9.7 抛物线.ppt
合集下载
超实用高考数学专题复习教学课件：9.7 抛物线
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物
线.( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( × )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).( × )
l,A,B
2π
是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB= ,设线段
3
的投影为
||
N,则 || 的最大值是(
√3
A. 4
√3
B. 3
AB 的中点 M 在 l 上
标准方程
顶 点
对称轴
焦 点
离心率
y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
O (0,0)
x轴
y轴
p
F(2 ,0)
p
F(-2 ,0)
p
F(0,2 )
p
F(0,-2 )
p
x=2
p
y=-2
pห้องสมุดไป่ตู้
y=2
e= 1
由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,
与抛物线准线的交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(
A.8
B.9
)
C.10 D.12
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,
Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若 =4
|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
高考数学复习第九章解析几何9.7抛物线文北师大版市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
思索求抛物线标准方程惯用方法和关键是什么?
又因为曲线 y= (k>0)与抛物线交
于点 P,PF⊥x 轴,
(1)2√如图所示,可知
2 (2)D
P(1,2),故1=2,解得
关闭
k=2,故选 D.
解析
答案
17/35
-18考点1
考点2
考点3
解题心得1.求抛物线标准方程惯用方法是待定系数法,其关键是
判断焦点位置、开口方向,在方程类型已经确定前提下,因为标准
C.8√3
D.16
√3
关闭
故|PF|=|AF|=2|MF|=2p=8.
(1)A
(2)B
思索怎样灵活应用抛物线定义处理距离问题?
解析
答案
12/35
-13考点1
考点2
考点3
解题心得1.轨迹问题:用抛物线定义能够确定动点与定点、定直
线距离相关轨迹是否为抛物线.
2.距离问题:包括点与抛物线焦点距离问题常转化为点到准线距
2
x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
4
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(
)
关闭
答案
6/35
-7知识梳理
双基自测
1
自测点评
2
3
4
5
2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x
2
(
2
- 3 =1
2
的渐近线的距离是
)
1
2
A.
√3
B.
C.1
2
D.√3
关闭
由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=±√3x,
又因为曲线 y= (k>0)与抛物线交
于点 P,PF⊥x 轴,
(1)2√如图所示,可知
2 (2)D
P(1,2),故1=2,解得
关闭
k=2,故选 D.
解析
答案
17/35
-18考点1
考点2
考点3
解题心得1.求抛物线标准方程惯用方法是待定系数法,其关键是
判断焦点位置、开口方向,在方程类型已经确定前提下,因为标准
C.8√3
D.16
√3
关闭
故|PF|=|AF|=2|MF|=2p=8.
(1)A
(2)B
思索怎样灵活应用抛物线定义处理距离问题?
解析
答案
12/35
-13考点1
考点2
考点3
解题心得1.轨迹问题:用抛物线定义能够确定动点与定点、定直
线距离相关轨迹是否为抛物线.
2.距离问题:包括点与抛物线焦点距离问题常转化为点到准线距
2
x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
4
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(
)
关闭
答案
6/35
-7知识梳理
双基自测
1
自测点评
2
3
4
5
2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x
2
(
2
- 3 =1
2
的渐近线的距离是
)
1
2
A.
√3
B.
C.1
2
D.√3
关闭
由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=±√3x,
高考数学统考一轮复习第九章9.7抛物线课件文新人教版ppt
y2＝±4 2x，故选D.
2
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物
[－1，1]
线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设
直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 ＋(4k2
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定
是抛物线．( × )
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦
a
a
点坐标是 ，0 ，准线方程是x＝－ .( × )
引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，
1
1
所以|x0|＝4，所以S△MPF＝ ×|PM|×|x0|＝ ×5×4＝10.
2
2
悟·技法
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转
(
)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F作斜率为
3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝(
)
A．2
B．1
C． 3
D．4
π
解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝ ，
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定
2
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物
[－1，1]
线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设
直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 ＋(4k2
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定
是抛物线．( × )
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦
a
a
点坐标是 ，0 ，准线方程是x＝－ .( × )
引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，
1
1
所以|x0|＝4，所以S△MPF＝ ×|PM|×|x0|＝ ×5×4＝10.
