广东省珠海市2016届高三9月摸底考试数学文试题

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珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测(理数参考答案)

珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足32z iz i+=+,则z 的虚部为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2=( ) A ．1- BC ．1 D3．设命题p :若23xx>,则0x <,其逆否命题为( )A ．若0x ≥,则23xx≤ B ．若0x >,则 23xx< C ．若23xx>,则0x ≥ D ．若23xx≤,则0x > 4．现有1000件产品,甲产品有10件,乙产品有20件,丙产品有970件,现随机不放回抽取3件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是( )A ．311131020970331000()A C C C CB ．311131020970131000()AC C C C C ．31113102097031000A C C C CD ．31113102097031000A C C C A 5．如图是函数()cos()f x A x ωϕ=+的一段图像，则函数()f x 图像上的最高点坐标为( ) A ．(2)2k k Z π∈，， B ．(2)k k Z π∈，， C ．(22)6k k Z ππ-∈，， D ．(2)12k k Z ππ-∈，，6．已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为( )AB．4 CD．47．如图是一平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)1111ABCD A B C D -，E 为BC 延长线上一点，2BC CE =,则1D E =( )A ．1AB AD AA ++ B ．112AB AD AA +- C ．1AB AD AA +- D ．113AB AD AA +- 8．227(3)x y y +-展开式中，122x y 项系数为( )A ．7B ．7-C ．42D ．42-A 1B 1C 1AC DD 1BE（第7题图）（第5题图）2-23π6π29．执行右图的程序框图，若输入100k =，则输出的n =( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶点，128PB PB ⋅<uuu r uuu r，则0x 的范围是( )A．(2][2-U B．(2)(2-U C．(2][2--U D．(2)(2--U11．如左上图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．83π B ．163π C ．143π D ．23π 12．函数21()(1)1ln (0)2f x x a x x a =-+++>，若存在唯一一个整数0x 使0()0f x <成立，则a 的范围是( ) A ．(01)， B ．(01]， C ．(022ln 2)+， D ．111(ln 2)222+， CCAD DABB BCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数11)(-++=ax x x f 是偶函数，则a = ．114．圆C 的圆心C 在x 轴上，圆C 经过抛物线2:16D y x =的焦点且与D 相切，则C 的半径是．2或1615．变量x y ，满足3202304120x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则22(3)(3)x y -+-的范围是．9[9]17， 16．如右下图，四边形ABCD 中，0135BAD ∠=，0120ADC ∠=，045BCD ∠=，（第9题图）BCDA（第16题图）（第11题图）俯视图左视图正视图324高三理科数学答案第 3 页共 10 页060ABC ∠=，2BC =，则线段AC 长度的取值范围是．2)三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2364n n n a a S +=+（1）求{}n a 的通项公式（2）设2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：(1)由2364n n n a a S +=+…………①知2111364n n n a a S ++++=+…………②由②－①得22111133666n n n n n n n a a a a S S a ++++-+-=-=…………………………………1分即11()(3)0n n n n a a a a +++--=0n a > ∴10n n a a ++>∴130n n a a +--=即13n n a a +-=…………………………………………………………………………………3分又2111136464a a S a +=+=+即2111134(4)(1)0a a a a --=-+=0n a >∴14a =∴{}n a 是4为首项，3为公差的等差数列……………………………………………………5分 ∴43(1)31n a n n =+-=+……………………………………………………………………6分(2) 2(31)2n n n n b a n ==+⋅故1234272102(31)2n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅234124272102(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅∴1231242323232(31)2n n n n n T T T n +-=-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅………………8分123123(2222)(31)2n n n +=+++++-+⋅112(21)23(31)221n n n +-=+⋅-+⋅-1(32)24n n +=--⋅-∴1(32)24n n T n +=-⋅+………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]2000,0，(]4000,2000，(]6000,4000，(]8000,6000，(]10000,8000五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2 表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？4（图1）（图2）（2）将上述调查所得到的频率视为概率。

广东省珠海市2016届高三9月摸底考试数学理试题 Word版含答案

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ＤＤＣＣＢ　ＤＡＢＢＡ　ＣＣ1．已知集合,,则（）ＤA. B. C. D.2．已知复数，，则复数在复平面内对应的点位于（）ＤA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．若,满足不等式组，则的最大值是（）ＣA. B. C. D.4．已知，且，则与的夹角为（）ＣA. B. C. D.5．当时,函数的（）ＢA．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是6．函数的单调增区间是（）ＤA. B.C. D.7．已知函数在点的切线与直线垂直,则（）ＡA． B． C． D．8．已知的部分图象如图所示，则（）ＢA. B. C. D.9．执行如右下图的程序框图，若输入，则输出的值为（）Ｂ否（第9题图）开始结束输入是输出A． B． C． D．（第10题图）俯视图左视图正视图10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（）ＡA． B． C． D．11．若，且，设函数,若不等式的解集是，则的取值范围是（）ＣA. B. C. D.12．若偶函数的图像关于对称，且当时，，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（）ＣA. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列的前项和为,且,则．14．由数字组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为．15．已知双曲线的半焦距为，直线过,两点，若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．16．展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多，则展开式中的中间项是．三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为,公差，.（1）求；（2）若,求数列的前项和为．解(1) ,，……………………………………………………2分,即………………………………………………………………………3分所以……………………………………………………………………………4分(2) ………………………………7分……………10分即……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；306010次数123人数(2)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数的和，求的分布列.（结果用最简分数）解：（1）由题意得：……………………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为…………………………… 3分（2）由题意得的所有可能取值为…………………………………………………………… 5分，，，，，………………………………………………………………………………10分∴的分布列为：…………………………………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知如图：四边形是矩形，平面,且,点为上一点，且平面.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.解：（1）证明:连接交于，连结，是矩形为的中点…………………………………… 1分由平面得：由知：点为中点 (2)分∴为的中位线∴……………………………………………………………………………………3分∵ 平面；平面；∴ 平面；………………………………………………………………………… 4分（2）由平面得：；由平面得: ，；∴平面，则………………………………………………………… 6分在中，同理可得：,；……………………………………… 8分∵∴ 取中点，连结，,则,且,………………………………………………… 10分∴即为二面角的平面角；在中，；∴ 二面角的余弦值为.………………………………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点,且与定直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线的方程；（2）若点是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点记为，求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹是以点为焦点，以定直线为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分设∵ 点到准线的距离为,∴ 圆心的轨迹的方程为………………………………………………………………………… 4分(2) ∵,∴设切点的坐标分别为,,则,则过点的切线方程为，即，即过点的切线方程为，即，即∵过点的切线都过点∴，∴点,都在直线上∴直线的方程为，即…………………………………………………6分又因为点是直线上的动点,所以∴直线的方程为,即∴直线恒过定点…………………………………………………………………………………8分联立得到又因为点是直线上的动点,所以,即…①则是①的二根∴,∴ (10)分点到直线的距离是:…………………………………………………11分∴即面积的最小值是…………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数.（1）若，证明:；（2）讨论函数零点的个数.解(1) 证明:当时,列表:递增递减,即………………………………………………………………………………2分(2) (3)分讨论: 当时,由第(1)问可得函数没有零点;……………………………………………4分当,即时,令得,或,即函数的增区间为,令得,即函数的减区间为而, 因为函数的减区间为,所以又函数的增区间为,所以当时,所以当时, ，时，所以函数在区间没有零点,在区间有一个零点………………………………………6分当,即时,恒成立即函数在上递增而，时，所以函数在区间有一个零点……………………………………………………………………8分当,即时,令得,或,即函数的增区间为,令得,即函数的减区间为因为,所以，又时，根据函数单调性可得函数在区间没有零点,在区间有一个零点……………………10分当,即时,令得,即函数的增区间为令得,即函数的减区间为时，时，而当即时, 函数有两个零点;当即时, 函数有一个零点;当即时, 函数没有零点. ………………………………………11分综上，时, 函数有两个零点;时, 函数有一个零点;时, 函数没有零点；时, 函数有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过作直线于．(1)证明：；(2)为线段上一点，直线且交圆于点，过点的切线交直线于.证明：．证明：（1）由是圆的切线知:…………………………………………………………2分又∵；∴ 在中，由射影定理知：……………………………………………………4分（2）证明：由是圆的切线知：．同（1）……………………………6分由得：………………………………………………………………………7分即: ．又，则…………………………………………9分∴ ． (10)分(用四点共圆来证明也得分)23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线:，动圆：．(1)求，的直角坐标方程；(2)若射线与动圆相交于与两点，求的取值范围.解(1) ,所以的直角坐标方程为…………………………………………………………2分,所以的直角坐标方程.…………………………2分(2) 联立关于的一元二次方程在内有两个实根…………………………6分即,……………………………………………………………………………………8分得,即…………………………………………………………………10分(用数形结合法解出也给分)24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间内无解，求实数的取值范围.解： (1)由题意得：，即：……………………………………………1分∴，即：……………………………………………………………3分解得：或；∴不等式的解集为……………………………………………………………………5分(2)设,则:, ……………………………7分其图像如图示：则的最大值为……………………8分∵ 不等式在区间无解，∴实数的取值范围为…………………………………………10分。

珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测(文数参考答案)

珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

CADDD BBBCA BA 1．已知全集{}0,1,2,3,4I =，集合{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()I AC B =（）CA 、{}1B 、{}2,3C 、{}0,1,2D 、{}0,2,3 2．设M 是ABC ∆所在平面内一点，2AC AB AM +=则( )AA ．0MC MB += B ．0MC AB += C ．0AM BC +=D ．0MA MB MC ++=3．设复数1z i =+（i 是虚数单位）（）D A ．13i + B ．13i - C ．33i + D ．3i -4．已知α是第二象限角，8tan 15α=-，则sin α=（）DA ．18B ．18-C ．817-D ．8175．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则 1a = （）DA ．31 B ．31- C ．91-D ．91 6．已知()()2sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的表达式为( )BABC D 7．已知点P 是边长为2的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于1的概率是（）BA ．4π B ．44π- C ．14 D ．3π 8．执行右图的框图，若输入30k =，则输出的n = BA ．4B ．5C ．6D ．7（第8题图）第6题图29．若P 点是以1(3,0)F -、2(3,0)F 为焦点，实轴长为4的双曲线与圆229x y +=的一个交点，则）CA ．B ．6 CD10．已知()f x 在(),-∞+∞上是增函数，若()40f =，则满足()0x f x ⋅≤的x 取值范围是（）AA ．[],40B ．(],4-∞C ．)](4,00,4-⋃⎡⎣ D ．[)4,+∞ 11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）BA ．2B ．4C ．6D ．1212．若()222,,0()21,[0,)x x f x x x x ⎧--∈-∞⎪=⎨--∈+∞⎪⎩，123x x x ≤≤,且()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值的范围是（）AABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若直线经过点()2,3A -、()1,4B ，则直线的斜截式方程为．【答案】117+-=x y 14．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为．【答案】e - 15．已知实数x 、y 满足10201x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最大值是．【答案】116．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为45，则此山的高度 CD =_________m ．【答案】.三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．侧视图正视图俯视图第11题图第16题图高三文科数学答案第 3 页共 8 页17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，111a =，且2a ，5a ，6a 成等比数列. (I)求{}n a 的通项公式；(II)设123+n n S a a a a =++⋅⋅⋅+，求 n S .17.解（I ）设{}n a 的公差为d ，由题意，2526a a a =，————————1分即：()()()211145a d a d a d +=++ ————————2分于是：212110a d d +=又：111a =，得2d =-或0d =（舍） ———4分故213n a n =-+ ————————5分（II ）由（I ）知当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a < 当6n ≤时 ————————6分123+n n S a a a a =++⋅⋅⋅+123+n a a a a =++⋅⋅⋅+1(1)2n n na d -=+212n n =- ————————8分当7n ≥时，12367+n n S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++()123678+n a a a a a a a =++⋅⋅⋅+-+++()()1236122+n a a a a a a a =++⋅⋅⋅+-+++()27212n n =--21272n n =-+ —————11分所以：2212612727n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ —————12分18．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示． (I)写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从这6名选手中抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．第18题图4（参考公式：))()()(()(22b d dc c a b a bc ad n K ++++-=．其中d c b a n +++=．）———6分则706.23100804020)30107010(120))()()(()(222>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=b d dc c a b a bc ad n K 所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关． —————8分（2）设事件A 为2名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人设为a,b ，30~40岁之间的人数为4人设为c,d,e,f ，从6人中取2人的结果如下共为有15种， ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef —————10分事件A 的包含如下结果共有９种 —————11分—————12分 19．（本小题满分分）如图，四棱锥P ABCD -底面ABCD 为平行四边形，且ACBD O =，PA PC =，PB BD ⊥，平面PBD ⊥平面PAC (I)求证PB ⊥面ABCD(II)若PAC ∆为正三角形，60BAD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为6，求侧面PCD ∆的面积. 19.(I)证明：由于四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点；连接POPA PC =∴AC PO ⊥ ———1分平面PBD ⊥平面PAC ，又平面PBD平面=PAC PO ，AC ∈平面PAC∴AC ⊥面PBD ∴AC ⊥PB —————4分又PB BD ⊥，且AC BDO =，AC BD ABCD ∈、面∴PB ⊥面ABCD —————6分(II)解：由(I)知AC ⊥面PBD ，所以AC ⊥BD ，可知底面ABCD 为菱形; 设AB BC a ==，又因为60BAD ∠=︒，所以BD a =，AC =第19题图高三文科数学答案第 5 页共 8 页因为PAC ∆为正三角形，所以PC = —————7分由(I)知PB BC ⊥，从而PBC ∆为直角三角形，PB ∴= —————8分2111323326P ABCD ABCD V S PBa -===解得：1a= ———9分所以PC=1CD =、PB =PD ∴==—————10分取CD 的中点E ，连接PE ，可知PE CD ⊥2PE ==11124PCD S CD PE == —12分20．（本小题满分12分）已知圆22:2680C x y x y +-++=(I)若圆C 的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程(II)从圆C 外一点(,)P x y 引圆的切线PQ ，点Q 为切点，O 为坐标原点，且满足PQ OP =，当PQ 最小时，求点P 的坐标。

