2015青岛版九年级数学(上)第4章一元二次方程4.5方程应用(1)教案
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式教案2青岛版(最新整理)
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5 一元二次方程根的判别式教案2（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第4章一元二次方程4.5 一元二次方程根的判别式教案2（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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一元二次方程根的判别式一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位.既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况,又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对24b ac -的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究24b ac -作用,它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程的应用教案青岛版(最新整理)
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一元二次方程的应用教学目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积及销售方面的应用题．教学难点：找等量关系．教学过程：一、复习引入：(1）列方程解应用题的步骤有哪些？（2）如何求长方形的周长、面积？二、探究新知：例1 将一根长为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（图4-2），如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长。
解：设其中一个正方形的边长为xcm，那么该正方形的周长为4xcm，另一个正方形的边长为（16-x）cm。
根据题意得X2+(16—x)2=160整理，得X2—16x+48=0解这个方程，得X1=12，x2=4当x=12时,16-x=4;当x=4时，16-x=12。
经检验，当两个正方形的边长分别是12cm和4cm时，两个正方形的周长之和为64cm，面积之和为160cm2，即 x=12cm或x=4cm均符合题意。
所以，两个正方形的边长分别为4cm和12cm。
本题教师启发、引导、学生回答,注意以下几个问题．（1）因为两个正方形的面积的和等于160cm2如果两个正方形的面积分别能用含未知数的代数式表示,便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．(2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，.（3）本题是一道典型的实际生活的问题,在学习本章之前,这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．练习1．教材P.152中1．学生笔答、板书、评价．例2 某花圃用花盆培育某种花卉,经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵树有关.当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元.以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0。
青岛版九年级数学(上)第4章一元二次方程4.7方程应用(1)教案
课题方程应用（1）备课人课型新授课课时2课时教学目标知识与能力能根据题意找出正确的等量关系.过程与方法能正确的列出一元二次方程解决实际问题.情感态度价值观通过解方程了解方程来源于生活，并服务于生活。
课标要求能根据题意找出正确的等量关系.列出一元二次方程解决实际问题.重点能正确的列出一元二次方程解决实际问题难点能正确的列出一元二次方程解决实际问题教法自主探究合作交流教具学具教学程序教师活动学生活动激情导入认定目1、说出下列图形的面积三角形矩形正方形菱形梯形圆：出示学习目标学生口答符号表示一生口述目标，其余生静听、领会标自主探究激自学导航例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？分析：1、已知量、未知量2、等量关系解：例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长____m.根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.解这个方程，得1x＝，2x＝根据题意，舍去_________________.所以，花圃的宽是________m.指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题找已知量、未知量等量关系根据题意设、列、解方程解决实际问题学生独立完成问题组内交流自学中的困惑问题，全组达成一致意见。
DCBA NM10m情互动拓展应用点评： 1、列方程解应用题的步骤审审清题意已知、未知量及等量关系設列列出方程解解方程验检验与实际是否相符答当堂检测：课本152页1题 2题互动98页1题 2题 3题 4题只列不解有困惑的组由科代表提出本组困惑问题，寻求其他组帮助，各组选派代表说明解法。
九年级数学上册第4章《一元二次方程的应用(2)》参考教案(青岛版)
九年级数学第四单元4、7一元二次方程的应用（二）一、平均增长（或降低）率问题【课前热身】1．某商品原价是800元，现决定９折出售，则出售价是元．10，则现价是元．2．某商品原价是540元，为了促销，决定降价%20，则今年利润是万3．某商品去年的利润是230万元，决定今年利润提高%元．4．某村的粮食产量去年是5000千克，以后每年要增长10%，则今年粮食产量是千克，明年的粮食产量是千克．5．某厂制造一种机器，原来制造一台机器需3000元，改进技术后，连续两次降低成本，平均每次降低的百分率为x，则第一次降低成本后，制造一台机器需元，第二次降低成本后，制造一台机器需元．【例题分析】例1、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2012年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”1176万元.求A市投资“改水工程”的年平均增长率；分析：对于增长率问题，若增长前的量为a, 平均增长率为x，经过连续两次增长后的量为b，则a(1+x)2=b.解：设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则600(1+x)2=1176 解得x＝0.4或x＝－2.4（不合题意，舍去）所以，A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．分析：对于降低率问题，与增长率问题类似，若降低前的量为a, 平均降低率为x，经过连续两次降低后的量为b，则a(1―x)2=b.解：设每次降价的百分率为x ，根据题意得：100(1－x)2=81 解得：1x =0.1，2x =1.9经检验2x =1.9不符合题意，∴x=0.1=10%答：每次降价百分率为10%．例3：某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计一. 教材分析《认识一元二次方程》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、性质和解法。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是进一步学习高中数学的基础。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的定义和性质还需要进一步的学习和理解。
此外，学生的学习习惯和思维方式也会影响他们对一元二次方程的学习。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义和性质。
2.学会解一元二次方程的方法。
3.能够应用一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和性质。
2.一元二次方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法进行教学。
