06第六讲 Z变换的性质
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信号分析第六章Z变换的基本性质
[( 2) m (k m)]
X
四．时域卷积定理
已知 则 x(k ) X ( z ) h( k ) H ( z )
第
17 页
z z
1 1 2 2
x ( k ) * h( k ) X ( z ) H ( z )
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
1) a k (k 1) 2)a k (k 1)
X
八.时域求和性质
若 则 x(k ) X ( z )
k
第
26 页
z
max( ,1) z
z f (k ) x(i) X ( z) z 1 i
k
说明 : 用卷积和定理可得 z f (k ) x(i) x(k ) (k ) X ( z) z 1 i
例题 : 求以下信号的 变换(用求和性质或卷积和性 z 质） 1) f (k ) 2) f (k ) (1) i
i 0 k
i
X
第
(1)左移位性质
若 x(k ) (k ) X ( z)
则
9 页
z
z
m 1 m k x(k m) (k ) z X ( z ) x(k ) z k 0
其中m为正整数
xk 1 (k ) zX z zx0
xk 2 (k ) z X z z x0 zx1
2 2
X
第
证明左移位性质
根据单边z变换的定义，可得 Z xk m k xk m z k
k 0
10 页
z m xk m z k m
第六节 Z 变 换
2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
Z变换基本性质.
e j
H
r
e
j
d
思考题
• 1. z变换有哪些基本性质及其公式？ • 2. 应用初值定理和终值定理的条件？
z z1
z z1
z z 0.5
ROC z 2 z 1 z 1 z 0.5
终值存在的条件
(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;
例：anu(n), ，a 终 值1 为0
(2)若极点位于单位圆上，只能位于 z ，1并且是一阶极
点. 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有 第一条。
则： ZT[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z)
max( Rx1, Ry1) z min( Rx2, Ry2 ) 其中, a、b为任意常数。
例：求序列 anu(n)-anu(n-1) 的z变换。
ZT[anu(n) anu(n 1)] ZT[anu(n)] ZT[anu(n 1)]
z
anzn ( z a )
z a n1
z a 1 ( z 0) za za
二、位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质
1．双边z变换的位移性质
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
七、时域卷积定理
已知 则
X (z) Zx(n)
Rx1 z Rx2
H(z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Rh1 ) z min( Rx2 , Rh2 )
第6章 Z变换
第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
z变换应用实例
z变换应用实例Z变换是一种在离散时间系统中分析和处理信号的工具，它将离散时间信号从时域转换到频域。
Z变换在信号处理、控制系统和通信领域中有广泛的应用。
本文将介绍Z变换的基本概念，并提供几个Z变换的应用实例。
一、Z变换的基本概念Z变换是对离散时间序列进行变换的数学工具，类似于傅里叶变换的作用。
Z 变换将离散时间序列从时域转换到复平面的频域。
在Z变换中，我们用z来表示复平面的频域变量。
Z变换的定义如下：X(z) = Σ[ x(n) * z^(-n) ]，其中n为离散时间变量，x(n)为离散时间序列的值，z 为变换域的复变量。
Z变换的性质包括线性性质、平移性质、尺度性质和频移性质等。
通过对这些性质的应用，我们可以方便地对离散时间信号进行分析和处理。
二、Z变换的应用实例1. 数字滤波器设计在数字滤波器设计中，Z变换可以用来分析和设计数字滤波器的频率响应。
通过将滤波器的差分方程转换为Z域的传递函数，可以方便地分析滤波器的频率特性。
以FIR滤波器为例，我们可以通过将差分方程中的离散时间序列和滤波器的单位冲激响应进行Z变换，从而得到滤波器的传递函数。
进一步可以在Z域对滤波器进行分析和设计，包括频率响应的调节、滤波器阶数的确定等。
2. 信号压缩在信号压缩领域，Z变换可以用来表示信号的频域特性。
通过对信号进行Z变换，可以提取信号的频谱信息，从而实现信号的压缩。
对于语音信号等周期信号，可以使用Z变换将其从时域转换为频域，并选择性地保留频域特性较显著的分量。
通过对这些分量进行有效编码，可以实现信号的压缩。
3. 系统传递函数分析在系统控制中，Z变换可以用来分析和设计控制系统的性能。
通过将系统的差分方程进行Z变换，可以得到系统的传递函数。
利用得到的传递函数，可以方便地分析系统的稳定性、零极点分布、频率响应等性能指标。
可以进一步进行控制系统的校正、参数调节等操作。
4. 信道均衡在数字通信系统中，信道均衡是提高系统性能的重要技术之一。
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换的位移定理
z变换的位移定理引言：在信号与系统理论中，z变换是一种重要的数学工具，可用于分析离散时间信号和系统。
z变换的位移定理是z变换的重要性质之一，它描述了信号在时间域中的移位与频域中的变换关系。
本文将详细介绍z变换的位移定理及其应用。
一、z变换的概述z变换是一种将离散时间信号转换为复变量函数的数学工具。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换是对连续时间信号进行变换，而z 变换是对离散时间信号进行变换。
