旋转全等专题

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初中数学专题复习：旋转(类型全面)

旋转旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。

（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。

（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。

题型多以填空题、计算题呈现。

在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。

根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。

初中数学：利用旋转证明三角形全等综合证明题专题

已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD=BC ，△ABD ≌△E BC 吗？为什么？如图，已知ΔABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，B F=AC ， ∠CAG=∠F ，请你判断AG 与AF 是否相等，说明理由。

如图，∠A ＝∠B ，∠1＝∠2，EA ＝EB ，你能证明AC ＝BD 吗？∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，D 、A 、E 在一条直线上．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．已知：∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．ABCDE1 2两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90∘，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(2)证明：DC⊥BE.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,点D. F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90∘后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数。

如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F. 求证：PM=QM.如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB，MD. (1)求证：BE=DC；(2)求证：∠MBE=∠MDC如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE 于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE 的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF，（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD 间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．。

全等三角形——旋转问题

G F E D C BA全等三角形——旋转问题一、知识梳理：把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于诸条件的综合与推演．二、典型例题：例1、如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．及时练习：如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。

A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到例2、如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有___________。

A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对KGFEDC BA及时练习：如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBAP DC B A 例3、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA及时练习：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA例4、如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA及时练习：如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．例5、如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值． OB ECF A及时练习：如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DK G CFA例6、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H为垂足，求证：AH AB =．CHF E D B A及时练习：如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA例7、请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE及时练习：(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD;FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A三、课堂练习：1. 如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点MPM BC DEA PD CB A 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是_____________。

专题3 全等模型——手拉手

初中数学︵手拉手模型︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握．【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．公共顶点A 记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD ），右手拉右手（即连结CE ），得△ABD≅△ACE．【常见模型及证法】（等边）初中数学︵手拉手模型︶培优篇（等腰直角）（等腰）例1．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC ，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）当100 时，ODA °；（2）当120时，ODA°；（3）若150 ，8OB ，4OC ，则OA 的长为．初中数学︵手拉手模型︶培优篇例2．已知△ABC 中，∠BAC =60°，以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ．（1）连接AE 、CD ，如图1，求证：AE =CD ；（2）若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：CE =2AN ；（3）若AB ⊥BC ，延长AB交DE 于M ，DB 3，则BM =_______（直接写出结果）初中数学︵手拉手模型︶培优篇例3．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC 和△ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边．求证：BD CE ；（2）解决问题：如图2，若△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE = 90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由．图1 图2初中数学︵手拉手模型︶培优篇【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【常见模型及证法】如图，在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为边作正方形ABDE 、ACFG ，连接EC 、BG ，则△AEC ≌△ABG ．例1．（1）作图发现：如图1，已知ΔABC ，小涵同学以AB 、AC 为边向ΔABC 外作等边ΔABD 和等边ΔACE ，连接BE 、CD ．这时他发现BE 与CD的数量关系是．（2）拓展探究：如图2，已知ABC ，小涵同学以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE 、CD ，试判断BE 与CD 之间的数量关系，并说明理由．初中数学︵手拉手模型︶培优篇例2．如图，ΔABD 和ΔACE 均为等边三角形，连接BE 、CD ．（1）请判断：线段BE 与CD 的大小关系是；（2）观察图，当ΔABD 和ΔACE 分别绕点A 旋转时，BE 、CD 之间的大小关系是否会改变？（3）观察如图3和4，若四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，猜想类似的结论是________，在如图中证明你的猜想．初中数学︵手拉手模型︶培优篇1．如图，在ABC 中，45,4,60ACB AB BAC ，D 是边BC 上的一个动点，连接AD ，并将线段AD 绕点A 逆时针旋转60 后得线段AD ，连接BD ，在点D 运动过程中，线段BD 长度的最小值是_________．初中数学︵手拉手模型︶培优篇（1）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 的关系是；（2）如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；（3）继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．初中数学︵手拉手模型︶培优篇 4．【问题发现】（1）如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，容易发现：①BEC 的度数为；②线段BD 、CE 之间的数量关系为；【类比探究】（2）如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ，试判断BEC 的度数以及线段BE 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，90AOB ACB ，4OA ，8OB ，AC BC ，则2OC 的值为．。

三角形全等(旋转与截长补短专题)

