高中数学知识点汇总_精编版

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高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版

高中数学基础知识梳理第一章集合与简易逻辑基础知识梳理一、集合⒈集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；集合中的每一个对象叫集合的元素.元素a 在集合M 内的表示法，元素a 不在集合M 内的表示法 . ⒉集合中的元素必须具备“三性”：、、 . ⒊空集的意义及记号：不含任何元素的集合叫空集，空集记作Ø； ⒋常用数集及记号：⑴非负整数集（零和正整数的全体）——N ； ⑵正整数集——N*或N + ；⑶整数集——Z ； ⑷有理数集——Q ； ⑸实数集——R. ⑹无理数集——C R Q ⒌集合的分类（按集合中的元素个数来分）： ⑴有限集—— ⑵无限集—— ⒍集合的表示法：⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内；⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内，其基本模式是{x| p （x ）}.⒎集合的形象表示法——韦恩图，即用一条封闭的曲线围成的图形（内部）表示集合. ⒏子集、交集、并集、补集： Ⅰ子集⑴子集、真子集的意义：对于两个集合A 、B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ；如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B. ⑵子集的性质：（用⊆、填空） ①A A ，Ø A ，若A ≠Ø，则Ø A ；②若A ⊆B ，B ⊆C ，则A C ；③若A B ，B ⊆C ，则A C ； ④若A ⊆B ，B C ，则A C ；④若A B ，B C ，则A C. ⑶子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则 ①集合A 的子集个数是2 n；②集合A 的真子集个数是2 n −1；③集合A 的非空真子集个数是2 n−2.⑷集合相等的意义：若集合A 与B 含有相同的元素，称它们相等，记作A=B ；集合相等的充要条件：A=B ⇔ A ⊆B 且B ⊆A. Ⅱ交集⑴交集的意义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 、B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∩B 的阴影.⑵交集的性质：①A ∩A= ；②A ∩Ø= ；③A ∩B=B ∩A ； ④若A ∩B ⊆A ，则A ∩B ⊆B ；⑤若A ∩B ⊆A ，则A ⊆B. Ⅲ并集⑴并集的意义：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∪B 的阴影. ⑵并集的性质：①A ∪A= ；②A ∪Ø= ；③A ∪B=B ∪A ；¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ A BA B④A ∪B ⊇A ； ⑤A ∪B ⊇B ； ⑥A ∪B=A ⇔ B ⊆A Ⅳ补集⑴全集、补集的意义：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全集通常用U 表示；设S 是一个集合,A 是S 的一个子集（即A ⊆S ）,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做集合A 的补集（或余集）,记作C S A,即C S A={x|x ∈S 且x ∉A}. 请根据右面的韦恩图打出C S A 的阴影.⑵补集的性质:①A ∪C U A= ； ②A ∩C U A= ； ③C U U= ； ④C U Ø= ； ⑤C U （C U A ）= ； ⑥C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）； ⑦C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）. ⒐集合的元素的个数：⑴“集合A 的元素的个数”可用符号记作； ⑵对任意两个有限．．集合A ，B ，有 card （A ∪B ）=card （A ）+card （B ）−card （A ∩B ）. 二、简易逻辑⒈命题概念：可以判断真假的语句叫做命题. ⒉逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. ⒊简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.⒋复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. ⒌真值表：表示命题的真假的表叫真值表.））⑶）⑴互逆命题及逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把第一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. ⑵互否命题及否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题叫做互否命题；把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题. ⑶互为逆否命题及逆否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定对p 且q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是假即为 .对p 或q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是真即为 .和条件的否定，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题；把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题. ⑷四种命题的一般形式：（用符号“┐”表示否定）①原命题：若p 则q ； ②逆命题：；③否命题：； ④逆否命题： . ⑸四种命题之间的关系：在下列双箭头符号旁填上相应的文字）⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系：①原命题为真，它的逆命题； ②原命题为真，它的否命题； ③原命题为真，它的逆否命题 . ⑺用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确. ⒎充分条件和必要条件：⑴充分条件和必要条件的概念：若p 则q ，即p ⇒q ，我们说，p 是q 的条件，q 是p 的条件. ⑵充要条件的概念：若p 则q ，且若q 则p ，即p ⇔ q ，我们说p 是q 的条件，q 是p 的条件.第二章函数基础知识梳理一、映射：⒈映射的定义：设A、B是两个集合，按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．．．元素，在集合B中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.⒉象与原象的概念：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.⒊一一映射的定义：设A、B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B上的一一映射.二、函数：⒈函数的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.⒉函数的近代定义：如果A、B都是非空．．数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数的三要素是：、、 .⒊函数的表示法：解析法、列表法、图象法.⒋关于区间的概念：⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为或 .以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.⒌函数解析式的求法：⑴换元法；⑵待定系数法.⒍求函数定义域的主要依据：⑴分式中的分母不为0；⑵偶次根式的被开方数不小于零；⑶对数的真数大于零；⑷零指数幂的底数不等于零；⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.⒎求函数值域的方法有：⑴配方法；⑵换元法；⑶判别式法；⑷单调性法；⑸基本不等式法；⑹数形结合法；⑺反函数法.三、函数的单调性：⒈函数单调性的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＜f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是增函数. 这个区间叫增区间.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＞f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是减函数. 这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.⒉函数单调性的判别方法：⑴图象法.若函数f (x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；⑵定义法.其一般步骤是：①取值.在所给区间上任取x1＜x2；②作差f (x1)−f (x2)；③变形.分解因式或配方等；④定号.看 f (x1)−f (x2)的符号；⑤下结论.⑶利用复合函数的单调性：设y=f (u),u=g (x),已知g (x)在[a,b]上单调递增(或递减), y=f (u)在[g (a), g (b)] (或[g (b),g (a)])上单调, 那么复合函数y=f [g (x)]在[a,b]上一定单调,并且有如下结论:当f (u)与g (x)的单调性相同时, f [g (x)]在[a,b]上为；增(增)=增；减(减)=增. 当f (u)与g (x)的单调性相反时, f [g (x)]在[a,b]上为 . 增(减)=减；减(增)=减. ⑷利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出.①函数f (x)与f (x)+c(c 为常数)具有相同的单调性；②当c ＞0时,函数f (x)与c f (x)具有相同的单调性；当c ＜0时,函数f (x)与c f (x)具有相反的单调性；③若f (x)≠0,则函数f (x)与)(1x f 具有相反的单调性； ④若f (x)≥0,则函数f (x)与)(x f 具有相同的单调性；⑤若函数f (x), g (x)都是增函数,则f (x)+g (x)也是增函数； (增+增=增) ⑥若函数f (x), g (x)都是减函数,则f (x)+g (x)也是减函数； (减+减=减) ⑦若函数f (x)是增函数, g (x)是减函数,则f (x)−g (x)也是增函数；(增−减=增) ⑧若函数f (x)是减函数, g (x)是增函数,则f (x)−g (x)也是减函数；(减−增=减) 另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出） ⑼*两个恒正．．．．的增函数的积还是增函数； ⑽*两个恒正．．．．的减函数的积还是减函数； ⑾*两个恒负．．．．的增函数的积是减函数； ⑿*两个恒负．．．．的减函数的积是增函数； ⒊一些特殊函数的单调性：⑴一次函数y=kx+b,当k ＞0时,在R 上是；当k ＜0时,在R 上是 .⑵二次函数y=ax 2+bx+c, 当a ＞0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[a b2-,+∞)上为；当a ＜0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[ab2-,+∞)上为 . ⑶反比例函数y=xk,当k ＞0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是；当k ＜0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 .⑷指数函数y=a x,当a ＞1时,在R 上是 , 当0＜a ＜1时,在R 上是 . ⑸对数函数y=l og a x,当a ＞1时,在(0,+∞)是 , 当0＜a ＜1时,在(0,+∞)是 . ⑹*记住重要函数y=x+)0(>a xa 的单调性,并会证明：当x ＞0时，函数在(0,a )上单调递减,在[a ,+∞]上单调递增；当x ＜0时，函数在上单调递减,在上单调递增.四、函数的奇偶性：⒈函数奇偶性的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数. 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=−f (x),那么函数f (x)叫做奇函数. 注意：⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于对称.⑵函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0.例：f (x)=0,x ∈(−1,1)；f (x)=0,x ∈[−2,2]；f (x)=1122-+-x x 等等. ⒉具有奇偶性函数的图象特征：⑴奇函数⇔图象关于对称； ⑵偶函数⇔图象关于对称. ⒊判断函数奇偶性的方法： ⑴图象法；⑵定义法.其一般步骤是：①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性；若对称,再进行第二步；②判断f (−x)与f (x)的关系,并下结论.若f (−x)=−f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数；若f (−x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数；若f (−x)=−f (x)且f (−x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数；若f (−x)≠−f (x)且f (−x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. ⒋函数奇偶性的性质：⑴两个奇函数的和(或差)仍是奇函数；即：奇±奇=奇. ⑵两个偶函数的和(或差)仍是偶函数；即：偶±偶=偶.⑶奇偶性相同的两个函数的积(或商,分母不为0)为；即：奇×奇=偶；偶×偶-偶；奇/奇=偶；偶/偶=偶.⑷奇偶性相反的两个函数的积(或商,分母不为0)为；即奇×偶=奇；偶×奇=奇；奇/偶=奇；偶/奇=奇.⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；⑹定义域关于原点对称的函数f (x)可以表示成一个奇函数g (x)与一个偶函数h (x)之和,即 f (x)= g (x)+h (x),其中g (x)=2)()(x f x f --, h (x)=2)()(x f x f -+. ⑺若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .f (0)=0是f (x)是奇函数的条件.