z变换的基本定义式如下：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)], n = -∞ to +∞其中，X(z)是z变换后的复变量函数，x(n)是离散时间信号，z是复变量。
二、z变换的位移定理z变换的位移定理描述了信号在时间域中的移位与频域中的变换关系。
具体表达式如下：如果x(n)的z变换为X(z)，则x(n-k)的z变换为z^(-k)X(z)。
这个定理告诉我们，如果在时间域中将信号x(n)向右移k个单位，则在频域中将对应的z变换X(z)乘以z^(-k)即可得到。
三、位移定理的应用位移定理在信号与系统分析中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 时延分析：位移定理可用于分析信号经过时延后的频谱变化。
通过将信号向右移动一定的单位，可以得到经过时延后的频域表示。
2. 卷积运算：由于卷积运算在时域中相当于乘法运算，在频域中相当于卷积运算。
位移定理可用于将时域中的卷积运算转换为频域中的乘法运算，从而简化运算过程。
3. 系统响应分析：位移定理可用于分析线性时不变系统的响应。
通过将输入信号向右移动一定的单位，可以得到输出信号的频域表示，进而分析系统的频率响应。
四、位移定理的证明位移定理可以通过z变换的线性性质和延迟定理来证明。
具体过程如下：假设x(n)的z变换为X(z)，则有：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)]令y(n) = x(n-k)，则有：Y(z) = ∑[y(n) * z^(-n)]= ∑[x(n-k) * z^(-n)]= ∑[x(n) * z^(-(n+k))]= z^(-k) * ∑[x(n) * z^(-n)]= z^(-k) * X(z)因此，x(n-k)的z变换为z^(-k)X(z)，即得到位移定理的结论。
Z变换的主要性质.
z
i1 z pi
y(kT )
n
Z 1[
Ai z ]
i1 z pi
n
Ai ( pi )k
i1
例2：见教材例3.13, 3.14.注意结果的最后表达
(2)有非零的重极点时， 二重极点展成
Y (z) A1 A2 A3 z (z p1)2 (z p1) (z p3 )
例1：求下式的Z反变换
Y
(z)
5z
2
12z 1.5z
0.5
2.4z z2 0.3z 0.1
(演算)
3
MATLAB程序： v=[0 12 0 0 0 0 0 0] u=[5 -1.5 0.5] [q, r]=deconv(v, u) q=[0 2.4 0.72 –0.024 –0.0792 –0.0214]
2) (z
zk 1)2 (z
2)
2k
f (kT ) K1 K2 2k k 1
11
复杂情况思考:
F (z)
z2 4 z3 2z
小结 :
Z反变换的方法
(1)长除法：deconv命令 (理解) (2)部分分式展开： (掌握) (3)留数计算法 (理解) 复习 P49-P59，预习P61-69 习题 3.9(1)、3.10
1(1)k1 1k(1)k1 2(2)k1
2k k 1
8
注意 Z 1[ 1 ] Z 1[z1 z ]
za
za
z1 Z 1[ z ] z1ak ak1 za
三 留数计算法（反演积分法）
f(kT)等于F(z)zk-1全部极点留数之和
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
§8.2 Z变换的性质(06.06.09)
收敛域与 X(z)基本相同：只影响 z 0, z 处。
m 显然： ZT x( n m ) z X ( z ) 。 左移
x(n)若是双边序列，其收敛域为环形区域，序列移位并不会使其z变换的收敛域变化
证明双边z变换的位移性
根据双边z变换的定义可得
Z x ( n m )
ZTx(n m)u(n) z m [ X ( z )
例
求a
n－1
的单边 变换 z
n
k m
x( k ) z k ]
1
z 解： a u( n) za
方法一，利用移位性质
右移 一位
z z 1 ZT a u (n) z za za a( z a)
求
y(n) x(n) h(n) 的 z 变换 Y(z)
解：
z X (z) z2
z H (z) z3
（ z 2）
（ z 3）
z2 Y ( z ) X ( z ) H ( z ) ( z 2)(z 3)
2
3
收敛域为： |z|>3
例
x(n) a u(n), h(n) b u(n)， y(n) x(n) h(n)。 ,求
n 0
dX ( z ) 所以： nx( n) z dz
序列线性加权（乘以n）的z变换等效于其z变换取导数乘以（-z）
例
na n u(n) 的 Z 变换 X(z) 求
z 解： ∵ a u( n) , za
n
za
∴
z d( ) z a z z a z za n na u( n) z dz ( z a )2 ( z a )2 |z| > |a|
Z变换的基本性质演示文稿
证明：
Z an x(n)
a n x(n)z n
x(n) z n X z
n0
n0
a
a
同理 a n x(n) X az
Rx1 az Rx2
1n x(n) X z
Rx1 z Rx2
五．初值定理
若x(n)为因果序列，已知 X z Zxn xnz n，
n0
则x(0) lim X (z)
Z变换的基本性质演示文稿
优选Z变换的基本性质ppt
主要内容
线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理
z域卷积定理（自阅）
一．线性 (表现为叠加性和均匀性）
若 Zx(n) X (z)
Rx1 z Rx2
Zy(n) Y (z)
Ry1 z Ry2
则 Zax(n) by(n) aX (z) bY (z) R1 z R2
例：anu(n), a 1，终值为0 (2)若极点位于单位圆上，只能位于 z 1 ，并且是一阶
极点。 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第 一条。
注意：对于因果序列n 0时，xn 0，则
Zx(n m)u(n) z m X (z)
而左移位序列的单边z变换不变。
三．序列线性加权
若 Zx(n) X (z)