2
2
悟·技法
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转
(
)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F作斜率为
3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝(
)
A．2
B．1
C． 3
D．4
π
解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝ ，
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定
课件5：9.7 抛物线
[答案] (1)B (2)见解析
第九章 第7讲
第17页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
求抛物线方程的方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值， 这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点 在 x 轴上，设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上，设为 x2＝by(b≠0)．
第九章 第7讲
第4页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
4 个必记结论——直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于 A，B 两 点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的倾斜角)． (2)x1x2＝p42.
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
第九章 平面解析几何
第九章 第7讲
第1页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
9.7 抛物线
第九章 第7讲
第2页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
第20页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
9.7抛物线
图形
顶点 对称轴 y＝0
O(0,0) x＝0
焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径
p F2，0
p F-2，0
p F0，2
p F0，-2
p x＝－2 x≥0， y∈R 向右 |PF|＝ p x0＋2
e＝1 p p x＝2 y＝－2 x≤0， y∈R 向左 |PF|＝ p －x0＋2 y≥0， x∈R 向上 |PF|＝ p y0＋2
题型三 直线与抛物线 例3 设直线 ay＝x－2 与抛物线 y2＝2x 交于相异两点 A、 以线 B， 段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心)， 试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆 周上；并求 a 的值，使圆 H 的面积最小．
思维启迪：当原点 O 在圆周上时，OA⊥OB， 要使圆面积最小，只要圆 H 的半径最小．
题型二
抛物线的定义及应用
例 2 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 与 抛物线上的动点， 又有点 A(3,2)， 求|PA|＋|PF| 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
思维启迪：由定义知，抛物线上点 P 到焦 点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，求 |PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d 的问题．
§9.7 抛物线 基础知识
要点梳理 1．抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l) 的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛物线 的 准线
自主学习
2．抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
课件4：9.7 抛物线
成功破障 以抛物线 y＝14x2 的焦点为圆心，3 为半径的圆 与直线 4x＋3y＋2＝0 相交所得的弦长为( )
42 A. 5 C．4 2
B．2 2 D．8
[解析] 因为抛物线 y＝14x2 的标准方程为 x2＝4y，所以焦 点坐标为(0,1)，即圆心坐标为(0,1)，它到直线 4x＋3y＋2＝0 的 距离为 d＝|3＋5 2|＝1, 所以弦长为 2 32－12＝4 2.故选 C.
第九章 平面解析几何
9.7 抛物线
考纲要求
• 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质(范围、对称性、顶点、离心率)．
• 2．理解数形结合的思想． • 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
[要点梳理] 1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离__相__等___的点的轨迹 叫做抛物线．点F叫做抛物线的_焦___点__，直线l叫做抛物线的_准__线__．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ，则|AB|＝si2np2θ； (3)若 F 为抛物线焦点，则有|A1F|＋|B1F|＝2p.
【失误与防范】
1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但 首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
2．注意应用抛物线的定义解决问题．
－p4(x－2)，联立yy＝＝2－1pp4x2，x－2， 得 2x2＋p2x－2p2＝0.设点 M 的横坐标为 a②，
易知在 M 点处切线的斜率存在，则在点 M 处切线的斜率 为 y′x＝a＝21px2′x＝a＝ap，又因为双曲线x32－y2＝1 的渐近线 方程为 x3±y＝0，其与切线平行，所以ap＝ 33，即 a＝ 33p，代 入 2x2＋p2x－2p2＝0 得，p＝433或 p＝0(舍去)．
课件5：9.7 抛物线
【解答过程】因为 P 点到直线 x＝－1 的距离等于 P 点 到抛物线 y2＝4x 焦点 F 的距离，
故当 P 点位于 AF 上时，点 P 到点 A(0，－1)的距离与到 直线 x＝－1 的距离和最小，
此时|PA|＋|PF|＝|AF|＝ 2.
【题后总结】本题考查的知识点是抛物线的简单性质， 其中根据抛物线的性质，将点 P 到点 A(0，－1)的距离与到 直线 x＝－1 的距离和，转化为 P 点到 A，F 两点的距离和， 是解答本题的关键．
点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1.