广东省珠海市2015-2016学年第一学期高三摸底考试数学文

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．设集合2{|1}P x x，那么集合P 的真子集个数是（）A ．3B ．4 C．7D ．82．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB ，(1,3)AC ，则DA ＝（）A ．（2,4）B ．（3,5）C ．（1，1）D ．（－1，－1）3．设2112iiz ，则z =（）A ．3 B ．1 C．2 D．24．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）5．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（）A ．117B．217C ．317D ．4176．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x （℃）171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程ybx a $中的2b，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A.46B.40C.38D.587．设m n ，是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若,,mn ,则m n B ．若∥,,m n,则n ∥m C ．若mn ,,mn,则D ．若m,n ∥m ,n ∥,则试卷类型：B。

2016级高三文科数学9月试题Word版含答案

2016级高三文科数学9月试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|22,},{|450}A x x x Z B x x x =-<≤∈=--<，则A B =A ．{}0,1,2B ．(1,2]-C ．{}1,2D ．()1,2] 2．下列函数中为偶函数的是A ．22y x x =- B ．lg y x = C ．33xxy -=+ D ．2x xy =3．已知0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<4．命题200:,1p x N x ∃∈<，则p ⌝是A ．200,1x N x ∃∈≥B ．200,1x N x ∃∈>C ．2,1x N x ∀∈>D ．2,1x N x ∀∈≥5．函数()27log f x x x=-的零点包含于区间 A ．()1,2 B ．(2,3) C ．(3,4) D ．()4,+∞6．曲线()2xf x e x =+在点(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A ．16 B ．14 C ．13 D ．127．函数()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且)0,1(A ，则点D 的坐标为A ．()2,0-B ．(12,0)--C ．(1,0)-D ．1(,0)2- 8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()()067f f f =<，则()f x 在A ．(),0-∞上是增函数B ．()0,+∞上是增函数C ．(),3-∞上是增函数D ．()3,+∞上是增函数9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，若()f x 的极大值为()1f ，极小值为(1)f -，则函数()(1)y f x f x '=-的图象有可能是10．已知,x y R ∈，命题:p 若x y >；命题:q 若0x y +>，则22x y >，在命题（1）p q ∨；（2）()()p q ⌝∧⌝；（3）()p q ∧⌝；（4）p q ∧中，证明题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．函数(0,1)x y a a a a ->≠的定义域和值域都是[]0,1,则 548log log 65aa += A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．设()32133f x x x ax =++，若()14x g x =，对任意11[,1]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围为 A ．11[,)4-+∞ B ．13(,]2-∞- C ．11(,]4-∞- D ．13[,)2-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

广东省珠海市2016届高三9月摸底考试数学理试题(PDF版)

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．证明：（1）由 MA 是圆 O 的切线知: AM OA …………………………………………………………2 分又∵ AP OM ； ∴ 在 RtOAM 中，由射影定理知： OA OM OP ……………………………………………………4 分
其图像如图示：则 f ( x ) 的最大值为 f (2) 5 ……………………8 分
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∵ 不等式 2 x 2 x 1 a 在区间 [ 4, 2] 无解，
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2 2 2
解得： x 3 或 x
1 ； 3 1 3
∴不等式的解集为 ( , 3) ( , ) ……………………………………………………………………5 分 (2)设 f ( x) 2 x 2 x 1 ( x [ 4, 2]) ,
x 3,( 4 x 1) 则: f ( x ) 3x 1,( 1 x 1) , ……………………………7 分 x 3,(1 x 2)
关于的一元二次方程 x0 x0 4 0 ( x0 R ) 在 [0, ) 内有两个实根…………………………6 分
2 2 2 2 x0 4( x0 4) 0 即 x1 x2 x0 0 ,……………………………………………………………………………………8 分 x x x2 4 0 0 1 2
所以 C1 的直角坐标方程为 y
x cos 2 2 2 ,所以 C2 的直角坐标方程 x y 2 x0 x x0 4 0 .…………………………2 分 y sin