通过问题和实例引导学生思考和探索，通过练习巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生思考和探索。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义和性质，通过实例和PPT课件呈现一元二次方程的解法。
3.操练（20分钟）让学生分组练习解一元二次方程，教师巡回指导，及时纠正错误。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题巩固学生对一元二次方程的理解和解法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程的应用，解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的定义和性质，以及解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书一元二次方程的定义、性质和解法。
本节课通过问题驱动法、实例教学法和练习法，引导学生了解和掌握一元二次方程。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，鼓励他们思考和探索。
通过练习和实际问题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
青岛版九年级数学上册《第4章一元二次方程》教案设计
青岛版九年级数学上册《第4章一元二次方程》教案设计4.1一元二次方程教学目标【知识与能力】1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．【过程与方法】1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．【情感态度价值观】由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．教学重难点【教学重点】一元二次方程的意义及一般形式．【教学难点】正确识别一般式中的“项”及“系数”；判定一个数是否是方程的根.课前准备无教学过程一、创设问题情境1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．学生看投影并思考问题二、探究新知1．复习提问(1)什么叫做方程？曾学过哪些方程？(2)什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？(3)什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到一元二次方程的概念．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．例题解析例1 把方程2xx))(（化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、+x=23122+−一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.4．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x (5x -2)＝x (x ＋1)＋4x 2；(2)7x 2＋6＝2x (3x ＋1)； (3)2172x = (4)6x 2＝x ；(5)2x 2＝5y ；(6)-x 2＝05．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0”为什么？如果a ＝0，则ax 2+bx +c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．6．要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应该怎样剪？设长为x cm ，则宽为(x -5)cm列方程x (x -5)=150，即x 2-5x -150=0请根据列方程回答以下问题：(1)x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．(2)完成下表：(3)分析：x 2-5x -150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用二分法求出该方程的根．解：(1)x 不可能小于5．理由：如果x <5，则宽(x -5)<0，不合题意．x 不可能等于10．理由：如果x =10，则面积x 2-5x -150=-100，也不可能．(2)(3)铁片长x 三、习题演示1、把方程3x (x -1)＝2(x ＋1)＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？ 教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．2、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax 023)2(2=+mx x0128)1)(3(2=−−−−m mx x m(4)(b 2＋1)x 2-bx ＋b ＝2；(5)2tx (x -5)＝7-4tx ．教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．四、总结引导学生从下面四方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．4．要会用一些方法求一元二次方程的根.4.2用配方法解一元二次方程教学目标【知识与能力】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．【过程与方法】能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．【情感态度价值观】体会转化的数学思想方法．教学重难点【教学重点】利用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．课前准备无教学过程一、课前预习(提出实际问题，让学生用数学知识解决问题)用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围．若想求出舞台的长和宽，需解方程x2+2x-24=0(学生解方程有困难，教师需引导)．前面我们可求出了x2+2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1、自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？(请同学自由回答)生：例如x2=4(x+3)2=9x=±2x+3=±3x1=0 x2=-6师：形如x2=4、(x+3)2=9的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？(独立思考后，与同桌互相交流)生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0)的形式．两边开平方便可求出方程的解．解方程：x 2+6x +9=25．解：原方程就是(x +3)2=25．开平方，得x +3=±5，所以x 1=2，x 2=-8．2、合作探究师：看来将一个一般形式的一元二次方程，转化为(x +m )2=n (n ≥0)的形式利用开平方法就可以求解．那么，方程x 2+8x -9=0你能将它转化为(x +m )2=n (n ≥0)的形式吗？(请同学动手做一做，再与你的小组同学互相交流)生：讨论结果大致有两种情况．A ：x 2+8x -9=0B ：x 2+8x -9=0x 2+8x =9x 2+8x -9+25=25x 2+8x +16=9+16x 2+8x +16=25(x +4)2=25(x +4)2=25师：(将两种利用投影都展示出来)请全班同学共同观察比较这两种情况有什么关系？(请大家自由发言)生：两种方法实质上都是在方程两边同时加上了一次项系数(8)一半的平方(4)2，配成了完全平方式．师：对这种通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，就称为配方法．(揭示课题)例1 解方程：x 2+8x -9=0．解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2+8x=9．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2+8x +42=9+42，(x +4)2=25．开平方，得x +4=±5，即x +4=5，或x +4=-5．所以x 1=1，x 2=-9．例2 解4.1节问题（3）中的方程012=−+x x （精确到0.001）.解：移项，得.12=+x x 两边都加上221)(，得 ,22221121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .45212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 由平方根的意义，得.2521±=+x 所以..,.61802115618021521−≈+−=≈−=x x在4.1节问题（3）中，x 为线段AC 与AB 的比，必须满足x ＞0.