武汉四调数学试卷
湖北武汉2024届高中毕业生四月调研考试数学答案
湖北省第九届高三（4月）数学答案12. 1 13. (2.25，4) 14.−1315．解：(1) 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是平行四边形，而AC =AA 1，则平行四边形A 1ACC 1是菱形，连接A 1C ，如图，则有A 1C ⊥AC 1，因A 1B ⊥AC 1，A 1B ∩A 1C =A 1，A 1B ，A 1C ⊂平面A 1BC ，于是得AC 1⊥平面A 1BC ，…………………………………………………3分 而BC ⊂平面A 1BC ，则AC 1⊥BC ，由∠ACB =90∘，得AC ⊥BC ，AC ∩AC 1=A ， AC ，AC 1⊂平面A 1ACC 1，从而得BC ⊥平面A 1ACC 1，……………………………………………………………………………6分 又BC ⊂平面ABC ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．…………………………………………………7分(2) 方法一：在平面A 1ACC 1内过C 作Cz ⊥AC ，由(1)知平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，以射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，…8分 因∠A 1AC =60∘，AC =AA 1=4，BC =2，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A 1(2,0,2√ 3)， P(2,0,0)则有BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2√ 3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，设平面BA 1P 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则有{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2y +2√ 3z =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2y =0，解得：{y =xz =0 令x =1得n⃗ =(1,1,0)，而平面A 1ACC 1的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，……………………………10分 依题意，|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗|=√ 2=√ 22设平面BA 1P 和平面A 1ACC 1的夹角的夹角是θ，则cosθ=|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|√22…………………12分420πθπθ=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈， 所以平面BA 1P 和平面A 1ACC 1的夹角是π4．…………………………………………………………13分 方法二：由（1）知11111ACC A P A ACC A BC 平面，而平面⊂⊥16．解：(1) 样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有33人，所以从中随机抽取两位市 民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为P =C 332C 1002=33×32100×99=875；………4分(2) (i)计算x −=1×3100+3×4100+5×8100+7×11100+9×41100+11×20100+13×8100+15×5100=9， 所以μ=9，σ=3，X 服从正态分布N(9,32)，……………………………………………………6分 P(X ≥15)=P(X ≥9+2×3)=12×[1−P(9−6≤X ≤9+6)]≈12×(1−0.9545)=0.02275， …………………………………………………………………………………………………………8分 500×0.02275=11.375(万)，估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上；………………………………9分 (ⅱ)由(i)知，μ=9000，则P(X >9000)=12，………………………………………………………10分.3210，，，所有可能的取值为ξP(ξ=0)=C 30⋅(1−12)3=18， P(ξ=1)=C 31⋅12⋅(1−12)2=38，P(ξ=2)=C 32⋅(12)2⋅(1−12)=38， P(ξ=3)=C 33⋅(12)3=18；所以随机变量ξ的分布列为：14分均值为E(ξ)=3×12=32． ……………………………………………………………………………15分17．解：(1)由题知，函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，f ′(x)=2ax[x−(12a−1)]1+x，………………………2分 ①当0<a <12时，有12a−1>0，所以，f(x)在(−1,0)上单调递增，f(x)在(0,12a −1)上单调递减，f(x)在(12a −1,+∞)上单调递增； …………………………………………………………………………………………………………4分 ②当a =12时，有12a −1=0，f ′(x)=x 21+x ≥0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增；…………………………………………………………………6分 ③当a >12时，有−1<12a−1<0，所以，f(x)在(−1,12a−1)上单调递增，f(x)在(12a−1,0)上单调递减，f(x)在(0,+∞)上单调递增．…………………………………………………………………………………………………………8分 (2)由(1)知：当a =12时，f(x)在(0,1)上单调递增，所以，当x ∈(0,1)时，f(x)>f(0)=0，即x 22>x −ln(1+x)=g(x)，………………………13分α∈(0,π2)，sinα∈(0,1),cosα∈(0,1), 所以g(sinα)+g(cosα)<sin 2α+cos 2α2=12.