【真题】2016-2017年广东省珠海市高三(上)期末数学试卷(文科)与答案

2016-2017学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．25．（5分）△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A=，a=2，b=10，则c=（）A．2 或8 B．2 C．8 D．216．（5分）已知，，则tan（α﹣β）=（）A．1 B．﹣ C．D．﹣17．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2+4B．4+4C．8+2D．6+28．（5分）已知函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2，若a＞0且b＞0，则ab 的最大值为（）A．B．C．2 D．49．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=1008，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜2014 B．S＜2015 C．S＜2016 D．S＜201710．（5分）函数f （x）=的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，记A1B1的中点为E，平面C1EC与AB1C1的交线为l，则直线l与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是．14．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为．15．（5分）珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999﹣12﹣20标示澳门回归日，中央靠下有23﹣50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为．16．（5分）已知函数f （x）=x2ln x，若关于x的不等式f （x）﹣kx+1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（12分）等比数列{a n}中，a3+a5=10，a4+a6=20（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前29 项和S29．18．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=1，AD=2，AC=，E 是AD 的中点，BE与AC 交于点F，GF⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥面AFG；（2）若四棱锥G﹣ABCD 的体积为，求B 到平面ADG 的距离．19．（12分）某市为鼓励居民节约用水，拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米按2 元/立方米收费，超出w 立方米但不高于w+2 的部分按4 元/立方米收费，超出w+2 的部分按8 元/立方米收费，从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使40%以上居民在该月的用水价格为2元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=2 时，估计该市居民该月的人均水费．20．（12分）已知抛物线C 的顶点在原点，F（，0）为抛物线的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l与动抛物线C 交于A、B 两点，与圆M：交于D、E两点，且D、E位于线段AB上，若|AD|=|BE|，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．设g（x）=lnx+，（1）求a的值；（2）对任意x1＞x2＞0，＜1恒成立，求实数m的取值范围；（3）讨论方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的个数．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线C1：（t 为参数），曲线C2：（r＞0，θ为参数）．（1）当r=1时，求C 1与C2的交点坐标；（2）点P 为曲线C2上一动点，当r=时，求点P 到直线C1距离最大时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=﹣3，求函数 f （x）的最小值；（2）如果∀x∈R，f （x）≤2a+2|x﹣1|，求a的取值范围．2016-2017学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选：D．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，基本事件总数n=，选中的花中没有红色包含的基本事件个数m=，∴选中的花中没有红色的概率p==．故选：A．4．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，可知双曲线方程设为：，可得，则，可得e2=，所以e=．故选：B．5．（5分）△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A=，a=2，b=10，则c=（）A．2 或8 B．2 C．8 D．21【解答】解：∵=，∴=，解得：sinB=，故cosB=±，故sinC=sin（A+B）=或，由=，得：c===8，或c==2，故选：A．6．（5分）已知，，则tan（α﹣β）=（）A．1 B．﹣ C．D．﹣1【解答】解：∵已知，，∴tan（β+）=﹣3，∴tan（α﹣β）=tan[（α+）﹣（β+）]===﹣1，故选：D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2+4B．4+4C．8+2D．6+2【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以正视图为底面的四棱柱，故底面面积为：1×=，底面周长C=2（1+）=6，棱柱的高h=1，故棱柱的表面积S=6+2，故选：D．8．（5分）已知函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2，若a＞0且b＞0，则ab 的最大值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2，∴2a•2b=2⇒a+b=1，∵a，b∈（0，+∞），∴a+b ，即2 ≤1，当且仅当a=b时取等号，解得ab≤，故选：B．9．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=1008，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜2014 B．S＜2015 C．S＜2016 D．S＜2017【解答】解：模拟执行程序，可得：S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；…观察规律可得：i=1008时，判断1008是奇数不成立，执行S=2×1008+1=2017，此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=1008．而此时的S的值是2017，故判断框中的条件应S＜2017．故选：D．10．（5分）函数f （x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f （x）=，当x＜0时，f （x）=＞0，看着函数的图象在x轴上方，考察选项，只有A满足题意，故选：A．11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，记A1B1的中点为E，平面C1EC与AB1C1的交线为l，则直线l与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB1=F，连结EF，则C1F即为平面C1 EC 与AB1 C1的交线l，以C 为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），B1（0，1，2），F（），=（），=（1，0，0），设直线l与AC所成角为θ，则cosθ===．∴直线l与AC所成角的余弦值为．故选：C．12．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值是（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），所以=（﹣1，1），=（，），若=（﹣λ+μ，λ+），又因为以A 为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P，所以点P的坐标为P（，），=（，）所以﹣λ+μ=，λ+=，所以λ=，μ=，所以λ+μ=故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是y=ex﹣e．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x（lnx+），可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e（ln1+1）=e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即为y=ex﹣e．故答案为：y=ex﹣e．14．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．15．（5分）珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999﹣12﹣20标示澳门回归日，中央靠下有23﹣50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为505．【解答】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，故答案为：505．16．（5分）已知函数f （x）=x2ln x，若关于x的不等式f （x）﹣kx+1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：∵x2ln x﹣kx+1≥0恒成立，∴k≤xlnx+恒成立，令g（x）=xlnx+，g'（x）=lnx+1﹣，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减；故g（x）的最小值为g（1）=1，∴k≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（12分）等比数列{a n}中，a3+a5=10，a4+a6=20（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前29 项和S29．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a3+a5=10，a4+a6=20，∴=10，=20，解得q=2，a1=．（2）由（1）可得：a n==2n﹣2．=（﹣1）n（n﹣2），∴b2n+b2n=（2n﹣2）﹣（2n+1﹣2）=﹣1．+1∴数列{b n}的前29 项和S29=1﹣1×14=﹣13．18．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=1，AD=2，AC=，E 是AD 的中点，BE与AC 交于点F，GF⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥面AFG；（2）若四棱锥G﹣ABCD 的体积为，求B 到平面ADG 的距离．【解答】（1）证明：∵AB=1，AD=2，AC=，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵GF⊥平面ABCD，∴AB⊥GF，∵GF∩AC=F，∴AB⊥面AFG；（2）解：由（1）可知S ABCD=，四棱锥G﹣ABCD 的体积为=，∴GF=，，∴，AB=AE=1，∴，∴△AEF为等腰三角形，AE=1，∴AF=EF=，AG=GE==，△AGE中，AE边上的高为=，==，S△ABE==，∴S△AEG由等体积可得，∴h=，即B 到平面ADG 的距离为．19．（12分）某市为鼓励居民节约用水，拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米按2 元/立方米收费，超出w 立方米但不高于w+2 的部分按4 元/立方米收费，超出w+2 的部分按8 元/立方米收费，从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使40%以上居民在该月的用水价格为2元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=2 时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）我市居民用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]内的频率依次是：0.1、0.15、0.2、∴该月用水量不超过2立方米的居民占45%，而用水量不超过1立方米的居民占10%，∴w至少定为2；（2）根据题意，列出居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：该市居民该月的人均水费估计为：2×0.1+3×0.15+4×0.2+6×0.25+8×0.15+10×0.05+12×0.05+16×0，05=6.05，故w=2时，该市居民该月的人均水费约是6.05元．20．（12分）已知抛物线C 的顶点在原点，F（，0）为抛物线的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l与动抛物线C 交于A、B 两点，与圆M：交于D、E两点，且D、E位于线段AB上，若|AD|=|BE|，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），则，解得p=2，∴抛物线的标准方程为：y2=2x．（2）直线l为x轴时不成立．设直线l的方程为：x=ty+，取CD的中点N，连接MN，则MN⊥CD，∵|AC|=|BD|，∴点N是线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），则，．联立，化为：y2﹣2ty﹣1=0，∴y1+y2=2t，y0=t，x0=t2+，即N．∵MN⊥AB，∴=﹣t，解得t=2．∴直线l的方程为2x﹣4y﹣1=0．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．设g（x）=lnx+，（1）求a的值；（2）对任意x1＞x2＞0，＜1恒成立，求实数m的取值范围；（3）讨论方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的个数．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣a，+∞）．f′（x）=1﹣=．由f′（x）=0，解得x=1﹣a＞﹣a．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因此，f（x）在x=1﹣a处取得最小值，故由题意f（1﹣a）=1﹣a=0，所以a=1．…（4分）（2）由＜1知g（x1）﹣x1＜g（x2）﹣x2对x1＞x2＞0恒成立即h（x）=g（x）﹣x=lnx﹣x+是（0，+∞）上的减函数．h'（x）=≤0对（0，+∞）恒成立，m≥x﹣x2对x∈（0，+∞）恒成立，（x﹣x2）max=，m≥…（8分）（3）由题意知lnx+=x，=x﹣lnx（x≥1）由图象知m≥1时有一个根，m＜1时无根．…（12分）或解：m=x2﹣xlnx，（x2﹣xlnx）'=2x﹣lnx﹣1，x≥1，又可求得x≥1时（2x﹣lnx﹣1）min=1＞0，∴x2﹣xlnx在x≥1时单调递增．x≥1时，x2﹣xlnx≥1，m≥1时有一个根，m＜1时无根．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线C1：（t 为参数），曲线C2：（r＞0，θ为参数）．（1）当r=1时，求C 1与C2的交点坐标；（2）点P 为曲线C2上一动点，当r=时，求点P 到直线C1距离最大时点P 的坐标．【解答】解：（1）直线C 1：（ t 为参数）的普通方程为y=x ﹣1，当r=1时，曲线C 2：（r ＞0，θ为参数）的普通方程为x 2+y 2=1．联立方程，可得C 1 与C 2的交点坐标为（1，0），（0，﹣1）；（2）设P （），则点P 到直线C 1距离d==当cos （θ+）=﹣1，即θ=+2kπ（k ∈Z ）时，d max =，此时P （﹣1，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数 f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a |（a ∈R ）．（1）若a=﹣3，求函数 f （x ）的最小值；（2）如果∀x ∈R ，f （x ）≤2a +2|x ﹣1|，求a 的取值范围．【解答】解：（1）a=﹣3时，f （x ）=|x ﹣1|+|x +3|，∵f （x ）=|x ﹣1|+|x +3|=|1﹣x |+|x +3|≥|（1﹣x ）+（x +3）|=4，当且仅当（1﹣x ）（x +3）≥0即﹣3≤x ≤1时，“=”成立， ∴函数f （x ）的最小值是4；（2）∀x ∈R ，f （x ）≤2a +2|x ﹣1|，可化为|x ﹣a |﹣|x ﹣1|≤2a ，又|x ﹣a |﹣|x ﹣1|≤|（x ﹣a ）﹣（x ﹣1）|=|1﹣a |，当且仅当x=1时“=”成立，从而|1﹣a |≤2a ，即﹣2a ≤1﹣a ≤2a ，解得：a ≥，故a 的范围是[，+∞）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程第21页（共23页）实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxxxx x(q)0x第23页（共23页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

《精编》广东省珠海市高三数学9月开学摸底考试试题文新人教A版.doc

珠海市年9月高三摸底考试文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，那么A B ⋂=〔〕A. {0}x x >B. {1}x x >C. {12}x x <<D. {02}x x << 2.以下函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为〔〕 A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =- 3．设i 为虚数单位，那么复数2ii+等于〔〕 A ．1255i + B ． 1255i -+ C ．1255i - D ．1255i --4．sin 480的值为〔〕A ．12-B．2- C ．12 D．25．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F1，那么双曲线的方程是〔〕A ．2212x y -= B ．2212y x -= C．221x = D．221y = 6．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为〔〕A ．32πB ．2πC ．3πD ．4π7．经过圆0222=+-y x x 的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是〔〕 A ．012=-+y x B ．220x y --= C ．210x y -+= D ．022=++y x8．实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值为〔〕A ．6B ．5C ．12D ． 3-9.如右上图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，那么=AD 〔〕〔第9题〕〔第6题〕A ．AC AB 3132- B ． AC AB 3231+ C ． AC AB 3132+ D ．AC AB 3231- 10．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，，假设{}12A =，，{}22|()(2)0B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，那么()C S =〔〕 A ．4 B ．1 C ．2 D ． 3二、填空题：本大题共5小题，每题5分，考生作答4小题，总分值20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.{}n a 的公比2q =，那么44S a = ． 14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，那么实数b = ．13.在ABC ∆中，3A π∠=，=2AB ，且ABC ∆，那么边BC 的长为_________. 14．〔几何证明选讲选做题〕如右图，圆O 的割线PAB 交圆 O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。

2016年广东省珠海市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年广东省珠海市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{1，2}，则A∩B＝（）A．2B．{﹣2，2}C．{2}D．∅2．（5分）i是虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，4），若向量∥，则x＝（）A．2B．﹣2C．8D．﹣84．（5分）抛掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知sin（α+）+sinα＝﹣．﹣＜α＜0，则sin（﹣α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱长度是（）A．1B．C．D．27．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a4a8＝2a52，a2＝1，则a10＝（）A．2B．4C．8D．168．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1上任意一点，A、B分别是双曲线的左右顶点，则•的最小值为（）A．﹣3B．0C．1D．29．（5分）定义行列式运算＝a1a4﹣a2a3．将函数f（x）＝的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一个对称轴是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．10．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．11．（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，若此最小值为，则a的值是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）＝x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数y＝ax3+3x2+3x+3在x＝1处取得极值，则a＝．14．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝33，a3+a6+a9＝21，则数列{a n}前9项的和S9等于．15．（5分）设z＝x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z＝x+y的最小值为．16．（5分）直线x﹣my﹣8＝0与抛物线y2＝8x交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB 面积的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tan C＝ab．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，b＝2，求边a的值及△ABC的面积．18．（12分）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，其中AB∥CD，AB＝CD＝3，且∠BCD＝60°；E为CD中点，P A＝PB＝PC＝PD＝4．（1）求证：AD⊥PE．（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）已知点P为圆x2+y2＝25上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为H，且满足＝，若M的轨迹为曲线E．（1）求h（x）＝f（x）﹣g（x）的方程；（2）设过曲线E左焦点的两条弦为MN、PQ，弦MN，PQ所在直线的斜率分别为k1、k2，当k1k2＝1时，判断+是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣，（a∈R）．（1）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），当a＞0时求函数h（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD ＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝3，求点M轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016年广东省珠海市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{1，2}，则A∩B＝（）A．2B．{﹣2，2}C．{2}D．∅【解答】解：由A中方程x2﹣4＝0，解得：x＝﹣2或x＝2，即A＝{﹣2，2}，∵B＝{1，2}，∴A∩B＝{2}，故选：C．2．（5分）i是虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z＝＝＝2+i在复平面内对应的点为（2，1），而（2，1）在第一象限内，故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，4），若向量∥，则x＝（）A．2B．﹣2C．8D．﹣8【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（x，4），向量∥，则4﹣2x＝0，x＝2，故选：A．4．（5分）抛掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为6的事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）这五种，因此所求概率为，故选：B．5．（5分）已知sin（α+）+sinα＝﹣．﹣＜α＜0，则sin（﹣α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：因为：，所以：利用互补角的诱导公式可知：sin（α+）＝﹣＝sin[π﹣（+α）]＝sin（﹣α）＝sin（﹣α+），因此：所求的值为．故选：A．6．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱长度是（）A．1B．C．D．2【解答】解：由三视图可知该几何体是四棱锥，其直观图如下图所示：利用勾股定理可得：VA＝，AB＝CD＝2，VD＝，VC＝AD＝BC＝3，VB＝故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a4a8＝2a52，a2＝1，则a10＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由，得，故q2＝2，而q＞0，所以，所以．故选：D．8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1上任意一点，A、B分别是双曲线的左右顶点，则•的最小值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解答】解：设P（m，n），则﹣n2＝1，可得n2＝﹣1，由双曲线﹣y2＝1，可得a＝2，即有A（﹣2，0），B（2，0），可得＝（﹣2﹣m，﹣n），＝（2﹣m，﹣n），•＝（﹣2﹣m）（2﹣m）+n2＝m2+n2﹣4＝m2+﹣5＝m2﹣5，由双曲线的性质可得，|m|≥2，即有m2﹣5≥×4﹣5＝0，当m＝±2时，取得最小值0．故选：B．9．（5分）定义行列式运算＝a1a4﹣a2a3．将函数f（x）＝的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一个对称轴是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．【解答】解：解析：y＝2sin（2x﹣），向右平移后得到y＝2sin（2x﹣）．所以函数图象的对称轴为，．当k＝0时，x＝．故选：A．10．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意有，在运行的过程中，A＝1，i＝1，满足条件i≤672，A＝，i＝2，满足条件i≤672，A＝＝，i＝3，满足条件i≤672，A＝＝，i＝4，满足条件i≤672，A＝＝，i＝5，满足条件i≤672，以此类推，就可以得出输出的A是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第672项，所以输出的结果为，故选：C．11．（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，若此最小值为，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，则在△AA1D中，由，而，∴a＝2．故选：B．12．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）＝x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）【解答】解：由题意可知，∵f（x）＝x3﹣x2+a，f′（x）＝3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）＝f′（x2）＝＝a2﹣a，∵f（x）＝x3﹣x2+a，∴f′（x）＝3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x＝a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）＝3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，解得；．∴实数a的取值范围是（，1）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数y＝ax3+3x2+3x+3在x＝1处取得极值，则a＝﹣3．【解答】解：∵y'＝3ax2+6x+3，而f'（1）＝3a+9＝0，解得：a＝﹣3，经检验a＝﹣3符合题意，故答案为：﹣3，14．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝33，a3+a6+a9＝21，则数列{a n}前9项的和S9等于81．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝33，a3+a6+a9＝21，∴3a4＝33，3a6＝21；∴a4＝11，a6＝7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．15．（5分）设z＝x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z＝x+y的最小值为．【解答】解：如图，过点A时取得最大值，由，可得（k，k），．在点B处取得最小值，B点在直线x+2y＝0上，由．可得：，∴．故答案为：．16．（5分）直线x﹣my﹣8＝0与抛物线y2＝8x交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB 面积的取值范围是[64，+∞）．【解答】解：联立方程，得y2﹣8my﹣64＝0，△＞0，y1+y2＝8m，y1y2＝﹣64，因为x﹣my﹣8＝0过定点（8，0），所以，当m＝0时，S min＝64．故答案为[64，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tan C＝ab．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，b＝2，求边a的值及△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知得，则cos C•tan C＝∴sin C＝∴C＝或C＝．…（6分）（2）∵c＝2，，∴C＝，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C得整理得a2﹣4a+4＝0，解得a＝2，△ABC面积为．…（12分）18．（12分）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝．【解答】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：…（3分）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝＝≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（6分）（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i＝1，2，3，b i表示女性，i＝1，2．Ω由10个等可能的基本事件组成．…（9分）用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．∴P（A）＝ (12)19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，其中AB∥CD，AB＝CD＝3，且∠BCD＝60°；E为CD中点，P A＝PB＝PC＝PD＝4．（1）求证：AD⊥PE．（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）连接EB，∵ABCD为等腰梯形，E为CD中点，∴BE＝AD＝BC，∴△EBC为等腰三角形，又∠BCD＝60°，故△EBC为等边三角形．∴BE＝BCPD＝PC，E为CD的中点，PE⊥CD，由BE＝BC，PB＝PC，PE＝PE，得△PEB≌△PEC，∴PE⊥EB，BE∩BC＝B，∴PE⊥ABCD，∵AD⊂ABCD，∴AD⊥PE．…（6分）解：（2）∵PC＝4，EC＝3，∴，，∴四棱锥P﹣ABCD的体积…（12分）20．（12分）已知点P为圆x2+y2＝25上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为H，且满足＝，若M的轨迹为曲线E．（1）求h（x）＝f（x）﹣g（x）的方程；（2）设过曲线E左焦点的两条弦为MN、PQ，弦MN，PQ所在直线的斜率分别为k1、k2，当k1k2＝1时，判断+是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）设P点坐标为（x0，y0），M点坐标为（x，y），由得，，而P点在x2+y2＝25上，代入得．（2）由题设知，F1（﹣4，0），则MN：y＝k1（x+4），PQ：y＝k2（x+4）将MN与C的方程联立消y得x2+200x+﹣225＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1、x2是“*”的二根，则，则＝＝．同理：∵k1k2＝1∴＝＝＝，∴为定值，值为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣，（a∈R）．（1）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），当a＞0时求函数h（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，，x＞0．化为：，∵a＞0，∴a+1＞0，因此在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零．令＝0，解得x＝1+a．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴h（x）的最小值为h（e），由，可得，∵，∴．②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）最小值为h（1），由h（1）＝1+1+a＜0，可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，故h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）＞2，此时，h（1+a）＜0不成立．综上讨论可得：所求a的范围是：或a＜﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD ＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝2∠CAD…（2分）又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD，∵∠CAD＝∠EBC，∴∠ABC＝2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（5分）（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE＝EC＝6，又∠EBC＝∠CAD＝∠ADC，∴ED＝BD＝8…（7分）∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED＝∠ABC＝∠ACB＝∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF＝＝…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|＝3，求点M轨迹的直角坐标方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ＝，所以直线斜率为1，直线l：y＝x；曲线C的参数方程为，消去参数θ，可得曲线C：x2+y2＝1，（2）设点M（x0．y0）及过点M的直线为，由直线L1与曲线C相交可得：，因为|MA|•|MB|＝3所以，即：，由故点M的轨迹的直角坐标方程为：x2+y2＝4（夹在两直线之间的两段圆弧）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|＝|a+3|，g（x）＝|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）。

