无穷小量定义

∴ u( x ) ⋅ α ( x Hale Waihona Puke = o(1), ( x → x0 )
即 O(1)·o(1)=o(1).
例如，当 x → 0时， x = o (1 )，sin 例如， Q
1 = O (1 )， x
1 1 ∴ x sin = o (1) ，即 lim x sin = 0； x→0 x x
1 1 2 Q x = o (1 )， a rc tan = O (1 )， x arctan ∴ = o (1) ， x x
二、无穷小量与极限的关系
定理1 定理1
变化过程， 对自变量 t 的同一变化过程，有 lim f ( t ) = A ⇔ f ( t ) = A + o(1)。
） 意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义： (无穷小量 无穷小量); 无穷小量
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达 式 f ( x ) ≈ A, 误差为 o(1).
k , k - 1, k - 2 , k - 3 , k - 4 , L ,
( ( y n = x n + x n2 ) + L + x nk ) + L ( = ∞ ) → ∞ ，不是无穷小。 不是无穷小。
M (1 )
1 , L; n-k + 1
( ( ( z n = x n1 ) ⋅ x n2 ) ⋅ L ⋅ x nk ) ⋅ L ( = ∞ ) → ∞ ，不是无穷小。 不是无穷小。
若函数g在某 ゜ 内有界， 时的有界量。 若函数 在某U゜(x0)内有界，则称 为x→x0时的有界量。 在某 内有界 则称g为
记为 f ( x ) = O(1) ( x → x0 )
任何无穷小量都是有界量。 任何无穷小量都是有界量。 类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, 类似可定义 x→–∞以及 以及x→∞时的无穷小量与有界量。 时的无穷小量与有界量。 以及 时的无穷小量与有界量
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、 相同类型的无穷小量的和 性质 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 无穷小量 性质2 同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 性质 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小， 无穷小，即 O(1)·o(1)=o(1).
解
1 2 Q当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
设α ( x ) = o(1) ( x → x0 )
则对 ε > 0， δ 2 > 0，使得当 0 < x − x0 < δ 2时，恒有 α ( x ) < ∃
ε
M
。
取 δ = min{δ1 ,δ 2 }， 则当 0 < | x - x0 | < δ 时， | u( x) ⋅ α ( x) | < ε， 恒有
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 在 ° 内有定义， 设函数 内有定义 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) = A, 则 lim g ( x )h( x ) = A,
x → x0 x → x0
} : 1,
1 , 2
( { x n2 ) } : ( { x n3 ) } :
2, 3,
1, 2,
1 , 3 1 , 2
1,
M
( { x nk ) } :
1 , 4 1 , 3 1 , 2
1 1 , L, , L; 5 n 1 1 , L, , L; 4 n -1 1 1 , L, , L; 3 n-2
h( x ) h( x ) （2）若 lim = B , 则 lim =B x → x0 f ( x ) x → x0 g ( x )
h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim = lim = lim 证（2） lim ） x → x0 g ( x ) x → x0 f ( x ) g ( x ) x → x0 f ( x ) x → x 0 g ( x )
f ( x) = 1, 则称当 3．若 lim 则称当x→x0时 , f与g是等价无 ． 与 是等价无 x → x0 g ( x )
穷小量， 穷小量，记作 f(x)~g(x) (x→x0). 注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 例如， 例如，当x→0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量， 时 和 都是无穷小量， 1 x sin x = 1 sin 1 时不是有界量， 当x→0时不是有界量， 时不是有界量 但 2 x x x
= B ⋅ 1 = B.
β β′ 推论 设α ~ α′, β ~ β ′ , 则lim = lim . α α′
β β 1 1 证 lim = lim = lim β = lim β ′ α α′ α′ α′ β′ = lim . 证毕 α′
例5
tan 2 2 x . 求 lim x →0 1 − cos x
例1 (1) Q lim sin x = 0， x→0
时的无穷小， ∴ sin x 是当 x → 0时的无穷小，即 sin x = o (1) ( x → 0 )；
Q lim sin x = 1 ≠ 0， ∴ sin x ≠ o (1) ( x →
x→
π
2
π
)；
2
∴ Q lim sin x ≠ 0， sin x ≠ o (1) ( x → + ∞ )。
f ( x ) = o( g( x )) ( x → x0 )
例如， 为正整数)等都 例如，当x→0时，x, x2, …, xn (n为正整数 等都 时 为正整数 是无穷小量， 是无穷小量，有
x k + 1 = o( x k ) ( x → 0 )
x 2 sin 1 − cos x x 2 lim = lim tan = 0. = lim x → 0 sin x x →0 x→0 x x → 2 2 sin cos 2 2 故1 − cos x = o(sin x ) ( x → 0)
2
2.
若存在正数 和 ，使得在某U° 若存在正数K和L，使得在某 °(x0)上有 正数 上有 f ( x) K ≤| |≤ L, g( x )
则称f与 为当 为当x→x0时的同阶无穷小量。 时的同阶无穷小量。 同阶无穷小量 则称 与g为当
f ( x) 特别当 lim = c ≠ 0, f与g必为同阶无穷小量。 必为同阶无穷小量。 与 必为同阶无穷小量 x → x0 g ( x ) f ( x) |≤ L, 则记 f ( x ) = O( g ( x )) 若| g( x ) ( x → x0 )
即 x = o(3x) ( x → 0)； sin x ∴sin x ~ x ( x → 0). Q lim = 1，
x →0
x
ex − 1 例２ 求 lim . x →0 x x u 1 e − 1 u = e x − 1 lim = 1 解 lim u → 0 ln(1 + u ) x →0 x lim ln(1 + u) u 1 u→0 = = 1. ln e
x2 1 x sin x
=
x
时不是有界量， 当x→0时不是有界量， 时不是有界量 1 sin x 故当 故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。 时 和 不能比较。
高阶的无穷小， ∴当 x → 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小，
2
x2 = 0， 例1 Q lim x →0 3 x
ln( e ∴当 x → 0 时， 1 + x) ~ x，x − 1 ~ x.
常用等价无穷小: 常用等价无穷小:
当 x → 0 时，
sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x，
1 2 e − 1 ~ x , 1 − cos x ~ x , (1 + x )a − 1 ~ ax (a ≠ 0) 2
§5 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1、定义: 、定义 极限为零的变量称为无穷小量. 极限为零的变量称为无穷小量
x → x0
在某U 内有定义,若 设f在某 °(x0)内有定义 若 在某 内有定义 则称f为当 时的无穷小量。 则称 为当x→x0时的无穷小量。 为当
lim f ( x ) = 0
记为f ( x ) = o(1) ( x → x0 )
f ( x ) = o( g ( x )) ⇒ f ( x ) = O ( g ( x )),反之不然。 反之不然。
f ( x ) = o( g( x ))
f ( x ) = O( g( x ))
属于
函数类
f ( x) o( g ( x )) = { f ( x ) | lim = 0} g( x ) f ( x) O( g ( x )) = { f ( x ) || |≤ L, x ∈ U o ( x0 )} g( x )
是同阶无穷小量， 注 若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作 是同阶无穷小量 则可记作f(x)=O(g(x)), 不一定是同阶无穷小量。 但若 f(x)=O(g(x)),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。 则 与 不一定是同阶无穷小量
x 2 sin 1 − cos x 2 = 1. lim = lim 2 x →0 x→0 → x 2 x2
x → +∞
( −1)n ( −1) = o(1) ( 2) Q xn = → 0, ∴ x n = n n
n
( n → ∞ )。