……………………………………………………………15分18．解：(1) 设M i (x,y)，又A i (2in ,0)，B i (2,√ 3−√ 3in)(i =1,2,3⋯,n −1)，则直线EA i :y +√ 3=√ 3n2i x ，①直线GB i :y −√ 3=−√ 3i2nx ， ②………………………………………………………………………3分点M i (x,y)的坐标是方程①②的解，①×②可得(y +√ 3)(y −√ 3)=−34x 2， 化简得x 24+y 23=1，所以M i (x,y)在同一个椭圆上，该椭圆方程为x 24+y 23=1．………………………………………6分(2) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=7，切线PA 方程为：x 1x 4+y 1y 3=1，切线PB 方程为：x 2x 4+y 2y 3=1，两直线都经过点P ，所以得：x 1x 04+y 1y 03=1，x 2x 04+y 2y 03=1，从而直线AB 的方程是：x04x +y 03y =1，……………8分当y 0=0时，x 02=7由{x 04x =1x 24+y 23=1得y 2=97，则|AB|=|y 1−y 2|=√779)747(7621=−⨯=∴S …………………………………………………………………………9分当y 0≠0时，由{x 04x +y 03y =1x 24+y 23=1，消y 得：(y 02+21)x 2−24x 0x +48−16y 02=0，由韦达定理，得：x 1+x 2=24xy 02+21，x 1x 2=48−16y 02y 02+21，……………………………………………11分|x 1−x 2|=√ (24x 0y 02+21)2−4⋅48−16y 02y 02+21=8|y 0|√y 02+9y 02+21，|AB|=√ 1+(−3x 04y 0)2⋅|x 1−x 2|=√ 1+9x 0216y 02⋅8|y 0|√y 02+9y 02+21=2√7(y 02+9)y 02+21， 点P 到直线AB 的距离d =|x 02+y 02−1|√ (04)2+(03)2=√ y 02+9√ 7，21)9(7921)9(7221212320202020++=+⋅++⋅=⋅=∴y y y y y d AB S 其中0<y 02≤7…………………14分 令t =√ y 02+9，则t ∈(3,4]，∴S △PAB =t 3t 2+12，令f(t)=t 3t 2+12，则f′(t)=t 4+36t 2(t 2+12)2>0，∴f(t)在t ∈(3,4]上单调递增，()⎥⎦⎤⎝⎛∈∴716,79t f .………………………………………………16分 综上所述，△PAB 面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡716,79.……………………………………………………17分19．解：(1) 由题意，可知a 31=a 11+m ×(3−1)=2m +2，a 32=a 31·m =(2m +2)m =2m(m +1)，a 41=a 11+m ×(4−1)=3m +2， ∵a 41=12a 32+2，∴3m +2=12×2m(m +1)+2，化简整理，得m 2−2m =0，解得m =0(舍去)，或m =2，………………………………………………………………………4分 ∴a 51=a 11+m ×(5−1)=2+2×4=10，∴a 53=a 51·m 2=10×22=40，……………………………………………………………………5分 （2）[]j j j i ij i i a a 222)1(22111⋅=⋅⋅−+=⋅=−−……………………………………………………6分∴[]jj j jj j j j j jjnj c c c n n n a )1()1(3)1(3)1(33)13(21122211−+−⋅⋅++−⋅+−⋅+=−=⋅=−−−− []j j n nm m n )1(3)1(3−⋅+=−+=∴.3)1(的余数除以等于jnj n b −⋅…………………………………………………………………7分 当j 为奇数时.)1(n n j−=−⋅①223)23(*)(23)23(=∴+−=−−=−∈−=−j k b k k n N k k n ，时，②113)13(*)(13)13(=∴+−=−−=−∈−=−j k b k k n N k k n ，时，③03*)(3)3(=∴−=−∈=j k b k n N k k n ，时，………………………………………………………8分 当j 为偶数时.)1(n n j=−⋅①11)1(323*)(23)23(=∴+−=−=∈−=−j k b k k n N k k n ，时， ②22)1(313*)(13)13(=∴+−=−=∈−=−j k b k k n N k k n ，时， ③003*)(3)3(=∴+=∈=j k b k n N k k n ，时，……………………………………………………9分 792)33(32)12()12()12(33)56)(56(2)56(1)56(56−=+−⋅=+++++++=+++=∴−−−−−−m m b b b c m m m m m m个69)23(3)21()21()21()21(23)46)(46(2)46(1)46(46−=−⋅=++++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个0000)36)(36(2)36(1)36(36=+++=+++=−−−−− m m m m m b b b c39)13(3)12()12()12(13)26)(26(2)26(1)26(26−=−=++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个291)13(31)21()21()21(13)16)(16(2)16(1)16(16−=+−=+++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个0000)6)(6(2)6(1)6(6=+++=+++= m m m m m c b b c ………………………………………12分1836*61626364656−=+++++∈∴−−−−−m c c c c c c N m m m m m m m 时，………………………13分29)2(18182)183618(*)(222263n n k k k T T N k k n k n =⋅==⋅−+==∈=∴时，当 21952118)21(1851818)39()29(018*)(122222261666363+=++⋅−+⋅=+−=−−−−−=−−−==∈−=−−−n n n k k k k k c c c T T T N k k n k k k k k n 时，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=.219.29223为奇数，为偶数，综上，n n n n T n ………………………………………………………17分。
