第五章_机器人动力学

为机器人惯性矩阵； ( q , q ) 是n×1的离心力和哥氏力 H
向量； G ( q ) 是n×1重力矢量，与机器人的形位q
有关。
2．操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中， 操作力F与末端加速度 之间的关系可表示为：
x
F M x ( q ) U x ( q , q ) G x ( q ) x

d L dt q

L q
上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式 中， 是n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：

d E k dt q

E k q

E p q
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量 矩阵为：
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷
和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都
需要以机器人动力学模型为基础。
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 矩，ci为杆i质心。
(1) 拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的 动能Ek与总的势能Ep之差，即:
L (q, q ) Ek (q, q ) E p (q )
q [ q1 q [ q1 q2 q2 qn ] qn ]
表示动能与势能的广义坐标 相应的广义速度
1
▲牛顿—欧拉运动方程 ▲拉格朗日动力学 ▲关节空间与操作空间动力学
前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行 的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人 的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的 结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因 案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力 学方程。机器人动力学要解决两类问题： 动力学正问题和逆问题。
I xx 1 1 I1 0 0
I xx 2 2 I2 0 0
0 I yy 1 0
0 I yy 2 0
0 i I zz 1
0 i I zz 2
(1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩
建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ1+π/2
T
E
p2
m 2 g p c 2 m 2 gd 2 s1
T
总势能为：
E
p
g ( m 1l1 m 2 d 2 ) s1
(4)偏导数
E k
( m 1 l12 I yy 1 I yy 2 m 2 d 22 )1 q m2d 2
E k
( m 1 l1 m 2 d 2 ) g c1 G (q ) m 2 g s1
…3
0 m2
式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭
形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变
量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节的
机器人，D ( q ) 是n×n正定对称矩阵，是q的函数，称
为求解方便，此处取关节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τl
和力f2。
(2)系统动能 由式(1)，分别得
E ki
1 2
m i ci ci
T
1 2
i
i Ii i
Ti i
…1
E k1
Ek2
2 1 I 2 m 1 l1 1 yy 1 1 2 2
2
1
2 d 2 ) 1 I 2 m 2 (d 21 2 yy 2 1 2 2
M x (q )
U x (q, q )
……操作空间中的惯性矩阵 ……离心力和哥氏力矢量 ……重力矢量
G x (q )
F
……广义操作力矢量
x
……机器人末 端位姿向量
由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为：
J (q ) F
T
操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系：
x J (q )q
(2) 机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为 连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能 之和，即:
E ki
1 2
n
m i ci ci
T
1 2
i
i Ii i
Ti i
系统的动能为n个连杆的动能之和，即：
Ek

E ki
1 2
i 1
Ek (q, q )
T q D (q )q
由于 度
ci
和 i 是关节变量
i
q
和关节速
q 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记
为 E k ( q , q ) ，可表示成：
Ek (q, q )
1 2
q D (q )q
T
式中， D ( q ) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
J ( q ) q J ( q ) q J ( q ) q a r ( q , q ) x
比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到：
D (q ) J (q )M x (q ) J (q )
T
H ( q , q ) J ( q )U x ( q , q ) J ( q ) 9 q ) a r ( q , q )
…2
3、关节空间与操作空间动力学 (1)关节空间动力学方程 将式2写成矩阵形式：
D (q )q H (q, q ) G (q )
式中
m 1 l12 I yy 1 I 21 d 2 H (q, q ) 2 m 2 d 2 1
2
1
总动能为：
Ek
1 2
( m 1 l1 I yy 1 I yy 2
2
2 1 m d 2 m 2 d 2 ) 1 2 2 2
2
(3)系统势能 因为：
g [0
则：
g
0]
T
p c 1 [ l1 c1
l1 s1
0]
T
E
p1
m 1 g p c 1 m 1 g l1 s1
3．机器人系统势能 设连杆i的势能为 E p i ，连杆i的质心在O坐标系中的位 置矢量为 p ci ，重力加速度矢量在坐标系中为g，则：
E pi m i g p ci
T
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：
E pi
它是q的标量函数。

n
E pi
i 1
4．拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：
5-1 5-2
称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。
其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量
2、 拉格朗日方程
牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉 方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求 解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的 概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并 具有显式结构，物理意义比较明确。
T
……5
J ( q )[ M x ( q ) U x ( q , q ) G x ( q )] x
T
……6 式(6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。
思考题1 什么是拉格朗日函数？ 简述用拉格朗日方法建立机 器人动力学方程的步骤。
动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人 的运动(关节位移、速度和加速度)； 动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加 速度，求出所需要的关节力矩或力。 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时 ，n 自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。
方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、离心力/力矩及重力/
力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、
牛顿一欧拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋
量对偶数、罗伯逊一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负

E k q

E p q
拉格朗日方程
2 2 1 ( m 1 l1 I yy 1 I yy 2 m 2 d 2 )1 2 m 2 d 21 d 2 g ( m 1l1 m 2 d 2 ) c1 2 2 m 2 d 2 m 2 d 21 m 2 g s1
0 2 q m 2 d 2 1
E p
g ( m 1 l1 m 2 d 2 ) c1 g m 2 s1 q
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日 方程，得到平面RP机器人的 动力学方程的封闭形式：