高三9月摸底考试数学文试题(word版)含解析

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试文科数学试题和参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是（） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 【答案】A【解析】211x x =⇒=±，所以{}1,1P =-．集合{}1,1P =-的真子集有{}{},1,1∅-共3个．故A 正确．2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB = ，(1,3)AC =，则DA ＝（）A ．（2,4）B ．（3,5）C ．（1，1）D ．（－1，－1）【答案】C ．【解析】()(1,1)DA AD AC AB =-=--=．3．设()2112i iz +++=，则z =（） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 【答案】D【解析】根据题意得121z i i i =-+=+，所以z =4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）【答案】D【解析】所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的对角线，在侧视图中的矩形的自左下而右上的一条对角线，因在左侧不可见，故而用虚线，所由上分析知，应选D.5．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（） A ．117 B ．217 C ．317 D ．417【答案】B试卷类型：B【解析】直角三角形的较短边长为 3，则较长边为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为423417=，故选B ．6．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件． A.46 B.40 C.38 D.58 【答案】A为：(10,38)，又在回归方程y bx a =+$上，且2b =-， ∴3810(2)a =⨯-+，解得：58a =,∴258y x =-+$，当x=6时，265846y =-⨯+=$．故选：A ．7．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥ B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【答案】D【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故A 错；分别在两个平行平面内的两条直线可平行也可以异面，故B 错；由m α⊥,n ∥m 得n α⊥，因为n ∥β,设,n l γλβ⊂= ，则//n l ，从而l α⊥，又l β⊂，故αβ⊥，D 正确．考点：空间直线和直线、直线和平面，平面和平面的位置关系． 8．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（） A ．图象关于点(,0)3π-中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增D ．在[,]63ππ-单调递减【答案】C【解析】∵函数f （x ）=sin2x 向左平移6π个单位，得到函数y=g （x ）=sin2（x+6π）=sin （2x+3π）；∴对于A ：当x=-3π时，y=g （x ）=sin （-32π+3π）=-23≠0∴命题A 错误；对于B ：当x=-6π时，y=g （x ）=sin （-3π+3π）=0≠±1，∴命题B 错误；对于C ：当x ∈5[,]126ππ--时，2x+3π∈[-2π，0]，∴函数y=g （x ）= sin （2x+3π）是增函数，∴命题C 正确；对于D ：当x ∈[,]63ππ-时，2x+3π∈[0，π]，∴函数y=g （x ）=sin （2x+3π）是先增后减的函数，∴命题D 错误．9．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）.A ．123 B.38 C ．11 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依此程序框图，变量a 初始值为1，满足条件a ＜10，执行循环， a=12+2=3，满足条件a ＜10，执行循环， a=32+2=11，不满足循环条件a ＜10，退出循环，故输出11．故选C ．10．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（） A ．20142015 B ．20122013 C ．20132014 D ．20152016【答案】D【解析】由已知得，'()2f x x b =+，函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线斜率为'(1)23k f b ==+=，故1b =，所以2()f x x x =+，则1111()(1)1f n nn n n ==-++，所以111111(1)())122311n S n n n =-+-+-=-++…+(，故2015S =20152016．11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（）A ．12 B ．12 C ．2D 1 【答案】D ．【解析】设(,0)F c -0y +=的对称点A 的坐标为(m,n)，则(1022n m cmc n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以2c m =，2n =，将其代入椭圆方程可得22223441c c a b +=，化简可得42840e e -+=，解得1e =，故应选D ．12．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由已知得，lg 4x x =-，104xx =-，在同一坐标系中作出10x y =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=，2420()2,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若224432,32S a S a =+=+，则q = ．【答案】23 【解析】由已知可得2322+=a S ，23224+=q a S ，两式相减得)1(3)1(222-=+q a q a 即0322=--q q ，解得23=q 或1-=q （舍），答案为23.14．已知函数()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是【答案】63>-<a a 或【解析】因为()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则说明导函数()()2'3260f x x ax a =+++=有两个不同的实数根，即为2(2)43(6)0a a ∆=-⨯⨯+≥解得为63>-<a a 或.15．已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是____________【答案】-14【解析】作出不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x 组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+4y+1可得421z x y +-=， 4z 表示直线421zx y +-=在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y=-2x+z 经过点A 时，z 最小由⎩⎨⎧=-=++005y x y x 可得A （25-，25-），此时141254252-=+⨯-⨯-=z ．故答案为：-14． 16．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为．【答案】1【解析】试题分析：已知抛物线28y x =，则其焦点F 坐标为(2,0)双曲线2213x y n-=的右焦点为2=，解得1n =，故答案为1．三、解答题:本大题共8小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