五、反函数：⒈定义：函数y=f (x)(x ∈A),设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y 的关系,用y 的式子表示x,得到x=φ(y).如果对于C 中的任何一个值,通过x=φ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应那么, x=φ(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数.这样的函数x=φ(y) (y ∈C)叫做函数y=f (x)的反函数,记作x=f −1(y),习惯上一般用x 表示自变量,用y 表示函数, 所以y=f (x)的反函数通常写为y=f −1(x). 由反函数的定义知⑴函数y=f (x)与它的反函数y=f −1(x)互为反函数；⑵f [f −1 (x)]=x ；⑶f −1[f (x) ]=x.⒉函数x=f −1(y)(y ∈C,x ∈A)、函数y=f −1(x)(x ∈C,y ∈A)与函数y=f (x) (x ∈A, y ∈C) 的区别与联系：⑴函数x=f −1(y)与函数y=f −1(x)都是y=f (x)的反函数；⑵在y=f (x)与x=f −1(y)中,x,y 所处的地位不同：在y=f (x)中,x 是自变量,y 是x 的函数；在x=f −1(y)中,y 是自变量,x 是y 的函数.在同一坐标系中y=f (x)与x=f −1(y)的图象；⑶在y=f (x)与y=f −1(x)中, x,y 所处的地位相同,但取值的范围不同：在y=f (x)中, x ∈A, y ∈C,而在y=f −1(x)中,x ∈C,y ∈A. 在同一坐标系中y=f (x)与y=f −1(x)的图象关于直线对称； ⒊求函数y=f (x)的反函数的步骤：⑴求原函数的值域,即反函数y=f −1(x)的定义域；⑵将y=f (x)看成方程,在其定义域内解出x= f −1(y)； ⑶将x,y 互换得y=f (x),并注明其定义域.注意：求分段函数的反函数,先分别在各段中求出其反函数,然后用大刮号联立. ⒋关于反函数的有关结论：⑴函数y=f (x)的定义域是它的反函数y=f −1(x)的 ,函数y=f (x)的值域是它的反函数y=f −1(x)的； ⑵定义域上的单调函数必有反函数；⑶互为反函数的两个函数具有相同的单调性；⑷若奇函数有反函数,则其反函数也是奇函数；(注意：并不是每个奇函数都有反函数, 例如：y=sinx(x ∈R).⑸定义域为非零．．的偶函数不存在反函数；注意：函数f (x)=1,(x ∈{0})是不是偶函数(为什么?)它有没有反函数?若有,则它的反函数是 .反函数的奇偶性是什么?答： .⑹f [f −1(x)]= , f [f −1(y)]= ； ⑺互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. 六、函数图象的变换： ⒈平移变换：⑴y=f (x)的图象沿x 轴向右平移a (a ＞0)个单位得到y=f (x −a)的图象； ⑵y=f (x)的图象沿x 轴向左平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x+a)的图象； ⑶y=f (x)的图象沿y 轴向上平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)+a 的图象； ⑷y=f (x)的图象沿y 轴向下平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)−a 的图象. ⒉伸缩变换：⑴把y=f (x)的图象上所有的点的横坐标变为原来的a1(a>0)倍,纵坐标不变,可得到y=f (ax)的图象； ⑵把y=f (x)的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变,可得到y=A f (x)的图象；⒊对称变换：(一)两个函数图象的对称关系：⑴y=f (x)与y=−f (x)的图象关于x 轴对称； ⑵y=f (x)与y=f (−x)的图象关于y 轴对称；⑶y=f (x)与y= −f (−x)的图象关于原点轴对称；⑷y=f (x)与y= f −1(x)的图象关于直线y=x 轴对称；⑸y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y 轴右边部分,并作其关于y 轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y 轴左边部分而得到；⑹y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x 轴上方的图象及x 轴上的点,并将x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方去；⑺*函数y=f (a+mx)与函数y=f (b −mx)(a 、b ：m ∈R,m ≠0)的图象关于直线x=mab 2-对称.(二)函数图象自身的对称性：⑴奇函数的图象关于对称； ⑵偶函数的图象关于对称；⑶对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (a −mx)（a 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线对称；⑷对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (b −mx)（a 、b 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线对称；⑸对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+x)= −f (a −x) ⇔ f (x)的图象关于点对称.以上结论会证吗？七、指数与指数函数： ⒈根式的定义：⑴方根：如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N*),那么这个数叫做a 的n 次方根.即：若x n=a,则x 叫做a 的n 次方根.⑵根式：式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当n 是偶数时,n a表示正数a 的正的n 次方根. ⒉根式的性质：⑴(n a )n= a ； ⑵当n 为奇数时a =当n 是偶数时；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n .⒊分数指数幂：当a ＞0,m 、n ∈N*且n ＞1时,规定：n mnma a =； nm nma a1=-； 00=nm； nm -无意义.⒋有理指数幂的性质：⑴a r ·a s =a r+s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑵(a r )s =a r s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑶(ab)r =a r b r(a ＞0, b ＞0,r ∈Q). ⒌指数函数：⑴指数函数的定义：把形如y=a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做指数函数.八、对数与对数函数： ⒈对数的概念：⑴对数的定义：如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N,那么,数b 叫做以a 为底 N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数. ⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记l og 10N 为l gN. ⑶自然对数：把以e 为底的对数叫做自然对数,并记l og e N 为l nN. 其中e=2.71828……,是一个无理数. ⑷对数恒等式：)010(log >≠>=N a a Na N a ，且.⒉对数的运算法则：如果a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 ⑴l og a (MN)= l og a M+l og a N ；⑵N M NM a a alog log log -=；⑶l og a M n=n l og a M. ⒊对数的三个性质：⑴1的对数为0(即l og a 1=0)；⑵底的对数为1(即l og a a=1)；⑶零和负数没有对数.⒋对数函数：⑴对数函数的定义：把形如y=l og a x(a＞0,且a≠1)的函数叫做对数函数.第三章数列基础知识梳理一、数列⒈定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,…,第n 项,…. ⒉数列中的数有两个特性：⑴有序性；⑵可重复性.⒊数列与函数：数列是定义在N *(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. ⒋数列的表示：⑴数列的一般形式：a 1,a 2,…,a n ,……简记为{a n }.⑵解析法：若a n 与n 的函数关系可用一个解析式a n =f (n)表示,这个公式叫做数列的通项公式.⑶图象法：数列的图象是一群孤立的点(n,a n )(n ∈N *)所组成的图形(在纵轴的右边). ⒌数列的分类：⑴数列按项数n 的取值范围分：①有穷数列；②无穷数列. ⑵数列按相邻项的大小关系分：①递减数列(a n+1＞a n ,n ∈N *)； ②递增数列(a n+1＜a n ,n ∈N *＝；③摆动数列(a n+1与a n 的大小不定n ∈N *)； ④常数列(a n+1=a n ,n ∈N *). ⒍由递推关系给定的数列：已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法.请思考：已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+)1(1-n n (n ≥2),求a n . 答案：a n =nn 12-.⒎a n 与S n 的关系：设S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=-),2()1(*11N n n S S n S n n二、等差数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.等差数列定义的数学表达式：a n+1−a n =d (n ∈N *). ⒉表示方法：⑴定义法：a 2−a 1= a 3−a 2=…=a n+1−a n =d ； ⑵递推法：⎩⎨⎧+==-da a aa n n 11 (n ≥2)；⑶通项法：a 1,a 1+d, a 1+2d, …,a 1+(n −1)d.,….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1+(n −1)d. (一般公式为：a n =dn+q). ⑵已知非首项a m (m ≥2)和公差d,则a n =a m +(n −m)d.⒋等差中项：如果a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.显然2A=a+b. ⒌前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +；或S n =na 1+d n n 2)1(-.要求会推导! 前n 项和的一般公式：S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).⒍性质：⑴在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即a 1+a n = a 2+a n −1 = a 3+a n −2 =…= a k +a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n = a p +a q ；⑶等差数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等差中项, 即2a n =a n −k +a n+ k (n ＞k)；⑷公差d 是数列图象上任意两点所在直线的斜率.即d=mn a a mn --. ⑸数列(a n }为等差数列的充要条件是a n 是关于n 的一次函数(d ≠0)或常数(d=0).⑹数列(a n }为等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题：有穷等差数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等差数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等差数列. 三、等比数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示. 等比数列定义的数学表达式：q a a nn =+1 (n ∈N *). 由定义知,在等比数列中,a n ≠0,且公比q ≠0. ⒉表示方法：⑴定义法：q a a a a a a nn ====+12312 ； ⑵递推法：⎩⎨⎧≥⋅==-)2(11n qa a aa n n ；⑶通项法：a 1,a 1q, a 1q 2, …,a 1q (n −1)….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1q (n −1).⑵已知非首项a m (m ≥2)和公比q,则a n =a m q (n −m).⒋等比中项：如果a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. G 2=ab 或G=±ab .⒌前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(1)1(11q na q qq a n 或S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(111q na q qq a a n .要求会推导!⒍性质：⑴在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积.即a 1a n = a 2a n −1 = a 3a n −2 =…= a k a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m a n = a p a q ；⑶等比数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等比中项, 即a n 2=a n −k a n+ k (n ＞k),或a n =±k n k n a a -+⋅；注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题：有穷等比数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等比数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等比数列. 四、特殊数列求和的方法：倒序法、通项分解法、错位相减法、裂项法等.第四章三角函数综合复习一、概念1、角。