2023年武汉四调数学试卷
2023年武汉四调数学试卷
2023年武汉四调数学试卷指的是在2023年武汉市高中数学学科的四次调研考试中使用的试卷。
这份试卷将由武汉市教育科学研究院组织专家进行命题，并按照高中数学学科的课程标准和教学要求进行设计。
以下是2023年武汉四调数学试卷具体的题目示例：
选择题1：已知函数 f(x) = x^2 + 2x，则 f'(x) = ()
A. 2x + 2
B. 2x
C. 2
D. x^2 + 2
选择题2：下列命题中正确的是 ()
A. 若 a > b，则 a^3 > b^3
B. 若 a > b，则 1/a < 1/b
C. 若 a > b，则 a^2 > b^2
D. 若 a > b，则 a/b > 1
判断题1：对于任意实数 x，都有 x^2 ≥ 0。
（）
判断题2：已知函数 f(x) = x^3 - 3x，则 f'(x) = 3x^2 - 3。
（）
计算题1：求下列函数的最小值：
y = x + 1/x (x > 0)
计算题2：求下列函数的导数：
y = x^3 - 6x^2 + 9x
总结：2023年武汉四调数学试卷指的是在2023年武汉市高中数学学科的四次调研考试中使用的试卷。
这份试卷旨在测试学生对高中数学基础知识的掌握程度和问题解决能力，通过选择题、判断题和计算题等多种题型进行考查。
考生需要通过系统的数学学习和复习，掌握基础知识和应试技巧，以提高自己的数学水平，应对这份试卷的挑战。
2024年武汉四调数学答案
武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：13. 48−14. 5615. 42,3−− 16.解答题：17.（10分）解：（1）由题意，(1)n n S na n n =+−，11(1)(1)n n S n a n n ++=+++.两式相减得：11(1)2n n n a n a na n ++=+−+. 整理得：12nn a a +−=−，所以{}n a 是等差数列.…………5分（2）由题意：70a >，80a <.由{}n a 公差为2−，故16(2)0a +⋅−>且 17(2)0a +⋅−<.解得：11214a <<.…………10分18.（12分）解：（1sin sin cos sin B C B B A++=. sin sin cos sin sin()A B A B B A B +=++，sin sin cos sin sin cos cos sin A B A B B A B A B +=++sin sin cos sin A B B A B =+. 又sin 0B ≠cos 1A A −=，即1sin()62A π−=.由0A π<<，得：3A π=. …………6分（2）ABC ∆面积11sin 22S a bc A ==，代入3A π=，整理得：22a bc =.故2sin 2sin sin A B C =，得：3sin sin 8B C =.又1cos()cos 2B C A +=−=−，即1cos cos sin sin 2B C B C −=−.所以1cos cos 8BC =−. …………12分19.（12分）解：（1）取1A B 中点Q ，连接,PQ EQ ，PQ //=12BC 且FE //=12BC ，有PQ //=FE . 故四边形EFPQ 是平行四边形，所以FP ∥EQ . 又FP ⊄平面1A BE ，EQ ⊂平面1A BE ，所以FP ∥平面1A BE . …………6分 （2）取EF 中点O ，BC 中点G ，由平面1A EF ⊥平面EFCB ，且交线为EF ，故1AO ⊥平面EFCB . 此时，1,,OA OE OG 两两垂直，以O 为原点，1,,OE OG OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如高中数学芝士。
武汉高三四调数学试卷
武汉高三四调数学试卷一、选择题：1.设集合A，B满足AUB={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2，4}，A={2，3，4，5}，则B=（）A.{2，4，5，6}B.{1，2，4，6}C.{2，4，6}D.{1，2，4}2.复数z满足|z+1-i|= |z|，若z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A.x-y +1 =0B.x-y-1 =0C.x +y +1 =0D.x +y-1 =03.设a =logo.20.3，b = log23，c = log46，则（）A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a <c<b4.被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“T-II”，数字0通常用“O”表示，按照李治的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幕，向下每层减少一次幕.如图2所示表示方程为x³+336x²+4184x+88320+=0.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（）A.-4/3和-5/2B.-5/6和-4C.-5/3和-2D.-20/3和-1/25.已知平面向量|a|=3，|b|=2，a·（a-b）=8，则 cos <a，b> =（）A.1/3B.√6/4C.1/6D.2/36.一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为 ( )A.2B.3C.4D.57.设双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，直线AF₁与双曲线的另一个交点为B，若|BF₁|=3，|AF₂| =5，则该双曲线的离心率为( )A.2B.5/3C.√10/2D.√15/38.