第一章第二节 图解法

因此，求解 问题可转化为如何在可行域的顶点上 因此，求解LP问题可转化为如何在可行域的顶点上 求出使目标函数值达到最优的点的问题。 求出使目标函数值达到最优的点的问题。
用图解法求例1.1的最优解 的最优解。 例2.1 用图解法求例 的最优解。
max z = 2 x1 + 3 x 2 2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 ≤ 16 4 x1 s .t . 5 x 2 ≤ 15 x , x ≥ 0 1 2
启示！ 启示！
x2
6
顶 x1 点 Ｏ 0 Q4 0 Q3 3 Q2 4
( 2 ) min z = 2 x1 − x 2 -2 x1 + x 2 ≤ 2 s .t . x1 − 2 x 2 ≤ 1 x , x ≥ 0 1 2
二、LP问题的解的可能情况 问题的解的可能情况
1.有唯一最优解，如前例2.1。 有唯一最优解，如前例 。 有唯一最优解
max z = 3 x1 + 3 x 2 2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 2.有无穷多最优解（多重解），如： 4 x 有无穷多最优解（ ），如 有无穷多最优解 多重解）， ≤ 16 1 s .t . 5 x 2 ≤ 15 x , x ≥ 0 1 2
三、图解法的启示
1、LP问题的所有可能解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、 、 问题的所有可能解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、 问题的所有可能解的情况有 无界解、无可行解。 无界解、无可行解。 2、LP问题的可行域非空且有界时必是凸集（凸多边形，凸多面 、 问题的可行域非空且有界时必是凸集 凸多边形， 问题的可行域非空且有界时必是凸集（ 问题的可行域的顶点个数是有限的。 体，…）； 且LP问题的可行域的顶点个数是有限的。 ）； 问题的可行域的顶点个数是有限的 3、 LP问题的可行域非空且有界时，必有最优解；若可行域无界， 、 问题的可行域非空且有界时， 问题的可行域非空且有界时 必有最优解；若可行域无界， 则可能有最优解，也可能无最优解。 则可能有最优解，也可能无最优解。 4、LP问题最优解若存在，则必可在可行域的顶点上得到。若LP问 、 问题最优解若存在 则必可在可行域的顶点上得到。 问题最优解若存在， 问 题有两个最优解，则其在可行域连线上的点都是最优解。 题有两个最优解，则其在可行域连线上的点都是最优解。
基可行解 x2 x3 x4 0 12 16 3 6 16 3 0 4 2 0 0
z
x5
15 0 0 5
0 9
15
14
3
Q4
Q 33
Q2
故Q3(3,3)为最优解 为最优解
0来自百度文库
Q1 4
x1
练习： 用图解法求下面LP问题的最优解 问题的最优解。 练习： 用图解法求下面 问题的最优解。
(1 ) m in z = x 1 + 2 x 2 x1 + 4 x 2 ≥ 7 2 x1 + x 2 ≥ 6 s .t . 3 x1 + 2 x 2 ≥ 1 1 x ,x ≥ 0 1 2
第2节 图解法
一、LP问题的图解法 问题的图解法
1、梯度 、 2、图解法是两个变量问题最优解的直观解法 、 步骤为 首先画出直角坐标系； 步骤为：首先画出直角坐标系；然后满足约束条 件的区域---可行域 可行域； 件的区域 可行域；任取一目标函数值作一条目标函数线 (等值线）. 根据目标函数（最大或最小）类型，平移该 等值线） 根据目标函数（最大或最小）类型， 等值线 直线到即将离开可行域时， 直线到即将离开可行域时，则目标函数线与可行域接触的 最终点即为最优顶点（最优解）。 最终点即为最优顶点（最优解）。
max z = 2 x1 + 3 x 2
3.无界解 或无最优解），如： 无界解(或无最优解），如 无界解 或无最优解），
4 x1 ≤ 16 s .t . x1 , x 2 ≥ 0
max z = 2 x1 + 3 x 2
4.无可行解。如： 无可行解。 无可行解
2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 s .t . x1 + 2 x ≥ 16 x ,x ≥0 1 2