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)在高中数学学习中，掌握数学公式和知识点是至关重要的。

本文将为大家总结高中数学中常用的公式和知识点，旨在帮助同学们更好地学习和掌握数学知识，提高数学成绩。

一、基础知识点总结1. 直线与平面几何- 直线的方程：一般式、点斜式、两点式等- 直线与角的关系：平行线、垂直线等- 圆的性质：圆的方程、弧长、面积等2. 集合与不等关系- 集合的运算：并集、交集、差集等- 不等关系的性质：大于、小于、等于等3. 函数- 函数的性质：奇函数、偶函数、单调性等- 常用函数：一次函数、二次函数、指数函数等- 函数的图像及性质：拐点、极值点等二、常用公式总结1. 代数式与因式分解- (a+b)² = a²+2ab+b²- (a-b)² = a²-2ab+b²- a²-b² = (a+b)(a-b)2. 几何与三角函数- 三角函数基本关系：sin²θ+cos²θ=1- 角平分线定理：直角三角形中，垂直边上的高等于斜边上的高3. 二次函数与方程- 一元二次方程：ax²+bx+c=0- 二次函数顶点坐标：(-b/2a, -Δ/4a)三、高中数学实例应用1. 解析几何- 坐标系、直线、圆等的相关性质- 平面图形的运用：平行四边形、三角形、梯形等2. 统计与概率- 统计学基本概念：均值、方差、标准差等- 概率论基础知识：样本空间、事件的概率等通过本文的数学公式及知识点总结，希望能够帮助广大高中同学更深入地了解数学知识，提高学习成绩。

数学虽然有一定的难度，但只要勤奋学习、不断总结经验，相信大家一定能够在数学的道路上越走越远。

祝各位同学学习进步，取得优异成绩！。

高中数学知识点总结归纳(完整版)

高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学知识点总结归纳（完整版）高中数学是中学数学的延伸和深化，内容较为广泛且复杂。

在这篇文章中，我们将全面总结归纳高中数学的各个知识点，帮助读者理清数学学科的脉络，更好地掌握数学知识。

本文将按照数学的不同分支来进行内容的整理，包括数学分析、几何与图形、概率与统计、数论以及代数与函数等。

一、数学分析1. 函数与极限函数是数学研究中的基本概念，而极限则为函数的重要性质之一。

我们需要了解函数的定义、性质，以及极限的概念、运算法则和重要性质。

2. 微积分微积分是数学分析的重要组成部分，主要包括导数、积分以及微分方程等知识点。

我们需要掌握导数的计算、应用，积分的概念和运算法则，以及微分方程的基本求解方法。

3. 级数级数是由数列部分和的序列构成，主要有等差级数、等比级数等。

我们需要了解级数的定义、性质以及常见级数的求和方法。

二、几何与图形1. 平面几何平面几何是研究平面点、线、面之间位置关系的数学分支。

我们需要了解平面几何的基本概念、性质，以及平面图形的判定和计算方法。

2. 立体几何立体几何是研究空间中点、线、面之间位置关系的数学分支。

我们需要掌握立体几何的基本概念、性质，以及常见立体图形的计算方法。

三、概率与统计1. 概率概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，主要包括基本概率、条件概率、概率分布以及统计推断等。