向量与矩阵
向量与矩阵是高等数学中的重要概念，它们在解决几何问题，特别是涉及旋转、平移等变换的问题时具有广泛的应用。
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全等三角形的性质
对应边相等
对应角相等面积相等
周长相等
判定三角形全等条件
01
02
03
04
SSS（边边边）
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）
两边和它们之间的夹角分别相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）
两角和它们之间的夹边分别相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）
两角和一角的对边分别相等的两个三角形全等。
04 复杂图形中三角形全等问题解决方法
分析复杂图形中隐藏信息
观察图形特点
挖掘隐藏条件
注意图形的对称性、角的度数、边的长度等，这些可能是解决问题的关键。
根据已知信息和图形特点，挖掘出可能对解决问题有帮助的隐藏条件。
寻找潜在的全等三角形
通过观察和分析，尝试找出可能的全等三角形，以便利用全等三角形的性质解决问题。
应注意准确理解和运用各种判定定理。
02
旋转操作中的误区
在运用旋转证明三角形全等时，学生可能忽略旋转前后的图形关系，导
致证明失败。应注意保持旋转前后的图形对应关系。
03
截长补短法的使用不当
学生可能在不适当的场合使用截长补短法，或者在使用时未能正确构造
出全等三角形。应注意分析问题的具体条件，合理运用截长补短法。
截取法
通过截取线段，使得两个三角形在对应边上相等。例如，在证明两三角形全等时，可以截取其中一个三角形的一条边，使得这条边与另一个三角形的一条边相等。