在四棱锥P-ABCD中，DC=3AB，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC交于点E，则PE/PC=A.1/2B.5/3C.√3/2D.2/3二、填空题：9.某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为（）10.写出一个定义在R上且值域为（-1，1）的奇函数f（x）=（）11.某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分（n=4），每个部分从红，黄，蓝n三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种n-1颜色的鲜花.将总的栽植方案数用a，表示，则a4=（），an=（）三、解答题12.（12分）平面凸四边形ABCD 中，ZBAD = LBCD =90?，AD =3，AB =4.（1）若∠ABC =45°，求CD；（2）若BC=2√5，求AC.13.（12 分）某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有1/4的概率出现自动运行故障.此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立.(1)若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；(2)设该工厂有甲，乙两个车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低.14.（12 分）设抛物线E：y²=2px（p>0）的焦点为F，过F作直线1交抛物线E于A，B两点.当与x轴垂直时，△AOB面积为8，其中0为坐标原点.（1）求抛物线E的标准方程；（2）若1的斜率存在且为k₁，点P（3，0），直线AP与E的另一交点为C，直线BP与E的另一交点为D，设直线CD的斜率为k₂，证明：k₂/k₁为定值.答案：一、1.B2.A3.D4.A5.C6.B7.C8.D二、9.4/π10.a^x-1/a^x+111.①18②2^n+(-1)^n·212.(1)连接BD，在Rt△BAD中，由AB=4，AD=3，∠BAD =90°.得 BD=5，∴sin ∠ABD=3/5，cos ∠ABD = 4/5.∴sin ∠DBC =sin（45°-∠ABD）= sin 45°·cos ∠ABD-cos 45°-sin ∠ABD=√2/2×4/5-√2/2×3/5=√2/10.∴在Rt△BCD中，由∠BCD=90°知：CD = BD·sin ∠DBC=5×√2/10=√2/2.(2)连接 AC，由（1）知 BD =5，在 Rt△ABD 中易知sin ∠ABD =3/5，cos ∠ABD=4/5.在Rt△BCD中，由BC=2√5，BD=5得CD=√5易知sin ∠CBD=√5/5，cos ∠CBD=2√5/5∴cos ∠ABC = cos（∠ABD + ∠CBD）= cos ∠ABD·cos ∠CBD-sin ∠ABD·sin ∠CBD =4/5×2√5/5-3/5×√5/5=√5/5.在△ABC中由余弦定理得：AC² = AB²+ BC²-2AB·BC·cos ∠ABC = 4²+（2√5）²-2×4×2√5×√5/5=20.∴AC=2√5.13.（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为x，则x-B（3，3/4）记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A.则P（A）= P（x= 3）+ P（x= 2）= C³₃（3/4）³+C²₃（3/4）²·1/4=27/64+27/64=27/32.（2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率P=27/32.）设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件B.则P（B）=（37/32）²乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为n，n-B（7，3/4）记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件C.P（C）= P（n = 7）+ P（n = 6）+ P（n = 5）∵P(B)/P(C)=16/17＜1∴P（B）< P（C）.故乙车间生产稳定性更高.14.（1）p =4，y² = 8x. （2）k₂/k₁=2/3。
湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷含答案
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.4.24本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii 1iz =++，则z =（）A.12.已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣，则A B ⋂=（）A.{}2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}1,2,33.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m αβ⊥∥α，则m β⊥B.若,m αβα⊥⊂，则m β⊥C.若m∥,n αα⊥，则m n⊥D.若,m n m ⊥∥α，则n α⊥4.()523(1)x x --的展开式中含3x 项的系数为（）A.-50B.50C.-10D.105.记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===，则（）A.a b c>> B.b c a>>C.c b a >>D.b a c>>6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8128,26S S ==，则4S =（）A.1B.2C.3D.47.点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点，则PA PB ⋅的最大值为（）A.2B.114C.3D.1348.