边形1AEC F 就是正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面,四边形1AEC F 的菱形，连接1,AC EF ，所以1AC EF ⊥，且1AC EF ==，所以四边形1AEC F 的面积为故选B ．10．D 【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PF Q △中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==.故选D ． 11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．12．D 【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D.13． 【解析】因为单位向量,a b 的夹角为2π3，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|-a b ==14．【解析】因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++1(()3=-=. 15．100323⨯-（写为100101223+-也得分） 【解析】由11a =，12n n n a a +=得，22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-＝，所以{}n a 的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则1001001001011002001(12)2(12)2233231212S ⨯-⨯-=+=+-=⨯---.16．27π4【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,,所以容器体积的最小值为2327ππ()3=24⨯⨯.17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为22cos a bB c-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=，化简得222a b c ab +-=， 可得222122a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）又因为(0,)C ∈π，所以π3C =.（6分）（2）因为1sin 2ABC S ab C ===△，所以6ab =，（8分）则a b +≥（当且仅当a b ==时，取等号）.（9分）由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b =时，取等号），解得c （11分）所以a b c ++≥a b c ===， 所以ABC △的周长的最小值为.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF 因为2AB AD ==，BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）因为tanABACBBC∠==，所以30ACB ACD∠=∠=︒，所以60BCD∠=︒，（2分）因为tanABAFBBF∠===，所以60AFB∠=︒，所以AF CD∥，（3分）因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD.（4分）又EF PC∥，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.（5分）因为AF EF F=I，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD，所以AE∥平面PCD.（6分）（2）因为PAB△是等边三角形，2AB=，所以2PB=.又因为4PC=，BC=，所以222PC PB BC=+，所以BC PB⊥.又BC⊥AB，,AB PB⊂平面PAB，AB PB B=I，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD.（7分）以B点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，则C，(0,2,0)A，P，所以BC=u u u r，BP=u u u r，2,0)AC=-u u u r，(0,AP=-u u u r.（8分）设111(,,)x y z=m为平面BPC的法向量，则BCBP⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rmm，即111y⎧==⎪⎨⎪⎩，令11z=-，可得1)=-m.（9分）设222(,,)x y z=n为平面APC的法向量，则ACAP⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rnn，即222220yy-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z=，可得=n.（10分）所以,cos=m n，则ns,i==m n所以二面角A PC B--.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】设1122(,),(,)A x yB x y.（1）由题意知(,0)2pF，221212(,),(,)22y yA yB yp p.设直线l的方程为()2px ty t=+∈R，（1分）由222y pxpx ty⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p--=，则222440p t p∆=+>，由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p+==-，（3分）所以22212122344y yOA OB y y pp⋅=+=-u u u r u u u r.（4分）由12OA OB⋅=-u u u r u u u r，得23124p-=-，解得4p=.（5分）所以抛物线C的方程为28y x=.（6分）（2）设直线l的方程为(,0)x ny m n m=+∈≠R，（7分）由22y pxx ny m⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm--=，由根与系数的关系可得122y y pm=-，（9分）所以2221212121222(2)2044y y pmOA OB x x y y y y pmp p-⋅=+=+=-=u u u r u u u r，解得2m p=.（11分）所以直线l的方程为2()x ny p n=+∈R，所以0OA OB⋅=u u u r u u u r时，直线l过定点(2,0)p.（12分）20．（本小题满分12分）分）设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27Bξ，（5分）则1010720()C ()()2727kk k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分） ②由上可得一件手工艺品质量为所以X 的分布列为21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()e (0)x f x x ax'=->，（1分） 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1()e 0xf x ax'=-≤恒成立， 即1e x x a≥恒成立，只需max 1(e )x x a ≥.（3分）令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x x t x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '>. 所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以212e a≥，解得2102e a <≤.（4分）所以实数a 的最大值为212e .