线性代数讲稿-第二章矩阵格式

0⎤ λ2 O M ⎥ ⎥ O O 0⎥ ⎥ L 0 λn ⎦ 0
L
设变量 y1 , y 2 ,L , y m 可由变量 x1 , x 2 ,L , x n 表示为
⎧ y1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ⎪ y = a x + a x +L+ a x ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ LLLL ⎪ ⎪ ⎩ y m = a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n
7
对称矩阵：指 An×n 满足 A T = A ，即 a ij = a ji (i, j = 1,2, L , n) 反对称矩阵：指 An×n 满足 A T = − A ，即 a ij = − a ji (i, j = 1,2, L , n) 5. 方阵的行列式：指 A = ( a ij ) n×n 的元素按照原来的相对位置构成的 行列式, 记作 detA , 或者 A ． 算律：(1) detA T = detA
章 节 题 目
第二章
矩阵及其运算
内 容 提 要
重 点 分 析
难 点 分 析
习 题 布 置
第三次作业 P54
1(4) 10(3) 11(4) 16
备 注
1
教
学 §2.1
内 容 矩阵
1. 方程组由其系数和右端项确定
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x +L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ LLLL ⎪ ⎪ ⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
3 2
例6
解法 1
2⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ 3⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
2⎤ ⎡1 0 1⎤ ⎡1 0 ⎥ ⎢ ⎢ 3 0⎥ ⎥ ⎢ 2 0⎥ = ⎢ 2 1⎥ 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎦⎢
6
⎡1 0 k 可以验证： A = ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎣
k
k⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ 1⎦
解法 2
⎤ ⎡0 0 1 ⎤ ⎡1 0 1⎤ ⎡1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ A = ⎢ 2 0⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎥ + ⎢0 0 0 ⎥ = B + C ⎢ 1⎥ 1⎥ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢
(1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = A (4) A + ( − A) = O
2 矩阵乘法：
(5) 1A = A (6) ( k l ) A = k (l A) (7) ( k + l ) A = k A + l A (8) k ( A + B ) = k A + k B
⎡ a11 ⎢a 21 应用： A = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣a m1
a12 a 22 M am2
L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢y ⎥ x2 ⎥ b2 ⎥ L a2n ⎥ 2 ⎢ ⎢ , x= , b= , y=⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢ M ⎥ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L a mn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bm ⎦ ⎣ ym ⎦
2
称之为由变量 x1 , x 2 ,L , x n 到变量 y1 , y 2 ,L , y m 的线性变换, 它与矩 阵
A = ( a ij ) m×n 是一一对应关系．
3
§2.2
矩阵的基本运算
同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设 A = ( a ij ) m×n , B = (bij ) m×n , 若 a ij = bij , 称 A = B . 1 线性运算： A = ( a ij ) m×n , B = (bij ) m×n
]
⎡b1i ⎤ ⎢ M ⎥ = a b +L+ a b j1 1i js si ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ b ⎣ si ⎦
⎡ a j1 ⎤ ⎢ ⎥ L bsi ] ⎢ M ⎥ = b1i a j1 + L + bsi a js = c ji ⎢a js ⎥ ⎣ ⎦
故 d ij = c ji (i = 1,2, L , n ; j = 1,2, L , m) ，即 ( AB) T = B T A T ．
s
5
[ A( BC )]ij = [ai1
⎡ n ⎤ ⎢ ∑ b1t ctj ⎥ s ⎛ n ⎞ ⎢ t =1 ⎥ L ais ] ⎢ M ⎥ = ∑ aik ⎜ ∑ bkt ctj ⎟ n ⎠ ⎢ b c ⎥ k =1 ⎝ t =1 ∑ st tj ⎢ t =1 ⎥ ⎣ ⎦
(∀ i, j )
n ⎛ s ⎞ = ∑ ⎜ ∑ aik bkt ⎟ ctj = [( AB )C ]ij t =1 ⎝ k =1 ⎠
线性方程组的矩阵形式 Ax = b 线性变换的矩阵形式 y = Ax 3 方阵的幂：
An×n , k , l 为正整数 A1 = A , A k +1 = A k A (k = 1,2,L)
算律：(1) A k A l = A k + l
(2) ( A k ) l = A k l
⎡1 0 1⎤ ⎥ k A=⎢ ⎢ 2 0⎥ , 求 A (k = 2,3,L) ． ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣ ⎡1 0 1⎤ ⎡1 0 1⎤ ⎡1 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 A2 = ⎢ ⎢ 2 0⎥ ⎢ 2 0⎥ = ⎢ 2 ⎢ 1⎥ 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎦⎢ ⎣ ⎡1 0 2 A = A A=⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎣
称为 A 的 i 行 j 列元素 称 A 为实矩阵 称 A 为复矩阵
(2) aij ∈ R (3) a ij ∈ C
(5) m = 1, n > 1 称 A 为行矩阵 (6) m > 1, n = 1 称 A 为列矩阵
零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵. ⎡λ1 ⎡1 0 L 0 ⎤ ⎢0 ⎢0 1 O M ⎥ ⎥ ；对角矩阵 Λ = ⎢ 单位矩阵 E n = ⎢ ⎢M ⎢ M O O 0⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣0 L 0 1 ⎦ ⎣0 3. 线性变换与矩阵