过焦点 F 作直线 x－y＋4＝0 的垂线， 此时 d1＋d2＝|PF|＋d2－1 最小， 因为 F(1,0)，则|PF|＋d2＝|1－10＋＋14|＝522， 则 d1＋d2 的最小值为522－1. 答案：D
【解答过程】(1)设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，
把点 M(1,2)代入求得 p＝2，
所以抛物线的方程为 y2＝4x，焦点坐标为 F1(1,0)．
对于双曲线，一个焦点坐标为 F1(1,0)，则另一个焦点坐
标为 F2(－1,0)，
故 c＝1,2a＝||MF1|－|MF2||＝2 2－2， 所以 a＝ 2－1，所以 b2＝c2－a2＝2 2－2，
【例题展示】 点 P 是抛物线 y2＝4x 上一动点，则点 P
到点 A(0，－1)的距离与到直线 x＝－1 的距离和的最小值
是( )
A. 5 C．2
B. 3 D. 2
Hale Waihona Puke 【审题过程】由抛物线的性质，我们可得 P 点到直线 x ＝－1 的距离等于 P 点到抛物线 y2＝4x 焦点 F 的距离，根据 平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点 P 到点 A(0， －1)的距离与到直线 x＝－1 的距离和的最小值．
《抛物线》ppt课件高中数学人教版2
典例导航
题型一：抛物线的焦点与准线
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
变式训练
1.抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标为___________；
准线方程为
．
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
Hale Waihona Puke •9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1 人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
人教版高中数学选修2-1习题课件：2. 4 抛物线 1
典例导航
9.7抛物线
9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．21．判断正误(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )2．已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，316 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫316，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 3．准线方程为x ＝3的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝－6xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝12x4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为( )A．3 B．2 C．52D．－25．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|考点一·抛物线的定义及应用【例1】(1)(2014·新课标卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝( )A．1 B．2C．4 D．8(2)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|P A|＋|PF|的最小值为__________，此时P点的坐标为__________．1．(1)(2014·新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，则|AB|＝( )A．303B．6C．12 D．73(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3 C．115D．3716考点二 抛物线的标准方程及几何性质【例2】 (1)(2017·泉州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x(2)若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m >0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是__________．(1)以双曲线x23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x(2)(2016·新课标全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点三抛物线与直线相交问题【例3】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．2017全国设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.巩固提高1．．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1 C.32D．22．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x=的焦点到直线0x=的距离是（）A．B．2C D．13．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.则C的方程为___________________________；4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O为坐标原点,F为抛物线2:C y=的焦点,P为C上一点,若||PF=,则POF∆的面积为（）A．2B．C．D．45、在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.。
9.7 抛物线
a a 成x=的形式，于是从题设有 2 m 5, 2 2am 9 解此方程组可得四组解
a1 1 a2 1 a3 9 a4 9 9, 9, 1 1, m1 2 m2 2 m3 2 m4 2 .
思维启迪
（1）由定义知，抛物线上点P到焦点
F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. （2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 （1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6 .
∵ 6 ＞2,∴A在抛物线内部. 1 设抛物线上点P到准线l:x=的距离为d, 2 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为 ， 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 2 代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）. 1 （2）由于直线x=即为抛物线的准线， 2 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|， 当且仅当B、P、F共线时取等号.
抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则
p2 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； 4
2p (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； 2 sin (3)若F为抛物线焦点，则有 1 1 2 . AF BF p
失误与防范
1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是 标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断 是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.
锥曲线弦长问题常用的运算技巧.
知能迁移3
a1 1 a2 1 a3 9 a4 9 9, 9, 1 1, m1 2 m2 2 m3 2 m4 2 .
思维启迪
（1）由定义知，抛物线上点P到焦点
F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. （2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 （1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6 .
∵ 6 ＞2,∴A在抛物线内部. 1 设抛物线上点P到准线l:x=的距离为d, 2 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为 ， 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 2 代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）. 1 （2）由于直线x=即为抛物线的准线， 2 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|， 当且仅当B、P、F共线时取等号.
抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则
p2 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； 4
2p (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； 2 sin (3)若F为抛物线焦点，则有 1 1 2 . AF BF p
失误与防范
1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是 标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断 是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.
锥曲线弦长问题常用的运算技巧.
知能迁移3
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
2019高考数学一轮复习-9.7 抛物线课件
2
2
2
(2)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.
又点 P 到焦点 F 的距离为 2,
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
1
1
∴△OFP 的面积为 S=2·
|OF|·
|yP|= ×1×2=1.
2
-12考点一
2
+ 2 =1,解得
x=2,
将 A(2,1)代入抛物线方程,得 1=2p×2,解得
1
p= .
4
-20考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
与抛物线相关的最值问题
例 3(1)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为
d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A
( C )
7
9
A.
