机器人学-第6章_机器人动力学
机械手的动力学方程机械手的动力学...
T1
= [D11
-
D
2 1
2
D22
]J&&1
(6.36)
现在，取定 d1 = d2 = 1 ，m1 = 2，而对于三个不同的 m2 值，分别求出各个 系数： m2 = 1，表示机械手无负载情况；m2 = 4 ，表示有负载；m2 = 100 ，表 示位于外太空( 无重力环境 )的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许
等效惯量 D11 = [(m1 + m2)d12 + m2d22 + 2m2d1d2cos(θ2 )] D22 = m2d22
耦合惯量 D12 = m2d22 + m2d1d2cos(θ2 )
向心加速度系数 D111 = 0 D122 = - m2d1d2sin(θ2 ) D211 = m2d1d2sin(θ2 ) D222 = 0
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
=
d dt
¶L ¶q&i
-
¶L ¶qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q&i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
(6.23) (6.24)
(6.25)
(6.26) (6.27) (6.28) (6.29)
哥氏加速度系数
D112 = D121 = - m2d1d2sin(θ2)
(6.30)
机器人学-第6章_机器人动力学
L mgl sin
代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程
ml 2&& mgl sin
计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。
Ic1 Ic2
例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质
Y
心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动
惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和
惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。
惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交 叉项全为0。称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。
对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。
例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密
选择为描述单摆位置的广义坐标先用广义坐标表示集中质量的位置然后再对时间求导得到速度sincoscoscossin取坐标原点为势能零点则系统的势能为cosmgymgl机器人动力学系统的拉格朗日函数为mlmglmlml机器人动力学例65如图67所示两连杆平面机械臂
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
取固定在基座处的坐标原点为势能零点，系统的总势能为，
第六章机器人动力学
第六章机器人操作臂动力学动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
操作臂动力学有两个问题需要解决。
①动力学正问题：根据关节运动力矩或力，计算操作臂的运动（关节位移，速度和加速度）②动力学逆问题：已知轨迹运动对应的关节位移，速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。
机器人操作臂是个复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关节组成，具有多个输入和多个输出，存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。
因此，对于机器人动力学的研究，引起了十分广泛的重视。
所采用的方法很多，①有拉格朗日方法，②牛顿-欧拉方法，③高斯法，④凯恩方法，⑤旋量对偶数方法等等。
在此重点介绍牛顿-欧拉方法，它是基于运动坐标和达朗贝尔原理来建立相应的运动方程。
研究机器人动力学的目的是多方面的，动力学正问题与操作臂仿真有关，逆问题是为实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
机器人动力学模型主要用于机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量，运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。
在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
这些都必须以机器人动态模型为基础。
为了建立机器人动力学方程，在此首先讨论机器人运动的瞬时状态，对其进行速度分析和加速度分析，研究连杆的静力平衡，然后利用朗贝尔原理，将静力学平衡条件用于动力学。
§6-1连杆的速度和加速度点的速度表示一般要涉及到两个坐标系：要指明速度是相对于哪个坐标系的运动所造成的。
① 要指明在哪个坐标系中描述这一速度。
连杆I 相对于参考系{o}的速度用w i 和v i 表示; w i 是连杆坐标系{i}的角速度矢量，v i 是{i}的原点线速度矢量。
如果把两个向量在{i}中描述，即为iw i 和iv i。