（5分） （2）ln ()e (0)xx f x x a =->，1()e x f x ax'=-. 令1()e (0)xg x x ax =->，则21()e x g x ax'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.（7分）又因为11()e 10a g a=->，当x 从正方向趋近于0时，1ax趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0xg x ax =-<，所以存在01(0,)x a∈，使0001()e 0x g x ax =-=， 即01e x ax =，000ln()ln ln x ax a x =-=--，（9分） 所以对任意0(0,)x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .（10分）由于01e x ax =，00ln ln x x a -=+，则0000000ln ln 11ln ln 2ln ()e xx x a x a a af x a ax a ax a a a a a+=-=+=++≥=+== 2ln aa+，当且仅当001x ax a ==，即01x =时取等号，所以当01a <<时，2ln ()af x a+≥．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分） 直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=sin cos 60θρθ--=，由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分） 圆心到直线l751122=-=， 点(2,0)到直线l4=，（9分） 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为52.（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，（3分）所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（5分） （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，（7分） 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.（10分）。
2020年泄露天机高考押题全国I卷-理科数学(一)-(含解析)
绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}|15U x x =∈≤≤Z ，{}1,2,3A =，{}1,2U B =，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}3D ．{}1,2,3此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位2．如果复数2i12ib -+(其中i 为虚数单位，b ∈R )的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．23-B ．23C D ．23．如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．4πC ．π8D ．124．已知π3π(,)22α∈，且tan α=，那么sin α=（ ）A ．-B ．CD 5．在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n *+=+∈N ，则101a =（ ） A ．10023-B ．10123-C ．10221-D ．10223-6．在ABC △中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则//m nB ．若m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥C ．若m α∥，n β∥，//m n ，则αβ∥D ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥9．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（ ）A ．BC ．2D10．函数()()4ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142,ln2ln33⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．1142,ln2ln33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．141,1ln332ln2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．141,1ln332ln2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．512．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-，且(1)1f =，则下列说法正确的有（ ）（1）若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 是奇函数； （2）(0)(2)4f f +=；（3）设函数()()2h x f x =+，则函数()h x 的图象经过点(3,9)； （4）设*n ∈N ，若数列{}()1f n +是等比数列，则()21n f n =-． A ．（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______．14．若0(21)d 2(0)tx x t +=>⎰，则t =_______．15．若实数x ，y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为__________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与C 交于,A B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ．（1）若30A =︒，求角C 的值； （2）求角B 的最大值．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，2CD=，1BC=，,E F是平面ABCD同一侧面点，EA FC∥，AE AB⊥，2EA=，DE1FC=．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E BD F--的正弦值．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0) :x ya baCb+=>>，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 2与l 1平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线l 1的两侧）．记△MAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17．（1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值． ①求μ和σ的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）记()f x 的导函数为()g x ，当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程是22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． （1）求m 的值； （2）若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}|15U x x =∈≤≤Z ，{}1,2,3A =，{}1,2U B =，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}3 D ．