B.4
都有,主要有求抛物线的方程
或已知方程求参数,求抛物线
中的弦长、面积,以及直线与抛
物线综合问题等,也经常结合
椭圆或双曲线进行综合考查;
3.题目的难度:抛物线的客观
题难度中等偏低,抛物线与直
线、其他圆锥曲线及导数结合
出题难度偏高.
-3知识梳理
考点自测
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的
点坐标是 4 ,0 . ( × )
-8知识梳理
考点自测
2.(2017 湖南邵阳一模,文 5)点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准线的距
离为 1,则 a 的值为( C )
1
1
2
2
(2)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.
又点 P 到焦点 F 的距离为 2,
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
1
1
∴△OFP 的面积为 S=2·
|OF|·
|yP|= ×1×2=1.
2
-12考点一
2
+ 2 =1,解得
x=2,
将 A(2,1)代入抛物线方程,得 1=2p×2,解得
1
p= .
4
-20考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
与抛物线相关的最值问题
例 3(1)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为
d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A
( C )
7
9
A.
B.4
都有,主要有求抛物线的方程
或已知方程求参数,求抛物线
中的弦长、面积,以及直线与抛
物线综合问题等,也经常结合
椭圆或双曲线进行综合考查;
3.题目的难度:抛物线的客观
题难度中等偏低,抛物线与直
线、其他圆锥曲线及导数结合
出题难度偏高.
-3知识梳理
考点自测
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的
点坐标是 4 ,0 . ( × )
-8知识梳理
考点自测
2.(2017 湖南邵阳一模,文 5)点 A(2,1)到抛物线 y2=ax 准线的距
离为 1,则 a 的值为( C )
1
1
2021高考数学课件9.7抛物线
2．[选修一·P73 T2]抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个
答案：C 解析：抛物线 y2＝8x 的准线方程为 x＝－2，则抛物线顶点到准 线的距离为 2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根 据抛物线的对称性可知抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有 2 个．
4．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是________．
答案：[－1,1] 解析：Q(－2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设 直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋ (4k2－8)x＋4k2＝0，由 Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－ 1≤k≤1.
(p>0) (p>0) (p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
焦点
离心率 准线 方程
焦半径
通径长
Fp2，0
x＝－p2 x0＋p2
F＋p2
y0＋p2
2p
F0，－p2
y＝p2 －y0＋p2
【教材提炼】
一、教材改编
1．[选修一·P72 练习 T1]过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物 线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y C．y2＝－8x 或 x2＝－y D．y2＝－x 或 x2＝－8y
答案：D 解析：若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2＝ax，将点 P(－4， －2)的坐标代入，得 a＝－1，所以抛物线的标准方程为 y2＝－x；若 焦点在 y 轴上，设方程为 x2＝by，将点 P(－4，－2)的坐标代入，得 b＝－8，所以抛物线的标准方程为 x2＝－8y.故所求抛物线的标准方 程是 y2＝－x 或 x2＝－8y.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) B, O, D三点在一条直线上
(5)以AB为直径的圆和抛物 线的准线相切．
H
B
|AB|＝|AF|＋|BF| ＝|AD|＋|BH| =2|MN|.
(6)以AF为直径的圆Y轴相切．
主页
N
O
M F A
x
D
基础自测
题号 答案
1 2
3 4 5
(4,4 2)或(4, 4 2)
4
y2 4 x
B C
标准方程为 y ＝4x.