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，其左右顶点分别为,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点，设线段MF 的中点为P ，若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（）A.2B.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知函数()2πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，则（）A.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 B.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C.()f xD.()f x 在区间π7π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()32g x f x --=，()()1f x g x '=-'，且()()22g x g x -+=-+，则下列说法中一定正确的是（）A.()2g x +为偶函数B.()2f x '+为奇函数C.函数()f x 是周期函数D.20241()0k g k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设椭圆2212512x y +=的左右焦点为12,F F ，椭圆上点P 满足12:2:3PF PF =，则12PF F 的面积为__________.13.已知圆台12O O 的体积为14π，其上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为4，则该圆台的母线长为__________.14.设,,A B C 是一个三角形的三个内角，则()cos 3sin 4sin A B C +的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 3C Ac b a=-.（1）求sin C 的值；（2）若ABC 的面积S =，且)c a b =-，求ABC 的周长.16.（15分）已知函数()2ln f x x ax x =-+.（1）若1a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性.17.（15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面1,2,ABC AB BB AC ===160B BA ∠=，点D 是棱11A B 的中点，4,BC BE DE BC =⊥.（1）证明：1AC BB ⊥；（2）求直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值.18.（17分）已知抛物线2:E y x =，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .（1）证明：点P 在定直线上；（2）若PMN，求点P 的坐标；（3）若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.19.（17分）已知常数()0,1p ∈，在成功的概率为p 的伯努利试验中，记X 为首次成功时所需的试验次数，X 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X 的概率分布为几何分布.（1）对于正整数k ，求()P X k =，并根据11()()lim ()n n k k E X kP X k kP X k ∞→∞==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑求()E X ；（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为2E ，现提供一种求2E 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是2E ，即总的试验次数为()21E +；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为()22E +.（i ）求2E ；（ii ）记首次出现连续n 次成功时所需的试验次数的期望为n E ，求n E .武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题：填空题：12.1214.108-解答题：15.（13分）解：（1）由题意，cos cos sin 3sin sin C AC B A=-，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C -=.所以()3sin cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+.又()()sin sin πsin A C B B +=-=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故22sin 3C ==.（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+-=+-.又()22226()6180c a b a b=-=+-.联立得：2234,a b c +==8a b +==.所以ABC 的周长为8a b c ++=+.16.（15分）解：（1）1a =-时，()()21ln ,12f x x x x f x x x=++++'=.()()14,12f f =='.所求切线方程为()412y x =-+，整理得：42y x =-.（2）()21212x ax f x a x x x-+=-+='.因为0x >，故0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上递增.当0a >时，对于2221,Δ8y x ax a =-+=-.若0a <≤，则Δ0≤，此时()()0,f x f x '≥在()0,∞+上递增.若a >2210x ax -+=，得804a x ±=>.804a x <<时，()()0,f x f x '>递增；84a x >时，()()0,f x f x '>递增；8844a a a a x <<时，()()0,f x f x '<递减；综上所述：a ≤()f x 在()0,∞+上递增；a >()f x 在0,4a ⎛ ⎪⎝⎭上递增，在,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在,4a ∞⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭上递增，17.