我们需要了解概率的基本概念、性质，以及概率计算和统计推断的方法。

2. 统计统计是研究收集、整理、分析和解释数据的数学分支，主要包括数据的收集整理、描述性统计、参数估计和假设检验等。

我们需要掌握统计学的基本概念、性质，以及统计分析和统计推断的方法。

四、数论数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支，主要包括整数的性质、最大公因数、模运算以及数论中的应用等。

我们需要了解整数的基本性质、运算规律，以及数论在密码学等领域的应用。

五、代数与函数1. 代数运算代数是数学的基础，包括代数运算、方程和不等式、数列和数学归纳法等内容。

高中数学知识点全总结简洁版

高中数学知识点全总结简洁版一、集合与函数概念1. 集合：包括集合的基本概念、表示方法、基本关系和运算。

2. 函数：函数的定义、性质、运算、反函数、复合函数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）。

二、数列与数学归纳法1. 数列：等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。

2. 数学归纳法：证明方法，包括P(k)成立，假设P(k)成立，证明P(k+1)也成立。

三、排列组合与概率1. 排列组合：排列、组合的基本概念和计算公式。

2. 概率：古典概型、条件概率、独立事件的概率公式。

四、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数：正弦、余弦、正切函数的性质和图像。

2. 三角恒等变换：同角三角函数的基本关系、和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

五、平面向量与解析几何1. 平面向量：向量的加法、数乘、数量积、向量垂直与平行的判定。

2. 解析几何：直线和圆的方程，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程。

六、立体几何1. 空间几何体：多面体、旋转体的结构特征和表面积、体积公式。

2. 空间向量：空间向量的基本运算和用空间向量解决立体几何问题。

七、导数与微分1. 导数：导数的定义、几何意义、常见函数的导数。

2. 微分：微分的概念、微分的运算法则。

八、积分1. 不定积分：基本积分表、换元积分法、分部积分法。

2. 定积分：定积分的概念、性质、计算公式。

九、数列的极限与函数极限1. 极限：数列极限的定义、性质、极限的四则运算。

2. 函数极限：函数极限的定义、性质、极限存在的条件。

十、连续与间断1. 连续：连续函数的定义、性质、闭区间上连续函数的性质。

2. 间断：间断点的分类、间断点的性质。

十一、不等式与不等式组1. 不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的解法。

2. 不等式组：不等式组的解集、线性规划。

十二、复数1. 复数的概念：复数的定义、代数形式和几何意义。

2. 复数的运算：复数的加法、减法、乘法、除法。

高中数学知识点大全(完整版)

高中数学知识点大全（完整版）高中数学学问点大全一、集合、简易规律1、集合;2、子集;3、补集;4、交集;5、并集;6、规律连结词;7、四种命题;8、充要条件。

二、函数1、映射;2、函数;3、函数的单调性;4、反函数;5、互为反函数的函数图象间的关系;6、指数概念的扩充;7、有理指数幂的运算;8、指数函数;9、对数;10、对数的运算性质;11、对数函数。

12、函数的应用举例。

三、数列(12课时，5个)1、数列;2、等差数列及其通项公式;3、等差数列前n项和公式;4、等比数列及其通顶公式;5、等比数列前n项和公式。

四、三角函数1、角的概念的推广;2、弧度制;3、任意角的三角函数;4、单位圆中的三角函数线;5、同角三角函数的基本关系式;6、正弦、余弦的诱导公式;7、两角和与差的正弦、余弦、正切;8、二倍角的正弦、余弦、正切;9、正弦函数、余弦函数的图象和性质;10、周期函数;11、函数的奇偶性;12、函数的图象;13、正切函数的图象和性质;14、已知三角函数值求角;15、正弦定理;16、余弦定理;17、斜三角形解法举例。

五、平面对量1、向量;2、向量的加法与减法;3、实数与向量的积;4、平面对量的坐标表示;5、线段的定比分点;6、平面对量的数量积;7、平面两点间的距离;8、平移。

六、不等式1、不等式;2、不等式的基本性质;3、不等式的证明;4、不等式的解法;5、含肯定值的不等式。

七、直线和圆的方程1、直线的倾斜角和斜率;2、直线方程的点斜式和两点式;3、直线方程的`一般式;4、两条直线平行与垂直的条件;5、两条直线的交角;6、点到直线的距离;7、用二元一次不等式表示平面区域;8、简洁线性规划问题;9、曲线与方程的概念;10、由已知条件列出曲线方程;11、圆的标准方程和一般方程;12、圆的参数方程。

八、圆锥曲线1、椭圆及其标准方程;2、椭圆的简洁几何性质;3、椭圆的参数方程;4、双曲线及其标准方程;5、双曲线的简洁几何性质;6、抛物线及其标准方程;7、抛物线的简洁几何性质。

高中数学知识点总结(最全版)

高中数学知识点总结(最全版)第一章函数概念（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作、②函数的三要素:定义域、值域和对应法则、③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数、（2）区间的概念及表示法①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做、注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）、（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数、②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数、③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合、④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1、⑤中，、⑥零（负）指数幂的底数不能为零、⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集、⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出、⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论、⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义、（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的、事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值、因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同、求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值、②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值、③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值、④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值、⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题、⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值、⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值、⑧函数的单调性法、（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系、图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系、（6）映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作、②给定一个集合到集合的映射，且、如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象、（6）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数、（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数、（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数、③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减、yxo（7）打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数、（8）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得、那么，我们称是函数的最大值，记作、②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得、那么，我们称是函数的最小值，记作、（9）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数、（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数、（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则、③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反、④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数、第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2、1〗指数函数【2、1、1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根、当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根、②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数、当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，、③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，、（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且、0的正分数指数幂等于0、②正数的负分数指数幂的意义是：且、0的负分数指数幂没有意义、注意口诀：底数取倒数，指数取相反数、（3）分数指数幂的运算性质① ②③【2、1、2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，、奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低、〖2、2〗对数函数【2、2、1】对数与对数运算（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数、②负数和零没有对数、③对数式与指数式的互化：、（2）几个重要的对数恒等式，，、（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）、（4）对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤ ⑥换底公式：【2、2、2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，、奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高、(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子、如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成、（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域、（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称、②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域、③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上、④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数、〖2、3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数、（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象、幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限、②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点、③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数、如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴、④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数、当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数、⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方、〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式、②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式、③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便、（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是、②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，、③二次函数当时，图象与轴有两个交点、（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布、设一元二次方程的两实根为，且、令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号、①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出、（5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令、（Ⅰ）当时（开口向上）①若，则②若，则③若，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)①若，则②，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)(Ⅱ)当时(开口向下)①若，则②若，则③若，则xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)①若，则②，则、xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

最全高中数学知识点总结归纳

最全高中数学知识点总结归纳一、数与代数1.1 数的基本概念自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数的定义及其性质。