例谈“旋转法”构造全等三角形,外显解题思路与技巧

例谈“旋转法”构造全等三角形,外显解题思路与技巧证明三角形全等是解决线段与角相等或和、差、倍、分关系的重要方法，应用“全等三角形”来解题时，通常需要添加辅助线，而很多同学在寻找辅助线的添法时往往感到无从下手，这也是很多学生认为几何比较难的重要原因.平移、旋转和翻折是图形运动中的三种全等变换，经过全等变换后的图形与原图形是全等的. 因此，我们可以借助全等变换的方法帮助我们识别复杂图形中的全等图形，同时我们还可以利用全等变换将分散的条件集中，从而寻求添加辅助线的方法. 本文主要从图形旋转的角度，通过几个具体的例题分析来谈谈什么时候构造旋转，怎样构造旋转，同时如何从学生的角度探索辅助线的叙述方法，从而帮助我们有效的解决问题，现呈现出来，希望得到指正.1. 旋转对应线段例1 已知如图1（1），以△ABC的AB，AC为边向三角形外作等边△ABD，△ACE，连接CD，BE相交于点O.求证：OA平分∠DOE.解析本题是旋转的基本模型，要证OA平分∠DOE，即证∠DOA = ∠EOA.可证∠DOA与∠EOA所在的三角形全等，或者证明∠DOA与∠EOA和同角（或等角）相等.由题目条件易知：AD = AB，∠DAC = ∠BAE，AC = AE，所以△DAC ≌△BAE.即△DAC绕点A逆时针旋转60°与△BAE重合.所以可旋转三角形的重要线段（或对应线段），从而构造三角形全等.方法1 （构造对应高相等）如图1（2），过点A作AP ⊥CD于点P，AQ⊥BE于点Q，则∠APD = ∠AQB = 90°. 因为△DAC ≌△BAE，所以∠ADP = ∠ABQ，AD = AB，所以△ADP ≌△ABQ，所以AP = AQ，又AO = AO，所以△APO ≌△AQO（HL）. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA 平分∠DOE.方法2 （构造一般对应线段）如图1（3），在线段BE 上截取BF = DO，因为△DAC ≌△BAE，所以∠ADO = ∠ABF，AD = AB，所以△ADO ≌△ABF，所以∠DOA = ∠BFA，AO = BF，所以∠EOA = ∠BFA. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA 平分∠DOE.说明：△DAC绕点A逆时针旋转60°与△BAE重合，在旋转过程中，两个三角形的对应元素始终相等，线段AO 作为△DAC中的线段，在旋转过程中必有某线段AF与之对应，因此可构造△ADO ≌△ABF. 但是我们在叙述辅助线的时候，不易在BE上取点F，使得AF = AO，所以要变换辅助线的叙述方法，在线段BE上截取BF = DO.拓展：如图2，以△ABC的AB、AC为边向三角形外正方形ABDE、ACFG，连接CE交AB于点H，连接BG交CE于点O.求证：（1）BG⊥CE；（2）OA平分∠EOG .说明：还可以向外构造正五边形得到类似的结论.2. 旋转等腰三角形的顶角例2 如图3（1），△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120°，以点D为顶点作∠MDN = 60°，分别交AB、AC于M、N，连接MN.（1）探索线段BM、CN、MN的数量关系，并加以证明；（2）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，其他条件不变，如图3（2），探索BM、CN、MN之间的数量关系，并给出证明.分析（1）如图3（2），从△BDC是等腰三角形入手，可以将△BDM绕点D旋转120°，则点B落在点C，点M 落在点E，点N、C、E共线，然后证明△MDN ≌△EDN 即可.（2）如图3（4），同理将△BDM绕点D旋转120°，则点B落在点C，点M落在点F，点A、F、C，在共线，然后证明△MDN ≌△FDN即可.解析（1）MN = BM + CN. 如图3（2），延长NC到E，使得CE = BM . 因为△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120°，所以BD = CD，∠DBC = ∠DCB = 30°.又因为△ABC是正三角形，所以∠ABC = ∠ACB = 60°，所以∠MBD = ∠ECD = 90°，所以△BMD ≌△CED （SAS），所以DM = DE，∠BDM = ∠CDE. 因为∠MDN = 60°，∠BDC = 120°，所以∠MDN = ∠EDN = 60°，所以△MDN ≌△EDN（SAS），所以MN = EN. 所以MN = CE + CN，即MN = BM + CN.（2）MN = CN - BM. 如图3（4），在CN上截取CF = BM，由（1）可知∠MBD = ∠FCD = 90°，BD = CD，所以△BMD ≌△CFD（SAS）. 所以DM = DF，∠BDM = ∠CDF，所以∠MDN = ∠FDN = 60°，所以△MDN ≌△FDN（SAS），所以MN = FN. 所以MN = CN - CF，即MN = CN - BM.说明：△BDM绕点D旋转120°，则点B落在点C，点M落在点E，因为∠NCD + ∠ECD = 180°，因此点N、C、E共线. 本题说明点共线比较容易，而当我们在旋转后，证明共线问题较困难时，我们可借鉴本题解析中的方法，转变角度，变换辅助线的叙述方法，来回避共线问题的证明.总结当然，利用“旋转法”添加辅助线的题型还很多，例如旋转30°、60°、90°、120°、150°、180°等. 只要我们心中有“旋转”的思想，在具体问题中注意变换辅助线的方法，通常都会使问题迎刃而解.。

三角形旋转全等常见模型

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：自旋转构造放方法：①遇60°旋60°，构造等边三角形；②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形；③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；④遇中点180°，构造中心对称。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：Array(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解：1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

精品运用旋转构造全等

小专题运用旋转构造全等1.把一个平面图形F 绕平面内一点O 按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度得到图形F 的变换称为旋转变换，点O 叫做旋转中心，角度叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.例1.已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE、CF 分别与直线AB 交于点M、N.（1）当扇形绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，如图 1 所示，求证：MN 2 =AM 2 +BN 2 .（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至如图2 所示的位置时，关系式MN 2 =AM 2 +BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD，AD//BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，则CE 的长为.思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们是否考虑用旋转变换来铺路架桥.规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt△ADE、Rt△CEB 和△BAE 中直接求出EC 几乎是不可能的.例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.（1）求证：AF=DF+BE.（2）设DF= x (0 ≤x ≤ 1)，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，请说明理由.思路分析：求证AF=DF+BE，观察图形可知线段AF、DF、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线帮助解题，考虑到AF、DF 在Rt△ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长CB 到点G，使BG=DF，又AB=AD，进一步推理，可使问题获解.规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的数形结合，能简洁明了地解决问题.课后练习：.如图12，边长为1 的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF、GH 分割为四个小矩形，EF 与GH 交于点P. （1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若RtΔGBF 的周长为1，求矩形EPHD 的面积.一、遇45°，135°运用旋转构造全等1.如图，将正方形ABCD 中的△ABP 绕点B 顺时针旋转到△CBP'的位置，且BP=2，AP=1.（1）求PP'的长；（2）连CP，若CP=3，求∠APB 的度数.2.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP 的长.3.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，AP=3，求∠CPB 的度数.4.如图，正方形ABCD 中，PA= a ，PB= b .（1）若P 点在正方形外，且∠APB=45°求PD；（2）若P 点在正方形内，且∠APB=135°，求PD.DPB C5.等腰Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点D 在△ABC 外，且∠ADB=45°，AD=3，BD=4，求线段DC 的长.二、遇60°，120°运用旋转构造等边三角形6.如图，在△ABC 中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，以AC 为边向外作等边△ACD，求BD 的长.7.如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.8.设P 是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=5，PC=4，则 APC 的度数是.9.如图，点P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝2，PB＝，PC＝13(1)求∠BPC 的度数；(2)直接写出AB 的长为．10.如图，四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC=60°，∠CDA=30°，AD=8，CD=10，求对角线BD 的长.。

