材料力学T_3扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第三章
解 ϕ = Tl0 = M el0 GI p GI p
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学习题册答案-第3章 扭转
第三章扭转一、是非判断题1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。
（×）2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。
（×）3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
（×）For personal use only in study and research; not for commercial use4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。
（×）5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。
（√）6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。
（×）7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。
（×）8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。
（√）9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。
（√）10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。
（×）11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。
（√）12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。
（ × ）二、选择题1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ）A τ；B ατ；C 零；D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ）0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ）A 1τ=τ2, φ1=φ2B 1τ=τ2, φ1≠φ2C 1τ≠τ2, φ1=φ2D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。
材料力学扭转实验报告
材料力学扭转实验报告1. 实验目的。
本实验旨在通过材料力学扭转实验，探究材料在受力情况下的扭转性能，了解材料的力学特性和扭转变形规律，为工程应用提供理论依据。
2. 实验原理。
材料在受到扭转力矩作用下，会产生扭转变形。
根据弹性力学理论，扭转角度与扭转力矩成正比，而与材料长度和材料性质有关。
材料的扭转刚度可用扭转角度与扭转力矩的比值来表示，即扭转角度和扭转力矩的比值为材料的剪切模量G。
3. 实验装置。
本实验采用材料力学扭转实验机进行测试，实验机由电机、扭转传感器、数据采集系统等部分组成。
在实验中，通过控制电机输出的扭转力矩和测量相应的扭转角度，可以得到材料的扭转刚度和剪切模量等参数。
4. 实验步骤。
（1）将待测试的材料样品装入扭转实验机夹具中，保证样品的两端固定。
（2）设置实验机的扭转力矩和扭转角度采集参数。
（3）启动实验机，施加不同的扭转力矩，记录相应的扭转角度。
（4）根据实验数据计算材料的扭转刚度和剪切模量。
5. 实验结果与分析。
通过实验数据处理和分析，得到了材料在不同扭转力矩下的扭转角度数据。
根据实验结果，可以绘制出材料的扭转曲线，进一步分析材料的扭转特性和力学性能。
6. 结论。
通过本次材料力学扭转实验，得到了材料的扭转刚度和剪切模量等重要参数，为了解材料的力学性能提供了重要参考。
同时，实验结果也为工程应用提供了理论基础，具有一定的实用价值。
7. 实验心得。
本次实验通过操作实验装置、处理实验数据等环节，对材料力学扭转实验有了更加深入的认识，增强了对材料力学知识的理解和应用能力。
综上所述，本次材料力学扭转实验取得了一定的成果，为深入研究材料的力学性能和工程应用提供了重要参考，具有一定的理论和实用价值。
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学第三章
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
3.理论分析 3.理论分析 变形几何关系： (1) 变形几何关系： G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tanγ ρ = =
dϕ γρ = ρ dx dϕ ：扭转角 沿x轴的变化 轴的变化 ϕ dx 率。对给定截面上的各 它是常量。 点，它是常量。
28
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
1 为平均半径） 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 δ ≤ r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 实验：
实验前：绘纵向线，圆周线； 实验前：绘纵向线，圆周线；
然后施加一对外力偶 Me。
6
§3-2 薄壁圆筒的扭转
当其两端面上作用有外力 偶矩时，任一横截面上的 内力偶矩——扭矩(torque) T = Me
4
§3.1 概述
工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、 工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机 轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。 汽车传动轴等，都是受扭构件。 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形， 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合 变形。 变形。 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略 的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为 主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范 围内工作的情况。
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 横截面 上应力 变化规 律 内力与应力的关系 横截面上应 力的计算公 式
23
横截 推断 面的 变形 情况
横截面 上应变 应力-应变关系 的变化 规律
材料力学-扭转问题解读
P (kW ) Me 9549 Nm n( r pm )
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
材料力学教案 第3章 扭转
第3章扭转教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：3.1 扭转的概念和实例工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图3-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图3-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
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目的： 确定横截面上各点应变 分布规律。
试验之前薄壁圆筒表面作圆周线，纵 向线，形成小矩形。
实验现象：
(1) 圆周线绕轴线相对转动，但形 状、大小、间距不变；
(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了 角；
(3) 矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