所以x 2不合题意，应当舍去，问题（3）的答案是：AB AC 的值约为0.618. 例3 解方程：3x 2+8x -3=0．解：两边都除以3，得2810.3+−=x x 移项，得28 1.3+=x x 配方，得22222844()1().33345()().33++=++=x x x 即4545.3333+=+=−， x x 所以121 3.3==−x x ， 三、本课小结．用配方法解一元二次方程的方法的助手：完全平方式：式子a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=(a ±b )2知识回顾：配方法解一元二次方程的一般步骤：化简：把二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解．总结提升：(结合实例同学生一起总结)4.3用公式法解一元二次方程教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．【过程与方法】会熟练应用公式法解一元二次方程．【情感态度价值观】通过探索一元二次方程的求根公式，进一步培养推理能力和符号意识．教学重难点【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式法的推导．课前准备无教学过程复习引入1.(学生活动)解下列方程：(1)x 2-8x +7=0 (2)x 2+4x +1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x 2-8x +(-4)2+7-(-4)2=0(x -4)2=9x -4=±3即x 1=7，x 2=1(2)x 2+4x =-1x 2+4x +22=-1+22(x +2)2=3即xx 1，x 22.探索新知运用配方法，我们已经会解01320122=−+=++x x x x ,等一元二次方程.你会运用配方法解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 吗？试一试.因为0≠a ，方程两边都除以a ，得.02=++ac x a b x 移项，得 .ac x a b x −=+2 两边都加上22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，得a c ab a b a b x x −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+2222222， 即.222442a ac b a b x −=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由于4a 2＞0，所以当b 2-4ac≥0时，由平方根的意义，得 .aac b ab x 2422−±=+ 移项，得 ,a ac b ab x 2422−±−=即.aac b b x 242−±−= 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，它的根是.aac b b x 242−±−= 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．3.例题解析：例1 用公式法解方程：（1）2x 2+5x -3=0； （2）4x 2=9x .例2 用公式法解方程.x x 3232=+例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：（x +1）（3x -1）=1.4.随堂演练：用公式法解方程：2x 2-9x +8=0计算：b 2-4ab 的值；代入：把有关数值代入公式计算；定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；归纳小结本节课应掌握：公式法的概念及用其解一元二次方程的步骤．4.4用因式分解法解一元二次方程教学目标【知识与能力】会用因式分解法解特殊类型数字系数的一元二次方程．【过程与方法】理解因式分解法解一元二次方程的根据，感悟转化的数学思想．【情感态度价值观】能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性． 教学重难点【教学重点】().417922179242±=⨯±−−=−±−=∴a ac b b x .4179;417921−=+=∴x x用因式分解法解某些一元二次方程．【教学难点】用因式分解法解某些一元二次方程．课前准备无教学过程一、引入思考：对于方程210 4.90x x −= ①除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？方程①的右边为0，左边可以分解因式，得(10 4.9)0x x −=.于是得0x =或10 4.90x −=，121000, 2.0449x x ==≈. 上述解中，2 2.04x ≈表示物体约在2.04s 是落回地面，而10x =表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.二、新课1、因式分解法讨论：以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的？定义：对于一元二次方程，一边是0，另一边化为两个一次因式的积，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2、用因式分解法解一元二次方程例1、解下列方程：(1)23100x x −−= (2)(3)(1)5x x +−=解：(1)(5)(2)0x x −+=50x −=或20x +=∴125,2x x ==−(2)2280x x +−=(2)(4)0x x −+=20x −=或40x +=∴ 122,4x x ==−用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积；(3)令每个因式分别为0；得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例2、用因式分解法解方程：.）（）（22312−=+x x 3、随堂练习解下列方程(1)232x x = (2)221352244x x x x −−=−+ (3)2(31)50x +−= (4)3(2)510x x x +=+(5)2(10x x += (6)2(10x x −++=答案：(1)1220,3x x == (2)1211,22x x =−=(3)121133x x −−+== (4)1252,3x x =−=(5)121,x x =−= (6)121x x ==+注意：方程(1)的两边不能同时除以x ；方程(2)应先化为一般式；方程(3)、(4)两边不要展开，直接分解因式.小结1、因式分解法的概念；2、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.4.5一元二次方程根的判别式教学目标【知识与能力】经历一元二次方程根的判别式的探索过程．【过程与方法】会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．【情感态度价值观】培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力，感悟分类的数学思想．教学重难点【教学重点】用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．【教学难点】弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式．课前准备无教学过程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：(1)x 2+4＝4x(2)x 2+2x ＝3(3)x 2－x ＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？(待学生做完后，教师点评.(1)x 1=x 2=2；(2)x 1=1，x 2=-3；(3)无实数根.)2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不相等的实数根，(3)没有实数根)3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标)二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学课本，并注意分类讨论的思想方法的使用.一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备.活动2合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由.