23个函数与导函数类型专题

23个函数与导函数类型专题ln()x1f xx1x=++，若x0>，且x1≠，ln()x kf xx1x>+-，求k的取值范围.[解析]⑴将不等式化成()(*)k>=<模式由ln()x kf xx1x>+-得：ln lnx1x kx1x x1x+>++-，化简得：ln22x xk1x1<--①⑵构建含变量的新函数()g x构建函数：ln()22x xg xx1=-（x0>，且x1≠）其导函数由'''2u u v uvv v-⎛⎫=⎪⎝⎭求得：'()(ln ln)()22222g x x x x x1x1=----即：'()[()()ln]()22222g x x1x1xx1=--+-()ln()222222x1x1xx1x1⎛⎫+-=-⎪⎪-+⎝⎭②⑶确定()g x的增减性先求()g x的极值点，由'()0g x0=得：ln22x1x0x1--=+即：ln22x1xx1-=+③满足③式的x1=，在0x x1≥≥时，由于22x11x1-<+有界，而ln x0>无界故：ln22x1x0x1--<+即：在0x x1≥≥时，'()g x0≤，()g x单调递减；那么，在00x x<<时，()g x单调递增.满足③式得0x恰好是0x1=⑷在(,)x1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()x 0x x 0lim ln →+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞⑴ 由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1ln (ln )'(ln )limlimlim()'→→→+===--，则()K 10= 当+x →∞时，用洛必达法则得：22x x x x 2x x 2x x 2x 1102x xx 1x 1++ln (ln )'(ln )'limlimlimlim '()'→∞→∞→+∞→+∞+====--，则K 1()+∞=当+x 0→时，用洛必达法则得：x 02x 02x x 2x x 01x 1++lim (ln )ln lim→→==--其中，()K x 的最小值是()K 10=，所以本题结果是k K x ()≤，即：k 0≤ ⑵ 关于极限()x 0x x 0limln →+=将函数f x x x ()ln =以0x 1=为中心，以泰勒级数展开 因为：f 1110()ln =⋅=；x 1f 1x 11'()(ln )==+=；x 11f 11x''()===；32x 11f 11x()()==-=-；43x 11f 122x()()!==⋅=；54x 11f 133x()()!!==-⋅=-65x 11f 144x ()()!!==⋅=……，n n n 1x 11f 1n 21n 2x ()()()!()()!-==-⋅=--代入泰勒公式：n 2n 0000000f x f x f x f x f x x x x x x x 2n ()''()()()()'()()()...()...!!=+-+-++-+得：n 2n f 1f 1f x f 1f 1x 1x 1x 12n ()''()()()()'()()()...()...!!=+-+-++-+n 2n 11n 20x 1x 1x 12n ()()!()()...()...!!--=+-+-++-+n 2n 11x 1x 1x 12n 1n ()()()...()...!()-=-+-++-+-于是：x 0x 01111f x x x 1122334n n 1lim ()lim (ln )......()→+→+==-++++++⋅⋅⋅+ 111111111022334n 1n ......⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上面用泰勒级数证明了()x 0x x 0limln →+=.()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤ [解析]⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-==② ⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1的符号决定.当10>，即：x<时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当10<，即：x>时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当10=，即：x=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x=的两侧即：α<，β>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论证毕.由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅ 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅ 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=-当：2β=，1α=时，ln 2a 3=当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. [解析]⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当1a 0x -=，即1x a=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a .()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+<若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a >.