专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)

专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。

中考数学总复习《旋转变换构造全等三角形》专题(含答案)

旋转变换构造全等三角形一、选择题1.如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形二、填空题2.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B ，E 在C ，D 的同侧．若,2=AB 则BE =______．3.如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于______．三、解答题4.已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．PMBCD EA求证：（1）AN BM =（2）CD CE =（3）CF 平分AFB ∠（4）CDE △是等边三角形．5.如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．6.如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．7.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．MDNE C BF A QRP O D CB AN ME DC B AM DNEC B A8.正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.9.如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =;(2)MF MH =10.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =；⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．11.请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． F E DC B A G FE D CB A MEFHGD CB A MDNE C BF A小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1AB CD E 图2A B C D E旋转变换构造全等三角形答案解析一、选择题1.C;易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．二、填空题2.1;由题可知，BED △是由ACD △绕点D 旋转60得到的，所以1BE AC ==;设线段CD 与B C ''的交点为M ，则公共部分AB MD '的面积等于直角三角形ADM 和直角三角形AB M '的面积的和，因为是经过旋转后得到的公共部分，可容易得到ADM AB M '△≌△，又根据勾股定理容易得到1323ADM S =△，所以ADMB S '三、解答题4.（1）∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =（2）ACD MCE ≌△△，∴CD CE =（3）往角两边作垂线，∵第一问已证ACN MCB ∆∆≌∴对应高相等，即角平分线到角两边距离相等（4）∵CD CE =又∵60CDE ∠=︒∴CDE △是等边三角形5.证:在正方形ABCD 中，因为AQ ⊥DP ，所以，在Rt △ADQ 与Rt △RDQ 中有∠RDQ=∠QAD ．所以，在Rt △ADQ 与Rt △DCP 中有AD=DC ，∠ADQ=∠DCP=90°，∠QAD=∠PDC ，所以△ADQ ≌△DCP(ASA)，DQ=CP ．又在△DOQ 与△COP 中，DO=CO ，∠ODQ=∠OCP=45°，所以△DOQ ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP ．从而∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ=∠COD=90°，即OP ⊥OQ ．【解析】欲证OP ⊥OQ ，即证明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需证明∠COP=∠DOQ 即可．这归结为证明△COP ≌△DOQ ，又归结为证明CP=DQ ，最后，再归结为证明△ADQ ≌△DCP 的问题．6.∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒∵B ，C ，E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒∴120BCD ACE ∠=∠=︒在BCD ∆与ACE ∆中BC ACBCD ACE DC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴BCD ACE ∆∆≌，∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒∴60ACD ∠=︒在BCM ∆与ACN ∆中60BC ACBCM ACN CBM CAN=⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩ ∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．7.∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∴CDE ∆是等边三角形8.延长CB ，在CB 的延长线上取一点G ，使得DF BG =，故AGB AFD ≌△ ，AGE AFE ≌△△，所以45EAF ∠=︒9.证明△ABH ≌△AFC ;(2)作P MD FP 于⊥，Q MD HQ 于⊥，先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM10.此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：AFC BFC ∠=∠；AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌；DEC ∆为等边三角形．⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．11.⑴ 222DE BD EC =+证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆∴AEC ABE '∆∆≌∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠在Rt ABC ∆中∵AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴90ABC ABE '∠+∠=︒即90E BD '∠=︒∴222E B BD E D ''+=又∵45DAE ∠=︒∴45BAD EAC ∠+∠=︒∴45E AB BAD '∠+∠=︒即45E AD '∠=︒∴AEDAED '∆∆≌ ∴DE DE '=∴222DE BD EC =+⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌∴AF AB =，FD DB =FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠又∵AB AC =，∴AF AC =∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠ ∴FAE EAC ∠=∠又∵AE AE =∴AFE ACE ∆∆≌∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴在Rt DFE ∆中222DF FE DE +=即222DE BD EC =+E'E D C B AF E D CB A。