活动3师生合作，归纳提升由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.2、一元二次方程的根的判别方法思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？学生思考，师生共同得出：结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况.活动4应用迁移，发展能力例1.不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2+x-4=0；（2）4y2+9=12y；（3）5（t2+1）-6t=0.本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式.请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化(将一元二次方程化为一般形式)；二算(确定a、b、c的值，算出Δ的值)；三判断(根据结论1判别方程根的情况).(2)、(3)小题由学生完成，教师巡视.待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评.活动5逆向思考，拓展延伸上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？(屏幕显示结论1)学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：结论2对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.(将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系)例2.已知关于x的方程x2－3x+k=0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2.解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(－3)2－4k=0，解得k=94，∴k=94时，方程有两个相等的实数根.变式：已知关于x的方程x2－3x+k=0，问k取何值时，这个方程有两个实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路.解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k≥0，解得k≤94，∴k≤94时，方程有两个相等的实数根.三、拓展延伸设关于x的方程，x2-2mx-2m-4=0证明:不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.四、当堂达标1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______，所以方程根的情况是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是( )A.a=0B.a=2或a=-2C.a=2D.a=2或a=03.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x(x+1)=3.(2)2x2-9x+6=04、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根. (说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评.)课堂小结1、通过本节课的学习，你有哪些收获？本节课的主要内容：(1)、一元二次方程根的判别式的意义；(2)、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况(即结论1)；(3)、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号(即结论2).4.6一元二次方程根与系数的关系教学目标【知识与能力】使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．【过程与方法】不断提高学生观察分析及推理运用能力．【情感态度价值观】使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．教学重难点【教学重点】根与系数的关系与应用．【教学难点】根与系数的发现与准确掌握．课前准备无教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a ≠0)引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解下列方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系．(1)x 2-2x =0(2)x 2-3x -4=02学生答：二次项系数为1是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x 2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．三、学生活动二1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac ，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果已知a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否已知3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例1、关于x 的方程3x 2+mx -4=0有一个根是2，求另一个根及m 的值.例2、设12,x x 是方程22510x x ++=的两个根，求下列各式的值：121211(1)(1)(1);(2).x x x x +++ 四、学生练习(1)x 2-3x +1=0(2)2x2-9x+5=0(3)4x2-7x+1=0(4)2x2+3x=0(5)6x2-1=0(6)3x2-2x=-2(7)3x2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些．1、化成一般式．2、二次项系数化1．3、不要漏掉“—“．学生练习已知方程3x2-19x+m=0的一根是1，求另一根及m的值．(学生板演)五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解．思考题m取何值时方程x2+mx+m-1=0(1)两根之和为1.(2)两根之积为-1.(3)两根互为倒数.(4)两根互为相反数.(5)一根为0.4.7一元二次方程的应用教学目标【知识与能力】1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．【过程与方法】经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．【情感态度价值观】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重难点【教学重点】列一元二次方程解有关问题的应用题．【教学难点】发现问题中的等量关系．课前准备无教学过程一、复习引入我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决.【思考】列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？二、探索新知【问题情境】练习：某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：(1)设渠深为x m则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m依题意，得：(x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2+6x -8=0解得：x 1==0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ．(2)=25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道．练习：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元则(0.3-x )(500+)=120 解得：x =0.112451.675048 0.1x 1000.1x答：每张贺年卡应降价0.1元．学生活动：合作交流，讨论解答．例1：将一根长为64的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（课本第150页图4-2），如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长.例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么这种冰箱的定价应是多少？例3：机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题，某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(成为环保汽车).按计划该市今后两年内将使全市的这种环保汽车由目前的100辆增加到196辆，求这种环保汽车平均每年增长的百分率.例4：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)三、课程小结建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．。