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③考虑到基本不等式ln111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a-<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1< 结合ln1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a> 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a <（因x 0>）设：C 11x x a =+于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a -=故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+--ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a -=---⋅⋅++--ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+--将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 在同一单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+->证毕.⑴函数图象y f x ()=与x 轴有2个交点A B ,，则在A B ,之间应该有函数的极值点，于是得到极值点1x a =；⑵以极值点1x a=为对称轴，以等宽度（1x x ∆=）得到A “对称点C ”（仅横坐标对称），这样，C 和B 处于同一个单调区间；⑶利用单调性比较C 和B 点的函数值，出现不等式.知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值.[解析]⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()Af 0B e== 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+① ⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ② ⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y =时，'()h y 0=，()h y 达到极大值.此时，()h y 的极大值为：(2eh 12=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.[解析]⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：x x a 1a ln()-+≥-，即：f x 1a ()≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ①当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞ 当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当12k x 1=+，即m 1x x 12k==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值.⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k=---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k 2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+ 由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k +-=+= 即：2k 1=，即：1k 2=， 此时m 1x 12k =-，即：m 12k 1x 1==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论 由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值. 由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2=由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数g x 0()≤.由③式可看出x 0=时，()g x 0=由()g x 0=得：ln()2x x 1k x -+=，令ln()()2x x 1K x x -+= 我们只要求出ln()()2x x 1K x x -+=在极值点的值就好. 用洛必达法则：ln()lim ()lim lim 2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2x x →+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=.()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.[解析]⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ①其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：()()'()()P P P y x f x f x x x =+-③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得： '()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一， 所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一. b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P P x x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =-⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标.⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---本题的关键是解：'()g x 0=，即：P x x P e e 2a x x 0()()-+-=；明显的一个解，P x x =，不满足“唯一点”的要求；解析得到另一个满足P x x P e e 2a x x 0()()-+-=的解是关键；本题利用图像法得到P x 2ae 1--=，即：ln()P x 2a =-，这个方法是本题的亮点.