新人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》ppt课件
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24.1.4圆周角(优秀课件)
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
B
O
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的
内角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 A
∠A＝∠DCE
O
D
圆内接四边形的一个
B
C
E
外角等于它的内对角。
探索结论
先根据图形讨论，然后用语言归纳为 :
性质定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。 D
A
几何表达式： ∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠A+∠C=180°且∠B=∠1 .
A
O B C
问题1 如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 A 四边形ABCD外接圆.
B D
O
C
问题3
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半， ∠BCD的度数等于弧BAD的一半，A 又∵弧BCD+弧BAD 度数为360°， ∴∠A＋∠C＝ 180°.
O
D
B
C
同理∠B＋∠D＝180°.
D
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
∠E＋∠F＝180° CE∥DF
新人教版九年级数学上册圆周角课件PPT
上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
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证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．
为什么呢？
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证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
九年级数学上册 24.1.4《圆周角》课件 新人教版
探究
问题(wèntí)：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点 C?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
A
B
顶点(d
两边(liǎngbiān)都
与圆相交
第三页，共22页。
问题(wèntí) 探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明
(shuōmíng)理由。
连接(liánjiē)BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ∴△°ABC是锐角三角形
第十九页，共22页。
6. 如图，⊙O的直径(zhíjìng)AB为10cm，弦AC为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、 BD的长.
7. 求证，如果三角形一边(yībiān)上的中线等 于这条边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。
分析(fēnxī)论证
你能证明(zhèngmíng)第2
A
提种示：情作况射线吗(s？hèxiàn)AO交⊙O
于D。转化为第1种情况
O
证明：由第1种情况得
∠BAD＝ ∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ ∠ COD
∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD
即∠BAC=
∠BOC
第九页，共22页。
分析(fēnxī)论证
思考：定理中的“同弧或等弧”能否改为“同弦
或等弦”？
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等 (xiāngděng)，那么它们所对的弧相等(xiāngděng)，
所如对图的，弦一在定⊙相O等中(x，iān若gděng)。 ∠AMB=∠CMD，则 是否AB相与等C？D
第十三页，共22页。
练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边 形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角 中哪些(nǎxiē)是相等的角？
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角 课件
四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由 于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠A 即 A 1BOC
BAD1BOD 2
DAC1DOC 2
D A C D A B 1( D O C D O B ) A 2
BAC1BOC 2
O·
D
C B
定理
定理
C
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
D A
O·
E
B
推论
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
B
P 120°
600
O.
பைடு நூலகம்
X
B
A
例题
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
例题
2、如图，在⊙O中，AB为直径，C⌒B = C⌒F,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
C2
C1
C3
A
·O
B
练习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形
ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪 些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
数学：24.1.4《圆周角》课件(人教新课标九年级上)
典型例题
Байду номын сангаас
2.如图，点A、B在⊙O上，点P为⊙O上 动点，要是△ABP为等腰三角形， (1)请画出所有符合条件的点P.
(2)如果∠AOB=１００°，请求出所 有符合条件∠P的度数.
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2 把圆周4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ；
拓展提高
1、如图，AD是⊙O的直径． (2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2， B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数；
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2， B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答 案 )．
人教版九年级上册
C E O D
B
A
路桥三中 张春凤
知识回顾
顶点在圆心的角叫圆心角
探究新知
顶点在圆上，两边都与圆相交的 角叫做圆周角。 C
O A B
探究新知 下列哪些图中的∠α是圆周角? 一个角是圆周角的条件：
1
（1）角的顶点在圆上； （2）角的两边都与圆相交 。 (3)
(6)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等 ,都等于这条弧所对圆心角的一 思考 :在同圆或等圆中，等弧所对的圆周 角相等吗 ? 半。
活动小结 1、因图形的位置不能确定， 就必须分类讨论；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类； 3、逐类讨论解决； A
A
●
O
O
B C
4、归纳并作出结论。
转化 思想
人教版数学九上24.1.4 圆周角 说课课件(共21张PPT)
D
BF
三、总结提升---解题方法总结
常见解法
等腰直角三角形
角平分线、四边形
C
F A EO
A B
D C
A
A
O
B
D
常见思路，但没有充 分运用特殊角的条件
C
12
E O
CD
12
O E
A B
C
12
O
D C
12
B
A
O
E
E B A E
B
C
12
O E
D
F B
D D
充分利用特殊角构造 等腰直角三角形
从角平分线入手，构 造角平分线基本图形， 再由特殊角得到特殊
如图，以ABC 的BC 边上一点O为圆心的圆经过
A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半
圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC FC.
A
求证：B 2C 90
等弧、半径
B
OF
E
C
垂径定理
连接AO
D
BC OD
等腰OAD
RtODF
三、总结提升---模型归纳
在 O 中，AB是直径，弦AC与弦BC交圆于C 点C，
24.1.4圆周角
题目：
九年级上册 87页 24.1.4圆周角 例4
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交于⊙O点D，求 BC，AD，BD的长.
说题流程
一、审题分析 二、解题过程 三、总结提升 四、评价分析
一、审题分析
题目背景
题
知
方思
材
识
法想
背
背
背背
景
相关主题
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例
题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线 交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
【解析】
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． A 在Rt△ABC中，
BC AB 2 AC 2 102 62 8
O
B
∵CD平分∠ACB，
D
ACD BCD. ∴AD=BD.
O B
E D
C
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径 AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的 长是( )
C A O B
A．1
B． 2 C． 3 D．2 【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，
30°的角所对的边是斜边的一半.
中小学课件
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
中小学课件
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小. E C E A F D O O D A B B C 2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？ 想一想 反过来呢？ 3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，
C
C
B
A C
A
O
O
O
B
A
B
顶点在圆上 两边都和圆相交 圆周角： __________，并且角______________. 圆心角: 顶点在圆心 ___________ 的角.
中小学课件
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
C
C
O B
化 归
A
分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转
化成一系列的简单问题或已证问题．
中小学课件
3.（衢州·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是
弧BC的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD的度
数是 ．
A O D C
B
【解析】如图，连接OD，∵D是弧BC的中点，
∠COB=120°．∴∠CBD=
1 1 ∠COD= 1 × ∠COB=30°. 2 2 2
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°， ∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°. 答案：101°
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 2 AB 10 5 2 (cm) 2 2
中小学课件
跟踪训练
A
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）.
B
O C
A.50° B.80° C.90°
D.100°
B
C
E
A
O
O
D
C
A
B D
F
中小学课件
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
C E D A O B
中小学课件
24.1.4
圆周角
中小学课件
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单 应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数
学思想方法.
中小学课件
中小学课件
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆 周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC 等于（ B ）. A.30° B.60° C.90°
C
D、45°
A P
中小学课件
B
A
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ A.70° B.110° C.90° B ）. D.120°
O A B
化 归
O
A B小学课件
理解定理 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角 的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？
如果弧AB＝弧CD，那么∠E和
∠F是什么关系？ 反过来呢？
E
A B
O2
F O1 C
中小学课件
D
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆） 1 且CO= AB 已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线， 2 求证： △ABC 为直角三角形. C 证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO=
1 AB, 2
1
A · O B
中小学课件
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？ O 【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° A B
C
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
中小学课件
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,∴∠ACB= ×180°= 90°. 2
∴ △ABC 为直角三角形.
中小学课件
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．