九年级数学上册 4.1 一元二次方程教案 (新版)青岛版-(新版)青岛版初中九年级上册数学教案
一元二次方程[学生课前活动设计]过程：发放课前预学案，学生对照预学案自主学习，通过翻阅课本以及交流复习前面所学有关方程数学知识，通过“活动中体验”，学生课前以小组为单位进行交流，经历建模过程。
目的：是通过预学自己探究解决本节课有关基础知识，为学习新知识做准备，学生在上述活动中经历建模过程，体验到预习的重要性，同时也能发现自己困惑的问题，以便在听讲时能够做到有的放矢，培养学生的自学能力与预习兴趣。
一元二次方程导学稿（第一课时）课前预学 （一）温故知新1、下列式子哪些是方程？并指出它们的名字。
2＋3＝5 3x ＋2 5x ＋3＝18x －2y ＝52、什么是一元一次方程？你是怎样理解“元”和“次”的？ （二）活动中体验七、课堂学生学习效果评测表格设计课程结束后，指导学生进行学习效果评价。
明确评价的具体内容，以学生自评为主，学生互评，教师评价为辅。
肯定优点的同时，指出问题所在，以及改进建议等。
附：学生自评表内容项目 知识与技能过程与方法情感态度与价值观得分 师生互动 2 3 5 自主练习 5 5 5 课堂展示 5 5 5 合计323335总结及建议 213>+x212x x x =-+-活动一、如图，正方形桌面的面积是2m 2，求它的边长。
设边长Xm ，可列方程为___________ ． 活动二五一前夕，为增强学生体质，培养学生集体荣誉感。
我校决定举行一次篮球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排5天,每天安排3场比赛,组织者应邀请多少个队参加比赛?设组织者应邀请x 个队参赛, 可列方程为___________. 活动三、如图，有一长5m 的梯子靠放在矩形花园的墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等。
你知道梯子底端向右滑动的距离是多少吗？设顶端向下滑的距离为xm ，可列方程为观察与思考：这些方程使我们以前学过的方程吗？名字是？一元二次方程导学稿（第一课时）【学习目标】1、了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
青岛版九年级数学上册第4章4.4《用因式分解法求解一元二次方程》教案
青岛版九年级数学上册第4章4.4《用因式分解法求解一元二次方程》教案4.4 用因式分解法解一元二次方程学习目标：1.知道什么是因式分解法。
2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。
重点难点：重点难点：学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
学法指导：1.抓住方程特点。
2.掌握好步骤。
预习案自主学习课本p95--97内容，思考下列问题:1、什么是因式分解法解方程？2、适合于因式分解法的一元二次方程的特点？预习检测：直接写出下列方程的两个根：（1）x(x-1)=0 （2）(y-2)(y+5)=0 （3）t2=2t22)=0探究案例1：用因式分解法解下列方程：（1）15x2=6x=0 （2）4x2-9=0对应练习：解方程（1）16x2+10x=0 （2）(y-3)2=1例2：解方程（1）(2x-1)2=(x-3)2 （2） x2-4x+4=0对应练习：用因式分解法解方程：（1）x-2-x(x-2)=0 （2）(x+1)2-25=0 (3)x2-5x+6=0 (4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0对标自查：通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？达标测评：1.（x+a）(x+b)=0与方程x2-x-30=0同解，则a+b等于（）A: 1 B : -1 C: 11 D:-112.用因式分解法解方程：①x(x+3)=x+3 ②x2=8x ③2x(2x+5)=(x-1)(2x+5)3.方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．。
青岛版初中数学九年级上册4.0第4章一元二次方程word教案(2)
一元二次方程的课标分析：1能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型。
2.经历用观察、画图或计算器等手段估计一元二次方程解的过程。
3.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
4.会用一元二次方程解决简单的实际问题，能检验所得结果是否符合实际意义。
教材分析 ：1．从问题到方程：紧密联系实际，创设具有时代气息以及学生感兴趣的问题情境，通过丰富的实例，引出一元二次方程，展现一元二次方程是刻画现实世界的有效模型，让学生体会一元二次方程与现实世界的密切联系。
2．解方程：解决数学内部问题——解方程，主要让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、比较、探索等活动中，发现解一元二次方程的基本方法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，体会一元二次方程与一元一次方程知识的联系与转化，体会几种解法之间的相互联系。
3．用方程解决问题：设置了一些有一定挑战性和思考性的现实问题情境，通过解决这些丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，强化方程的模型思想，而且通过学生的自主探索研究，培养学生的分析问题、解决问题的能力，获得更多的解决问题的方法和经验，更好地体会数学的价值，同时也进一步使学生掌握好解方程的技能。
学情分析：学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次的分式方程等知识，感受了方程模型的作用和价值，积累了一些利用方程解决问题的经验。
但方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它在现实生活以及数学中同样有着广泛的应用，它也是以后学习其他数学知识的基础。
教学设计:复习目标1.掌握一元二次方程的概念及一般形式；2.掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活运用；3.掌握并能运用一元二次方程根的判别式解决相关问题；4.体会“转化”“整体”等数学思想方法。
复习回顾1.一元二次方程具有三个显著特点，它们是①______________________；②________________________；③________________________________。
2015青岛版九年级数学(上)第4章一元二次方程教案2
俎店镇中心初级中学数学组第 15 周课时教案2015 年12 月17 日第 4 节总第66 课时课题一元二次方程复习备课人课型复习课课时 1教学目标知识与能力1.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
过程与方法2.运用一元二次方程解决简单的实际问题．情感态度价值观通过学习方程的应用，进一步加深方程来源于生活，服务于生活的意识。
课标要求运用一元二次方程解决简单的实际问题．重点运用知识、技能解决问题难点解题分析能力的提高．教法自主探究合作交流教具学具电脑、自制课件教学程序教师活动学生活动激情导入认定目标自主知识回顾见课件出示学习目标自学导航组织学生独立阅读课本124--------153页相应内容，几分钟后利用一元二次方程定义、学生回顾学生回答一生口述目标，其余生静听、领会学生独立阅读理解探究激情互动拓展应用四种解法解决下列问题见课件指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题点评：1、一元二次方程定义、四种解法利用适当的方法解下列方程（1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-25x+2=0（3）x2-8x=0（4）x2+12x+32=0小结：指导生小结课堂作业整理本部分内容学生根据一元二次方程定义、四种解法解决问题并说明理由各组例题赏析、问题全组达成统一意见有困惑的组由科代表提出本组困惑问题，寻求其他组帮助，各组选派代表说明解法。