()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.[解析]⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ① 函数()axf x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ②⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立.则：()()21ax ax ax 21e e g x ae x x -=-- ③导函数：'()2ax g x a e = ④⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x ae x x -=--()[()]121axa x x 2121e a x x e 1x x -=--+-()[()]121axa x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x ae x x -=--()[()]212ax a x x 2121e a xx 1e x x -=--+-()[()]212ax a x x 1221e e a xx 1x x -=----⑥⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号.即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在.由④式得：'()2ax g x ae 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0=由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae 0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈ ⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故：在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=；在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=；在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a x x -∈-本题的实质是拉格朗日中值定理：如果函数f x ()在闭区间a b [,]连续，在开区间a b (,)可导，则必存在0x a b (,)∈，使得0f b f a f x b a()()'()-=-.()ln()f x x11=++.证明：当0x 2<<时，()9x f x x 6<+[证明]⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9x g x x11x 6=++-+ ① 导函数'()()2154g x x 1x 6=+++ ② 即：'()()254g x x 6=+ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9x f x x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有(*)≤即：(*)或(*). （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)和(*)的两种选项，所以采用化掉.由均值不等式：22211x 2⋅≤+=+得：x 12≤+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：x 6+= ⑤令t =（1t <<（因为0x 2<<）则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231t 2-±=由于1t <<21t 2= 所以有：1t 1=，2t =，即：1x 0=，32x 1⎛=- ⎝⎭由于))(=3311122288⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭3644⨯>=> 所以2x 3>⑷ 由单调性证明不等式由①式()ln()9x g x x 11x 6=++-+得：()g 00=，()ln ln 93g 34142036⨯=+-=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9x f x x 6<+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.本题的难点在于处理⑤式或者⑥式.由①式构建函数()ln()9x g x x 11x 6=++-+ ① 其导数为方程②式'()()2154g x x 1x 6=++ ② 直接解方程②比较困难，可以化简一下.在x 0>区间，1≥，故：x 1+≥1x 1≤+代入②式得：2211543136g x x 12x 12x 1x 6x 6'()[]()()()≤+-=-+++++ 令：21360x 1x 6()-=++，则：2x 636x 10()()+-+= 即：2x 12x 3636x 360++--=，即：2x 24x 0-=故：1x 0=，2x 24=. 即：在x 024(,)∈区间存在满足g x 0'()<. 这时候，分别将x 3=和x 24=代入②式得：21541121g 3031443636'()()=+-=+-=-<++21541132534g 2402412510505050246'()()+-=+-=+-==>++ 上面的计算说明g x '()的另一个零点在324(,)区间，那么对于本题，由于g 00'()=，g x 0'()<，所以在x 02(,)∈区间，g x ()为单调递减函数. 即：在x 02(,)∈区间，g x g 00()()<=. 即：()9x f x x 6<+a 0>，n 为正整数，抛物线n2a yx 2=-+与x 轴正半轴相交于点A .