（15分）解：（1）连接111,,1,2,60,DA EA DA AA DA A DE ∠=====.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC .由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D ⋂=，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t -=-，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A .由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系.((1333,,,1,0,322D E A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()11531,0,0,,322DA EA ⎛=-=-- ⎝ .设平面1DEA 的法向量(),,n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0533022x x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量()0,2,1n =.又(113BB AA ==-，设直线1BB 与平面1DEA 所成角的大小为θ，则111315sin cos ,1054||n BB n BB n BB θ⋅====⋅⋅.所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.18.（17分）解：（1）设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y .由2y x =，得2y x '=，所以1l 方程为：()1112y x x x y =-+，整理得：2112y x x x =-.同理，2l 方程为：2222y x x x =-.联立得：1212,2P P x x x y x x +==.设直线AB 的方程为()12y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=故1212,2x x k x x k +==-，所以,22P P kx y k ==-，有22P P y x =-.所以点P 在定直线22y x =-上.（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PMN 面积()12121124P S MN y x x x x =⋅=-=.故()()22121232x x x x -=，带入可得：()()22484432k k k k -+-+=.22(2)8(2)40k k ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为()0,2-或()2,2.（3）抛物线焦点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线MF 斜率1112MFMP k x k =-=-，所以MFMP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN 外接圆的直径.若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥.由74TF k =，得直线TP 的方程为：()4127y x =--+.又点P 在定直线22y x =-上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614,99⎛⎫⎪⎝⎭.19.（17分）解：（1）()1(1)k P X k p p -==-，1211(1)12(1)3(1)(1),nk n k k p p p p p n p --=⎡⎤-=+-+-++-⎣⎦∑ ，记()211213(1)(1)n n S p p n p -=+-+-+⋯+-，则()()()21112(1)1(1)(1)n n n p S p p n p n p --=-+-+⋯+--+-，相减得：()2111(1)(1)(1)n nn pS p p p n p -=+-+-+⋯+---()1(1)1(1)(1)(1)11n n nnp p n p n p p p----=--=----由题意：()1(1)1()lim lim (1)n n n n n p E X pS n p p p→∞→∞⎡⎤--==--=⎢⎥⎣⎦.（2）（i ）()()()()222211212E p E p p p E =-⋅++⋅+-⋅+.解得：221pE p +=.（ii ）期待在1n E -次试验后，首次出现连续()1n -次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为()11n E -+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为()11n n E E -++.即()()()11111n n n n E p E p E E --=⋅++-⋅++.整理得：()111n n E E p -=+，即111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.所以1111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.由（1）知11E p=，代入得：()11nn np E p p -=-.。
2023年湖北省武汉市勤学早九年级中考四调数学模拟试卷(一)(含解析)