{}1,2,3【答案】C【解析】全集{}{}|151,2,3,4,5U x x =∈≤≤=Z ，{}1,2,3A =， 由{}1,2U B =，可得{}3,4,5B =，所以{}3A B =，故选C ． 2．如果复数2i12ib -+(其中i 为虚数单位，b ∈R )的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．23- B ．23C D ．2【答案】A【解析】()()()()()()2i 12i 224i 4i2i 2212i 12i 12i 555b b b b b b ----++--===-++-，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此224b b -=+，因此23b =-，故选A ．3．如图，正方形ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．4πC ．π8D ．12【答案】C【解析】设正方形ABCD 的边长为2，则正方形的面积14S =， 则圆的半径为1r =，阴影部分的面积为2211ππ22S r ==， 根据几何概型及其概率的计算公式可得211π248πS P S ===，故选C ． 4．已知π3π(,)22α∈，且tan α=，那么sin α=（ ） A．-B． CD【答案】B【解析】因为π3π(,)22α∈，sin tan 0cos ααα==>， 故3π(π,)2α∈，即sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得sin 3α=-，故选B ． 5．在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n *+=+∈N ，则101a =（ ） A ．10023- B ．10123- C ．10221- D ．10223-【答案】D【解析】123n na a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n na a ++∴=+，且134a +=， 所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-，故选D ．6．在ABC △中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0πA <<，0πB <<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >， 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件， 故选C ．7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．8．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则//m nB ．若m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥C ．若m α∥，n β∥，//m n ，则αβ∥D ．若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】对于A ，若m α∥，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误；对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥，或平面α与平面β相交，所以C 错误；选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确．故选D ． 9．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（ ）A ．BC ．2 D【答案】B【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,E x y ，124y y m +=， 则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+， 又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =，线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而ME ==，故选B ．10．函数()()4ln f x kx x x =+-（1x >），若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142,ln2ln33⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．1142,ln2ln33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．141,1ln332ln2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．141,1ln332ln2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()0f x >，得到4ln xkx x+>， 令()ln x g x x =，则()()2ln 1ln x g x x -'=， 令()0g x '>，解得x e >；令()0g x '<，解得1x e <<， 故()g x 在()1,e 递增，在(),e +∞递减， 画出函数草图，如图所示：结合图象224ln 2334ln 3k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得114 2ln 2ln 33k -<≤-，故选A ． 11．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点， 点M 为11B C 的中点，设1BB 中点为N ，1AB 中点为K ，如下图所示：在平面11BB C C 中，CN BM ⊥，由题意可知DP BM ⊥，CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影，所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内，又因为P 在正方体内切球的球面上，所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆，即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线， 因为,,D O N 位于平面11DD B B 内， 设O 到平面CDKN 的距离为h ，所以由C DON O DCN V V --=，可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入可得1111123232h ⨯=⨯⨯，解得5h =，正方体的内切球半径为1R =，由圆的几何性质可得所截小圆的半径为r ==，所以小圆的周长为2πC r ==即动点P ，故选C ． 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-，且(1)1f =，则下列说法正确的有（ ）（1）若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 是奇函数； （2）(0)(2)4f f +=；（3）设函数()()2h x f x =+，则函数()h x 的图象经过点(3,9)； （4）设*n ∈N ，若数列{}()1f n +是等比数列，则()21n f n =-． A ．