掌握实数的分类和复数的基本概念。

1.2 代数表达式理解并运用单项式、多项式、分式和根式的运算规则。

包括因式分解、公式法解方程、分式方程的解法等。

1.3 不等式掌握一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式及其解集的表示方法。

理解不等式的性质和解不等式的一般步骤。

1.4 函数函数的定义、性质、运算及常见函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的图像和性质。

了解函数的极限和连续性概念。

1.5 序列与数列等差数列、等比数列的定义、通项公式和求和公式。

掌握无穷等比数列的和的计算方法。

1.6 排列组合与概率排列、组合的基本概念和公式。

概率的定义、性质及计算方法。

理解条件概率和独立事件的概念。

二、几何与测量2.1 平面几何点、线、面的基本性质。

掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本图形的性质和方程。

2.2 空间几何空间直线和平面的位置关系。

柱面、锥面、旋转体等常见立体图形的性质和计算。

2.3 解析几何坐标系的建立和应用。

通过坐标和方程研究几何图形的性质，包括距离公式、斜率公式、圆的方程等。

2.4 三角学三角比的概念、三角函数的定义和性质。

掌握正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用。

2.5 向量向量的基本概念、线性运算、数量积和向量积。

理解向量在几何和代数中的应用。

三、统计与概率3.1 统计基本概念数据的收集、整理和描述。

理解平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计量的概念和计算方法。

3.2 概率分布离散型随机变量和连续型随机变量的概念。

熟悉二项分布、正态分布、均匀分布等常见概率分布的特点和公式。

3.3 抽样与估计抽样方法、样本容量的确定。

参数估计的基本概念和方法，包括点估计和区间估计。

3.4 假设检验假设检验的基本思想和步骤。

理解显著性水平、第一类错误和第二类错误的概念。

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高中数学必修1知识点第一章函数概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（6）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函．．数．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函．．数．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（7）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（8）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．（9）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nna a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法xy O(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O•a b x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O•kxy1x 2x O•k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f(p)f(q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f(p)f (q)()2bf a-g0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x g(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O -=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x gx<O-=f(p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-gx第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学分章节全部知识点(含拓展内容)全面细致总结(必修必备版)

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（20)〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →． ②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：yxo（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q=②02x a->，则()M f p =xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q =②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

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高中数学知识点总结完整版一、代数1. 集合与函数- 集合的概念、表示法和运算- 函数的定义、性质和运算- 特殊函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数2. 代数式- 整式与分式- 多项式的性质和定理- 二次根式和完全平方式3. 方程与不等式- 一元一次方程、一元二次方程的解法- 不等式的性质和解集- 绝对值不等式的解法4. 序列与数列- 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式- 数列的极限概念5. 函数图像- 函数图像的绘制和变换- 函数的极值和最值问题二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质和相关公式2. 空间几何- 空间直线和平面的方程- 空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的性质和计算3. 解析几何- 坐标系的建立和应用- 曲线的方程和性质- 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）三、概率与统计1. 概率- 随机事件的概率计算- 条件概率和独立事件- 排列组合的基本原理和公式2. 统计- 数据的收集和整理- 统计量（平均数、中位数、众数、方差、标准差）的计算 - 概率分布和正态分布四、数学思维与方法1. 逻辑推理- 命题逻辑、演绎推理- 归纳推理和类比推理2. 数学证明- 直接证明和间接证明- 反证法和数学归纳法3. 问题解决- 问题建模和数学建模- 问题解决的策略和方法五、微积分初步1. 导数- 导数的定义和几何意义- 常见函数的导数公式- 函数的极值和最值问题2. 微分- 微分的定义和应用- 线性近似和误差估计3. 积分- 不定积分的概念和性质- 定积分的基本概念和计算- 积分在几何和物理中的应用以上总结了高中数学的主要知识点，这些知识点构成了高中数学的基础框架，对于理解和掌握更高级的数学概念至关重要。

在实际学习过程中，学生应该通过大量的练习和思考，深化对这些知识点的理解和应用能力。

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高中数学知识点总结（最全版）1. 数的性质在高中数学中，我们首先要了解数的性质。

数的性质分为四个方面：整数性质、有理数性质、实数性质和复数性质。

1.1 整数性质整数是数的一种，包括正整数、负整数和零。

整数有以下性质：•整数加法和乘法封闭性：两个整数相加或相乘的结果仍然是整数。

•整数加法和乘法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c 和a(b c)=(a b)c。

•整数加法和乘法交换律：a+b=b+a 和 a b=b a。

•整数加法有单位元素0：a+0=0+a=a。

•整数乘法有单位元素1：a1=1a=a。

•整数加法有逆元素：对于任意的整数a，存在一个整数b，使得a+b=b+a=0。

•整数乘法有逆元素：对于任意的整数a（a≠0），存在一个整数b，使得a b=b a=1。

•整数加法和乘法分配律：a(b+c)=a b+a*c。

1.2 有理数性质有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

有理数有以下性质：•有理数加法和乘法封闭性：两个有理数相加或相乘的结果仍然是有理数。

•有理数加法和乘法结合律、交换律、分配律等性质与整数性质相同。

1.3 实数性质实数是包括有理数和无理数的数，具有以下性质：•实数可以通过实数的加法、减法、乘法和除法运算得到。

•实数加法和乘法封闭性、结合律、交换律、分配律等性质与有理数性质相同。

1.4 复数性质复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，有以下性质：•复数加法和乘法是封闭的，满足结合律、交换律和分配律。

•复数乘法有单位元素1，满足任一复数a与1相乘仍得a。

•复数乘法的交换律成立，即a b=b a。

•复数乘法有逆元素，对于任一非零复数a，存在一个复数b，使得a b=b a=1。

2. 代数运算代数运算是指利用代数式进行加法、减法、乘法和除法等运算的过程。

2.1 代数式的加法和减法代数式的加法和减法遵循相同的规则，即同类项相加或相减。

同类项指的是具有相同字母和相同指数的项。

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高中数学知识点大全（完整版）1. 实数和复数：实数是数轴上的所有数，包括有理数和无理数；复数由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b 为实数。

2. 幂和根：幂是指数运算，如a的n次幂表示为an；根是幂的逆运算，开x次方根表示为x√a。

3. 代数运算：加法、减法、乘法和除法是代数运算的基本运算，它们遵循相应的运算法则。

4. 贝叶斯定理：条件概率和全概率公式的应用，用于计算事件的概率。

5. 几何：包括平面几何和立体几何，涉及到图形的性质，如平行、垂直、相似、全等等。

6. 向量：具有大小和方向的量，在代数中用坐标表示，可以进行向量的加法、减法和数量乘法等运算。

7. 函数：函数是自变量与因变量之间的依赖关系，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

8. 三角函数：包括正弦、余弦、正切、余切等，广泛应用于几何、物理等领域。

9. 极限与连续性：极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的变化趋势；连续性是指函数在其定义域上无断点。