2023年湖北省武汉市勤学早九年级四调数学模拟试卷（一）一、选择题（共9小题，每题3分，共30分）1．（3分）8的相反数是（ ）A．﹣8B．8C．﹣D．±82．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）A．甲在罚球线上投篮一次，投中B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是360°D．掷一枚正方体骰子，朝上一面的点数小于73．（3分）利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（ ）A．B．C．D．4．（3分）计算（﹣3a3）2的结果是（ ）A．﹣3a6B．3a6C．﹣9a6D．9a65．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．6．（3分）已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，如果x1＜x2，那么y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法判断7．（3分）如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度h与放水时间t之间的变化情况的是（ ）A．B．C．D．8．（3分）为庆祝五四青年节，志远中学举办乒乓球比赛活动，九（4）班有三名男生、两名女生参加比赛，那么从这五名学生中任选两人，正好组成一男一女的混合双打的概率是（ ）A．B．C．D．9．（3分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的△ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是S＝7，N＝3，L＝10．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N＝82，L＝38时，S的值为（ ）A．44B．43C．100D．99二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）10．（3分）计算的结果是 ．11．（3分）某班为了解学生每周“家务劳动”情况，随机调查了7名学生每周的劳动时间，一周内累计参加家务劳动的时间分别为：2小时，3小时，2小时，3小时，2.5小时，3小时，1.5小时，则这组数据的中位数为 小时．12．（3分）计算（1﹣）÷的结果是 ．13．（3分）如图，小明去爬山，在坡比为5：12的山坡AB上走1300m，此时小明看山顶C 的仰角为60°，BC＝300m，则山高CD为 m（结果保留根号）．14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≤0．其中正确的是 （填写序号）．15．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，将BC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，F是BE上一点，且EF＝2BF，连接CF，则DE+CF的最小值为 ．三、解答题（共8题，共72分）16．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得 ；（2）解不等式②，得 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．17．（8分）如图AB∥CD，AE，DF分别平分∠BAD，∠CDA，交BC于点E，F．（1）求证：AE∥DF；（2）若∠BAD＝72°，∠BCD＝32°，求∠OFD的度数．18．（8分）2022年某市居民人均消费支出构成情况如下面的图所示．表1：2022年全国居民人均消费支出构成情况种类饮食衣着居住生活用品交通通信教育文娱医疗其他消费（元）a160056001500320024002100600请根据其中的信息回答以下问题：（1）2022年该市居民人均总支出为 元，图2中其他支出所对应扇形的圆心角的度数为 ；（2）请将图1补充完整．（3）小明家2022年人均消费总支出为3万元，请你估计小明家2022年的人均饮食支出约为多少元？19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为AB边上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相交于E，F两点，与AB交于点D，连接AE，AF，DE．（1）求证：∠CAF＝∠EAD；（2）若OD＝DB，F为的中点，求tan∠CAF的值．20．（8分）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点，P是网格线上的一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，先画出△ABC的角平分线BD，再在AC上画点E，使△BCE∽△DCB；（2）在图2中，先画出点P关于直线AC的对称点Q，再画∠QAR，使∠QAR＝2∠BAC．21．（10分）行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．已知汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）的函数关系满足y＝ax2+bx．当汽车的速度为10m/s时，刹车距离为17m；当汽车的速度为20m/s时，刹车距离为50m．（1）求y关于x的函数解析式；（2）行驶中的汽车A突然发现正前方100m处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，此时汽车A的速度为30m/s，通过计算判断汽车A是否会撞上运输车；（3）若汽车B刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：km/h）的函数关系满足y＝x2+cx（c＞0），当30≤x≤50时，在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，直接写出c的取值范围．22．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，CD＝nBC（n＞），连接AD，E是BA延长线上一点，∠E＝∠DAC．问题提出：当n＝1时，探究的值．（1）先将问题特殊化．如图2，当∠ABC＝60°时，直接写出的值；（2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立；问题拓展：（3）如图3，过点C作CM⊥BE于点M，若＝，直接写出的值（用含n的式子表示）．23．（12分）如图1，抛物线C1：y＝x2+bx﹣4与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且tan∠CAB＝2．（1）求b的值；（2）E为第四象限抛物线上一点，ED∥AC交BC于点D．