（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4） C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】对于（1），()()()[()()]()g x f x f x f x f x g x -=--=---=-， 所以函数()g x 是奇函数，故（1）正确；对于（2），令1x =，0y =，代入可得10(1)(1)(0)222f f f =⋅++-， 因为(1)1f =，(0)0f ∴=；令1x =，1y =，则211(2)[(1)]2223f f =++-=，(0)(2)3f f ∴+=，故（2）错误；对于（3），令1x =，2y =，则12(3)(1)(2)2227f f f =⋅++-=，(3)729h ∴=+=，即函数()h x 的图象经过点(3,9)，故（3）正确；对于（4），令1x =，1y =-，则11(0)(1)(1)222f f f -=⋅-++-，(1)1f =，(0)0f =，1(1)2f ∴-=-；当2n ≥，由()()()222x y f x y f x f y +=⋅++-， 可知()()()222x y f x f y f x y --=++⋅，所以[(1)1][(1)1]f n f n -+⋅++(1)(1)(1)(1)1f n f n f n f n =-⋅++-+++1111(2)222()(1)222()(1)2221n n n n f n f n f f n f -+-=--++⋅-++-+⋅++-+113(2)()222n f n f n -=+-+， 22[()1][()]2()1(2)2222()1n n f n f n f n f n f n +=++=--+++1(2)2()23n f n f n +=+-+，∵数列{()1}f n +是等比数列，2[(1)1][(1)1][()1]f n f n f n ∴-+⋅++=+，即1113()22()2322n n f n f n -+-+=-+，()21n f n ∴=-，故（4）正确，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_______． 【答案】6【解析】因为男女生的比例为30:203:2=，由分层抽样的概念可知在抽取的容量为15的样本中男女生的比例也应为3:2，则抽取的女生人数为215632⨯=+， 故答案为6．14．若0(21)d 2(0)tx x t +=>⎰，则t =_______．【答案】1【解析】由()()220021d |2tt x x x x t t +=+=+=⎰，解得1t =或2-（舍），故答案为1．15．若实数x ，y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为__________．【答案】9【解析】画出不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的可行域，如图，由图知平移直线x y z +=，当直线经过点()4,5A 时，直线在y 轴上的截距z 最大，即x y +在点()4,5A 处取得最大值459+=，故答案为9．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与C 交于,A B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120︒，则实数λ的值是_________．【答案】17【解析】由2222222229544c a b b e a a a +===⇒=<，得直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，设2||F B k =，则2||AF k λ=．根据双曲线定义，1||2F B a k =+，1||2AF a k λ=+． 在12AF F △中，由余弦定理，得222(2)(2)()22cos 60a k c k c k λλλ+=+-⋅︒①； 在12BF F △中，由余弦定理，得()()2222222cos120a k c k ck +=+-⋅︒②，①-②并整理，得322212327222c a c a c a c a λ---====+++．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ．（1）若30A =︒，求角C 的值； （2）求角B 的最大值． 【答案】（1）120︒；（2）30︒．【解析】（1）因为()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n ， 所以()2cos a C b ⨯-=，即2cos 0a C b +=，由正弦定理sin sin a bA B=，得2sin cos sin 0A C B +=……① 所以()2sin cos sin 0A C A C ++=，整理，得3sin cos cos sin 0A C A C +=……②将30A =︒代入上式，得tan C = 又()0,πC ∈，所以120C =︒．（2）方法一：由①式，因为sin 0A >，sin 0B >，所以9cos 00C C ⇒><︒，cos 0A ∴>，②式两边同时除以cos cos A C ，得3tan tan 0A C +=，()22tan tan tan 3tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan 13tan A C A A AB AC A C A A+-∴=-+=-=-=-++，又213tan A A +≥，tan B ∴≤=，1A =，即30A =︒时取等号， 又()0,πB ∈，所以B 的最大值为30︒．方法二：由（1）知，2cos 0a C b +=，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，代入上式并化简得22220a b c +-=，所以()222222222131222cos 222a c c a a c a c bB acac ac+--++-===，又223122a c +≥=，cos B ∴≥= 当且仅当223122a c =，即c =时取等号，又()0,πB ∈，所以B 的最大值为30︒．18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，2CD =，1BC =，,E F 是平面ABCD 同一侧面点，EA FC ∥，AE AB ⊥，2EA =，DE 1FC =．（1）证明：平面CDF ⊥平面ADE ； （2）求二面角E BD F --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥， ∵AE AB ⊥，CD AB ∥，故CD AE ⊥， 又AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ，∵CD ⊂平面CDF ，∴平面CDF ⊥平面ADE ．（2）∵1BC =，2EA =，DE = ∴222DE AD AE =+，∴AE AD ⊥，又AE AB ⊥，AB AD A =，∴AE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,2,1F ，()1,0,2E ， ∴()1,2,0DB =，()0,2,1DF =，设平面BDF 的一个法向量(),,x y z =m ，由00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得()2,1,2=-m ．同理可求得平面BDE 的一个法向量()2,1,1=--n ，∴cos ,6⋅〈〉===m n m n m n，∴sin ,〈〉=m n ，故二面角E BD F --19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0):x y a b a C b+=>>，且左焦点F 1到左准线的距离为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 2与l 1平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线l 1的两侧）．记△MAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）)1⎡⎣．