师生互动4号板演（1）（2）3号板演（3）（4）其余下面完成1号批改点评生回顾浅谈收获学生当堂完成板书设计课题自学导航板演板演板演教学反思多数学生能积极投入，结合性质判定解决问题较好，但个别学生不能选择适当方法解方程。
青岛版-数学-九年级上册-4.1 一元二次方程应用(一) 学案
3．5一元二次方程的应用（1）一、课前预习：自学课本98页—99页内容并完成下列问题（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？（2）无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？（3）问题1：一根长为4M的绳子能否围成一个面积是1M2的矩形？二、课堂学习（一）、【合作探究】问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．问题2、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。
若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？(3) 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。
（4）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。
（二）、课堂练习1、完成课本100页练习1、22、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？3、如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？（三）课堂测试【自我检测】一、选择题1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8 B．4 C．42 D．822．李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（）A．（90+x）（40+x）×54%=90×40; B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40; D．（90+2x）（40+x）×54%=90×403.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB AD，为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为268cm，那么矩形ABCD的面积是（）A．221cm B．216cmC．224cm D．29cm二、填空题4.在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为2m；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为2m．三、解答题3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，•另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，•求出在操场的长和宽．三、课后提升DCEF（3题图）AH如图，在Rt△ABC中∠B=90°，A B=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C•两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN•的面积为Rt△ABC的面积的13？。
青岛版九年级上一元二次方程教案
价值
观
课标要求 重点
能依据详细效果中的数量关系列出方程，体会方程是描写理想世界 数量关系的有效模型 一元二次方程的定义、普通方式
难点 教法 教学顺序 激 情 导 入
一元二次方程的普通方式 自主探求 协作交流 教具 学具
教员活动 课前 互动 31 页 3 题 、4 题
先生活动 3 题 4 号板演 4 题 3 号板演 其他下面完成 同组修改本组的效 果
有困惑的组由科代
___________和________________
表提出本组困惑效
〔2〕写出方程 3 x 2 -2x-1=0 的二次项
果，寻求其他组协 助，各组选派代表
激
系数是_________、一次项系数是______常数 说明概念、性质。
情
项是__________
师生互动
互
指点生互动交流，处置生自学中的困惑效 口答说明理由
〔1〕
----------------------------------------------
〔2〕
-------------------------------
〔3〕
-------------------------------
方程〔1〕〔2〕〔3〕的两边都是________，
它们都只含_____有未知数，并且整理后未知
青岛版 九年级 上一元 二次方 程教案
备课人
4.1 一元二次方程
课型
新授课
课时Leabharlann 1知 识 1、了解一元二次方程的定义，会判别满足一元二次方程的条件。
与 才 2、能依据详细情形运用知识。
干
教 进 程 综合运用以前所学的代数式及其运算等知识，稳固和加深我们对所 学 与 方 学知识的了解 目法 标 情 感 体会方程是描写理想世界数量关系的有效模型
青岛版数学九年级上册4.1《一元二次方程(1)》参考教案
4.1一元二次方程（第1课时）刘含军636822【教学目标】1.认识一元二次方程，会辨认一元二次方程。
2掌握一元二次方程一般形式.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次项系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
让学生体会方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。
【学习重点难点】重点：会辨认一元二次方程，掌握一元二次方程一般形式难点：掌握一元二次方程一般形式.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习过程】一、出示本节课学习目标，强调重、难点二、知识回顾：1、一元一次方程2、分式方程让学生口答，教师强调这两个方程的形状和特点三、自主、合作（一）一元二次方程的概念1.自学课本124页内容，得到的三个方程分别是：①②③让学生进行讨论，体会方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。
还可以举出类似的例子。
2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按x 的将幂排列。
①②③这三个方程的共同特点：教师根据学生小组的回答进行总结。
3. 像这样的方程叫做一元二次方程。
对应练习：1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？(1)x2-9=0 (2)y2-4y=0 (3)13x-x2 =0 (4)4s(s-1)=4s2+2(5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=02.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________(二)一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为____________，二次项是________，一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.对应练习：1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
青岛版九年级数学上册 第4章 一元二次方程 单元备课一等奖创新教案(表格式)
青岛版九年级数学上册第4章一元二次方程单元备课一等奖创新教案（表格式）第4章一元二次方程单元备课单元分析课标分析：1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
针对课标1，学生能够通过实际问题情境，感受方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型；经历运用“观察—检验”的方法估计一元二次方程解的过程，体会用“二分法”估计方程近似解的无限逼近的思想。
2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