设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：()()33f n 1n f n 1n 1-≥++. [证明]⑴ 先求A 点的坐标(,)A x 0将A x x =，A y y 0==代入抛物线n2a y x 2=-+得：A x = ⑵ 求过A 点的切线方程抛物线的导数为：'y 2x =- ①故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-即：()2A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n由②式，当x 0=时，()y f n =.故：()22n A f n 2x 2a === ③ ⑷ 分析待证不等式()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++，即：()32111f n 1n 1-≥-++， 即：()321f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+ 将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：a ≥④⑸ 数值分析由④式当n 1=时，a 3≥；当n 2=时，2a 17≥，即a≥当n 3=时，3a 55≥，即a ≥（2553025=，3174913=） 因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31a2n 1n ≥+ ⑤ ⑹ 构建新函数()g n构建函数：()ln()31g n 2n 1n=+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()23326n n 2n 12n 1g n n ⋅-++=当'()g n 0=时，即：ln()3336n 2n 12n 1=++，即：ln()33332n 12n 1-=++ ⑥令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 33t t-= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值 虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3t 33t=-<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<代入④式a ≥ a ≥=⑧⑻ 证明结论满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.证毕.本题有3个关键点：⑴求抛物线在点A 处的切线，得到：n f n a ()=；⑵分析法解析待证不等式，得到: n 3a 2n 1≥+或a ≥⑶设3t 2n 1=+得到ln 33t t -=，解析得： 3t 2n 127=+<，即：3n 13<. 只要通过这3个关键点，问题得以解决.ln ()x x 1f x e +=，'()f x 为()f x 的导数.设()()'()2g x x x f x =+，证明：对任意x 0>，()2g x 1e -<+[解析]⑴ 求函数()g x 的解析式函数ln ()x x 1f x e +=的导函数为：x x 2x x 1111f x e e x 1x 1x x e e '()(ln )(ln )⎡⎤=-+=--⎢⎥⎣⎦ ① 函数()()'()2g x x x f x =+得：()()(ln )(ln )x x x 1x 1x 1g x x 11x x x x e e++=--=-- ② ⑵ 构造新函数()h x由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）得:x 1x 1e +≤代入②式得：()ln g x 1x x x <-- （x 0>）令：()ln h x 1x x x =-- ③则上式为：g x h x ()()< ④⑶ 分析()h x 的单调性，并求其极值由③式得()h x 导函数为：'()(ln )h x 2x =-+ ⑤当2x e ->，即ln 2x 0+>时，'()h x 0<，()h x 单调递减；当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增；当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值.()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得： ()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥⑷ 证明结论故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+证毕.本题要点：运用基本不等式x e 1x ≥+,求函数h x ()的极值.本题组合函数2g x x x f x ()()'()=+包含了函数f x ()的导函数，形似复杂，其实就是“纸老虎”，因为得到g x ()的解析式并不难. 在得到不等式时采用了“指数不等式”x e 1x ≥+，这是本题的一个关键点，不是难点. 构造新函数()h x 并分析其增减区间，这是难点. 遗憾的是：g x ()小于的是()h x 的最大值.,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M .[解析]⑴ 构建新函数()h x函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①函数()g x 的导数为：'()g x 2x b =+ ②构建函数：()'()'()()()2h x f x g x 3x a 2x b ==++ ③则已知条件化为：在开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，等价于()h x 0≥④ ⑵ 确定b 的取值范围已知a 0<，若b 0>，则区间(,)I a b =；故：此时区间I 包括x 0=点.由①②式得：'()f 0a =，'()g 0b =，所以()'()'()h 0f 0g 0ab 0==<不满足④式，即：b 0>不成立.⑶ 确定x 的取值范围由于a 0<，b 0≤，x 0≤，即：2x b 0+≤要满足④式，在2x b 0+≠时，则必须有：'()f x 0≤，即：23x a 0+≤，即：2ax 3≤-，即：[x ∈，结合(,)x 0∈-∞得：[)x 0∈ ⑤⑷ 确定a b -的最大值M .