【解析】（1）因为椭圆C ，所以c a =又椭圆C 的左焦点1F 到左准线的距离为4，所以24a c c ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以25a =，21c =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22154x y +=．（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为1，1=，即m =设直线2:l y kx n =+，由22154y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2l 与椭圆C 相切，所以()()()222104455200Δkn k n =--+-=，整理得2254n k =+，因为直线1l 与直线2l之间的距离d =所以112S AB d =⋅，2112S AB =⋅，所以121m n S n S m m λ-====-， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又,O M 位于直线1l 的两侧，所以,m n 同号，所以n m⎡∈⎣，所以)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ的取值范围为)1⎡⎣．20．（12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17．（1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值． ①求μ和σ的值；②若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【答案】（1）①20μ=，2σ=；②(0.9772,0.9987)；（2）分布列见解析，112()45E Y =． 【解析】（1）①样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准差为2， 因此20μ=，2σ=．②学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于1(26)(3)1[(1(33)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+11(10.9974)0.99872=-⨯-=，1(24)(2)1[(1(22)]2P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+ 11(10.9544)0.97722=-⨯-=．所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987)．（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23．在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0，1，2，3，4，5，6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====， 11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===，1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===， 所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）记()f x 的导函数为()g x ，当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．【答案】（1）0；（2）证明见解析．【解析】（1）()()11e ln e e ln x xx f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=⋅++ ⎝'⎪⎭， 依题意，有()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =．（2）令()1e ln x g x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，所以()2211121e ln e e ln x x x g x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅-=⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'． 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号， 设()221ln h x a x x x =+-+，则()()22331122x xx h x x x-='+-+=， 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在()0,+∞单调递增．因为()0,ln2a ∈，所以()110h a =+>，11ln 022h a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =．()g x 与()g x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下：所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以若()0,ln2a ∈，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0x 是()g x 的极小值点．令()00h x =，得到002012ln x a x x -+=，所以()()00000212e ln e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程是22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【答案】（1）22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 【解析】（1）2cos ρθθ=，2ρθθ∴=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y++=，即22122x y ⎛⎫⎛-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴圆心直角坐标为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）直线l上的点向圆C引切线长是==≥∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． （1）求m 的值； （2）若,,a b c +∈R ，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥． 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析．【解析】（1）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+， 由()10f x +≥的解集为[]0,2，可知1m =． （2）111123ab c++=， 则()11123322322111232233bcacaba b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++ ⎪⎝⎭233233692323b a c a c ba b a c b c=++++++≥+=． 当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立．。
2020 高 考 全 国 卷 联 考 卷I卷-理科数学
A ·2— 35
B.1— 23
C.1— 36
D.1— 47
8.
已知函数
y=Asin(wx+
cp)(A >0,w
>0,I沪＜
卫
2
）的图象相邻两条对称轴之间的距离为互 2 相邻