为了描述刚体在不同坐标系中的运动，设有两坐标系：参考系{A}和运动坐标系{B}.{B}相对于{A}的位置矢量为0B A P ,旋转矩阵为R AB 。
机器人的运动学和动力学模型
机器人的运动学和动力学模型机器人的运动学和动力学是研究机器人运动和力学性质的重要内容。
运动学是研究机器人姿态、位移和速度之间关系的学科，动力学则是研究机器人运动过程中力的产生和作用的学科。
机器人的运动学和动力学模型可以帮助我们理解机器人的运动方式和受力情况，进而指导机器人的控制算法设计和路径规划。
一、机器人运动学模型机器人运动学模型是描述机器人运动方式和位置关系的数学表达。
机器人的运动状态可以用关节角度或末端执行器的位姿来表示。
机器人的运动学模型分为正运动学和逆运动学两种。
1. 正运动学模型正运动学模型是通过机器人关节角度或末端执行器的位姿来确定机器人的位置。
对于串联机器人，可以使用连续旋转和平移变换矩阵来描述机械臂的位置关系。
对于并联机器人，由于存在并联关节，正运动学模型比较复杂，通常需要使用迭代方法求解。
正运动学模型的求解可以通过以下几个步骤：(1) 坐标系建立：确定机器人的基坐标系和各个关节的局部坐标系。
(2) 运动方程描述：根据机器人的结构和连杆长度等参数，建立各个关节的运动方程。
(3) 正运动学求解：根据关节的角度输入，通过迭代计算，求解机器人的末端执行器的位姿。
正运动学模型的求解可以用于机器人路径规划和目标定位。
2. 逆运动学模型逆运动学模型是通过机器人末端执行器的位姿来确定机器人的关节角度。
逆运动学问题在机器人的路径规划和目标定位等任务中起着重要作用。
逆运动学求解的难点在于解的存在性和唯一性。
由于机器人的复杂结构，可能存在多个关节角度组合可以满足末端执行器的位姿要求。
解决逆运动学问题的方法有解析法和数值法两种。
解析法通常是通过代数或几何方法，直接求解关节角度，但是解析法只适用于简单的机器人结构和运动方式。
数值法是通过迭代计算的方式，根据当前位置不断改变关节角度，直到满足末端执行器的位姿要求。
数值法可以用于复杂的机器人结构和运动方式，但是求解时间较长。
二、机器人动力学模型机器人动力学模型是描述机器人运动时受到的力和力矩的模型。
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
机器人学中的动力学
机器人学中的动力学机器人学是研究制造、设计和运动控制机器人的学科，广泛应用于工业、医疗保健、国防、探险等领域。
机器人学中的动力学是机器人运动学的重要分支，掌握机器人运动学对于设计、控制机器人运动具有重要意义。
动力学的概念机器人学中的动力学是研究机器人运动的力学学科。
它主要关注如何对机器人的运动进行描述和控制。
机器人动力学包括机器人运动学和机器人力学的研究。
机器人运动学研究机器人的位置和位姿，而机器人力学研究机器人的力学特性和力学运动方程。
机器人学中的动力学主要涉及以下几个方面：- 机器人的运动轨迹和速度规划- 机器人的动力学建模和仿真- 机器人的力学特性和控制机器人的运动轨迹和速度规划机器人的运动轨迹和速度规划是机器人动力学的基本问题。
机器人的运动轨迹是机器人在空间中的运动路径，可以用各种运动学和动力学方法进行描述。
机器人的速度规划通常是在已知机器人的运动轨迹的条件下，确定机器人的运动速度以及加速度和减速度的大小和方向。
机器人的运动轨迹和速度规划在机器人控制中占据着重要的地位。
机器人的控制主要目的是使机器人完成特定的任务，如在制造车间中装配零件等。
在完成这些任务时，机器人需要根据任务的要求确定运动轨迹和速度规划，这样才能在短时间内完成高效的操作。
机器人的动力学建模和仿真机器人的动力学建模是机器人学中难点之一。
一个好的机器人动力学模型必须考虑机器人本身的特性和运动机理。
机器人的动力学模型可以用数学公式或者计算机模拟的方法进行描述。
此外，机器人的动力学模型需要考虑机器人的各种运动方式，如旋转、直线运动等。
机器人的仿真是指利用计算机模拟机器人运动状态和行为的过程。
机器人的仿真可以对机器人的运动轨迹、速度规划和控制逻辑进行模拟和测试，从而为机器人的设计和使用提供依据。
机器人仿真是一种低成本、高效率的机器人研究方法。
机器人的力学特性和控制机器人的力学特性和控制主要研究机器人在行动中的力学特性和控制方法。
机器人的力学特性包括机器人的质量、惯性、摩擦和发热等。
机器人学第六章(机器人运动学及动力学)
第六章 机器人运动学及动力学6.1 引论到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。
我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。
本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。
机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。
的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。
显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。
但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。
特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。
有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。
向前的动力学问题是计算在施加一组关节扭矩时机构将怎样运动。
也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ和Θ。