10. 导数与微分：导数表示函数在某一点处的变化率，微分是导数的几何意义。

11. 积分与不定积分：积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度，不定积分是积分的逆运算。

12. 概率与统计：概率是描述随机事件发生的可能性，统计是收集、整理和分析数据的方法。

13. 矩阵与行列式：矩阵是一个按照一定规则排列的数的矩形阵列，行列式是矩阵的一种特殊表示形式。

14. 数列与数级数：数列是由一个或多个数按一定规律排列而成的序列，数级数是数列的无穷求和。

15. 数论：研究整数性质和整数之间的关系，包括质数、最大公约数、同余等。

16. 解析几何：利用坐标表示几何图形的性质和关系。

17. 空间几何：研究三维空间中图形的性质和关系。

18. 数学证明：用严密的推理和逻辑方法证明数学命题的正确性。

19. 数学建模：将实际问题转化为数学模型，利用数学方法进行求解和分析。

20. 科学计算：利用计算机和数值方法解决数学问题，如差值、插值、数值积分等。

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高中数学复习总结目录预备部分初中知识复习----------6第一部分集合及其运算----------7第二部分方程与不等式----------8(绝对值方程与不等式;一次,二次方程与不等式)第三部分函数------------------11(常数函数,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,三角函数,简谐振动)第四部分函数性质--------------18(单调性,奇偶性,反函数,周期性,图像的平移与伸缩，可导性,定积分)第五部分数列------------------23(等差数列,等比数列)第六部分命题与简易逻辑--------25(原命题,否命题,逆命题,逆否命题,或,且,非,全称量词,存在量词)第七部分几何和向量------------26(点,线,面,垂直,平行,二维向量,三维向量)第八部分直线和圆的方程--------32(点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,点到线距离公式, 定比分点公式)第九部分圆锥曲线--------------34(椭圆,双曲线,抛物线,弦长公式)第十部分统计-----------------37(随机抽样,线性回归,独立性检验)第十一部分概率-----------------41(排列与组合,古典概型,几何概型,两点分布,超几何分布,二项分布,正态分布,期望,方差)第十二部分复数及其运算----------44(实部,虚部,虚数单位i，加法，减法，乘法，除法)第十三部分推理与证明-----------46数学（必修1）人教A版第一章集合与函数的概念1.1 集合1.2函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用（必修2）人教A版第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点,直线,平面之间的位置关系2.1空间点,直线,平面之间的位置关系2.2 直线,平面平行的判定及其性质2.3 直线,平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2直线,圆的位置关系4.3空间直角坐标系（必修3）人教A版第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句 1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系第三章概率 3.1 随机事件的概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型（必修4）人教A 版第一章三角函数1.1任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质1.5 函数()sin y A x ωφ=+的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例第三章三角恒等变形3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变形（必修5）人教A 版第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和n S 2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和n S 第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性3.4 基本不等式:2ba ab +≤理（选修2-3）人教版第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项式及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用理（选修4-5）人教版第一章不等式和绝对值不等式1.1不等式1.2绝对值不等式第二章证明不等式的基本方法2.1比较法2.2综合法与分析法2.3反证法与放缩法第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式3.3排序不等式第四章数学归纳法证明不等式4.1数序归纳法4.2用数学归纳法证明不等式初中知识复习1.实数轴:2.完全平方公式:()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab-=+-3.平方差公式:4.运算:42,1222323,5052==⨯⨯==5.中点坐标公式:-∞ +∞1•••()22,B x y 1212(,)22x x y y ++中点,B ,B "⊆";A 拥有的元素都有时记作A ⎧⎪6.勾股数组: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13第一部分集合及其运算（必修1）1.集合定义:若干个指定的对象集在一起.2.表示法:a.如：{0，1，-2}是列举法.b.如：{x|x>2}是描述法.c. 如：是文氏图法d.特殊符号如：∅是空集；N 是自然数集; N *或N +是正整数集.(自然数集合中去掉零)Z 是整数集； Q 是有理数集. R 是实数集； C 是复数集.3.集合中元素具有的性质：①1{1,0,2,3}2{1,0,2,3}∉-⎫⎬∈-⎭体现确定性；②{1,0,1,2,5}--是错误书写体现互异性；③{025}{502}=，，，，体现无序性. 4.关系a.集合和元素的关系.(是否是属于关系)(以A,B 代表集合,以m 代表元素)m 和A 的关系:b.集合和集合的关系(是否是包含关系)m m ⎧∈⎨∉⎩当在A 中时，记作"m A",读作"m 属于A".当不在A 中时，记作"m A".读作"m 不属于A".222a b c+=cba⇒A 和B 的关系:定理1:空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.定理2：当集合A 中的元素个数为n 个时，那么A 有..nn⎧⎪⎨⎪⎩子集个数为2个真子集个数为2-1个 5.运算第二部分方程与不等式1. 方程定义:含有未知量的等式.(初中)2. ①绝对值方程(初中)“|x-a|”表示数轴上点x 到点a 的距离. 例1.求解 5x =分析：如图所示解：055,5x x x x =-=⇒=-=例2.求解 |2|3x -=分析：如图所示解：231,5x x x -=⇒=-=②绝对值不等式（必修5）形态1.文氏图数学表达式何种运算说明{}|x x A x B ∈∈且 A B取A 和B 的公有元素{}|x x A x B ∈∈或A B取A 和B 的所有元素{}|x x I x A ∈∉且I C A相对于全集I 求A 的补集,(0)x a b b -<>图(1)形态2.图(2)3.①一元一次方程（初中）形如:0,(0)ax b a +=≠叫一元一次方程. 例1.②一元一次不等式（必修5）定理:不等式的两侧同时加上或者减去一个数,不等式不改变符号.但若同时乘以或者除以一个负数要改变不等式符号. (如是正数不变号)4.①一元二次方程（初中）形如:20,(0)ax bx c a ++=≠叫一元二次方程.解法一.(公式法)（第一步:首先计算）判别式24b ac ∆=-（第二步:确定∆属于下面哪一类型）:解法二.(十字交叉法) 例.2230x x --= 分析:,(0)x a b b x a b x a b x a b x a b->>⇒-<-->⇒<->+ or or 2302332x x x -=⇒=⇒=b b 0,. 22b 0,.2<0,. x x a ax a ⎧--∆-+∆∆>==⎪⎪-⎪∆==⎨⎪⎪∆⎪⎩方程有两个不相等的实解，方程有两个相等的实解方程无实解(错) (对)解:注:此法的关键是将系数a 与c 拆分成两个数的乘积并且拆分所得数交叉相乘的和必须等于系数b.并不是所有的一元二次方程都可拆分. 定理:(韦达定理)(又名根与系数关系)在一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有解12,x x 的情况下:②一元二次不等式（必修5）形态1.求解 260x x --> 解:令()(),23,.∴-∞-+∞不等式解集为形态2.求解 2230x x -++>解:31,.2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不等式解集为步骤总结：1.要解不等式先解等式.2.画草图看大小号.形态3.求解 304x x -≤+解:223(1)(23)031,2x x x x x x --=+-=⇒=-=1212;b cx x x x aa-+==，260(2)(3)02,3x x x x x x --=⇒+-=⇒=-=2230(1)(-23)031,2x x x x x x ++=⇒++=⇒=-=令-(3)(4)030404434340x x x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⎨+≠+⎩-≤≤⎧⇒⇒-<≤⎨+≠所以解集为}{|43x x -<≤5.基本不等式（必修5） 1)来源①②2)基本不等式使用注意事项口诀:1正2定3相等①1正，是指参加运算的量必须是正数.②2定，是指参加运算的量,要么和是定值,要么积是定值. ③3相等，是指参加运算的量相等时,均值不等式才能取等号.第三部分函数1. 定义:在集合A 中的每一个元素x 经过对应法则f 在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应,那么我们就称这个整体叫函数. （必修1）记作::f A B→2. 函数的三要素（必修1）①定义域和值域定义域一般情况下会给出,当题目没有给出时,定义域默认使函数表达式有意义的自变量取值范围. 常见陷阱有以下几处①.分母不能为零. ②.偶次根号下的量要大于或等于零. ③.底数位置上的量要大于零且不等于1. ④.真数位置上的量要大于零.⑤.不能有双零结构,即“ ”.例. 求031()3log (1)2f x x x x x =++++++的定义域. 解:由222222()02.a ab b a b a b ab -+=-≥⇔+≥2222()2()()02,(0,0)a ab b a a b b a b a b ab a b -+=-+=-≥⇔+≥>>03y =3020100x x x x +≥⎧⎪+≠⎪⇒⎨+>⎪⎪≠⎩ ()f x 的定义域为}{|>10x x x -≠且②对应法则所谓对应法则就是指运算的混合物,要掌握的运算有四对共八个: 加←->减乘←→除乘方←→开方指数←->对数常见函数主要有a.常数函数,如b.一次函数,如 21y x =-c.二次函数,如 223y x x =+-d.指数函数,如 12,()3xx y y ==e.对数函数,如 213log ,log y x y x ==f.三角函数,如 sin ,cos ,tan y x y x y x ===具体如下:（注意：学函数核心点就是学系数） a.常数函数:图像是平行于x 轴的一条直线. （必修2） b.一次函数（必修2）通式: 例如:图像:直线(两点确定一条直线)12,(0):3;:1y ax b a l y x l y x =+≠=+=-+222,(0)21;23y ax bx c a y x x y x x =++≠=-+=-++①系数a图像上坡,增函数.图像下坡,减函数.②系数b 决定图像在y 轴上的截距.c.二次函数通式: 例如: 图像:抛物线 ①系数a图像开口向上.图像开口向下.②系数b 和a 共同决定对称轴: 2bx a-=,顶点坐标24(,)24b ac b p a a --. ③系数c 决定图像在y 轴的截距. ④表达式的另外形式:(一般式)(顶点式)(双根式)d.和e.指数函数和对数函数(必修1)①运算法则指数运算对数运算222124()24()()y ax bx c b ac b a x a aa x x x x =++-=++=--log log log ()log log log ()log ()log log a a a a a a N a a M N MN M M N N M N M b +=-==()r s r s r s r s s r rsra a a a a a a a +-⋅=÷==00a a >⎧⎨<⎩时，时，00a a >⎧⎨<⎩时，时，②指数运算与对数运算的关系当>01a a ≠且时,log x a a N x N =⇐⇒=如:32283log 8=⇐⇒=③指数函数和对数函数的区别与联系指数函数对数函数表达式x y a =log a y x =图像函数存在条件底数都要满足:≠a>0且a 1单调性①当0<a<1时,其为减函数↘;②当a>1时,其为增函数↗f.三角函数（必修4）1.角：共端点的两条射线组成的图形。