最高点与最低点的距离为《闷/已 4 把函数的图象向右平移卫 6个单位长度后，得到函数g(x)的图
(0,;] 象，若函数g(x)为偶函数，则函数g(x)在
｝的前n项和
Tn=
•
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~ 21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （ 一 ）必考题：共60分．
17. (12分）
在四边形 ABCD中，AB=I,AD=2,BC= CD=1,且A=f.
(I)求角 C的大小； (II)过栽D作DE_lAC于点E,求线段DE的长．
值范围为
（）
A.(-3,+oo)
B.[-2,4]
C.(O,+oo)
D.[-4,+oo)
数学（理科）试题卷笫2页（共8页）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知a= (3,4),lb l=2,且(a-2b)· (2a-b)=33,则向量 a与向量b夹角的余弦值为
．
14. 已知 (1 + ax)2 (1 + x)4 (a>0)的展开式中，所含x 的奇次项的系数和为32,则a=
20. (12分） 已知函数f(x) = 1 + (a- I)x+ lnx(aE R) .
X
(I)求当a习时函数f(x)的单调区间； (II)若函数g(x) =e无 一 a - j(X) + — 1 + (a-l)x-a有两个不同的零点X1 ,Xz, 求实数a的取值
2020年高考数学全国I卷(理)预测卷以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则3i(1i )-=（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i +2．已知集合{|lg 2}A x x =>，{|}B x x a =≥，且A B =R R ，则实数a 的取值范围是 （A ）2a > （B ）2a ≥ （C ）100a > （D ）100a ≥3．已知数列{}n a 的首项为1，且11n n n n a a a a +--=-对于所有大于1的正整数n 都成立，3592S S a +=，则612a a +=（A ）34 （B ）17 （C ）36 （D ）184．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③224135%635636≈；④23789937532496.5%635636+≈．不正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．已知π()sin(2)3f x x =+，π()cos(2)3g x x =+，则下列说法中，正确的是（A ）x ∀∈R ，π()()2f x g x =- （B ）x ∀∈R ，π()()4f x g x =+ （C ）x ∀∈R ，π()()2g x f x =- （D ）x ∀∈R ，π()()4g x f x =+6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）(425)π+ （B ）(55)π+ （C ）(55)π+ （D ）(55)π+7．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且23PA PB PC ++=0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中：①向量PA 与PC 可能平行； ②向量PA 与PC 可能垂直； ③点P 在线段EF 上； ④::21PE PF =． 正确的个数为 （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）48．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为（A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A ）0.25 （B ）0.15 （C ）0.1 （D ）0.0310．如果2(25)310x a x a +-+-=在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是（A ）716a <<（B ）716a ≤<或1621425a +=（C ）716a <≤ （D ）716a <<或1621425a +=11．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面1111A B C D 与下底面ABCD 相互平行，且ABCD 与1111A B C D 均为长方形．《九章算术》中，称如图所示的图形为“刍童”．如果AB a =，BC b =，11A B c =，11B C d =，且两底面之间的距离为h ，记“刍童”的体积为V ，则（A ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （B ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++ （C ）[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ （D ）[(2)(2)]3hV c a d a c b =+++12．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且11a =-，22a =，37a =．又已知当2n >时，112332n n n n S S S S +--=-++恒成立．则使得12111722()11155k k a a a -+++≥+++ 成立的正整数k 的取值集合为（A ）{|9,}k k k ≥∈N （B ）{|10,}k k k ≥∈N（C ）{|11,}k k k ≥∈N （D ）{|12,}k k k ≥∈N第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．14．已知α是第四象限角，且π3sin()35α+=，则πsin()12α+=_____________． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的一条直线与函数3()1f x x =-的图像交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．16．双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，已知直线1PA ，2PA 的斜率之积为2425，1260F PF ∠=，1F 到一条渐近线的距离为6，则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△12PF F 的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB 边上的高为332． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值．18．（12分）如图，AB ，CD 分别是圆柱1OO 下底面、上底面的直径，AD ，BC 分别是圆柱的母线，ABCD 是一个边长为2的正方形，E ，F 都是下底面圆周上的点，且30EAB ∠=，45FAB ∠=，点P 在上底面圆周上运动．（1）判断直线AF 是否有可能与平面PBE 平行，并说明理由； （2）判断直线BE 是否有可能与平面P AE 垂直，并说明理由；（3）设平面P AE 与平面ABCD 所成夹角为θ（90θ≤），求cos θ的取值范围．19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x 和创新能力得分y ，所得数据如下表所示．x 31 33 35 38 39 42 45 45 47 49 52 54 57 57 60 y 6 6 7 9 9 9 10 12 12 12 13 15 16 18 19 x 63 65 65 68 71 71 73 75 77 80 80 80 83 83 84 y 21 24 25 27 31 33 36 40 42 44 46 49 51 57 54 x 84 85 86 87 90 90 91 92 93 95 y59 62 64 68 71 75 80 88 83 90根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．