针对课标2，学生能够理解配方法、公式法、因式分解法，并会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，能够根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法。
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
针对课标3，学生能够运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 4.了解一元二次方程的根与系数的关系。
针对课标4，能利用根与系数关系解决简单问题。
5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
针对课标5，学生能够列出一元二次方程解决简单的实际问题，根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
二、教材分析：本单元《一元二次方程》是青岛版初中数学九年级上册第四章的内容，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数、研究可以化为一元二次方程的分式方程、无理方程、一元二次不等式以及二元二次方程组等知识的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。
青岛版数学九年级上教案：第4章一元二次方程复习
《一元二次方程复习》教学设计临朐外国语学校马风云【课标分析】1、数学课程标准对<<一元二次方程>>教学的要求：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程；理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
能利用方程解决实际问题。
2、为了体现数学课程的这一核心内容，在4.1节中，教科书从熟悉的生活现实和数学现实出发，通过具体的问题情境引出一元二次方程的概念，这是一个数学建模的过程。
后面几节又研究了一元二次方程的解法，这是求解模型的过程。
在4.7节通过列方程解应用题，使学生经历数学建模的全过程。
【教材分析】方程是初中数学的核心内容之一。
就方程的解法来说，它是一种重要的数学技能；就方程的作用来说，它是初中数学最重要的基础知识之一，属于“建模思想”的一个分支，足以突现它的作用之大和意义之深。
正是由于方程的以上特征，决定了方程内容在中考试题中处于重要的地位。
《一元二次方程》是“数与代数”领域的重要内容，从本套教材的知识体系来看，本章的内容是继已经学过的一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程之后，对方程研究的继续深入和必然发展，也是九年级下册学习二次函数以及高中学习指数对数运算、圆和圆锥曲线的方程等知识的基础，本章内容在中学数学体系中具有承上启下的重要地位。
本章的主要内容是一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。
为了体现数学的模型思想，教材突出了“问题情境-建立模型-求解验证”的过程。
教材先从学生熟悉的生活现实和数学现实出发，通过具体的问题情境引出了一元二次方程的概念，这是一个建立数学模型的过程，然后又研究了一元二次方程的解法，这是模型求解的过程，最后通过列一元二次方程解应用题，以及强调检验的步骤，使学生经历了数学建模的全过程。
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》教学设计
一元二次方程一、自主探究（课前预习课本124页，并做完课本和学案的题目，把课本【交流与发现】答案写在黑板上）【师：咱们学校在建校时计划在楼前这块长为100米，宽为80米的矩形场地上修建道路，剩余部分进行绿化，计划绿化面积为7644平方米。
现在设计师们提出若只修建一条长为100米的水平道路，要达到要求，宽度怎么求？想出来的同学快速把答案写在学案上.】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米。
（1）若修建一条长为100米的水平道路，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为 . 上课让学生快速口答，板书展示答案 【师：现在经过实际考察后，设计要求 有了变化，现在要求修建两条宽度相等 且互相垂直的道路，这个宽度怎么求呢？】（2）若修建两条宽度相等且互相垂直的道路，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为 . 让学生通过同桌互助解决自己的困惑并让学生直接进行讲解.【师：观察你所列的方程和课本124页“交流与发现”中的3个方程，思考：它们有什么相同点和不同点？】学生直接口答，引导学生回顾一元一次方程定义和特点（整式方程、一个未知数、未知数的最高次数为1），同时让学生总结一元二次方程定义并进行板书.随后学生对一元二次方程进行举例，板书.带领学生化简整理，引出方程一般形式()002≠=++a c bx ax ，此处引导学生来说明，为什么0≠a .通过对整式部分的回顾引出一元二次方程二次项等概念，让学生从板书的方程中判断二次项.此处部分教师语言：【师：不错，看来同学们观察的非常仔细。
那么老师再问大家一个问题，这个方程的名字叫做一元一次方程，那咱们能给这个方程起个名字吗？（板书一元二次方程）现在大家回想一下一元一次方程的定义我写大家填空，定义是：只有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是1的整式方程.那现在谁能来用自己的话给一元二次方程下一个定义？（学生下定义）.非常棒，比课本上写的还要好。
青岛初中数学九上4.4用因式分解法解一元二次方程word教案 (1)
２、引导学生分析第（３）小题为什么是x1＝x2（用乘方的意义来解决）
活动３、抢答活动
把温故知新中的第一题后面加上等于０，变成方程，让学生抢答各方程的解。
（1）3x2+x＝０
(2)4x2-81＝０
m2-6m+9＝０
（4)y2-8y+7＝０
归纳方法，并指出易错点：（３）中一错写出x1＝x2，用错了未知数，应该为ｍ１＝ｍ２。
思想：
步骤：
反思
解一元二次方程：x2+7x=0（用你喜欢的解法）
从学生原有的认知结构提出问题并比较解方程用的时间长短，肯定会有个别同学用了因式分解法来解次方程，从而引出本节课的课题。
活动一、自学教材“139页至140页的例1”
（一）、思考下面的问题：
方程两边具有什么特征时可以用因式分解法解？
因式分解法解一元二次方程的思想是什么？用什么方法实现的？
加深巩固，引导学生分析探索、培养学生解决问题的能力。
既强化了知识，又提高了归纳整理能力。
通过自学，培养自学能力，并体会整体思想的应用
巩固新学的知识技巩固新学的知识技能和方法。
进一步使学生明确解方程时易出现的错误。
使学生对本节课有整体上的认知。
对学生进行评价。
板书
设计
§４．４用因式分解法解一二次方程
特征：
学生交流练习中的收获与体会。
学生自己归纳学生畅所欲言，谈自己的收获。
学生在规定时间内完成，对自己的答题情况有所了解，以便有地放失。
独立完成作业，讨论交流。
巩固基础知识，为学习新知识做好铺垫。
激发学生的求知欲，让学生处于积极的思维状态。
培养学生的阅读习惯，自学能力。
2015青岛版九年级数学(上)第4章一元二次方程4.5一元二次方程的应用2
进一步体会方程来源于生活并服务于生活的意识
课标要求 重点 难点 教法
教学程序 激 情 导 入
认 定 目 标
会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题
能正确的列出一元二次方程解决实际问题
能正确的列出一元二次方程解决实际问题
自主探究 合作交流 教具 学具
教师活动
学生活动
1、某品牌校服去年每套 100 元，今年提价 10％， 思考
俎店镇中心初级中学数学组 第 15 周 课 时 教 案
2015 年 12 月 16 日
第 3 节 总第 65 课时
课题
方程应用 2
备课人
知识 与能 力
教 过程 学 与方 目法 标 情感
态度 价值 观
课型
新授课
课时
2
1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．
2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力
等
量
关
系
是 困惑问题，全组达
激
______________________________
成一致意见。
可列方程______________________________
情
例 4.某种药品原售价为每盒 4 元，两次降价后，
每盒售价为 2.56 元，求该药品平均每次的降 有困惑的组由科代
互
价率.
表提出本组困惑问
2.某农机厂一月份生产联合收割机 300 台，为 了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三 月份比一月份多生产 132 台，求二、三两个月 平均每月的增长率.