则 nx(n) z d X (z)
推广
Z
n2 xn
dz
Zn nxn
z
d
Znxn
dz
z
d dz
z
d dz
X
z
z2
d
2 X z
dz2
x(n) 4
x(n 2) 4
第06讲_Z变换的性质及与其他变换的关系---精品资料
线性
满足齐次性（比例性）和可加性
若 则
Z [ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx Z [ y( n)] Y ( z ) , R y z R y
Z [ax( n) by( n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , R y ) z min( Rx , R y )
2k Xa ( j ) T k
序列在单位圆上的Z变换为序列 的傅氏变换
z
终值定理
对于因果序列x(n)，且X(z)=Z[x(n)]的极点处于 单位圆|z|=1以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶 极点）则
lim x( n) lim[( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )]z 1
n z 1
有限项累加特性
对于因果序列 x( n)，且X ( z ) Z [ x( n)],
* * *
其中，x ( n)为x( n)的共轭序列。
*
翻褶序列
Z[ x( n)] X ( z ) , Rx z Rx
1 1 1 Z[ x( n)] X ( ) ; z z Rx Rx
初值定理
对于因果序列 x( n)，则x(0) lim X ( z )。
ze j T jT z re e e
sT
re
T
T
r 与σ的关系 (r e )
T
S平面
Z平面
j
0
0 0 0 0
0 0 0
ω与Ω的关系（ω=ΩT）
j]
T 3 T
Z变换和傅氏变换的关系
已知x( n) a u( n), h( n) b 求Y ( z ) Z [ x( n)h( n)]
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
Z变换的基本性质 ppt课件
x(k1)x(k1)zk
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
Z变换的基本性质
数学上表示为：若x(n)的z变换为X(z) ，则x(n-k)的z变换仍为X(z)，其中k为 非负整数。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
Z变换的基本性质
z 2 X z x 2 z 1 x 1 X
11
第
证明左移位性质 页
根据单边z变换的定义，可得
Zxkm k xkm zk k0
zm xkmzkm k0
令 nkmzm xnzn nm
zmxnznm 1xnzn
n0
n0
zmXzm n01xnzn
X
12
第
(2)右移位性质 页
xkm ,xkm 只是位置 xk的 变长 化度 ，
X
9
第
(1)左移位性质
页
若 x (k )(k ) X (z) z
则 x ( k m )( k ) z m X (z ) m 1 x ( k )z k z
k 0
其中m为正整数
x k 1 ( k ) z z X z 0 x
11页页线性性质移序性质序列乘k性质序列线性加权z域尺度变换性质序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理z域卷积定理自学反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边
1
第二节 Z变换的性质
第 页
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权） Z域尺度变换性质（序列指数加权） 时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
2
一．线性 (叠加性和齐次性）
第
页
若Zx1(k)X1(z)
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则Za1x (k)b2x(k)a1 X (z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
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Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
(1-91)
第2章 Z变换 证
W ( z ) Z [ w(n)] Z [ x(n) y (n)]
n
y ( n) x ( n) h( n) Z [Y ( z )] b u ( n)
n 1
显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果
|b|<|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，
如图1-32所示。
第2章 Z变换
jIm[z]
a b o Re[z]
所以
dX ( z ) Z [nx(n)] z dz
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 例1-20 利用X(z)的微分特性求下面序列的Z变换。 x(n)=nanu(n)=n［anu(n)］=nx1(n) 解
1 X 1 ( z ) Z [ x1 (n)] Z [a u (n)] 1 az 1
第2章 Z变换 3. 乘以指数序列（Z域尺度变换）
Z[an x(n)] X (a1z)
证
| a | Rx | z || a | Rx
(1-81)
Z [a n x(n)]
n
a n x(n) z n
1
k
x(n)(a 1 z ) n
1
X (a z )
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
Ｒ-<|z|<R+
(1-79)