这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ和Θ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。
这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。
6.2 刚体的加速度现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。
在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。
即BB Q Q BBQ Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t∆→+∆-==∆ （6-1）和AA Q Q AAQ Q 0()()d lim dt t t t t t∆→Ω+∆-ΩΩ=Ω=∆ （6-2）正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号U A AORG V V = （6-3）和U A A ω=Ω （6-4）6.2.1 线加速度我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量BQ 的速度AA B A A Q B Q B B V V BR R Q =+Ω⨯ （6-5）这个方程的左手边描述AQ 如何随时间而变化。
所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为A AB A A B B Q B B d ()V dtB B R Q R R Q =+Ω⨯ （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。
人形机器人动力学
人形机器人动力学人形机器人是一个复杂的系统，涉及多个学科领域，包括机械工程、电子工程、计算机科学等。
其中，动力学是人形机器人设计和控制的关键因素之一。
下面将介绍人形机器人的动力学模型、控制方法以及相关的高级技术。
1.运动学模型运动学是人形机器人设计和控制的基础。
运动学模型描述了机器人各部分之间的相对位置和速度之间的关系。
通过建立运动学模型，可以确定机器人的姿态、步长等运动参数，为后续的动力学建模和控制提供基础数据。
2.动力学方程动力学方程是人形机器人设计和控制的核心。
它描述了机器人各部分之间的力和运动之间的关系。
通过建立动力学方程，可以预测机器人的运动轨迹和姿态，同时也可以为机器人的控制提供依据。
3.阻抗控制阻抗控制是一种基于弹性力学和控制理论的技术，用于实现机器人与环境的交互。
通过设定阻抗参数，可以控制机器人的刚度和灵敏度，使其适应不同的任务需求。
4.力控制力控制是一种基于力/位混合控制的技术，用于实现机器人力反馈和柔顺性控制。
通过设定力和位置控制参数，可以控制机器人的抓取和操作力度，使其适应不同的任务需求。
5.平衡控制平衡控制是一种基于稳定性和鲁棒性的控制技术，用于实现机器人在动态环境中的稳定性和平衡性。
通过设定平衡控制参数，可以控制机器人的姿态和重心位置，使其适应不同的任务需求。
6.步态规划步态规划是一种基于运动学和动力学的技术，用于实现机器人的行走和运动。
通过规划机器人的步态和步长，可以控制机器人的行走轨迹和姿态，使其适应不同的行走需求。
7.传感器融合传感器融合是一种基于多传感器信息融合的技术，用于提高机器人的感知和控制性能。
通过融合多种传感器信息，可以获得更准确的环境信息和机器人状态信息，从而更好地实现机器人的控制和感知。
8.交互与感知交互与感知是人形机器人的一项重要任务，用于实现机器人与人类或其他机器人之间的交互和感知。
通过设计和使用多种传感器和交互设备，可以增强机器人对环境的感知和理解能力，提高其交互性能和用户体验。
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H 2 L2
0
0
CI
M 12
0 0
W2 H2 0
0
L2 W 2
Z
结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的
惯性主轴。
L X
H Y
W
6
刚体的牛顿-欧拉方程
在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动 。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚 体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。
m2 L1LC 2 s2
K
1
1 2
q&T
M
1
q&
0
m2
L1LC 0
2
s2
&&12
m2
L1LC
2
s2
&12 &1&2
M&q& 2mm22LL11LLCC22ss22&&22
m2
L1LC 0
2
s2&2
&&12
m2
L1LC
2
s2&2 12
1 0
&&12
m2L1LC2s2 2&1&2 &22 m2 L1LC 2 s2&1&2
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
取固定在基座处的坐标原点为势能零点，系统的总势能为，
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。
机器人动力学问题分为两类：
一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规 律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题；
另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人
L mgl sin