由于区间I 是以,a b 为端点，a 0<，b 0≤，而[)x 0∈所以若b 0=，则a =a 0-=>，即：2a a 3=-，故：1a 3=- ，代入⑤式得：[,)1x 03∈- 故：(,)(,)1I a b 03==- ⑥ 故：a b -的最大值M由③式2h x 3x a 2x b 0()()()=++≥，画曲线21y 3x a =+和2y 2x b =+，且a 0<，b 0≤.当1y 0=时得A 点横坐标 A x =为开区间I 的左端点，且A xa =，为开区间I 的右端点. 由a =得：1a 3=-. 由图形可知ab -的最大值1M 3=知函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1x θ+=+-+ （[,]0θπ∈），若x 0≥时()f x 0≤，求θ的最小值.[解析]⑴ 求出函数的导函数由函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+得： 导函数为：[(sin )()(sin )]'()()2112x 1x x 1x f x 1x 1x θθ++-+=-++ [()sin]()2x12x 1x θ=-++ ①依题意，若x 0≥时，()f x 0≤所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.⑵ 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：'()f x 0=所以当在x 0≥区间'()f x 0≤时，函数()f x 在x 0≥区间单调递减故满足()f x 0≤的条件. 于是：'()[()sin ]()2xf x 12x 01x θ=-+≤+由于x 0≥，()21x 0+>，所以()sin 12x 0θ-+≤，即：sin 12x θ≥+ 故：sin 11202x θ≥≥++，即：sin 12θ≥ 求三角函数定义域得：sin 1θ≤，故：sin [,]112θ∈.我们知道对数不等式有：x 1x x 1xln()≤+≤+， 本题x 1x x x 1x x 111x 1x 1x(sin )(sin )[(sin )]θθθ+=+=--+++可以看出： x x 1x 1x 1x (sin )θ≤+++和x x 11x 1x[(sin )]θ--≤+，即：x x 1x x 1x 1x (sin )θ+≤≤++ 可见，f x ()处于x 1x 1x(sin )θ++随sin θ变化范围之内，所以求sin θ的范围. 本题要求()f x 0≤时，即：x 1x 1x 1x (sin )ln()θ++≤+. 通过本题，我们得到一个加强的不等式：x x 121x 1x()ln()++≤+()ln()x f x e x λ=-+.当()f x 0≥时，求λ的取值范围.[解析]⑴ 分析题意 设()x g x e =，()ln()h x x λ=+，则()()()f x g x h x =-，()f x 0≥的意思，就是()y g x =的图象在()y h x =的图象之上. 设在0x x =处，()y g x =与()y h x =的图象相切，此时，设λ值为0λ，只要0λλ≤，()y g x =的图象永在()y h x =的图象之上. ⑵ 由切点0x x =的关系来建模由于0x 点在曲线()y g x =上，故：0x 0y e = ①同时0x 点在曲线()y h x =上，故：ln()00y x λ=+ ②由①②式得：ln()0x 0e x λ=+ ③它们在0x x =图象相切，故：'()'()00g x h x =，即：=0x 01e x λ+ 故：ln()001x x λλ+=+ ④ ⑶ 解超越方程④式 方程④是一个超越方程，令01t x λ=+（t 0>），即：01x t λ+= 代入④得：ln t t -=或ln t t =- ⑤ 由于t ln 定义域为t 0>，所以ln t t 0=-<，即：t 1<，故：(,)t 01∈ ⑥ 由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）或x x 1ln ≤-（仅当x 1=时取等号）代入⑤式可得：ln t t t 1-=≤-，即：2t 1≥，即：[,)1t 2∈+∞ ⑦ 由⑥⑦得：1t 12[,)∈ ⑧⑷ 解出极值点的λ由③式得：ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=，即：ln 0x t t ==-， 即：001x t x λ=-=-+（01x12(,]∈--） ⑨ 故：()2001x 22x λ=-+=+≥，所以：当0x x =时，02λ≥ 由⑴的分析，本题答案是：0λλ≤，即2λ≤严格来说，解超越方程得0x t 056714329.=-≈-，0233.λ≈，本题答案是.233λ<； 实际上，函数f t t t ()ln =+的零点就是t 056714329.≈. 本题解析③式ln()001x x λλ+=+是关键，得到01t 01x (,)λ=∈+；由基本不等式x 1x ln -≥，得到[,)1t 2∈+∞；结合两式，故：1t 12[,)∈； 第⑷步解出极值点的λ的范围，标准答案2λ≤有点勉强. 这启示我们，在不会解超越方程时，采用取范围的策略.下面是极值点附近的函数图.（零点在0x 0567.≈-，0233.λ≈）()()22f x 1a x ax =+-，其中a 0>，求()f x 0>时x 的取值范围.[解析]()y f x =的图象是开口向下的抛物线，于是()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当()f x 0=时，1x 0=，221a x 2a +=≥，即：(,)21a x 0a +∈，即：(,)x 02∈故：x 的取值范围是(,)x 02∈a 0>，函数()x a f x x a -=+.若函数()y f x =在x 0>区间的图像上存在两点,A B ，在A 点和B 点处的切线相互垂直，求a 的取值范围.[解析]去绝对值号⑴ 对x a >，()x a f x x a -=+，其导数：'()()22a f x 0x a =>+ 即：在x a >区间，函数()f x 单调递增；⑵ 对(,)x 0a ∈，()x a f x x a -=-+，其导数：'()()22a f x 0x a =-<+ 即：在(,)x 0a ∈区间，函数()f x 单调递减；⑶ 对x a =，()()f x f a 0==，函数()f x 达到极小值0.⑷ 若A 点和B 点处的切线相互垂直，即：'()'()A B f x f x 1=- ①则A 点和B 点分居于两个不同的单调区域.