图2（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.001.3.841 6.63510.828P K k k ≥（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X 表示抽得的人中，知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人数，求(1)P X =．（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y 关于x 的回归方程为ˆ 1.2747.92yx =-： ①根据回归方程计算：当[50,70]x ∈时，ˆy的取值范围． ②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y 与x 关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．20．（12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角为锐角的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 过点(2,0)-，||13AB =（1）求直线l 的方程；（2）如果C 是抛物线上一点，O 为坐标原点，且存在实数t ，使得()OC OF t FA FB =++，求||FC ．21．（12分）已知函数sin ()xf x x =． （1）求曲线()y f x =在ππ(,())22f 处的切线方程；（2）求证：2()16x f x >-；（3）求证：当0 1.1x <≤时，ln(1)()x f x x+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 与直线l 的一般方程，并求直线l 的斜率的取值范围； （2）设(2,2)P --，且::||||57PA PB =，求直线l 的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21||1|f x x x =+--． （1）求不等式()3f x >的解集； （2）如果“x ∀∈R ，25()2f x t t ≥-”是真命题，求t 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷 理科数学（全国I 卷）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A 12．B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 275 14. 210- 15. 26 16. （1）2241256x y -=，（2）27． 三、解答题：（一）必考题：共60分．17．（12分） （1）由三角形面积可知1318338sin 222B ⨯⨯=⨯⨯⨯， ………………………………2分3sin 2B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=．………………………………5分（2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．………………………………7分又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，………………………………9分因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．………………………………12分18．（12分）（1）直线AF 不可能与平面PBE 平行，理由如下： 假设直线AF //平面PBE ，则因为AF ⊂平面ABE ，平面ABE平面PBE BE =，所以AF //BE ，从而可知45EBA FAB ∠=∠=，但是ABE ∆是个直角三角形，而且9060EBA FAB ∠=-∠=，矛盾，因此假设不成立．………………………………3分（2）当PA 或者PE 是圆柱的母线时，直线BE 与平面PAE 垂直，理由如下： 因为E 是圆周上一点，所以BE AE ⊥． 又因为PA AE A =，因此当PA 是圆柱的母线时，有PA BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………5分类似地，因为PE EB E =，因此当PE 是圆柱的母线时，有PE BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………7分（3）以O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，1OO 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，31(,,0)22E -，33(,,0)22AE =-，而且(1,0,0)=m 是平面ABCD 的一个法向量．………………………………8分设(cos ,sin ,2)P t t ，则(cos ,sin 1,2)AP t t =+，设(,,)x y z =n 是平面PAE 的一个法向量，则cos (sin 1)2033022AP x t y t z AE x y ⎧⋅=+++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 因此可取(23,2,3cos sin 1)t t =--++n ．………………………………10分从而可知2||23cos ||||163cos sin 1t t θ⋅==+++（）n m n m ，又因为3cos sin 2sin(60)[2,2]t t t +=+∈-，所以233cos 52θ≤≤． ………………………………12分19．（12分）（1）由题意可知22(24321624)(24241632)(2432)(1624)(2416)(3224)χ+++⨯⨯-⨯=+⨯+⨯+⨯+960.0781225=≈． ………………………………2分又因为195%5%-=，而且查表可得2( 3.841)0.05P χ≥=，因为0.078 3.841<，因此没有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．………………………………3分（2）因为测试结果为“优秀”的青少年共有40人，且知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人只有6人，因此11346240C C 17(1)C 65P X ===．………………………………6分（3）○1因为1.275047.9215.58⨯-=，1.277047.9240.98⨯-=，所以ˆy 的取值范围是[15.5840.98,]．………………………………9分○2图如下．描述y 与x 关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述．………………………………12分20．（12分）（1）设直线l 的方程为2x my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则221212()()13x x y y -+-=，2212(1)()13m y y +-=．………………………………2分由242y xx my ⎧=⎨=-⎩可得2480y my -+=，因此 222121212()()4=1632y y y y y y m -=+--，因此22(1)(1632)13m m +-=，421616450m m --=，22(49)(45)0m m -+=，294m =，解得32m =．从而所求直线方程为322x y =-，即2340x y -+=． ………………………………5分（2）设AB 的中点为M ，则由()OC OF t FA FB =++可知2FC tFM =，因此F ，C ，M 三点共线．