2 解:(1)抛物线 y ＝2px (p>0)的准线为 x＝－ pp， ， 解:(1)抛物线 2 ＝2px (p>0)的准线为 x＝－ y 2 2 p 解:(1)抛物线 y ＝2px x＝－ ， ＝2px (p>0)的准线为 (p>0)的准线为 x＝－2， p p 2 于是 4＋ p ＝5，∴p＝2. ＝5，∴p＝2. 于是 4＋ 2 2 于是 4＋ 5，∴p＝2. 2＝5，∴p＝2. 2 ∴抛物线的标准方程为 y ＝4x. ∴抛物线的标准方程为 2 2＝4x. y ∴抛物线的标准方程为 y ＝4x. 2
主页
(2)由(1)得点 A 的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, M(0, M(0, (2)由(1)得点 A 的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, 4), 4),4), 2)， 2)， (2)由(1)得点 A 的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, M(0, 2)， (2)由(1)得点 A 的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, 4), M(0, 2)， 4 4. ∵MN⊥FA，∴k (2)由(1)得点 AA的坐标是(4, 4),由题意得 B(0,B(0, .4), M(0, 2)， (2)由(1)得点 A A 的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, 4),3 2)，2)， (2)由(1)得点的坐标是(4, 4),由题意得 B(0, 4),3M(0, M(0, 的坐标是(4, 4),由题意得＝－M(0, 4 (2)由(1)得点 4), 3 2)， ∵F(1,0)，∴kFA 4 MN ∵F(1,0)，∴kFA＝ ＝∵MN⊥FA，∴kMN＝－ ＝－ . . ∵F(1,0)，∴kFA.＝ . ∵MN⊥FA，∴kMN 3 3 3 3 4 ∵MN⊥FA，∴k ＝－ 3. 4 3 4 4 3 4 3 ∵F(1,0)，∴kFA＝ .4 4 MN ∵F(1,0)，∴kFAFA＝ ∵MN⊥FA，∴kMN＝－＝－ . . . ∵F(1,0)，∴k ＝3＝ . ∵MN⊥FA，∴kMN 4 ∵F(1,0)，∴k FA ＝3..∵MN⊥FA，∴kMN＝－＝－ ∵F(1,0)，∴kFA3 3 ∵MN⊥FA，∴kMN4.4 . 4 4 则 FA 所在直线的方程为 y＝ (x－1)． 3 y＝4y＝4(x－1)． 4 则 FA FA 所在直线的方程为 (x－1)． 所在直线的方程为 43 则 4 (x－1)． 3 则 FA 所在直线的方程为 y＝3 (x－1)． FA 所在直线的方程为 y＝ 4(x－1)． 4 43 则 FA 所在直线的方程为 y＝3 (x－1)． 则 FA 所在直线的方程为 y＝ 3 则 MN 所在直线的方程为 y－2＝－ (x－1)． 则 所在直线的方程为 y－2＝－ 3x. x. FA 所在直线的方程为3y＝ 3 3 MN 4 34 MN 所在直线的方程为 y－2＝－ x. 3 3x.4 MN 所在直线的方程为 y－2＝－ x. x. 3 所在直线的方程为 y－2＝－ 3 3 MN 所在直线的方程为 y－2＝－ 8 8 MN 4 4x－1 y－2＝－ x. 44 4 MN 所在直线的方程为 y－2＝－ x. MN 所在直线的方程为 y＝ 4 x＝ y＝ x－1 x＝ 4 4 8 3 x－1 5 344 5 x＝ 8 y＝ 4 x－1 ，得 解方程组y＝ x－1 ，得x＝8 8 .∴.∴(N ( 8 ).4 ). 3 x＝ 5 N 8 , 4 , 8 4 解方程组 y＝ 34x－1 y＝ 4 3 3 x＝ 4 8 8 5 45 5 3 3x－1 5 58 8 ( 4 5 4 解方程组y＝ x－1 ，得y＝x＝ .∴ N4 5 , ). y－2＝－ x ，得 y＝ x＝4 .∴ N ( 8 , 5 ).5 y＝ x 4 3 ，得 解方程组 5 .∴ 解方程组 y－2＝－43 解方程组 33 4 .∴ ( ( , , 5 8 y－2＝－ x ，得 5 y＝5 5 NN5 55 ). ). 44 5 ( 解方程组 y－2＝－343x4 ，得y＝5 5 .∴ N (5 , , ).). 解方程组y－2＝－ xx ，得 4 4 .∴ N 8 y＝ y＝ 探究提高 y－2＝－4 3 4 3 5 5 44 55 55 y－2＝－ x x y＝ y－2＝－ y＝ (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可 44 55 利用题中已知条件确定p的值.注意到抛物线方程有四种标准形 式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. (2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可 以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 主页
变式训练 1