设(,)A x 0a ∈，则(,)B x a ∈+∞，于是①式就是：()()22A B 2a2a 1x a x a ⋅=++，即：()()A B 2a 1x a x a =++ 即：()()A B x a x a 2a ++= ②⑷ 解析②式得⑤式由②式得：A B 2a x a x a+=+ ③ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈，代入③式得：B 2a a 2a x a <<+，即：B 1112x a<<+，即：()B 1x a 2<+< ④ 因为B x a >，所以B x a 2a +>，结合④式得：B 2a x a 2<+<即：2a 2<，故：a 1< ⑤⑸ 解析③式得⑦式 因为B x a >，所以B x a 2a +>，即：B 2a 1x a<+， 代入③式得：A B 2a x a 1x a+=<+，即：A x a 1+< ⑥ 因为(,)A x 0a ∈，所以代入⑥式得：2a 1<，即：1a 2<⑦自从得到②式后，⑷解析②式得⑤式和⑸解析③式得⑦式，都是逻辑推理，没有什么计算. 所以本题是“函数与逻辑”综合性的题目，这是本题的特点.()()1f x a 12x 2=--，a 为常数且a 0>. 若条件1：0x 满足(())00f f x x =；条件2：()00f x x ≠. 则满足这2个条件，称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点,12x x ，试确定a 的取值范围.[解析]⑴ 函数去绝对值号得出()1f x 和()2f x当1x 2<时，11x x 22-=-，()()1f x a 12x 2ax 2=--= 记：1f x 2ax ()= ①当1x 2≥时，11x x 22-=-，()()=()1f x a 12x 2a 1x 2=--- 记：2f x 2a 1x ()=()- ②条件1：(())00f f x x = ③条件2：()00f x x ≠ ④⑵ 在1x 2<及12ax 2<时解析①式 对二阶周期点0x x =，当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax =； 当012ax 2<时，复合函数仍用①式：(())()11010f f x 2af x = 故：()100f x 2ax =，(())21100f f x 4a x =条件1：2004a x x =，即：24a 1=，即：1a 2=；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠.⑶ 在1x 2<及12ax 2≥时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2≥时，函数用②式：(())[()]21010f f x 2a 1f x =- 故：()100f x 2ax =，(())()2100f f x 2a 12ax =-条件1：()002a 12ax x -=，即：022ax 14a =+；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠. 则：022a1x 214a =≠+ ⑤ ⑷ 在1x 2<及12ax 2≥时解析⑤式 将条件1：022ax 14a =+代入012ax 2≥得：224a 1214a ≥+ 即：228a 14a ≥+，即：24a 1≥，即：1a 2≥⑥ 将022ax 14a =+代入01x 2<得：22a 1214a<+ 即：24a 14a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10->故：1a 2≠ ⑦结合⑥式和⑦式及a 0>所以，⑤式022ax 14a =+为一个二阶周期点，记为：122ax 14a =+⑸ 在1x 2≥及()12a 1x 2-<时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-<时，应用①式得：(())()12020f f x 2af x = 故：()()200f x 2a 1x =-，(())()()2120200f f x 2af x 4a 1x ==-条件1：()2004a 1x x -=，即：2024a x 14a =+；条件2：()002a 1x x -≠，即：02a x 12a≠+. 则：222a 4a 12a 14a ≠++，即：22a 4a ≠，即： a 0≠且1a 2≠ i>将2024a x 14a =+代入()012a 1x 2-<得：()224a 12a 1214a -<+ 即：()214a 114a<+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10-> 即：1a 2≠ii> 将2024a x 14a =+代入01x 2≥得：224a 1214a >+ 即：228a 14a >+，即：24a 1>，即：1a 2>结合i>和ii>及a 0>所以，2024a x 14a =+为另一个二阶周期点，记为：2224a x 14a =+⑹ 在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-≥时，应用②式得：(())[()]22020f f x 2a 1f x =- 即：(())[()]2222000f f x 2a 12a 1x 2a 4a 4a x =--=-+ ⑧条件1：22002a 4a 4a x x -+=，即：022a 12a x 14a ()-=- 当12a 0-≠时，上式即：02a x 12a=+ 条件2：()002a 1x x -≠，即： 02a x 12a ≠+在得到①②式之后，列出两个条件③④，然后分别讨论，得到：⑴在1x 2<及12ax 2<时，条件1为1a 2=，条件2为1a 2≠，无解； ⑵在1x 2<及12ax 2≥时，条件1为022a x 14a =+，条件2为01x 2≠；⑶在1x 2<及12ax 2≥时，条件1为1a 2≥，条件2为1a 2≠，故1a 2>； ⑷在1x 2≥及()12a 1x 2-<时，条件1为2024a x 14a=+，条件2为02a x 12a ≠+. 经过分析得：二阶周期点2224a x 14a =+ ⑸在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时，条件1为02a x 12a =+，条件2为02a x 12a ≠+，无解.()()2x f x 1x e -=+，()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.