2016-2017学年广东省珠海市高三(上)9月摸底数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若（1﹣i）（1+ai）＝2，则a＝（）A．1B．C．3D．2．（5分）设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）已知{a n}是公差为4的等差数列，S n是其前n项和．若S5＝15，则a10的值是（）A．11B．20C．29D．314．（5分）一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．187．（5分）若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．2B．3C．4D．8．（5分）函数y＝x5﹣xe x在区间（﹣3，3）上的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为（）A．20B．61C．183D．54810．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E，若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为（）A．B．2C．3D．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，O是AC 与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A．0B．C．D．12．（5分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A．7B．11C．14D．28二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在（1﹣3x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）14．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，k），•（2﹣）＝0，则实数k的值为．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）＝4x，则f （﹣）+f（2）＝．16．（5分）已知数列{a n}满足a n ＝，若从{a n}中提取一个公比为q的等比数列{}，其中k1＝1，且k1＜k2＜…＜k n，k n∈N*，则满足条件的最小q的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，a2+c2＝b2﹣ac．（1）求∠B的大小；（2）求cos A+cos C的最大值．18．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF＝FB ＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞2）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足+＝，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．21．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+﹣，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝时，证明：f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S＝AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求|P A|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016-2017学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由（1﹣i）（1+ai）＝2，得（1+a）+（a﹣1）i＝2，∴，解得a＝1．故选：A．2．【解答】解：A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y＞0}＝（0，+∞），B＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1）则A∪B＝（﹣1，+∞）故选：C．3．【解答】解：∵{a n}是公差为4的等差数列，S n是其前n项和．S5＝15，∴，解得a1＝﹣5，∴a10＝a1+9d＝（﹣5）+9×4＝31．故选：D．4．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40＝75秒，设不需要等待就可以过马路为事件A，满足条件的事件是绿灯的时间为40秒，根据等可能事件的概率得到：出现绿灯的概率是＝．故选：C．5．【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e＝＝，即＝＝1+（）2＝，即（）2＝﹣1＝，则＝，即双曲线的渐近线方程为y═±x＝±x，故选：C．6．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V＝×6×3×3＝9．故选：B．7．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y＝x+b分别经过A，B时，平行线间的距离最小．联立方程组，解得B（2，﹣2），联立方程组，解得A（﹣1，1）．AB连线与斜率为1的直线垂直，这两条平行直线间的距离的最小值是：|AB|＝＝．故选：B．8．【解答】解：令y＝x5﹣xe x＝0，则x＝0或x4＝e x，又因为y＝x4与y＝e x在的图象如图所示，在（﹣3，3）有两个交点，其中一个在（﹣1，0）之间，另一个在（1，2）之间，故y＝x5﹣xe x在区间（﹣3，3）上有三个零点，故选：B．9．【解答】解：初始值n＝4，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝3 v＝1×3+3＝6i＝2 v＝6×3+2＝20i＝1 v＝20×3+1＝61i＝0 v＝61×3+0＝183i＝﹣1 跳出循环，输出v的值为183．故选：C．10．【解答】解：如图所示，F．|CF|＝3p．∵AB∥x轴，|CF|＝2|AF|，|AB|＝|AF|，∴|CF|＝2|AB|＝3p，|CE|＝2|BE|．∴x A+＝，解得x A＝p，代入可取y A＝p，∴S△ACE＝＝＝3，解得p＝．故选：A．11．【解答】解：如图所示：∵E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，故EF∥AC，则面OEF即平面EFCA与面BCC1B1相交于CF，即直线m，由CF∥OE，可得CF∥平面OD1E，故面OD1E与面BCC1B1相交于n时，必有n∥CF，即n∥m，即直线m，n的夹角为0，故选：A．12．【解答】解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），∴|a|＝2，若a＝2，则方程等价于sin（3x﹣）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时c＝；若b＝﹣3，此时c＝；若a＝﹣2，则方程等价于sin（3x﹣）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，此时c＝；若b＝3，此时c＝．综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．而当sin2x＝cos x时，2sin x cos x＝cos x，得cos x＝0或sin x＝，∴x＝或x＝或x＝．又∵x∈[0，3π]，∴x＝．∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7＝28．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝（﹣3）r C6r x r．令r＝2得到展开式中x2的系数是C6232＝135，故答案为：135．14．【解答】解：向量＝（2，1），＝（﹣3，k），∴2﹣＝（7，2﹣k）；又•（2﹣）＝0，∴2×7+1×（2﹣k）＝0，解得k＝16．故答案为：16．15．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，∴f（﹣）＝f（﹣+4）＝f（﹣）＝﹣f（）∵x∈（0，2）时，f（x）＝4x，∴f（﹣）＝﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，∴f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2），同时f（﹣2）＝﹣f（2），∴f（2）＝0，∴f（﹣）+f（2）＝﹣2．故答案为：﹣216．【解答】解：由a n＝，可得a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝4，a5＝，a6＝，a7＝6，a8＝，a9＝，a10＝8，…，①若取q＝＝，则＝2×＝≠a 3，不在数列{a n}中．同理：若取q＝＝，则＝2＝不在数列{a n}中．②若取q＝＝2，则＝2×22＝8＝a 10，在数列{a n}中．综上可得：满足条件的最小q的值为2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）由已知得：．∵0＜B＜π，∴．（2）由（1）知：，故．∴＝，∵，∴，∴．18．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∵QH∩GQ＝Q，BC∩BO＝B，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），＝（﹣2，﹣，﹣3），＝（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为＝（0，0，3），设＝（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0＝1，则＝（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞＝＝﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．19．【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2分）（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共6种，由古典概型概率计算公式得…（6分）②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为所以E（ξ）＝29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1＝32，…（12分）20．【解答】解：（1）解：设F（c，0），由，得：，…．（2分）故a2﹣c2＝b2＝8c2，∴c2＝1，a2＝9故椭圆C的方程为：…（4分）（2）证明：由（1）知：，设P（x0，y0），则…（5分）当x 0＝0时，，故：…..（7分）当x0≠0时，直线P A的方程为：，令x＝0，得：，故：，直线PB的方程为：，令y＝0，得：，故：．…．（9分）所以＝…．（11分）综上可知：，即|AN|•|BM|为定值…．（12分）21．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（x+）（x﹣），①0＜a＜2时，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；②a＝2时，当x∈（0，+∞）时f′（x）≥0，f（x）单调递增；③a＞2时，，当单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减；当0＜a＜2时，函数f（x）在（0，1）内单调递增，在1，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增；当a＝2时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；当a＞2时，函数f（x）在（0，）内单调递增，在（，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．（2）证明：由（1）知，时，＝，设，f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）则g′（x）＝≥0，∴，当且仅当x＝1时取等号，又，设ϕ（x）＝﹣5x2﹣4x+12，则ϕ（x）在x∈[1，2]单调递减，∴∃x0∈[1，2]使得x∈（1，x0）时ϕ（x）＞0，x∈（x0，2）时ϕ（x）＜0，∴h（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减，∵，∴，即对于任意的x∈[1，2]成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE＝∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC＝AD•AE．又S＝AB•AC sin∠BAC，且S＝AD•AE，故AB•AC sin∠BAC＝AD•AE．则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ＝2sinθ，即，∴x2+y2＝2y，∴圆C的直角坐标方程＝5．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为：x+y＝3+，代入上述圆方程消去y得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴|P A|+|PB|＝+＝+＝+＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2016年广东省珠海市高三文科二模数学试卷

2016年广东省珠海市高三文科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集U=R且A=x x−1>2，B=x x2−6x+8<0，则∁U A∩B等于A. −1,4B. 2,3C. 2,3D. −1,42. i是虚数单位，则复数z=2i−1i在复平面内对应的点在 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a=1,2，b=x,4，若向量a∥b，则x= A. 2B. −2C. 8D. −84. 抛掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于 A. 16B. 536C. 19D. 1125. 已知sin α+π3+sinα=−435，−π2<α<0，则sin −α+5π6等于 A. −45B. −35C. 35D. 456. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱长是 A. 1B. 2C. 3D. 27. 已知等比数列a n的公比为正数，且a4a8=2a52，a2=1，则a10= A. 2B. 4C. 8D. 168. 已知点P是双曲线x24−y2=1上任意一点，A，B分别是双曲线的左右顶点，则PA⋅PB的最小值为 A. −3B. 0C. 1D. 29. 定义行列式运算a1a2a3a4=a1a4−a2a3．将函数f x=sin2x3cos2x1的图象向右平移π6个单位后，所得函数图象的一个对称轴是 A. x=7π12B. x=π2C. x=5π12D. x=π310. 下列程序框图中，输出的A的值是 A. 12015B. 12016C. 12017D. 1201811. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，若此最小值为22+2，则a的值是 A. 1B. 2C. 3D. 412. 定义：如果函数f x在a,b上存在x1，x20<x1<x2＜a 满足fʹx1=f b−f ab−a，fʹx2=f b−f ab−a，则称函数f x是a,b上的“双中值函数”．已知函数f x=x3−x2+a是0,a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 A. 13,12B. 32,3 C. 12,1 D. 13,1二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知函数y=ax3+3x2+3x+3在x=1处取得极值，则a=．14. 等差数列a n中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列a n前9项的和S9等于．15. 设z=32x+y，其中x，y满足x+2y≥0,x−y≤0,0≤y≤k.若z的最大值为6，则z=32x+y的最小值为．16. 直线x−my−8=0与抛物线y2=8x交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2+b2−c2tan C=2ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2，b=22，求边a的值及△ABC的面积．18. 为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数91011121314人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．P K2≥k0.050.01k 3.841 6.635附：K 2=n ad −bc 2a +bc +d a +c b +d（1）根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并判断据此资料我们能否有 95% 的把握认为“歌迷”与性别有关?非歌迷歌迷合计男女合计（2）将收看该节目所有场次（14 场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有 2 名女性，若从“超级歌迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率．19. 如图，四棱锥 P −ABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，其中 AB ∥CD ，AB =12CD =3，且∠BCD =60∘；E 为 CD 中点，PA =PB =PC =PD =4．（1）求证：AD ⊥PE ．（2）求四棱锥 P −ABCD 的体积．20. 已知点 P 为圆 x 2+y 2=25 上任意一点，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H ，且满足 MH =35PH ，若 M 的轨迹为曲线 E ．（1）求 x =f x −g x 的方程；（2）设过曲线 E 左焦点的两条弦为 MN ，PQ ，弦 MN ，PQ 所在直线的斜率分别为 k 1，k 2，当 k 1k 2=1 时，判断 1MN +1PQ 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．21. 已知函数 f x =x −a ln x ，g x =−1+a xa ∈R ．（1）设函数 x =f x −g x ，当 a >0 时，求函数 x 的单调区间；（2）若在 1,e e =2.718⋯ 上存在一点 x 0，使得 f x 0 <g x 0 成立，求 a 的取值范围．22. 如图，⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，AB =AC ，延长 BC 到点 D ，使 CD =AC ，连接 AD交 ⊙O 于点 E ，连接 BE 与 AC 交于点 F ．（1）判断 BE 是否平分 ∠ABC ，并说明理由；（2）若 AE =6，BE =8，求 EF 的长．23. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=π4ρ∈R，曲线C的参数方程为x=cosθ,y=sinθ（θ为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若 MA ⋅ MB =3，求点M轨迹的直角坐标方程．24. 已知函数f x=2x−a+2x+3，g x=x−1+2．（1）解不等式g x<5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f x1=g x2成立，求实数a的取值范围．答案第一部分1. B2. A 【解析】复数z=2i−1i =−i2i−1−i2=2+i在复平面内对应的点为2,1，而2,1在第一象限内．3. A 【解析】因为向量a=1,2，b=x,4，向量a∥b，所以4−2x=0，x=2．4. B 【解析】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为6的事件有1,5，2,4，3,3，4,2，5,1五种，因此所求概率为536．5. A【解析】因为sin α+π3+sinα=32sinα+32cosα=3sin α+π=−435,所以利用互补角的诱导公式可知：sin α+π6=−45=sin π−π6+α =sin5π−α=sin −α+5π,因此所求的值为−45．6. B 【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，其直观图如下图所示：利用勾股定理可得：VA=AB=CD=2，VD=VC=AD=BC=3，VB=6．7. D 【解析】由a4a8=a62=2a52，得a62a52=2，故q2=2，而q>0，所以q=2，所以a10=a2q8=28=16．8. B 【解析】设P m,n，则m24−n2=1，可得n2=m24−1，由双曲线x 24−y2=1，可得a=2，即有A−2,0，B2,0，可得PA=−2−m,−n，PB=2−m,−n，PA⋅PB = −2−m 2−m +n 2=m 2+n 2−4=m 2+m 2−5=54m 2−5,由双曲线的性质可得， m ≥2，即有 54m 2−5≥54×4−5=0，当 m =±2 时，取得最小值 0． 9. A【解析】由题意得，f x =sin2x − 3cos2x =2sin 2x −π3 ，向右平移 π6后得到 y =2sin 2x −2π3．所以函数 y =2sin 2x −23π 图象的对称轴为 2x −2π3=kπ+π2，解得 x =kπ2+7π12x ∈Z ．当 k =0 时，x =7π12．10. C【解析】根据题意有，A =1，i =1， A =14，i =2，满足条件 i ≤672，A =1474=17，i =3，满足条件 i ≤672， A =17107=110，i =4，满足条件 i ≤672，A =1101310=113，i =5，满足条件 i ≤672，以此类推，就可以得出输出的 A 分子为 1，分母是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，输出的是第 673 项，所以输出的结果为12017．11. B 【解析】把对角面 A 1C 绕 A 1B 旋转，使其与 △AA 1B 在同一平面上，连接 AD 1，则在 △AA 1D 中，AD 1= a 2+a 2−2a 2cos135∘=a 2+ 2，因为 a 2+ 2=2 2+ 2，所以 a =2．12. C 【解析】由题意可知，因为 f x =x 3−x 2+a 在区间 0,a 存在 x 1，x 2 a <x 1<x 2＜b ，满足 fʹ x 1 =fʹ x 2 =f a −f 0a=a 2−a ，因为f x=x3−x2+a，所以fʹx=3x2−2x，所以方程3x2−2x=a2−a在区间0,a有两个不相等的解．令g x=3x2−2x−a2+a，0<x<a．则Δ=4−12−a2+a>0, g0=−a2+a>0,g a=2a2−a>0,0<16<a.解得：12<a<1．所以实数a的取值范围是12,1．第二部分13. −3【解析】因为yʹ=3ax2+6x+3，所以fʹ1=3a+9=0，解得：a=−3，经检验a=−3符合题意．14. 81【解析】等差数列a n中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，所以3a4=33，3a6=21，所以a4=11，a6=7，数列a n前9项的和：S9=9a1+a92=9a4+a62=81．15. −245【解析】如图，32x+y=6过点A时取得最大值，由y=k,x−y=0可得A k,k，所以3k2+k=6，解得k=125．z=32x+y在点B处取得最小值，由y=125,x+2y=0可得：B −245,125，所以z min=32x+y=−245．16. 64,+∞【解析】联立方程x=my+8,y2=8x,得y2−8my−64=0，Δ>0，y1+y2=8m，y1y2=−64，因为x−my−8=0过定点8,0，所以S△OAB=12y1−y2 ⋅8=4 y12212=464m2+4×64,当m=0时，S min=64．第三部分17. （1）由已知得，a2+b2−c22ab tan C=22，则cos C⋅tan C=22，所以sin C=22，所以C=π4或C=3π4．（2）因为c=2，b=2所以C=π4，由余弦定理c2=a2+b2−2ab cos C得c2=a2+222−2a⋅22⋅cosπ4，整理得a2−4a+4=0，解得a=2，△ABC面积为S=12ac=12×2×2=2．18. （1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2=100×30×10−45×15275×25×45×55=10033≈3.030．因为3.030<3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．（2）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω=a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2其中a i表示男性，i=1,2,3，b i表示女性，i=1,2，Ω由10个等可能的基本事件组成，用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A=a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2，事件A由7个基本事件组成，所以P A=710．19. （1）连接EB，因为ABCD为等腰梯形，E为CD中点，所以BE=AD=BC，所以△EBC为等腰三角形，又∠BCD=60∘，故△EBC为等边三角形．所以BE=BC，PD=PC，E为CD的中点，PE⊥CD，由BE=EC，PB=PC，PE=PE，得△PEB≌△PEC，所以PE⊥EB，BE∩CD=E，所以PE⊥面ABCD，因为AD⊂面ABCD，所以AD⊥PE．（2）因为PC=4，EC=3，所以PE=7，S ABCD=123+6⋅323=2743，所以四棱锥P−ABCD的体积V P−ABCD=13⋅7⋅2743=9421．20. （1）设P点坐标为x0,y0，M点坐标为x,y，由MH=35PH得，x=x0,y=35y0,而P点在x2+y2=25上，代入得x225+y29=1．（2）由题设知，F1−4,0，则MN:y=k1x+4，PQ:y=k2x+4，将MN与C的方程联立消y得25k12+9x2+200k12x+400k12−225=0，设M x1,y1，N x2,y2，则x1，x2是该方程的二根，则x1+x2=−200k1225k12+9,x1x2=400k12−22525k12+9,则MN= x122122=1+k12x1−x22=1+k12x1+x22−4x1x2=1+k12⋅400k14−4400k12−22525k12+925k12+92=901+k12 25k12+9.同理： PQ =90 1+k 22 25k 22+9．因为 k 1k 2=1，所以1+1=190 1+k 12 25k 12+9+190 1+k 22 25k 22+9=25k 12+990 1+k 12 +25k 22+990 1+k 22 = 25k 12+9 1+k 22 + 25k 22+9 1+k 12 90 1+k 12 1+k 22 =18+34k 12+34k 22+50 k 1k 2 290 1+k 12+k 22+ kk 2=68+34k 12+34k 2290 2+k 12+k 22 =34 2+k 12+k 22 90 2+k 12+k 22 =17. 所以 1 MN +1 PQ 为定值，值为 1745．21. （1） f x 的定义域为 0,+∞ ， x =x +1+a x−a ln x ， ʹ x =1−1+a x −ax ，化为： ʹ x =x 2−ax − 1+ax =x +1 x− 1+ax ，因为 a >0，所以 a +1>0，因此在 0,1+a 上 ʹ x <0，在 1+a ,+∞ 上 ʹ x >0，所以 x 在 0,1+a 上单调递减，在 1+a ,+∞ 上单调递增．（2）在 1,e 上存在一点 x 0，使得 f x 0 <g x 0 成立，即在 1,e 上存在一点 x 0，使得 x 0 <0，即函数 x =x +1+a x−a ln x 在 1,e 上的最小值小于零．令 ʹ x =x 2−ax − 1+ax 2=x +1 x− 1+ax 2=0，解得 x =1+a ．①当 1+a ≥e ，即 a ≥e −1 时， x 在 1,e 上单调递减，所以 x 的最小值为 e ，由 e =e +1+a e−a <0，可得 a >e 2+1e −1，因为 e 2+1e −1>e −1，所以 a >e 2+1e −1．②当 1+a ≤1，即 a ≤0 时， x 在 1,e 上单调递增，所以 x 最小值为 1 ，由 1 =1+1+a <0，可得 a <−2； ③当 1<1+a <e ，即 0<a <e −1 时，可得 x 最小值为 1+a ，因为 0<ln 1+a <1，所以 0<a ln 1+a <a ，故 1+a =2+a −a ln 1+a >2，此时， 1+a <0 不成立．综上可得：a 的取值范围是：a >e 2+1e −1或 a <−2．22. （1） BE 平分 ∠ABC ，理由如下：证明：因为AC=CD，所以∠CAD=∠ADC，所以∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD．又因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=2∠CAD，因为∠CAD=∠EBC，所以∠ABC=2∠EBC，所以BE平分∠ABC；（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，所以E是弧AC的中点，所以AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，所以ED=BD=8．因为A，B，C，E四点共圆，所以∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF，所以△AEF∽△DEC，所以EFEC =AEED，所以EF=AE⋅ECED =92．23. （1）直线l的极坐标方程为θ=π4，所以直线斜率为1，直线l:y=x．曲线C的参数方程为x=cosθ,y=sinθ（θ为参数），消去参数θ，可得曲线C:x2+y2=1．（2）设点M x0,y0及过点M的直线为l1:x=x0+22t,y=y0+22t（t为参数），由直线l1与曲线C相交可得：t2+2x0+y0t+x02+y02−1=0，因为 MA ⋅ MB =3，所以x02+y02−1=3，即：x02+y02=4，y=x+m,x2+y2=1⇒2x2+2mx+m2−1=0，由Δ>0⇒−<m<，故点M的轨迹的直角坐标方程为：x2+y2=4．24. （1）由x−1+2<5，得−5<x−1+2<5，所以−7<x−1<3，得不等式的解为−2<x<4．（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f x1=g x2成立，所以y y=f x⊆y y=g x，又f x=2x−a+2x+3 ≥ 2x−a−2x+3=a+3，g x=x−1+2≥2，所以a+3 ≥2，解得a≥−1或a≤−5，所以实数a的取值范围为a≥−1或a≤−5．。