如图,已知抛物线 y2 k≠0,则直线 OB OB 的方程为 解:设直线OA 的方程为 y＝kx,＝2px (p>0)有一个内接直角三角 解:设直线 OA 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 的方程为 解:设直线 OA 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 OB 的方程为 形,直角顶点在原点, 两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛 y＝kx， y＝kx， 2p 2p 11 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 OB 的方程为 解:设直线 OA y＝－kx，由 2 得 得 x＝0 x＝ 2 . x＝0 或 或2p 物线方程． y＝kx， y＝－ x，由 2 1k 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 x＝ k2 . 解:设直线 1 OA 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 k . OB 的方程为 解:设直线OA的方程为＝2px， x＝0 或 OB 的方程为 解:设直线 OAOA 的方程为 y＝kx, k≠0,则直线 的方程为 y2 ＝2px， 得 y＝－k y＝kx， 解:设直线x，由yy y＝kx, k≠0,则直线 x＝ kOB 2p 2 2 ＝2px， y＝－kx，由y＝kx， 得 x＝0 或 x＝ 2 . y＝kx， 2 p p 22p p 11 1x，由(＝2px，2) ，B 点坐标为(2pk22p 2 yy＝kx， 得 y＝kx， x＝0 或 x＝2pk 2p ，－2pk)， ∴A 点坐标为 ( 2 y＝－ 点坐标为2 p , 2,p ) ，B 点坐标为(2pk y＝－ 1x，由k 得 x＝0 或或 x＝0 或 x＝ y＝－k kx，由2＝2px，k 得得 x＝0 k2 . x＝ . 2 . ，－2pk)， ∴A kx，由y 22 2 y＝－k (y＝2px， ，B 点坐标为(2pk22，－2pk)， y ＝2px， ∴A 点坐标为 2 p2 ,2 p ) 2 k k )k 点坐标为(2pk2k k , k2 ∴A 点坐标为 (2y ＝2px， p2p2 p 2p，B 2k2＋1 22 ，－2pk)， 2 p k 2 B点坐标为(2pk ,－2pk). 2 p p 4p 2 24k2＋1 2 ∴A 点坐标为 ( k ,2 p ) ，B 点坐标为(2pk ，－2pk)， ① ∴A 点坐标为( ，B k ＋1 ＝1， 2 点坐标为(2pk , ∴A 点坐标为 k(2 (22 k, , ))，B 点坐标为(2pk ，－2pk)， 2 ＋1 4 ＝1， ，－2pk)， ① )，B24p4 ＝1， ∴A 点坐标为k 2 k 4p k k 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 2k 点坐标为(2pk ① k k k4p 2 4 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 ＋1 2 k 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得2k2 k2 ＝1， 4p k22 ＋1＝64，① ② 2 2kk 2 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得4p 42k＝1， 2 22 2 ① k22 2＋1 ＝1， 4pk kk＋1＝64， ② ① ② 4p2＋1 ＋1＝64， k4 ＋1 k 4pk ＋1＝64， 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 4p2 k 6 4p22k 4p k4 4 ＝1， ② ① ②÷ ①解方程组得 k6 ＝64，即 ＝4. k 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得2 k 2 4p k 2 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 kk2＋1＝64， ② 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 22 k 2 ②÷①解方程组得 ＝64，即 2＝4.＝4. ①解方程组得 k k6＝64，即 2 2 ②÷ 6 4p k2k ＋1＝64， ② 16 ②÷ 2 ①解方程组得 k 4 ＝64，即4p k 2k 2 2 5 6 . 又 p>0，则 p＝ ＋1＝64， 2 ＝4. k 则 p 2＝ 2 16 ＝＝64，即 k 4p k2k 5 ， 2 4 4 2 5 ＋1＝64， ②② ②÷ ①解方程组得 k 5 ＝4. 则 p2 2＝ 2k216 ＝＝6又 又 p>0，则 p＝， 5， ＝k 16＋1 4 .6 . p>0，则22 2 5 2 p＝ 则pp＝ k k ＋1 4 5k又 p>0，则kp＝ 5 5 ， 22 2 则 ①解方程组得 . ＝64，即 ＝4. ＝ ②÷ 2k16 2＋15 5 6 ②÷2①解方程组得k又＝64，即 k ＝4.， 5 k ＝ . kp>0，则 p＝k2＝4. 则②÷ k2 k ＋1 p＝ 4 5 ①解方程组得 ＝64，即 5 5 k k2＋1 5 4 y22＝ 5 x. 故所求抛物线方程为 16 2 2 1616 ＝ .4 又4p>0，则 p＝2 25， 4 y ＝4 5 4x. 5 2 ＝ 2 2 故所求抛物线方程为 2 4 p>0，则 p＝ 5， 则pp 2 2 2 则则 ＝＝ k ＋1 ＝y 又y255 x. x. p＝ 5， 故所求抛物线方程为y2＝ 又 x. ＝ 主页 5 故所求抛物线方程为 5 p>0，则 5 p kkk ＋1＝5. . ＝ 2 2 故所求抛物线方程为 5