数学建模、回归分析

除了多项式之外，通常选择的六类非线性曲线如下：
（1）双曲线
1 b =a+ y x
b （2）幂函数曲线 y = ax , 其中 x>0,a>0
（3）指数曲线 y = ae 其中参数 a>0.
bx
（4）倒指数曲线 y = ae
b/ x
其中 a>0
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
1 （6）S 型曲线 y = a + be − x
（1）确定回归系数的命令： [beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0） 估计 出的 回归 系数 残差 Jacobian矩阵 输入数据x、y分别为 n × m 矩阵和n维列向 量，对一元非线性回 归，x为n维列向量。 回归系数 的初值
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y ± DELTA.
i =1 n
1. 2. 3. 4.
线性关系是否显著？如果显著，则建立线性模型。 当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间? 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？ y还受其他因素影响吗? 如x1*x2, yt-1,xt-1
线性关系的显著性检验
1 记： y = ∑ yi n i =1 y = 94.4231
y = 11 .6036 e
−
1.10641 x
4、 nlintool(x‘,y’,‘volum’,beta0)；（作图）：
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5、预测及作图 [YY,delta]=nlpredci(‘volum’,20,beta,r ,J)； YY = 11.0024 delta = 0.2147（95%置信区间半径） plot(x,y,'k+',20,YY,'r')
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其它厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
引例1的解
1、输入数据： x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; 2、回归分析及检验： [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得到结果： b= bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000 ˆ ˆ ˆ 即 β 0 = −16.073, β1 = 0.7194 ；ˆ 0 的置信区间为[-33.7017，1.5612], β 1 的 β 置 信 区 间 为 [0.6047,0.834]; r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 。 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立。
8 综合实例：牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期 1 2 … 29 30 本公司价 格(元) 3.85 3.75 … 3.80 3.70 其它厂家 价格(元) 3.80 4.00 … 3.85 4.25 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 … 5.80 6.80 价格差 （元） -0.05 0.25 … 0.05 0.55 销售量 (百万支) 7.38 8.51 … 7.93 9.26
5 回归分析
回归分析是研究一个或多个随机变量与另一 些变量之间的关系的统计方法。应用回归模 型可以进行因果关系分析、预测、优化与控 制等多种目的。
回归分析分类： 一元回归分析：m=n=1； y = f ( x) + ε , ε ~ N (0, σ 2 ) 模型： 多元回归分析：m=1,n=k>1； 模型： y = f ( x , x ,L, x , β , β ,L, β ) + ε , ε ~ N (0, σ 多重回归分析：m>1，n>1； 模型：Ym×1 = F ( x1 ,L , xk , β1 ,L , β p ) + ε
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非线性回归化为线性回归
y = ae 两边取对数： ln y = ln a + b / x 换元： u = ln y , c = ln a, d = b, v = 1/ x a = ec , b = d 可化为线性方程： u = c + dv
原方程：
3、残差分析，作残差图：
rcoplot(r,rint)
从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点. （可以去掉该点重新回归）
Residual Case Order Plot
则线性关系不显著，反之显著。 F1−0.1 (4,13 − 4 − 1) = 2.8064
线性关系的拟合性检验(R检验)
Qe /(n − k − 1) 47.86 /(13 − 4 − 1) 2 R = = 0.9736 R = 1− (2677.9 + 47.86) /(13 − 1) (U + Qe ) /(n − 1)
1 2 k 1 2 p
2
)
回归分析的方法与步骤：
选定回归函数； 对回归函数中的位置参数 β , β , L , β 进行估计（最 小二乘方法）； 检验有关参数的假设（假设检验）；
1 2 p
建立回归方程进行预测和控制。
例2: 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试确定一个 线性模型.
2
R2越接近1，拟合度越高，则解释变量对被 解释变量的解释程度就高，可以推测模型 总体线性关系成立；反之，就不成立。但 这只是一个模糊的推测，不能给出一个在 统计上严格的结论，只作参考。刚才的显 著性检验才是严格的结论。
U /k F= Qe /(n − k − 1)
n −1 R = 1− n − k − 1 + kF
4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
Residuals
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 Case Number 12 14 16
7 matlab (一元)非线性回归
1、回归：
是事先用m-文件定 义的非线性函数
回归平方和：
n
ˆ ˆ ⎧ y1 = b0 + b1 x11 + b2 x21 + L + bk xk1 ˆ ˆ ˆ ⎪ L ⎨ ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yn = b0 + b1 x1n + b2 x2 n + L + bk xkn ⎩
残差平方和：
ˆ U = ∑ ( yi − y )
i =1
n
2
=2677.9
序号
1 7 26 6 60
78.5
2 1 29 15 52
74.3
3 11 56 8 20
104.3
4 11 31 8 47
87.6
5 7 52 6 33
95.9
6 11 55 9 22
109.2
7 3 71 17 6
102.7
8 1 31 22 44
72.5
9 2 54 18 22
93.1
10 21 47 4 26
ˆ Qe = ∑ ( yi − yi ) 2 =47.86
i =1
n
U /k 若线性关系不显著，则： F = Qe /(n − k − 1)
若 F < F1−α (k , n − k − 1)
F (k , n − k − 1)
2677.9 / 4 F= = 111.48 47.86 /(13 − 4 − 1)
2
经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据 模型就可以得到被解释变量的预测值为……值”。这 种说法是不科学的，也是统计模型无法达到的。如果 一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则 为0；如果一定要回答以100%的置信水平处在什么区 间中，那么这个区间是∞。 在实际应用中，我们当然也希望置信水平越高越好， 置信区间越小越好。如何才能缩小置信区间？
y = β 0 + β 1 x1 + ... + β p x p
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
回 归 系 数 的 区 间 估 计
ˆ ⎡β0 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ β b=⎢ 1⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ˆ ⎢β p ⎥ ⎣ ⎦
残 差
置 信 区 间
⎡Y1 ⎤ ⎡ 1 x11 ⎢Y ⎥ ⎢1 x 2⎥ 21 Y =⎢ X =⎢ ⎢ ... ⎥ ⎢... ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Yn ⎦ ⎢ 1 x n1 ⎣