通常两序列和的Z变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的 公共区域： R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)
如果线性组合中某些零点与极点互相抵消， 则收敛域可能扩大。
第2章 Z变换
例1-18
z
第2章 Z变换 8. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部极点，除有一 个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则
lim x( n) lim[( z 1) X ( z )]
n z 1
(1-86)
证 利用序列的移位性质可得
Z [ x(n 1) x(n)] ( z 1) X ( z )
响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积; 利用卷积定理，
通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的Z反变换，从而
可得y(n)。这个定理得到广泛应用。
第2章 Z变换 例 1-21 设x(n)=anu(n),
h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)
求y(n)=x(n) * h(n)。 解
证
Rx | z | Rx
dX ( z ) d n x ( n) z dz dz n
Rx | z | Rx
交换求和与求导的次序，则得
dX ( z ) d n x(n) ( z ) z 1 nx(n) z n z 1Z [nx(n)] dz dz n n
n n
第2章 Z变换 由于 lim( z 1) X ( z ) 是X(z)在z=1 处的留数，因此终值 定理也可用留数表示， 即:
z 1
lim( z 1) X ( z ) Re s[ X ( z ),1]
z 1
x() Re s[ X ( z),1]
(1-87)
第2章 Z变换
展开成z的正幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的升幂（或z-1
的降幂）排列。
第2章 Z变换
1.4.3 Z变换的性质
1. 线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Z［x(n)］=X(z) Z［y(n)］=Y(z) Rx-<|z|<R x+ Ry-<|z|<Ry+
那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：
n
|z|>|a|
利用微分特性有
d 1 az1 X ( z) z 1 dz 1 az (1 az1 ) 2
|z|>|a|
第2章 Z变换 5. 复序列的共轭
Z[ x (n)] X ( z )
* * *
Rx | z | Rx
(1-83)
式中，符号“*”表示取共轭复数。
Rx | a z | Rx Βιβλιοθήκη 第2章 Z变换 例 1-19
1 Z [u (n)] 1 z 1 1 1 Z [a u (n)] 1 1 1 (a z ) 1 az1
n
∞≥|z|>1
∞≥|z|>|a|
第2章 Z变换
4. X(z)的微分
dX ( z ) Z [nx(n)] z dz
x ( n) y ( n) z n
1 n 1 X (v)v dv y (n) z n 2j c n 1 n dv n y(n)c X (v)v v z 2j n
n 1 z dv c X (v)n y(n) v v 2j 1 z 1 c X (v)Y v v dv Rx Ry | z | Rx Ry 2j
第2章 Z变换
由推导过程看出X(v)的收敛域就是X(z)的收敛域，Y(z/v)的收
敛域（z/v的区域）就是Y(z)的收敛域（z的区域），从而收敛域 亦得到证明。
不难证明，由于乘积x(n)y(n)的先后次序可以互调，故X,Y的
位置可以互换，故下式同样成立。
W ( z ) Z [ x(n) y(n)] 1 z 1 cY (v) X v v dv 2j
所以可以取z→1 的极限,
lim[(z 1) X ( z )] lim [ x(m 1) x(m)]
z 1 n m 1
n
lim{[ x(0) 0] [ x(1) x(0)] [ x(2) x(1)]
n
[ x(n 1) x(n)]} lim[ x(n 1)] lim x(n)
图 1-32 Y(z)的零极点及收敛域
第2章 Z变换 10. 序列乘积（复卷积定理） 若 则
w(n) x(n) y(n)
W ( z ) Z [ w(n)] Z [ x(n) y(n)] 1 z 1 c X (v)Y v v dv 2j
n
x ( n) y ( n ) z
n
Rx Ry | z | Rx Ry
(1-89)
第2章 Z变换
式中，c是哑变量V平面上X(v)与Y(z/v)的公共收敛域内环绕原点
的一条反时针旋转的单封闭围线，满足:
Rx | v | Rx
z , Ry Ry v
将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为
Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+
第2章 Z变换
第六讲 Z变换的性质
1.4.3 Z 变 换的性质
第2章 Z变换 从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成 降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定 要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确
地决定是按升幂长除，还是按降幂长除。
如果收敛域是|z|<Rx+，则x(n)必然是左边序列，此时应将X(z)
m
n x ( m) h ( n m) z n
m
x ( m) z m H ( z )
X ( z)H ( z)
max［Rx-, Rh-］<|z|<min［Rx+, Rh+］
第2章 Z变换
在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲
证
1 1 | z | Rx Rx1