旋转全知识点习题及答案

旋转(全)知识点习题及答案旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC 内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．(图4) (图5) (图6) (图7)如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中AB．点，F是BA延长线上一点，AF=12（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转旋转中心旋转角2．A 45°3．点A 60°等边三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．（2）BE=DF，BE⊥DF2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD 绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE 重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A 3．D二、1．相等2．△ACE 图形全等= 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=1．23．重合：证明：∵EG⊥AF∴∠2+∠3=90°∵∠3+∠1+90°=180°∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（）A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（）A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）D．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=2AP=32．旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A B C D E F G H I J K L M N O P Q R ST U V W X Y Z对称形式轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D的位置．答案:21085 一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（）A．21085 B．28015 C．58012 D．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1B AC ED G F3．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．（1）在图中画出△A1OB1；（2）设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形2．答案不唯一3．答案不唯一三、1．（1）①假②真（2）①③（3）①例如正五边形正十五边形•②例如正十边正二十边形2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A1BD=∠C1FB 又∵四边形ABEF是由四边形A1B1EF翻折的，∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG，初中数学资源网∴∠EFB=90°-1∠C1FB，2∠A1BD，∠FBG=90°-12∴∠EFB=∠FBG∴EF∥BG，∵EB∥FG∴四边形BEFG是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB，∵BD1∥FC1，∴∠BGF=∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B1BF=∠FB1B．∴∠B1BG=90°，∴△B1BG是直角三角形3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴1042a b cca b c=-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解这个方程组得12121abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x2+12x+1．。

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习全等三角形与旋转问题专题练中考要求：掌握旋转变换的概念和性质，能够灵活应用旋转变换解决问题。

知识点睛：基本知识：旋转变换是指将一个图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到一个新的图形，这个过程叫做旋转变换。