广东省珠海市2016-2017学年高三上学期周考数学(文)试题Word版含答案

绝密★启用前广东省珠海市2016-2017学年高三上学期周考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1．已知集合，，则等于（）A． B． C． D．2．已知命题：，，则：（）A．， B．，C．， D．，3．复数的虚部为（）A． B． C． D．4．在等差数列中，已知，则公差（）A． B． C． D．5．某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A． B． C． D．6．已知为等差数列，若，则（）A． B． C． D．7．已知向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．9．已知变量满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A． B． C． D．11．函数的图象大致是（）12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若一个直角三角形的三边长恰好组成一个公差为的等差数列，则该三角形的面积是____．14．若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．15．函数y＝a1－x（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0（mn>0）上，则的最小值为________16．函数，，若对，，，则实数的最小值是．三、解答题17．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．（I）求角的大小；（II）若，，求的面积．18．在数列中，，．（1），求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及其前项和．19．如图，是以为直径的半圆上异于点的一点，矩形所在平面垂直于该半圆所在的平面，且．（I）求证：；（II）设平面与半圆弧的另一个交点为，，求三棱锥的体积．20．已知非零向量满足,且.（1）求；（2）当时,求向量与的夹角的值.21．已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．22．已知函数．（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）令，当（是自然数）时，函数的最小值是3，求出的值；（Ⅲ）当时，证明：．广东省珠海市2016-2017学年高三上学期周考数学（文）试题参考答案1．B【解析】试题分析：．考点：集合交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．在求交集时注意区间端点的取舍．熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目．2．C【解析】试题分析：命题“：，”的否命题是“，”．故选C．考点：命题的否定．3．A【解析】试题分析：因为，所以其虚部为,故选A．考点：复数的运算．4．C【解析】试题分析：由已知两式相减得，即．考点：等差数列的基本性质．5．B【解析】试题分析：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高为2．故这个几何体的体积是，故应选．考点：1、三视图；2、空间几何体的体积、面积的计算．6．A【解析】试题分析：由，得，所以＝，故选A．考点：1、等差数列的性质；2、诱导公式．7． B【解析】试题分析：,故选B．考点：向量的基本运算．8．C【解析】试题分析：由题可知，在正方体中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.考点：异面直线所成角9．D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数分别在点和点处取得最大值为，最小值为.考点：线性规划．10．B【解析】试题分析：由已知有函数是周期为，当时，有，故，同理，当时，有，又知是偶函数，故时，有，故，即时，．考点：函数的奇偶性与周期性．11．C【解析】试题分析：由题意得，易判断函数为偶函数，由，得.，且当时，；当时，，故选C.考点：偶函数图象的性质.12．D【解析】试题分析：由题意可得，函数的图象如下图所示，若存在互不相的实数满足，则，不妨令，则，，故，故选D．考点：1.分段函数的解析式及图象的作法；2.函数值域的应用；3.函数方程的综合运用；4.数形结合思想. 【方法点睛】本题主要考查的是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的值域的应用，函数与方程的综合应用等知识，考查了运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想，属于中档题，此类题目不要怕，根据题意正确的画出图象，数形结合，会非常容易找到满足时的限定条件，以此作为突破口，便能解决此类问题，因此正确的画出图象，利用数形结合是解这类题目的关键.13．【解析】试题分析:由题意设三边分别为,由题意可得,即,故,即三边分别为,故该三角形的面积为,故应填．考点：等差数列和勾股定理等知识的综合运用．14．【解析】试题分析：∵，，∴，∴，故答案为.考点：利用导数求切线斜率.15．4【解析】试题分析：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny-1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴，当且仅当两数相等时取等号．考点：基本不等式；指数函数的图象与性质16．【解析】试题分析：，对称轴，在区间递减，∴，，是增函数，∴，，∴只需即可，解得：，故答案为：．考点：二次函数的性质.17．（I）；（II）．【解析】试题分析：（I）由已知得到；（II）由（I）知，．试题解析：（I）由已知得到，且，，∴，∴，且，∴；………………6分（II）由（I）知，由已知得到：，所以；………………12分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形．18．（1）证明见解析；（2），．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用等比数列的定义推证；（2）借助题设运用第一问的结论求解探求．试题解析：（1）由已知有，解得，故，．于是，即．因此数列是首项为3，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，等比数列中，公比，所以．于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列．，所以，所以．考点：等差数列等比数列等有关知识的综合运用．19．（I）证明见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）由证明：矩形面和面，又，面；（II）面．又面面．试题解析：（I）证明：矩形面，面，且，∴面，从而，①………………3分又在半圆中，为直径，∴，即，②由①②知：面，故有：．………………6分（II），∴面．又面面，∴．在等腰梯形中，，，，………………9分∴，．………………12分考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、线面平行．20．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得，再由，即可求得；（2）由，即可求得，再求得，利用向量的夹角公式，即可得到向量的夹角.试题解析：（1）（2）又考点：平面向量的数量积的运算；向量的模，数量积表示两个向量的夹角.21．（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据条件建立方程关系即可求出函数的解析式；（2）利用定义证明在上是增函数；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式.试题解析：（1）即，,（2）设，且，则，∵，，，，∴，即，∴在上是增函数．（3）依题意得，，则∴．考点：1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求导，根据函数单减得在上恒成立，再结合二次函数的性质可求出的范围；（II）由，对分情况讨论，由在的单调性求最值符合题意；（III）构造函数，利用单调性证明不等式．试题解析：解：（Ⅰ）在上恒成立，令，有，得，得．（Ⅱ）由，得，①当时，在上单调递减，，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴,，满足条件．③当时，在上单调递减，,（舍去），综上，有．（Ⅲ）令，由（Ⅱ）知，，令，当时，,在上单调递增，，，即．考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式．【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成在区间上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以后，左右两个函数有，易得结果．。