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，假设[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，假设[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，假设[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：假设()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则〔1〕方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；〔2〕方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；〔3〕方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 〔形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同〕上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件〔1〕充分条件：假设p q ⇒，则p 是q 充分条件.〔2〕必要条件：假设q p ⇒，则p 是q 必要条件.〔3〕充要条件：假设p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；假设函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称.)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 假设)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)〔1〕)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；〔2〕0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕. (2)1m nm naa-=〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕.31．根式的性质〔1〕na =.〔2〕当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注：假设a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则假设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.假设)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;假设)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广假设0a >,0b >,0x >,1x a≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则〔1〕log ()log m p m n p n ++<. 〔2〕2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式〔1〕假设(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 假设(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理〔1〕111222a b c S ah bh ch ===〔a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高〕. 〔2〕111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a 〔交换律〕; (2)〔λa 〕·b= λ〔a ·b 〕=λa ·b = a ·〔λb 〕; (3)〔a +b 〕·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-〔11t λ=+〕. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论〔1〕点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,假设C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则〔1〕O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. 〔2〕O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.〔3〕O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. 〔4〕O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 〔5〕O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：〔1〕,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．〔2〕,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．〔3〕3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>〔4〕柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈〔5〕b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有〔1〕假设积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；〔2〕假设和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ 〔1〕假设积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.〔2〕假设和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式〔1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. 〔22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. 〔32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-〔111(,)P x y 、222(,)P x y 〕.78.直线的五种方程〔1〕点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．〔2〕斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).〔3〕两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)〔5〕一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).平行和垂直(1)假设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)假设1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：假设0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.假设0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=〔12120A A B B ≠〕，则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程〔1〕圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.〔2〕圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).〔3〕圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.〔4〕圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种假设d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①假设已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.〔2〕过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. 〔3〕椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1〕假设双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)假设渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)假设双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x 〔0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上〕.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.〔2〕过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. 〔3〕双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：〔1〕顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；〔2〕焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；〔3〕准线方程是2414ac b y a--=.(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.〔2〕过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.〔3〕抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-〔弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率〕.107.圆锥曲线的两类对称问题〔1〕曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. 〔2〕曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径〔1〕转化为判定共面二直线无交点；〔2〕转化为二直线同与第三条直线平行；〔3〕转化为线面平行；〔4〕转化为线面垂直；〔5〕转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径〔1〕转化为直线与平面无公共点；〔2〕转化为线线平行；〔3〕转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径〔1〕转化为判定二平面无公共点；〔2〕转化为线面平行；〔3〕转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径〔1〕转化为相交垂直；〔2〕转化为线面垂直；〔3〕转化为线与另一线的射影垂直；〔4〕转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径〔1〕转化为该直线与平面内任一直线垂直；〔2〕转化为该直线与平面内相交二直线垂直；〔3〕转化为该直线与平面的一条垂线平行；〔4〕转化为该直线垂直于另一个平行平面；〔5〕转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径〔1〕转化为判断二面角是直二面角；〔2〕转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++〔x y z k ++=〕，则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，假设O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；假设O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++〔O ∉平面ABC 〕.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+〔其中θ〔090θ<≤〕为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量〕128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.假设ABC ∆所在平面假设β与过假设AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.ABC ∆所在平面假设β与过假设AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-〔m ，n 为平面α，β的法向量〕.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理假设夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式假设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=〔n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈〕. 138.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=. ',d EA AF =.d =〔'E AA F ϕ=--〕.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.〔立体几何中长方体对角线长的公式是其特例〕.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比〔对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方〕；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).〔1〕E =各面多边形边数和的一半.特别地,假设每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；〔2〕假设每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其外表积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体〔S 是柱体的底面积、h 是柱体的高〕.13V Sh =锥体〔S 是锥体的底面积、h 是锥体的高〕.149.分类计数原理〔加法原理〕 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理〔乘法原理〕 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1〕1(1)m m n n A n m A -=-+;〔2〕1mmn n n A A n m -=-; 〔3〕11m m n n A nA --=;〔4〕11n n nn n n nA A A ++=-; 〔5〕11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)m n C =mn nC - ; (2) mn C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式〔1〕11mm n n n m C C m --+=; 〔2〕1m mn n n C C n m -=-;〔3〕11mm n n n C C m--=;〔4〕∑=nr r nC0=n2;〔5〕1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. 〔1〕“在位”与“不在位”①某〔特〕元必在某位有11--m n A 种；②某〔特〕元不在某位有11---m n m n A A 〔补集思想〕1111---=m n n A A 〔着眼位置〕11111----+=m n m m n A A A 〔着眼元素〕种.〔2〕紧贴与插空〔即相邻与不相邻〕①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个〔1+≤h k 〕，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.〔3〕两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.〔4〕两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题〔1〕(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . 〔2〕(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. 〔3〕(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.〔4〕(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.〔5〕(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.〔6〕(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.〔7〕(限定分组有归属问题)将相异的p 〔2m p n n n =1+++〕个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有。