代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程
ml 2&& mgl sin
计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。
Ic1 Ic2
例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质
Y
心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动
惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和
式（6-14）或（6-15）称为第二类拉格朗日方程。
8
y
例6-4 如图6-6所示单摆由一根无质量杆末端连接一集中质 量m，杆长为l，其上作用力矩，建立系统的动力学方程。
x
l
解：① 牛顿-欧拉方法
单摆运动可以简化为刚体的定轴转动，其动力学方程为 I&& N
转动惯量和合外力矩计算如下， I ml2 N mgl sin
d dt
M
q q&
P q
K q
M&q&
Mq&&
1 2
q&T
M q
q&
P q
M (q)q&& C(q,q&) G τ
616
其中M是对称正定质量矩阵，C是离心力和柯氏力项，G是重力项。C和G如下：
C&T 2
M q
q&
,
G
P q
下面计算各量的具体值，
K
2
1 2
&1
&2
2m2 L1LC 2 s2
V
AI xy dv
I xx I xy
I xz
I xy I yy I yz
I I
xz yz
Izz
I yy V x2 z2 dv
I xz
xz dv
V
（6-8）
Izz V x2 y2 dv
I yz
yz dv
V
其中dv表示单元体，表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。
两杆的转动角速度分别为 1 &1 , 2 &1 &2
因此，两杆的动能为，
K1
1 2
m1
x&C21 y&C21
1 2
IC1&12
1 2
IC1 m1L2C1
&12
1
K2 2 m2
x&C2 2 y&C2 2
1 2 IC2
&1 &2 2
11
1 2
m2
L12&12
式（6-11）和（6-12）一起称为刚体的牛 顿-欧拉方程。分析机械臂的动力学问题时 ，首先对每个连杆列出牛顿-欧拉方程，同 时需要分析连杆间的速度、加速度传递关 系以及力的传递关系。
ω
vc
C
F
N
7
拉格朗日方程
上节介绍牛顿-欧拉方程是采用几何矢量方法建立每个连杆的动力学方程，方程 中会出现约束力项。拉格朗日方程采用解析方法建立系统的动力学方程，在理 想约束条件下，动力学方程中不出现约束力项。
刚体质心的平动用牛顿第二定律描述
F Mv&c
6-11）
其中M表示刚体质量，F表示作用在刚体上的合外力矢量，v&c 表示质心速度矢量。
刚体绕质心的转动用欧拉方程描述
N CIω& ω CIω （6-12）
其中CI表示刚体在质心坐标系{C}下表示的惯性张量，N表示作用在刚体上的合
外力矩矢量，表示角速度矢量，ω&表示角加速度矢量。
定义拉格朗日函数
L=K-P
其中K是系统动能，P是系统势能，系统动力学方程为
d L L
Fi
dt
() q&i
qi
,
i
1, 2,K
,n
(6-14)
其中qi是描述系统位置的坐标，称为广义坐标，Fi是作用在qi上的广义力。分量 形式的方程(6-14)也可以写成矢量形式如下：
F
d dt
(Lq&)
L q
(6-15)
Z
度为r，质量为M，计算其惯性张量。
H
解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得：
Y
W
L X
4
Z
H
Ixx V
y2 z2 dv H 0
LW 00
y2 z2
dxdydz
Y W L
W H L y2 z2 dydz W H L3 / 3 Lz2 dz
00
0
X
mg
因此，系统的动力学为
ml2&& mgl sin
② 拉格朗日方程 选择为描述单摆位置的广义坐标，
x l sin , y l cos x& l&cos , y& l&sin
系统的动能 K 1 mv2 m x&2 y&2 m l2&2 cos2 l2&2 sin2 1 ml2&2
选择1 和 2为描述连杆位置的广义坐标，先 1 用广义坐标表示质心的位置，
m1
1
X
xC1 Lc1c1 , yC1 LC1s1
xC2 L1c1 LC2c12 , yC2 L1s1 LC2s12
再对时间求导得到质心的速度
x&C1 LC1s1&1 , y&C1 LC1c1&1
x&C2 L1s1&1 LC2s12 &1 &2 , y&C2 L1c1&1 LC2c12 &1 &2
L2C 2
&1
&2
2
2L1LC 2c2&1
&1
&2
1 2
IC2
&1 &2 2
1 2
IC
2
m2
L12 L2C2 2L1LC2c2
&12
1 2
I C 2
mL2C 2
&22
I C 2
m2 L2C2
m2 L1LC 2c2
&1&2
系统的总动能可以表示为
K
K1
K2
1 2
q&T Mq&
1 2
22
2
2
取坐标原点为势能零点，则系统的势能 P mgy mgl cos
系统的拉格朗日函数
L
K
P
1 2
ml 2&2
mgl
cos
9
Fi
d dt
L () q&i
L qi
,
i
1, 2,K
,n
(6-14)
根据614式计算相应的导数
L
1 2
ml 2&2
mgl
cos
d
dt
L
&
d dt
ml2& ml2&&
P m1gLC1s1 m2 g(L1s2 LC2s12 )
系统的拉格朗日函数为 L K P
直接代入到拉格朗日方程614，即可得到系统的动力学方程。当然，导数 的计算过程是比较复杂的。下面分析方程的结构，
12
拉格朗日方程可以表示为
d dt
L q&
L q
d dt
K q&