W P 1000(N m)
n W M e 2 60
60000 P P Me 9549 (N m) 2 n n
Mechanics of Materials by Yang Zhen
2.扭矩和扭矩图
截面法：
M
m
设横截面上的内力偶矩为T： S Mx=0 T – M = 0 M T=M
R
d dx
c d
a' b'
c'
d'
b
Mechanics of Materials by Yang Zhen
T T O2 a
c e c′
d e’
x
b
e
d
O2
e′
dx dx
在横截面上半径 处 e 点： ee' = d = dx ∴ e 点切应变：
d ：扭转角 沿轴线 x 的变化率，对给定的截面为一常量。 dx
推知：
a
c
d
a' b'
c' d'
(1) 过半径的纵向截面上无正应力； b (2) 横截面上无正应力，只有切应力。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
取横截面 m-m 分析
∵ 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点 切应力 相等，方向与半径垂直。
又 d << R0，切应力 沿壁厚均布。
(c)
∴ T GI p
d dx
d T dx GI p
为计算圆轴扭转变形的基本公式。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
将 d T
dx
GI p
代入(b)式，得：
T ρ Ip
T R T Ip Ip R
为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。 二、最大扭转切应力 在圆轴表层： max = R，有最大切应力： max 令
a
'
b
'
c dx
d
S Mz=0
( ' d dx)dy – ( d dy)dx = 0
∴ '=
切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反， 两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。 纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。
Wp
Ip R
∴
max
T Wp
可知：Wp，max
称为横截面的抗扭截面系数，单位：m3，mm3。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
二、极惯性矩和抗扭截面系数
d
I p A dA Wp
2
Ip R
1、实心圆截面
O
D
取微面积：dA=2 d，距圆心为 ，
Tmax Wp [ ]
由 Tmax [M] [P]
Mechanics of Materials by Yang Zhen
例2 功率为 150kW，转速为 924 r/min的电动机转子轴如图， 材料许用切应力 []= 30 MPa。试校核其强度。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.3 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
Mechanics of Materials by Yang Zhen
间接计算 已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
圆轴扭转试验：扭转试验机上进行。 由试验可知： 低碳钢试件： 先发生屈服，产生较大的塑性变形，最 后沿横截面断开。
由试验可得扭转屈服极限： s
铸铁试件：
变形很小，无屈服现象，最后沿与轴线 约成45的螺旋面断裂。
由试验可得扭转强度极限： b
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.1 扭转的概念和实例
攻螺纹丝锥
扳手 转向盘轴
Mechanics ofபைடு நூலகம்Materials by Yang Zhen
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产 生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
2. 物理关系——剪切胡克定律
目的： 由横截面上切应变分布规律确定切应力分布规律。
小变形下为弹性变形，满足胡克定律：
d ∴ G G dx
横截面上切应力分布规律：
(b)
横截面上任意点的切应力与该点半径成正比，方向 与半径垂直并与扭矩方向一致。
即切应力沿半径呈线性分布。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
三、剪切胡克定律
切应变 ：单元体直角的改变量。 单位：rad (弧度) 由扭转试验可得 - 曲线。 dy a
c
dx
b
可知： 当 ≤ p 时，有 = G
称为剪切胡克定律。
p：材料的剪切比例极限；
平面假设：
轴的圆形横截面扭转变形后仍为同 样的圆形平面，其半径仍为直线。
可知：
(1) 横截面上无正应力； (2) 横截面上切应力方向与半径垂直。
取截面1、截面2之间的微段dx 分析： 横截面 2 相对截面 1 转过 d； 半径O2c 转到 O2c' ； 纵向线 ac 倾斜了 角至 ac' ；
表层单元体 abcd 发生剪切变形； a 变形几何关系：cc' = R d = dx 表层切应变：
轴线上： = 0， = 0 表层： = R，
max
d GR dx
Mechanics of Materials by Yang Zhen
3. 静力学关系 目的： 找横截面上扭矩与切应力之间关系，建立切应力计算公式。 取微面积dA，距圆心为 ，切应力 微内力： dA 对圆心微力矩：dT = dA· A d
2、空心圆截面
外径：D 可求得： 内径：d
d D
O
d
D
Ip
Wp
32
Ip R
(D4 - d 4 )
Ip D/2
D 4
32
(1 - 4 )
D3
16
(1 - 4 )
Mechanics of Materials by Yang Zhen
三、强度条件 1、扭转失效与扭转极限应力
薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。
Mechanics of Materials by Yang Zhen
两端加外力偶矩 M，使 薄壁圆筒产生扭转变形。
实验现象：
(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动； (2) 纵向线倾斜了 角； (3) 矩形abcd变成了平行 四边形a'b'c'd'。
第三章 扭 转
SWUST
内容提纲
§3.1 §3.3 §3.2 §3.4 §3.5 §3.6
概述 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 薄壁圆筒的扭转 圆轴扭转时的应力· 强度条件 圆轴扭转时的变形· 刚度条件 等直圆杆扭转时的应变能
Mechanics of Materials by Yang Zhen
d ρ dx
(a)
Mechanics of Materials by Yang Zhen
横截面上切应变分布规律：
横截面上任意点的切应变与该点半径成正比， 方向与半径垂直。 轴线上： = 0， = 0
轴表层： = R， R d max
dx
Mechanics of Materials by Yang Zhen
G： 材料的切变模量，单位：GPa 钢 ：G = 80 GPa
d
p
E 对各向同性材料，总有 G 2(1 + )
在材料的三个弹性常数中，只要知道任意两 个，就可以确定第三个。
O
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.4 圆轴扭转时的应力·强度条件
一、扭转切应力的计算公式 1. 扭转试验研究——变形几何关系
6.336 + 9.55 D
x
4.775
CA 段为危险截面：
| T |max = 9.55 kN· m
Mechanics of Materials by Yang Zhen
§3.2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 薄壁圆筒： 壁厚 d d R0/10
R0：为圆筒平均半径。
薄壁圆筒的扭转实验：
B MB
1
1
C T1
A
3 3
D
MD
T3
B MB
MC
2
D
T2
Mechanics of Materials by Yang Zhen
2
B
C
(3) 绘制扭矩图
MB
MC