高中数学知识点总结归纳(完整版)

高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学是学生们必修的一门主科，涵盖了许多重要的数学知识点。

下面是对高中数学知识点的全面总结和归纳。

一、数与代数1. 数的性质与运算- 自然数、整数、有理数、实数、复数的概念和性质- 加法、减法、乘法、除法的运算规则- 指数与根的运算- 绝对值与不等式的性质2. 代数式与方程- 代数式的定义与展开公式- 一次方程、二次方程的概念和解法- 不等式的解法二、函数与图像1. 函数的概念与性质- 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质- 线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质2. 函数的运算和复合- 函数的加减、乘除、复合运算- 复合函数的定义和性质三、几何与空间1. 平面几何- 点、线、面的概念和性质- 图形的相似与全等- 三角形、四边形、圆的性质和计算方法2. 空间几何- 线段、射线、角的概念与性质- 球体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的性质和计算方法- 三棱锥、四棱锥、四面体、五、六、八面体的性质和计算方法四、概率与统计1. 概率- 随机事件与概率的概念- 基本事件、对立事件、互斥事件的概念和计算方法- 随机事件的依赖关系和计算方法2. 统计- 数据的收集、整理与展示方法- 均值、中位数、众数的概念和计算方法- 方差与标准差的概念和计算方法以上是高中数学的主要知识点总结归纳，通过学习这些知识点，学生们能够系统地掌握高中数学的基础知识并且能够应用于实际问题的解决中。

掌握好这些知识点不仅能在高中阶段取得好成绩，还能为将来的学习和职业发展打下坚实的数学基础。

希望学生们能够认真学习并善于运用这些数学知识，不断提高自己的数学素养。

高中数学知识点总结归纳(完整版)

高中数学知识点总结归纳(完整版)高中数学知识点总结归纳（完整版）高中数学是一门重要且具有一定难度的学科，涵盖了众多的知识点和概念。

以下是对高中数学主要知识点的全面总结归纳。

一、集合与函数1、集合集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

集合的运算包括交集、并集和补集。

2、函数函数是两个非空数集之间的一种对应关系。

函数的三要素是定义域、值域和对应法则。

常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数等。

一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），其图像是一条直线。

二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图像是一条抛物线。

通过配方法可以将其化为顶点式 y ＝ a(x h)²＋ k，从而确定其顶点坐标和对称轴。

指数函数的形式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

对数函数是指数函数的反函数，形式为 y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

二、三角函数1、任意角和弧度制了解任意角的概念，掌握弧度与角度的换算。

2、三角函数的定义在单位圆中定义正弦、余弦和正切函数。

3、诱导公式能够利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

4、三角函数的图像和性质正弦函数 y ＝ sin x、余弦函数 y ＝ cos x 和正切函数 y ＝ tan x 的图像特点、周期、对称轴、对称中心以及单调性。

5、两角和与差的三角函数公式包括正弦、余弦和正切的和差公式。

6、二倍角公式sin 2α、cos 2α、tan 2α 的公式。

7、解三角形利用正弦定理和余弦定理解决三角形中的边长、角度和面积等问题。

三、数列1、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

高中数学知识点总结大全(非常全面)

高中数学知识点总结大全(非常
全面)
高中数学知识点总结1
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式，当d≠0时，Sn是关于n 的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
高中数学知识点总结2
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。

二、求解动点轨迹方程的常用方法:求解轨迹方程的方法有很多，如直译法、定义法、相关点法、参数法、求交法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

高中数学知识点总结[超全]

高中数学知识点总结[超全]一、初步基础1.集合：包含一定元素的整体2.映射：关联每一个元素到另一个集合元素的一种方式3.函数：一种映射，在不同区间之间限制，且每个元素至多有一个相应元素4.数与运算：加、减、乘、除5.方程、不等式：含有未知量的等式或不等式二、函数与方程1.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、多项式函数、根、零点等2.图像的分析：左、右极限、有孤立点或无穷点等3.解方程和不等式：根、解集、区间、正负等4.函数的运算：四则运算、复合函数、反函数等三、平面与立体几何1.点、线、面、体等基本概念2.图形的面积、周长、体积、等价性等3.相似与全等：图形的比例、相似判定、全等条件等4.三角函数：sin、cos、tan、cot的定义、性质和计算四、导数和微积分1.导数的定义和求法：函数的斜率和变化率2.导数的运算：四则运算、复合函数、反函数等3.微分和微分的应用：近似计算、切线与法线、曲率等4.不定积分和定积分：基本公式、换元积分法等五、数列和数学归纳法1.数列的性质：公差、通项公式、极限等2.数列的运算：求和、部分和、等比等3.数学归纳法的原理和应用六、概率统计1.概率基本概念：事件、样本空间、概率等2.概率的计算：古典概型、加法定理、乘法定理等3.离散与连续型随机变量的概率密度函数、分布函数和期望4.假设检验和区间估计：假设检验的基本原理、一致最有力检验、区间估计等七、解析几何1.空间中的基本概念和坐标系2.点、线、面、平面等的距离计算3.向量与其运算：加、减、数量积、向量积等4.直线和平面的方程：点法式、一般式、截距式等以上就是高中数学中的基本知识点，各知识点都有相应的计算方法和题型，需要学生多做练习。

高中数学知识归纳

高中数学知识归纳
1.代数与函数：
- 一次函数与二次函数
- 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等）- 复合函数与函数的反函数
- 三角函数与三角恒等式
- 数列与数列的极限
- 不等式与方程的解集
2.几何与三角：
- 各种三角形的性质（等边三角形、等腰三角形等）
- 圆与圆的性质
- 平面几何中的平行、垂直、相似、全等等概念
- 空间几何中的平行、垂直、相交等概念
- 平面内的向量与向量的运算
- 空间内的向量与向量的运算
- 平面与直线的位置关系
- 空间图形的体积与表面积
3.数学分析与微积分：
- 极限与连续性
- 导数与微分
- 积分与不定积分
- 常微分方程与解析几何
- 一元函数的极值与函数图像
- 函数的应用与曲线的应用
- 微分方程的应用
- 平面解析几何与空间解析几何
4.概率与统计：
- 随机事件与概率
- 离散型随机变量与概率分布
- 连续型随机变量与概率密度函数
- 随机变量的期望与方差
- 参数估计与假设检验
- 直方图与统计图表的制作与分析
以上是高中数学知识的主要内容，每个学校和地区的教学内容可能有所不同，具体以当地的教材与课程为准。