(江苏专用)202x版高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 7 第7讲 坐标系与参数方程 文

2．圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)圆心位于 Mr，π2，半径为 r：ρ＝2rsin θ.
极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，
设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极
坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，
y＝ρsin
θ，
tan
θ＝xy（x≠0）.
1．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin θ＝3，则点2，π6到直 线 l 的距离为________． 解析：因为直线 l 的极坐标方程可化为 y＝3， 点2，π6化为直角坐标为( 3，1)， 所以点2，π6到 l 的距离为 2. 答案：2
【解】 分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆 C：x2＋y2＝10x， 即(x－5)2＋y2＝25，圆心 C(5，0)． 直线 l：3x－4y－30＝0. 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝|15－05－30|＝3. 所以 AB＝2 25－d2＝8.
极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；直角坐 标(x，y)化为极坐标时，ρ＝ x2＋y2唯一确定，但由 tan θ＝xy(x≠0) 确定角 θ 时不唯一，一般根据点(x，y)所在的象限取最小正角．
3．若直线的参数方程为xy＝＝21－＋3t3，t (t 为参数)，则直线的倾斜 角为________． 解析：由直线的参数方程知，斜率 k＝xy－－21＝－3t3t＝－ 33＝ tan θ，θ 为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为 150°. 答案：150°
4．曲线xy＝＝35scions
θ， (θ
θ
为参数)．
(4)抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2，(t 为参数)． (5) 过 定 点 P(x0 ， y0) 且 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 为 xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα，(t 为参数)．
4．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为
2．若曲线的极坐标方程为 ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点， 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程 为________． 解析：因为 ρ＝2sin θ＋4cos θ，所以 ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， 所以由互化公式知 x2＋y2＝2y＋4x，即 x2＋y2－2y－4x＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0
(2018·高考江苏卷)在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsinπ6－θ＝ 2，曲线 C 的方程为 ρ＝4cos θ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长． 解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ， 所以曲线 C 是圆心为(2，0)，直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 ρsinπ6－θ＝2，
(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))在
平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系．已知点 A 的极坐标为
2，π4，直线 l 的极坐标
方程为 ρcosθ－π4＝a，且点 A 在直线 l 上．圆 C 的极坐标方程 为 ρ＝2sin θ，求直线截圆 C 所得的弦长．
3．常见曲线的参数方程
(1)圆
x2＋y2＝r2
的参数方程为xy＝Байду номын сангаасrrscions
θ， (θ
θ
为参数)．
(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ，(θ 为 参数)．
(3)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为xy＝＝bascions
θ， (θ
则直线 l 过 A(4，0)，倾斜角为π6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB＝π6. 连结 OB.因为 OA 为直径，从而∠OBA＝π2， 所以 AB＝4cosπ6＝2 3. 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.
极坐标与直角坐标的互化 (2019·盐城模拟)在极坐标系中，圆 C：ρ＝10cos θ 和直 线 l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0 相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长．
θ
为参数)的左焦点的坐标是________．
解析：曲线方程化为普通方程为2x52 ＋y92＝1，故左焦点为(－4，
0)．
答案：(－4，0)
必明辨的 2 个易错点 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限 和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注 意转化的等价性．
解：由点
A
2，π4在直线 ρcosθ－π4＝a 上，
可得 a＝ 2，
所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线 l 的直角
坐标方程为 x＋y－2＝0.
由已知得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，
1)，半径 r＝1，
所以圆心到直线 l 的距离 d＝ 22<1，直线截圆 C 所得的弦长为
2× 1－12＝ 2.
参数方程与普通方程的互化(高频考点)
(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知
曲线
C：xy＝＝ss2，(s
为参数)，直线
x＝2＋ l：
y＝4＋
1 10 3 10
t， (t 为参数)．设
t
曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
第十章 附加考查部分
第 7 讲 坐标系与参数方程
1．直线的极坐标方程
若直线经过点 M(ρ0，θ0)，且直线 l 的倾斜角为 α，则它的方程
为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α 或 θ＝π＋α； (2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过点 Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.