………………………………7分设00(,)M x y ，则由（1）知12032y y y +==，0353222x =⨯-=． ………………………………9分因此直线FC 的方程为3(1)2(1)512y x x =-=--．由242(1)y x y x ⎧=⎨=-⎩可得2310x x -+=，因此32x ±=，从而可知35||122FC ±=+=． ………………………………12分21．（12分）（1）因为2cos sin ()x x x f x x -'=，所以2π4()2πf '=-． 又因为π2()2πf =，所以切线方程为2224π42()ππ2ππy x x -=--=-+， 即244ππy x =-+． ………………………………3分（2）22sin ()1166x x x f x x >-⇔>-． 注意到()f x 与216x y =-都是偶函数，因此只需证明0x >时2sin 16x x x >-成立，即3sin 6x x x >-成立即可．………………………………5分设3()sin 6x g x x x =-+，0x ≥，则2()cos 12x g x x '=-+．………………………………6分设2()cos 12x h x x =-+，则()sin 0h x x x '=-≥，因此()h x 在0x ≥时递增，因此()(0)0h x h ≥=恒成立．从而可知()g x 在0x ≥时递增，因此()(0)0g x g ≥=，且等号只在0x =成立．因此当0x >时，3sin 06x x x -+>，即2sin 16x x x >-． ………………………………8分（3）当0 1.1x <≤时，ln(1)sin ln(1)()sin ln(1)x x x f x x x x x x++>⇔>⇔>+． 由（2）可知，当0 1.1x <≤时，3sin 6x x x >-恒成立，因此只需证明当0 1.1x <≤时，3ln(1)6x x x ->+即可．………………………………10分设3()ln(1)6x g x x x =--+，0 1.1x ≤≤，则 2221(2)(1)(2)()121122(1)2(1)x x x x x x x x x g x x x x x ---+'=--=-==++++，因此当01x ≤≤，()g x 递增；1 1.1x ≤≤，()g x 递减．………………………………11分又因为(0)0g =，31.1(1.1) 1.1ln2.16g =--，而且 331.1 1.11.1 1.10.833865->-=．又因为42.119.4481=，32.719.683=，所以4332.1 2.7e <<，从而342.1e <，因此3ln 2.10.754<=，从而 (1.1)0.83380.750g >->．因此可知，当0 1.1x <≤，()0g x >恒成立，即3ln(1)6x x x ->+． ………………………………12分（二）选考题：22．（10分） （1）曲线C 的一般方程为221x y +=．………………………………2分又因为直线l 过点(2,2)--且与圆C 相交，因此直线l 的斜率一定存在，因此其一般方程为2tan (2)y x θ+=+．………………………………3分设直线的斜率为tan k θ=，则直线方程为2(2)y k x +=+1<可知23830k k -+<k <<． ………………………………5分（2）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由P 在圆C 外可知这两个参数均为正数，且12::57t t =．………………………………6分由2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩与221x y +=可得22(2cos )(2sin )1t t θθ-++-+=，24(cos sin )70t t θθ-++=，因此12124(cos sin )7t t t t θθ+=+⎧⎨=⎩………………………………7分从而121124(cos sin )5775t t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此cos sin θθ+=可解得sin θ==………………………………9分因此12k =或2k =，即所求斜率为12或2．………………………………10分23．（10分）（1）因为2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………………2分当1x ≥时，由()3f x >可得23x +>，1x >，此时1x >． 当112x -<<时，由()3f x >可得33x >，1x >，此时无解． 当12x ≤-时，由()3f x >可得23x -->，5x <-，此时5x <-． ………………………………4分综上可知所求解集为(,5)(1,)-∞-+∞．………………………………5分（2）由（1）可算出()f x 的最小值为13()22f -=-. ………………………………7分因此23522t t -≥-． ………………………………8分22530t t -+≤，(23)(1)0t t --≤，解得312t ≤≤． ………………………………10分dx )x sin 1(i ⎰+i- 江西省第二次模拟理科数学一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中，只 有一项符合）1.已知全集，集合 为A. ( - 1, 3)B. ( - 1, 2]C.( - 4, 3)D. ( - 4, 2]2. 已知 （ 2 + i ）y = x + yi ，x, y ∈ R ，则xi y+=A.5B.3C.2D.23.已知等比数列{a n }的首项a 1＞0，公比为q ，前n 项和为S n ，则“q ＞1”是“S 3+S 5＞2S 4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图，在▱OACB 中，E 是线段AC 的中点，F 是线段BC 上的一点，且BC ＝3BF ， 若＝m，其中m ，n ∈R ，则m +n 的值为A ．1B ．C ．D ．5.函数12)4ln()(--+=x ex x f 的图象大致是A B C D6． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一， 次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴 的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为i ，则 等于A ．6B ．14C ．8D ．127．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．8．将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g （x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）＝4，且x 1，x 2∈[﹣π，π]，则x 1﹣2x 2的最大值为 A ．B ．C ．D ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．9．已知抛物线C ：的焦点为F ，过点F 的直线L 与抛物线C 交于A 、B 两点，且直线L 与圆交于两点.若，则直线L 的斜率为A.B.C.D.11．已知双曲线E ：，点F 为双曲线E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b ，则E 的离心率为A ．B ．C ．2D ．12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续第4题图第6题图第7题图第9题图偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是 A ．3972B ．3974C ．3993D ．3991二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）13.若实数x ，y 满足约束条件错误!未找到引用源。