旋转中心是旋转的定点，旋转角是旋转的角度，原图形叫做原象，新图形叫做象。

在旋转变换下，原象和象是全等的。

旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角。

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，可以将分散的条件集中，便于条件的综合和推导。

重点：本节的重点是全等三角形的概念、性质及其判定。

全等三角形的性质是证明三角形问题的基础，也是学好本章的关键。

同时，全等三角形的判定也是本章的重点，特别是在直角三角形中，HL判定是整个直角三角形的重点。

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。

为了能熟练地应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化。

例题精讲：例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是哪一个？解析】选择A。

例2】如图，万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心逆时针旋转120°得到的。

则以菱形AEFG为一侧的等边三角形AKF可以看成是把以菱形ABCD的一条对角线为一边的等边三角形旋转了多少度得到的？解析】选择D。

例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有多少对？解析】选择C。

例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，∆ACM、∆CBN是等边三角形。

专题14 六种旋转全等模型归类训练(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及提优测试

专题14 六种旋转全等模型归类训练（原卷版）类型一半角模型1．（2022秋•南海区期末）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论：①∠AEB＝∠AEF；②△ABN∽△MDA；③AM•AE ＝AN•AF；④BM2+DN2＝MN2.其中正确的结论有（）A．①②④B．②③④C．①③D．①②③④2．（2022秋•集贤县期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E、F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证：AE+CF＝EF．（不必证明）（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．类型二对角互补模型3．（2021秋•越秀区期中）如图，等边△ABC 的边长为2，点O 是△ABC 的中心，∠FOG ＝120°，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ；②四边形ODBE 的面积始终等于√33；③S △ODE ＝S △BDE ；④△BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是（填序号）．4．已知如图，点P 是∠MON 角平分线上的一点，∠APB 分别交直线OM ，ON 于点A ，B ，∠APB ＝120°，∠MON ＝60°．（1）求证：P A ＝PB ；（2）若OA ＝3，OB ＝6，求OP 的值；（3）当点A 在射线OM 的反向延长线上时，请探究线段OA ，OB ，OP 之间的数量关系．类型三“手拉手”模型——旋转全等5．（2022春•东营期末）（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，请求出∠AEB的度数，写出线段BE，AE，DE之间的数量关系，并给出证明．6．（2021秋•马尾区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，AD＝AE＝2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．7．（2017•锦州）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．类型四中点旋转模型8．（2023春•宣汉县期末）如图所示，在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC外侧作等腰Rt △ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、DF、EF、FN、EN．则下列结论：①四边形ADFE是平行四边形；②MD＝EF；③∠DMF＝∠EFN；④FM⊥FN，其中正确结论的序号是．9．（齐齐哈尔中考）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．类型五错位手拉手模型10．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．（1）求证：①△PDF的面积S=12PD2；②EA＝FD；（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．类型六构造旋转模型11．（2022•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为（）A．28+8√3B．14+4√3C．12D．2412．等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，若∠BPC＝150°，BP＝3，AP＝5，则CP＝．13．（2020春•郫都区校级期中）如图，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．14．（2022春•顺德区月考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．（1）则线段AP、BP、CP构成的三角形是三角形（填“钝角、直角、锐角”）；（2）将△BP A绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的△BP1A1，并由此求出∠BP1A1的度数；（3）求三角形ABC的面积．。

旋转全等(试题)

1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：（1）△ABD≌△ACE（2）BD⊥CE．（3）连接AM，AM是否平分∠CAD。

说明理由2．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF＝AC；②∠FCD＝45°；③若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD＝30°，BF＝2，则AF＝．其中正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④4．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE 为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为边作△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝6cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．6．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC＝a，BC＝b，CD＝ka，CE＝kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a＝4，b＝3，k＝，求BD2+AE2的值．1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证∠BFC=∠BAC=∠DAE求证：F A平分∠BFE．2．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若∠CAE ＝25°，则∠EBC的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°3．如图所示：B、D、E在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．4．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE．连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．1．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下十个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥CP＝CQ；⑦△CPQ为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO平分∠AOE；⑩CO 平分∠BCD恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．（1）求证：△ADC≌△BEC．（2）求∠AOE的度数．（3）PQ与AE是否平行？请证明你的结论．。

关于全等三角形的旋转难题

旋转可知，如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F为AB的中点，直线l经过C点，又经过A、B点，得l 的一条垂直线，即AD⊥CE，BE⊥CE，(1)如图1所示，当CE位于F点右侧时，验证：△ADC≌△CEB；(2)如图2所示，当CE在F点左侧时，验证：ED=BE-AD；(3) 如图 3 所示，当 CE 在△ABC 之外时，尝试猜测 ED、AD 和 BE 之间的定量关系，并证明你的猜测。

测试地点：全等三角形的测定和性质。

题目：证明题；查询类型。

分析：（1）利用同一角的补角相等，可以得到∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB。

(2)根据AAS证明△ADC≌△CEB后，对应边相等，则ED=BE-AD。

(3)根据AAS证明△ADC≌△CEB后，DC=BE，AD=CE，ED=CE+DC，则ED=AD+BE。

答案：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

在△ADC和△CEB∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ,∴△ADC≌△ CEB (AAS)。

(2) 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

在△ADC和△CEB∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ,∴△ADC≌△CEB（AAS）。

∴DC=BE，AD=CE。

∵ED=CD-CE,∴ED=BE-AD．(3) ED=AD+BE。

证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

专题01旋转中的三种全等模型(原卷版)九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练

专题01旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。

结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠BFD 。

4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。

结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。

例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC α∠=，将△BOC绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．(1)当100α=︒时，ODA ∠=°；(2)当120α=︒时，ODA ∠=°；(3)若150α=︒，8OB =，4OC =，则OA 的长为．例2．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上△ABC 外一点，且DE =2，连接BE ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，连接AF ，CE ．(1)判断△BEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AF =CE ；(3)当点D ，E ，F 在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE 的长．备用图例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE ==AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

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