2016届高考模拟试题_广东省珠海市2015-2016学年第一学期高三摸底考试数学理附答案

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ⋂=（） A. (0,8) B. {3,5,7} C. {0,1,3,5,7} D. {1,3,5,7} 2．已知复数11z i =+，232z i =-，则复数21z z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值是（）A. 6B. 7C. 9D. 10 4==，则与的夹角为（） A. 30o B. 45o C. 60o D. 120o 5．当2x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（）A ．最大值是1，最小值是．最大值是2，最小值是C ．最大值是1，最小值是1- D ．最大值是2，最小值是1- 6．函数2cos y x =的单调增区间是（）A. (2,2),k k k Z πππ-∈B. (2,2),2k k k Z πππ-∈C. (,),k k k Z πππ-∈D. (,),2k k k Z πππ-∈7．已知函数2()(1)xf x e x ax =++在点(0,(0))f 的切线与直线260x y -+=垂直,则a =（）A ．3-B ．2-C ．2D ．3 8．已知cos()(0,[0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（）A.32π B. 74π C. 4π D. 0 9．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为（） A ．12- B ．23 C ．3 D ．3410．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π．3πC．2π．2π11．若0a >，且1a ≠，设函数2,1()2,1xa x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x ≤的解集是(,3]-∞，则a 的取值范围是（）A. (1,)+∞B. (1,3)C. (0,1)D. [3,)+∞12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（）A. 14B. 16C. 18D. 20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（第9题图）（第10题图）俯视图左视图正视图2222213．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ,且231n n S b =-,则n b = ．13n -14．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为．122515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．16．(3)n x y +展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是．2254x y选择题答案：ＤＤＣＣＢＤＡＢＢＡＣＣ三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =. （1）求n a ；（2）若n b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．解(1) 1(1)2n n n S na d -=+Q ,2d =，10120S =…………………………………2分 11091021202a ⨯∴+⨯=,即13a =……………………………………………………3分所以1(1)21n a a n d n =+-=+…………………………………………………………4分(2) 12n b ===Q ……………7分11112222n T ∴=++++L ……………10分即11)2n T =…………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列.（结果用最简分数）解：（1）由题意得：1102603302.2100⨯+⨯+⨯=…………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…………………… 3分（2）由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6………………………………………… 5分1091(2)10099110P ξ⨯===⨯，210604(3)1009933P ξ⨯⨯===⨯，21030605923(4)100991009955P ξ⨯⨯⨯==+=⨯⨯，230604(5)1009911P ξ⨯⨯===⨯，302987(6)10099990P ξ⨯===⨯，……………………………………………………………10分∴ξ的分布列为：………………………………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ；(2)求二面角C DE A --的余弦值.解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ， ABCD 是矩形∴G 为AC 的中点…………………………………… 1分由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥由EB BC =知：点F 为CE 中点…………………………………………………………… 2分 ∴FG 为ACE ∆的中位线∴FG //AE …………………………………………………………………………………… 3分F E DC BA∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；∴ //AE 平面BFD ；………………………………………………………………… 4分（2）由BF ⊥平面ACE 得：BF AE ⊥；由BC ⊥平面ABE 得: BC AE ⊥，BC BE ⊥；∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥…………………………………………………… 6分在BCE Rt ∆中，CE ==同理可得：DE AB CD ===AC = 8分 ∵ 2AD BC AE ===∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且12AH DE ==CH == 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；在CHA ∆中，222cos 2CH AH AC CHA CH AH +-∠===⋅；∴ 二面角C DE A --的余弦值为-…………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点1(0,)4F ,且与定直线1:4l y =-相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ∆面积S 的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1(0,)4F 为焦点，以定直线1:4l y =-为准线的抛物线；………………………………………………………2分设2:2(0)C x py p => ∵ 点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12p =∴ 圆心的轨迹C 的方程为2x y =…………………………………………………… 4分 (2) ∵2x y =,∴2y x '=设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =- ∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上∴直线MN 的方程为002y xx y =-，即0020x x y y --=……………………………6分又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --= ∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-=∴直线MN 恒过定点1(,1)2………………………………………………………………8分联立00220x x y y y x--=⎧⎨=⎩得到20020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即200210x x x x -+-=…①则12x x 、是①的二根∴20012012044(1)021x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩,∴MN ===……………………………………………………………10分点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是:d ===………………………………11分∴200 11 2S MN d x x ∆=⋅==-+即14AMNS∆=≥=∴面积的最小值是14…………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数21()(2)2ln()2f x ax a x x a R=-++∈.（1）若0a=，证明:()0f x<；（2）讨论函数()f x零点的个数.解(1) 证明:当0a=时, ()22ln(0)f x x x x=-+>22(1)()2xf xx x-'=-+=列表:max()(1)20f x f∴==-<max()()0f x f x≤<,即()0f x<………………………………………………………2分(2)2()(2)(0)f x ax a xx'=-++>…………………………………………………3分2(2)2(1)(2)()(0)ax a x x axf x xx x-++--'==>讨论: 01当0a=时,由第(1)问可得函数()f x没有零点; ………………………4分2当21a>,即02a<<时,令(1)(2)()0x axf xx--'=>得01x<<,或2xa>,即函数()f x的增区间为(0,1),2(,)a+∞令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2(1,)a而11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<,因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2()(1)0f f a <<又函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a+∞所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<所以当2(,)x a ∈+∞时, 2()()f x f a>，x →+∞时，()f x →+∞所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2(,)a+∞有一个零点………………6分03 当21a=,即2a =时, 2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥恒成立即函数()f x 在(0,)+∞上递增而11(1)222022f a =--=-⨯-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点……………………………………………8分04 当201a<<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x --'=>得20x a<<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2(0,)a,(1,)+∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a<<,即函数()f x 的减区间为2(,1)a 因为2a >,所以2222()22ln 22ln10f a a a a=--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点……………………10分05 当20a<,即0a <时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1) 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞0x →时，()f x →-∞x →+∞时，()f x →-∞而114(1)(2)2ln12222a f a a a --=-++=--= 当4(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点; 当4(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 当4(1)02a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点. ………………………11分综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；0a >时, 函数()f x 有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P ．(1)证明：2OA OM OP =⋅；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K .证明：090OKM ∠=．证明：（1）由MA 是圆O 的切线知:AM OA ⊥ ………………………………………2分又∵AP OM ⊥；∴ 在Rt OAM 中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅…………………………………4分（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅………6分由OB OA =得：OM OP ON OK ⋅=⋅…………………………………………………7分即:OP OKON OM=．又NOP MOK ∠=∠，则NOP MOK V :V ……………………9分 ∴ 090OKM OPN ∠=∠=．…………………………………………………………10分(用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线1C :()03πθρ=≥，动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围. 解(1) ()tan ,03y x πθθρ==≥Q0)yx x∴=≥, 所以1C的直角坐标方程为(0)y x x =≥……………………………………………2分cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩Q ,所以2C 的直角坐标方程22200240x y x x x +-+-=.……………2分(2) 联立()22000032cos 40()x x x R πθρρρθ⎧=≥⎪⎨⎪-+-=∈⎩ 关于ρ的一元二次方程2200040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实根……6分即220012021204(4)0040x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪⋅=->⎩,………………………………………………………………8分得00003302,2x x x x ⎧-<<⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩或,即02x <<………………………………………………10分(用数形结合法解出也给分) 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式221x x a +-->． (1)当0a =时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-………………………1分∴22(22)(1)x x +>-，即：231030x x ++>………………………………………3分解得：3x <-或13x >-； ∴不等式的解集为1(,3)(,)3-∞-⋃-+∞………………………………………………5分 (2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,则:3,(41)()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩, ……………………………7分其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =……………………8分∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，∴实数a 的取值范围为[5,)+∞…………………………………………10分。