[解析]⑴ 解读题意由于[,]x 01∈，所以有n x x ≤（n N +∈）.故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于()()2x f x 1x e -=+，()f 01=，'()[()]()2x 2x f x 121x e 12x e --=-+=-+()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，()g 01=，'()cos sin 23x g x a 2x 2x x 2=++- 构建函数：()()()h x f x g x =-⑵ 将函数()f x 化为幂函数形式构建函数：()1f x 1Ax =+，满足条件1：()()1f x f x ≤ ①构建函数：()()()21f x f x f x =-，条件1成为：()2f x 0≤ ②则：()()()21f 0f 0f 00=-=导函数：'()'()'()()2x 21f x f x f x A 12x e -=-=++ ③要满足[,]x 01∈时()2f x 0≤，必须是：'()2f x 0≤故由③式：()2x A 12x e -≤-+ ④⑶ 解析④式因为④式，记()()2x 0h x 12x e -=-+，则：'()[()]2x 2x 0h x 2212x e 2xe --=--+= 当x 0≥时，()0h x 是x 的单调递增函数.故：()()00h x h 01≥=-，则由④式：A 1≤-；且：()()200h x h 13e -≤=-，则由④式：2A 3e -≤-.由于213e --<-，所以满足[,]x 01∈区间时，A 1≤-取A 的最大值，A 1=-⑷ 构建函数()1g x 化解cos x由于cos x 是偶函数，且cos sin ()()222x x x x 12121222=-≤-⋅=-函数()g x 在()h x 中的不等号方向是：()h x 0≥，即：()g x 0-≥，即：()g x 0≤应构建函数()cos 1g x x ≥，且()1g x 也是偶函数.构建函数：()21g x 1Bx =-，满足条件2：()cos 1g x x ≥⑸ 构建函数()()cos 31g x g x x =-构建函数：()()cos 31g x g x x =-，条件2成为：()3g x 0≥则：()()cos 31g 0g 000=-=，导函数：'()'()sin 31g x g x x =+ ⑤要满足[,]x 01∈时()3g x 0≥，必须是：'()3g x 0≥故由⑤式：'()sin sin 1g x x 2Bx x 0+=-+≥，则：sin xB 2x ≤ ⑥当x 0→时，sin lim x 0x1B 2x 2→≤=当x 1=时，由⑥式得：sin .1B 0422≤取满足⑥式得B 的最大值，sin (.)1B 0422==⑹ 构建函数：()2g x构建函数：()()321x g x ax 12xg x 2=+++ 即： ()()()()3232x 1g x ax 12x 1Bx 1a 2x 2B x 22=+++-=+++- 因为()cos 1g x x ≥，则：()()2g x g x ≥⑺ 构建函数()1h x ，求a 的范围构建函数：()()()112h x f x g x =-若()1h x 0≥，因为()()()()()()121h x f x g x f x g x h x =-≥-=，所以()h x 0≥ 于是：()()[()()]311h x 1x 1a 2x 2B x 2=--+++-()()31a 3x 2B x 2=-++- 要使12B 02-≥，则1B 4≥，故：sin [,]11B 42∈ 此时，()()()()311h x a 3x 2B x a 3x 2=-++-≥-+ 若要()1h x 0≥，即：()a 3x 0-+≥，则：a 30+≤，即(,]a 3∈-∞-所以，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，实数a 的取值范围(,]a 3∈-∞-.这类函数题的判断，一般用两点即可：⑴在x 0=点的函数值f 0()和g 0()；⑵在x 0=点的导数值f 0'()和g 0'().本题20f 010e 1()()-⨯=+=，30g 0a 0120x 12()cos =⋅+++⋅⋅=，即：f 0g 0()()=. 其导数值2x f x 12x e '()()-=-+，即：20f 0120e 1'()()-⋅=-+⋅=- ①23x g x a 2x x x 2'()(cos sin )=++-，即：g 0a 2'()=+ ② 由于[,]x 01∈，函数的级数一般是收敛的，若使()()f x g x ≥恒成立，则必f 0g 0'()'()≥，即：1a 2-≥+，即：a 3≤-.()()ln()2x2x a x0f xx x0⎧++<⎪=⎨⎪>⎩，其中a是实数. 设(,())11A x f x，(,())22B x f x为该函数图像上的两点，且12x x<.若函数()f x的图像在点,A B处的切线重合，求a的取值范围.[解析]函数的导函数为：()'()()2x2x0f x1x0x⎧+<⎪=⎨>⎪⎩如果图像在点,A B处的切线重合，则点,A B分处于两个不同区间.因12x x<，故A点在1x0<区间，B点在2x0>区间.⑴设过A点的切线方程为：'()()111y y f x x x=+-①则：2111y x2x a=++②'()11f x2x2=+③将②③式代入①式得：()()21111y x2x a2x2x x=++++-即：()211y2x1x x a=+-+④⑵设过B点的切线方程为：'()()222y y f x x x=+-⑤则：ln22y x=⑥，'()221f xx=⑦将⑥⑦式代入⑤式得：ln()2221y x x xx=+⋅-，即：ln221y x x1x=+-⑧⑶即：()ln1221212x1xx a x1⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩由1x0<,2x0>得：()1212x10x+=>，即：1x1>-，故：(,)1x10∈-由()1212x1x+=得：()211x2x1=+，即：21x2>，故：(,)21x2∈+∞由ln212x a x1-+=-得：ln221a x1x=-+⑨⑷求a的取值范围由⑨式可知，a随1x，2x单调递增则a有最小值，当1x0→，21x2→时，a→最小值.故：(,)ln ln1211a a x0x102122>===-+=--，即：lna21>--。