用括号将其括起来, 称为 m × n 矩阵, 并用大写字母表示, 即
⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1
(1) a ij
a12 a 22 M am2
L a1n ⎤ L a2n ⎥ ⎥ , 简记为 A = ( a ) . ij m× n M ⎥ ⎥ L a mn ⎦ (4) m = n 称 A 为方阵
⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1
a12 a 22 M am2
L a1n ⎤ ⎡ a11 ⎥ ⎢a L a2n ⎥ 12 T , A =⎢ ⎢ M M ⎥ ⎥ ⎢ L a mn ⎦ ⎣a1n
算律：(1) ( A T ) T = A
(2) ( Am×n + Bm×n ) T = A T + B T (4) ( Am×s B s×n ) T = B T A T
BA 无意义．
⎡ 3 − 2 2 − 3⎤ AB = ⎢ 6 3 0⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 1 0 1 1 − ⎦ ⎣
⎡− 2 4 ⎤ ⎡ 2 − 4⎤ A=⎢ , B=⎢ ⎥ 6⎥ ⎣ 1 − 2⎦ ⎣3 ⎦ ⎡− 16 − 32⎤ ⎡0 0 ⎤ AB = ⎢ , BA = ⎢ ⎥ ⎥ 16 ⎦ ⎣ 8 ⎣0 0 ⎦
加法： A + B = (aij + bij ) m×n
⎡ a11 + b11 L a1n + b1n ⎤ ⎥ M M =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a b L a b + + m1 mn mn ⎦ ⎣ m1
数乘： kA = (k aij ) m×n
⎡ k a11 L k a1n ⎤ M ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ M ⎢ ⎦ ⎣k a m1 L k a mn ⎥
⎡ a11 L a1s ⎤ AB = ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ L a a ms ⎦ ⎣ m1
Δ
[注] A 的列数 = B 的行数．
AB 的行数 = A 的行数； AB 的列数 = B 的列数．
A 与 B 的先后次序不能改变．
例4 [注] 例5
⎡ 3 − 1⎤ ⎡ 1 0 1 − 1⎤ A=⎢ 3⎥ ⎥ , B = ⎢0 2 1 0 ⎥ , ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢ ⎦ ⎣ 1 0⎥
BC = CB ⇒ ( B + C ) k = B k + kB k −1C + L + C k
C 2 = O ⇒ A k = ( B + C ) k = B k + kB k −1C ⎡1 k =⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎣ ⎡1 k =⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎣
4. 矩阵的转置：
⎤ ⎡0 0 1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎥ + k ⎢ 2 k −1 ⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ 1 0 0 0 ⎦ ⎦⎣ ⎣ ⎦ ⎡0 0 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎥ + k ⎢0 0 0 ⎥ = ⎢ 2 k ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1⎥ 0 0 0 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎦ a 21 L a m1 ⎤ a 22 L a m 2 ⎥ ⎥ M M ⎥ ⎥ a 2 n L a mn ⎦ k⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
⎡ q1 ⎤ ⎢q ⎥ 2 =⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣q n ⎦
特殊情形
P1×n = [ p1
p 2 L p n ],
Qn×1
PQ = p1 q1 + p 2 q 2 + L + p n q n
Δ
一般情形
A = (a ij ) m×s , B = (bij ) s×n
4
cij = [a i1
ai 2
负矩阵： − A = ( −1 ) A = ( − a ij ) m×n
减法： A − B = (aij − bij ) m×n
⎡ a11 − b11 L a1n − b1n ⎤ ⎥ M M =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a b L a b − − mn mn ⎦ ⎣ m1 m1
算律：设 A, B, C 为同阶矩阵, k , l 为常数, 则有
(3) (k A) T = k A T
验证(4)
A = ( aij ) m×s , B = (bij ) s×n
AB = C = (cij ) m×n , B T A T = D = (d ij ) n×m
Δ
Δ
[左]ij = c ji = [a j1
[右]ij = d ij = [b1i
L a js
⎡ b1 j ⎤ ⎢b ⎥ 2j L a is ] ⎢ ⎥ = a i1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ bsj ⎥ ⎦ ⎡b11 L b1n ⎤ ⎡ c11 L c1n ⎤ ⎢M ⎢ M ⎥ M ⎥ ⎥=⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ b L b c L c sn ⎦ mn ⎦ ⎣ s1 ⎣ m1
验证(1) 设 A = ( aij ) m×s , B = (bij ) s×n , C = (cij ) n×l , 则
⎡ s [( AB )C ]ij = ⎢∑ aik bk 1 L ⎣ k =1 ⎡c1 j ⎤ n ⎛ s ⎞ ⎤⎢ ⎥ = a b M ∑ ik kn ⎥ ⎢ ⎥ ∑ ⎜ ∑ aik bkt ⎟ ctj k =1 ⎦ ⎢ ⎥ t =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎣c nj ⎦
2. 矩阵
a11 a 21 M a m1
a12 L a1n a 22 L a 2 n M M a m 2 L a mm
b1 b2 M bm
设 mn 个数 a ij (i = 1,2, L , m ; j = 1,2, L , n) 排成 m 行 n 列的数表 a11 a 21 M a m1 a12 L a1n a 22 L a 2 n M M a m 2 L a mn
[注]
Βιβλιοθήκη Baidu
AB ≠ BA ； A ≠ O , B ≠ O , 但是 BA = O ．
算律：(1) ( AB ) C = A( BC )
(2) A( B + C ) = AB + AC
( A + B ) C = AC + BC
(3) k ( AB ) = ( kA) B = A(kB ) (4) EA = A , AE = A
(2) det(λ A) = λn detA (4) detA k = (detA) k
(3) det( AB ) = (detA) (detB )
[注]
方阵是数表, 而行列式是数值．
An×n Bn×n ≠ BA , 而 det( AB ) = det ( BA) .
6. 伴随矩阵： A = ( a ij ) n×n , detA 中元素 a ij 的代数余子式为 Aij ．