学生当堂完成
小结：指导生小结
板书 设计
课堂作业 练习册 45 页 5 题
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式教案1青岛版
一元二次方程根的判别式教学目标：1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证。
3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。
重点和难点重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
教学准备教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
教学流程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：（1） x2+4＝4x（2） x2+2x＝3（3） x2－x＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（待学生做完后，教师点评。
（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）无实数根。
）2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1 学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学第142页至143页例1，并注意分类讨论的思想方法的使用。
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动2 合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。
青岛初中数学九上《4.5一元二次方程的应用》word教案 (1)
一元二次方程的应用增长率问题教学目标知识与技能掌握建立数学模型的思想方法，以解决增长率问题。
过程与方法通过在实际情境中提出问题并列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养合作交流意识。
重点难点：学会运用一元二次方程解决增长率问题。
三、教学过程：（一）导入新课：新课导入：通过回忆列方程解应用题的一般步骤导入新课（师生共同回忆）。
通过两个简单的问题让学生初步体会什么是增长率（同桌交流体会），然后让学生自己举例说明什么是增长率，让其对增长率有更深的认识（教师注意引导）通过几个填空题具体探讨几个增长率问题并总结归纳其规律，（学生自行讨论解决，教师适时引导启发，不要过多干涉）（二）探究新知：某工厂2002年的产值是500万元,2004年的产值是605万元, 求2002-2004年该厂产值的年平均增长率。
那增长率呢？（师生一起解决，学生板演，师生共同分析点评解题步骤，注意引导学生让其体会增长率与平均增长率的不同）教师总结出增长率公式，学生解析，更进一步体会增长率的概念。
介绍降低率，并作相应的练习某种药剂原售价为每盒4元, 经过两次降价后每盒售价为2.56元,求该药品平均每次的降价率。
（师生共同分析解决）教师总结展示降低率公式，学生解析。
（三）学以致用：1、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.（学生自行解决，指名学生板演步骤，学生解析步骤）。
2、若调整计划,两年后的财政净收入值为原值的1.5倍，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少?（让学生自己解决，在没有起始量终止量的情况下如何解决，考查学生的应对能力）3、我市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?（学生如何理解“翻一番”问题）4.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？（学生自行解决，让学生进一步体会增长率，并通过竞赛的形式进行，提高学生的积极性）课堂小结作业布置（分层次布置作业，让学生都能“吃饱”）作业一：P154习题4.7 1-4题;作业二：某养鱼户搞池塘养鱼已三年，头一年放养鱼苗20000尾，其成活率约为70%，在秋季捕捞时，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0.8 0.9 1.2 1.3 0.8 1.1 1.0 1.2 0.8 0.9（1）根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？（2）如果把这塘鱼全部卖掉，其市场售价每千克4元，那么能收入多少元？除去当年的投资成本16000元，第一年纯收入多少元？（3）已知该养鱼户这三年纯收入为132400元，求第二年、第三年平均每年的增长率是多少？板书设计；三、教学目标1、会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力，分析问题，解决问题的能力3、在应用一元二次方程解实际问题的活动中，增强数学应用意识，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣四、评价设计1、评价内容和方式：（1）、课题开展前：通过回顾复习列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤，逐渐过渡到新课（2）、课题开展中：引入一元二次方程实际问题中的面积问题以及增长率（降低率）问题，使学生进一步掌握新知（3）、课题开展后：教师与学生共同总结，布置思考题2、评价工具：利用了ppt，将新课更加生动形象化地展示在学生面前，使学生在寓教于乐中获得新的知识五、教学过程1、课前导入：回顾复习列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤2、教学内容的处理（1）、给出一道关于面积问题的例题，讲练结合，并让学生观察，组织学生探讨，引导学生学会寻找等量关系（2）、给出一题关于增长率（降低率）问题，使学生了解掌握增长率（降低率）的基本公式（3）、给出一题关于增长率（降低率）问题的习题，加固新知3、教学方法：讲练结合，并配以教师引导的教学模式具体教学过程：一、复习回顾列一元一次方程解实际应用问题的基本步骤“审”是指读懂题目，审清题意，明确已知和未知，以及他它们之间的数量关系“设”是指设元，分为直接设元和间接设元“列”是指列方程，根据问题情境找出题目中的等量关系，列出含有未知数的等式，即方程“解”是指求出所列方程的解“检”是指解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意“答”是指书写答句和答案二、引入新课。
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俎店镇中心初级中学数学组
第 15 周课时教案
2015 年12 月 15 日第 2 节总第 64 课时课题方程应用（1）
备课人课型新授课课时2课时
教学目标知识
与能
力
能根据题意找出正确的等量关系.
过程
与方
法
能正确的列出一元二次方程解决实际问题.
情感
态度
价值
观
通过解方程了解方程来源于生活，并服务于生活。
课标要求能根据题意找出正确的等量关系.列出一元二次方程解决实际问题.
重点能正确的列出一元二次方程解决实际问题
难点能正确的列出一元二次方程解决实际问题
教法自主探究合作交流教具学具
教学程序教师活动学生活动
激情导入
认定目标
自主探
1、说出下列图形的面积
三角形
矩形
正方形
菱形
梯形
圆
：
出示学习目标
自学导航
例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，
在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成
一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等
学生口答
符号表示
一生口述目
标，其余生静
听、领会
找已知量、未
知量等量
关系
根据题意设、
究
激情互动
拓展应用于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多
少？
分析：1、已知量、未知量
2、等量关系
解：
例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱
笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形
花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃
的宽度应当是多少？
解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长____m.
根据问题中给出的等量关系，得到方程
_________________________________.
解这个方程，得
1
x＝，
2
x＝
根据题意，舍去_________________.
所以，花圃的宽是________m.
指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题
点评： 1、列方程解应用题的步骤
审审清题意已知、未知量及等量关系
設
列列出方程
解解方程
验检验与实际是否相符
答
当堂检测：
课本152页
1题 2题
列、解方程解
决实际问题
学生独立完
成问题
组内交流自
学中的困惑
问题，全组达
成一致意见。
有困惑的组
由科代表提
出本组困惑
问题，寻求其
他组帮助，各
组选派代表
说明解法。
师生互动
学生独立完
成
同组对照
1题3号板演
2题4号板演
其余同学下
面完成
1、2号批改、
点评
D
C
B
A N
M
10m
互动98页
1题 2题 3题 4题只列不解
小结：指导生小结
课堂作业
练习册44页5题、6题1、2题6号板演
3、4题5号板演
其余同学下面完成
1、2号批改、点评
生回顾浅谈收获
学生当堂完成
板书
设计
课题
自学导航
板演板演板演
教学反思
学生对列方程解应用题寻找等量关系存在困难，解方程数量太大也存在困难。