广东省珠海市高三数学9月摸底考试题文

9月高三摸底考试数学试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N =（）A ．∅B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,2,0,1,2}--2．函数lg y x =+（）A ．{|0}x x >B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x >D ．{|1}x x ≥3．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x ⋅-一定是偶函数；③()()0f x f x ⋅-≥；④()|()|0f x f x -+=，其中错误的个数有（）A ．1个B ．2个C ．4个D ．0个4．如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（） A ．24 B ．12C ．8D ．45．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（） A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”6．某种动物繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为3log (1)y a x =+,设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到（）A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b8．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的方程是（）A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=9．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点A （0,16）的直线方程为16y ax =+，与曲线)(x f y =相切，则实数a 的值是（） A ．3- B ．3 C ．6 D ．9 10．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a=※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是（）A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则7a 的值为__ __．12．已知双曲线的中心在原点,若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是．13．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为1214A A A ，，…，．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()M ρθ，关于极点的对称点的极坐标是．15．（几何证明选讲选做题）ABC ∆中，045A ∠=，030B ∠=，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，则CEF ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知：(cos sin )A x x ，，其中02x π≤<，(11)B ，，OA OB OC +=，2()||f x OC =．（Ⅰ）求()f x 的对称轴和对称中心；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：其中1234567i =，，，，，，．（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．（Ⅱ）求回归直线方程．（结果保留到小数点后两位）（参考数据：7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，27()4375x =，72695xy =）（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）18．（本小题满分14分）如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2AB =，E F G 、、分别为PA 、BC 、PD 中点，AD =（Ⅰ）求证：AG EF ⊥（Ⅱ）求多面体P AGF -的体积．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中,设点1(,0)2F ,直线l :12x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥．（I ）求动点Q 的轨迹的方程C ；（II ）设圆M 过)0 , 1(A ,且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长TS 是否为定值？请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数32()3f x kx kx b =-+，在[22]-，上最小值为3，最大值为17-，求k b 、的值．21．（本小题满分14分）已知定义在(11)-，上的奇函数()f x 满足1()12f =，且对任意(11)x y ∈-、，有()()()1x yf x f y f xy --=-．（Ⅰ）判断()f x 在(11)-，上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令112x =，1221nn nx x x +=+，求数列{()}n f x 的通项公式．（Ⅲ）设n T 为21{}()n n f x -的前n 项和，若632n m T -<对*n N ∈恒成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1—5 DBBC 6—10ADDDB二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．11．14 12．22136x y -=13．10 14．（()ρπθ+， 15．030三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（Ⅰ）．由题设知，(cos sin )OA x x =，，………………………………………………２分 (11)OB =，，则OC OA OB =+(1cos 1sin )x x =++，…………………３分 ∴2()||f x OC =22(1cos )(1sin )x x =+++32(sin cos )x x =++………………………………………………４分3)4x π=++………………………………………………５分∴对称轴是42x k k Z πππ+=+∈，，即对称轴是4x k k Z ππ=+∈，………………………………………………７分对称中心横坐标满足4x k k Z ππ+=∈，，即4x k k Z ππ=-∈，∴对称中心是(3)4k k Z ππ-∈，，………………………………………………９分（Ⅱ）．当22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，时()f x 单增，……………１０分即32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单增区间是3[22]44k k k Z ππππ-+∈，……１２分17．解：（Ⅰ）散点图如图………………………………………………４分（Ⅱ）．7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，2()4375n x =∴71722170.797()i ii ii x y x yb xx ==-⋅=≈-∑∑， ………………………………………………６分4.32a y bx =-=- ………………………………………………８分∴回归直线方程是0.79 4.32y x =-……………………………………９分（Ⅲ）．进店人数80人时，商品销售的件数0.7980 4.32y =⨯-59≈件………………………………………………１２分18．（文）（Ⅰ）证明：连接GE 、GCPAD ∆是等边三角形，G 为PD 边中点，∴AG PD ⊥…………………………２分ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ CD ⊥平面PAD ………………………………４分 ∴CD AG ⊥，∴AG ⊥平面PCD ，∴AG CG ⊥…………………………………６分E F 、分别为PA 、BC 中点， ∴12GEAD ，12CF AD ，∴GE CF ，∴四边形CFEG 是平行四边形，∴CG EF ………………………………………………８分∴AG EF ⊥………………………………………………１０分（Ⅱ）．--P AFG F PAG V V =三棱锥三棱锥21112332PAG AB S ∆=⨯⋅=⨯⨯=………………………………………………１４分19．解：（I ）依题意知,直线l 的方程为：1x =-．……………2分点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．……………4分∴PQ 是点Q 到直线l 的距离． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,PDB∴PQ QF =．……………6分故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为：22(0)y x x =>．……………8分（II ）C y x M ∈∀) , (00,M 到y 轴的距离为00||x x d ==,…………9分圆的半径2020)1(||y x MA r +-==, 0则122202022+-=-=x y dr TS ,C y x M ∈) , (00 (2)由（I ）知0202x y =,所以2122020=+-=x y TS ,是定值．……………１４分20．解：由题设知0k ≠且'()3(2)f x kx x =-…………………………………………１分02x <<时，(2)0x x -<；0x <或2x >时，(2)0x x ->； 0x =和2x =时，'()0f x =由题设知22x -≤≤，(2)20f k b -=-+，(0)f b =，(2)4f k b =-+…………３分 ①0k <时，20x -<<时， '()0f x <；02x <<时，'()0f x >，∴()f x 在(20)-，上单减，在(22)-，和上单增，…………………………………４分 0x =为()f x 的极小值点，也是最小值点；(2)(2)f f ->∴()f x 的最大值是(2)f -………………………………………………５分解20317k b b -+=⎧⎨=-⎩解得1k =-，17b =-………………………………７分 ②0k >时，20x -<<时， '()0f x >；02x <<时，'()0f x <，∴()f x 在(20)-，上单增，在(22)-，和上单减，………………………………９分 0x =为()f x 的极大值点，也是最大值点；…………………………………１０分(2)(2)f f -<∴()f x 的最小值是(2)f -………………………………………………１１分解20173k b b -+=-⎧⎨=⎩解得1k =，3b =……………………………………………１３分综上，1k =-，17b =-或1k =，3b =．………………………………………１４分 21．解：（Ⅰ）．对任意(11)x y ∈-、，有()()()1x yf x f y f xy--=-…………① ∴令0x y ==得(0)0f =；………………………………………………１分令0x =由①得()()f y f y -=-，用x 替换上式中的y 有()()f x f x -=-………………………………………２分∴()f x 在(11)-，上为奇函数．………………………………………………３分（Ⅱ）．{()}n f x 满足1112x =<，则必有1221n n nx x x +=+212nn x x <= 否则若11n x +=则必有1n x =，依此类推必有11x =，矛盾∴01n x <<………………………………………………５分 ∴122()()()()11()n n n n n n n x x x f x f f x x x +--==+-⋅-()()()()2()n n n n n f x f x f x f x f x =--=+= ∴1()2()n n f x f x +=，又11()()12f x f ==∴{()}n f x 是1为首项，2为公比的等比数列，…………………………………７分 ∴1()2n n f x -=………………………………………………８分（Ⅲ）．12121212()22n n n n n n f x ----==⨯………………………………………………９分故23135212()2222n n n T -=++++……………………………………② 2341113523212()222222n n n n n T +--=⨯+++++………………………③ ②-③得2311111111212()2222222n n n n T -+-=⨯+++++-2332nn +=-………………………………………………１１分∴12362n n n T -+=-6<………………………………………………１２分若632n m T -<对*n N ∈恒成立须6362m -≥，解得2m ≤……………………１３分∴m 的最大值为2． ………………………………………………１４分。

广东省珠海市高三数学上学期9月摸底试卷文(含解析)

广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则∁N M=（）A．{2，3，4} B．{0，2，3，4，5} C．{0，5} D．{3，5}2．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9 B．8 C．10 D．73．（5分）在等比数列{a n}中，有a1a5=4，则a3的值为（）A．±2B．﹣2 C．2 D．44．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2，i为虚数单位，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．6．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．2 B．4 C．D．7．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（5分）对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，3] C．[0，+∞）D．[3，+∞）9．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．13．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是．(二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）的普通方程为．【几何证明选讲选做题】15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（﹣θ）．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲 82 84 79 95乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？18．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．19．（14分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：当n∈N+都有T n＞成立．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16（1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+ax，其中a＞1（1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则∁N M=（）A．{2，3，4} B．{0，2，3，4，5} C．{0，5} D．{3，5}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：根据集合补集的定义即可得到结论．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，∴∁N M={0，5}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9 B．8 C．10 D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．解答：解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为72÷8=9，故选：A点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．3．（5分）在等比数列{a n}中，有a1a5=4，则a3的值为（）A．±2B．﹣2 C．2 D．4考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质得=4，由此能求出a3=±2．解答：解：∵在等比数列{a n}中，有a1a5=4，∴=4，解得a3=±2．故选：A．点评：本题考查等比数列的等3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2，i为虚数单位，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由条件解得z=，把的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．解答：解：∵复数z满足（1﹣i）z=2，∴，故选 A．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．5．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，对选项中的函数进行认真分析，选出符合条件的答案来．解答：解：对于选项C定义域为（0，+∞），选项D定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故CD不符合，对于A，y=e﹣x为减函数，故A不符合，函数y=x的k=1＞0，定义域是R且为增函数，故B符合；故选：B．点评：本题考查了基本初等函数的定义域和单调性问题，解题时应对选项中的函数进行分析，从而选出正确的答案，是基础题．6．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．2 B．4 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，列出体积表达式，可求几何体的体积．解答：解：几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，PA=1，AB=2，AC=2，V=×（×2×2）×1=，故选：D．点评：本小题考查由三视图求体积，考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．是中档题．7．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，3] C．[0，+∞）D．[3，+∞）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：利用参数分离法即可得到结论．解答：解：若对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则等价为对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x≤a恒成立，设f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，∵x∈[﹣，1]，∴当x=1时，函数取得最大值f（1）=1+2=3，则a≥3，故选：D．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．9．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．10．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣，]考点：圆方程的综合应用．专题：直线与圆．分析：易知M点在直线y=1上，若设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以只需∠OMT≥30°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围．解答：解：易知M（x0，1）在直线y=1上，设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以要是圆上存在点N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，因为T（0，1），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT==≥tan30°=，解得，当x0=0时，显然满足题意，故x0∈[]．故答案选A点评：此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚M点所在的位置，能够找到∠OMN与∠OMT的大小关系，从而构造出关于x0的不等式．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为11．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，然后用三角形的面积差得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域的面积=S△OMN﹣S△AMB﹣S△CDN=．故答案为：11．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosC的值代入即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2=3，则c=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是（1，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．解答：解：∵切线与直线x﹣y+1=0平行，∴斜率为1，∵y=xlnx，y'=1×lnx+x•=1+lnx∴y'（x0）=1∴1+lnx0=1，∴x0=1，∴切点为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．(二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）的普通方程为3x﹣y﹣4=0．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，消去参数方程中的参数t，然后，直接化成相对应的普通方程即可．解答：解：∵曲线C的参数方程为（t为参数），得 t=x﹣1代人y=﹣1+3t，得y=﹣1+3（x﹣1），化简，得3x﹣y﹣4=0，故答案为：3x﹣y﹣4=0．点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化，化简的关键是消去参数，注意参数的取值范围问题．【几何证明选讲选做题】15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于1.5．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；立体几何．分析：设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．解答：解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（﹣θ）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式结合且f（）=，求得A的值．（2）由题意可知，，，利用三角恒等变换化简f（﹣θ），可得结果．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），，∴．（2）由题意可知，，且由（1）得：，∴==．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲 82 84 79 95乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件，基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件数m=8，由此能求出甲的成绩比乙高的概率．（2）①利用平均数公式和方差公式能求出甲、乙两人的成绩的平均数与方差．②由=，s甲2＜s乙2，得甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解答：解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：事件A包含的基本事件数m=8，所以P（A）=，所以甲的成绩比乙高的概率为．（2）①=×（82+84+79+95）=85，=×（95+75+80+90）=85，S甲2=×[（79﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（95﹣85）2]=36.5，S乙2==62.5，②∵=，s甲2＜s乙2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．点评：本题考查概率的求法，考查平均数、方差的求法，考查选派哪位学生参加数学竞赛合适的判断，是基础题．18．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：作图题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由矩形由找到垂直，证明AA1⊥平面ABC；从而证明BC⊥平面ACC1A1．（2）先说明存在，然后作图证明；连接A1C，AC1，设A1C∩AC1=D，取线段AB的中点M，连接A1M，MC．则平面A1CM为为所求的平面α．解答：解：（1）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，∴AA1⊥平面ABC；∵直线BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，∴BC⊥平面ACC1A1．（2）存在，证明如下：连接A1C，AC1，设A1C∩AC1=D，取线段AB的中点M，连接A1M，MC．则平面A1CM为为所求的平面α．由作图可知M，D分别为AB、AC1的中点，∴，又∵MD⊂α，BC1⊄α∴BC1∥α．点评：本题考查了线面垂直的判定定理与性质，同时考查了作图方法，属于中档题．19．（14分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：当n∈N+都有T n＞成立．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接利用等差数列通项公式和前n项和公式得答案；（2）把S n取倒数，求和后放大，再利用裂项相消法求和，则结论得到证明．解答：解：（1）∵{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，故；（2）由（1）得，==．点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16（1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，根据△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，即可求椭圆E的方程．解答：解：（1）由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=1…1分因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8…3分故|AF2|=2a﹣|AF1|=8﹣3=5…4分（2）由（1）可设椭圆方程为，F1（﹣c，0），其中设直线AB的方程为y=x+c，即x=y﹣c，…5分代入椭圆方程得：b2（y﹣c）2+16y2=16b2…6分整理得：（b2+16）y2﹣2b2cy﹣b4=0…8分△=4b4c2+4b4（b2+16）=128b4y1=，y2=…10分由|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，得…12分又由于解得，b2=8所以椭圆的方程为…14分点评：本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+ax，其中a＞1（1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）在的单调区间；（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0根据a的不同取值范围得到原函数在区间[1，3]上的单调性，利用单调性当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．解答：解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=x2﹣（a+1）x+a…1分令f'（x）=0，得x1=1，x2=a令f'（x）＞0，得x＞a或x＜1…2分令f'（x）＜0，得1＜x＜a…3分故（﹣∞，1）和（a，+∞）为f（x）单调递增区间，（1，a）为f（x）单调递减区间． (5)分（2）因为x∈[1，3]，所以（ⅰ）当a≥3时，由（1）知，f（x）在[1，3]上单调递减，…7分所以f（x）在x=3时取得最小值，…8分最小值为：…9分（ⅱ）当1＜a＜3时，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，3]上单调递增，…11分所以f（x）在x=a处取得最小值，最小值为：…12分又，…13分所以当a＞3时，f（x）在x=3处取得最小值；当1＜a＜3时，f（x）在x=a处取得最小值．…14分点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，通过正确的分类，利用导函数的符号判处函数在区间[1，3]内的单调情况是解决该题的关键，是难题．。