若DE＝AC，求点E的坐标；交抛物线C2于M，N两点．若OM+ON＝9，求m的值．2023年湖北省武汉市勤学早九年级四调数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每题3分，共30分）1．【分析】根据相反数的概念求解即可．【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8．故选：A．【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并注意区分相反数和倒数是解题的关键．2．【分析】根据随机事件的定义，必然事件的定义、不可能事件的定义进行逐项判断即可．【解答】解：A、甲在罚球线上投篮一次，投中是随机事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；C、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，不符合题意；D、投掷一枚正方体的骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，符合题意；故答案为：D．【点评】本题考查随机事件和三角形内角和定理，掌握必然事件的定义是解题的关键．3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；B、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；C、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；D、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．【解答】解：（﹣3a3）2＝9a6，故选：D．【点评】本题考查了对积的乘方和幂的乘方法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：①积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，②幂的乘方，底数不变，指数相乘．5．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．【解答】解：由题意，从上面看该图形的俯视图为．故选：C．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．6．【分析】分x1，x2同号和异号两种情况讨论．【解答】解：∵1+k2＞0，∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，当x1，x2同号，即0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＞y2，当x1，x2异号时，即x2＞0＞x1，y1＜y2；故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7．【分析】根据题意和图形，可以得到浅水区和深水区h随t的变化情况，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，在浅水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较慢，在深水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较快，故选：C．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及选到一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：将三名男生分别记为A，B，C，两名女生分别记为D，E，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中选到一男一女的结果有：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DA，DB，DC，EA，EB，EC，共12种，∴从这五名学生中任选两人，正好组成一男一女的混合双打的概率是＝．故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．9．【分析】根据格点多边形的面积S＝aN+bL+c，结合图中的格点△ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边形FGHI的S、N、L数值，列出三元一次方程组，解方程组，求出a、b、c的值，即可解决问题．【解答】解：由题意得：四边形FGHI是格点四边形，S＝4，N＝1，L＝8，∵任意格点多边形的面积S＝aN+bL+c，由图中的格点△ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边形FGHI得：，解得：，∴S＝N+L﹣1，将N＝82，L＝38代入得：S＝82+×38﹣1＝100，故选：C．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）10．【分析】利用二次根式的性质计算即可．【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“＝|a|”是解决本题的关键．11．【分析】7个数据由小到大排序，找出第4个数据，就是中位数．【解答】解：7个数据由小到大排序：1.5，2，2，2.5，3，3，3．第4个数据是2.5．这组数据中的中位数是2.5小时．故答案为：2.5．【点评】本题考查了中位数的定义，关键是数据由小到大的排序．12．【分析】根据分式混合运算的顺序，利用分式的运算法则计算即可．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序和分式的运算法则时解题的关键．13．【分析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，根据正弦的定义求出CF，根据坡度的概念求出BE，进而求出DF，计算即可．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，则四边形FDEB为矩形，∴DE＝FB，DF＝BE，在Rt△BFC中，BC＝300m，∠CBF＝60°，则CF＝BC•sin∠CBF＝300×＝150（m），设BE＝5x m，∵斜坡AB的坡比为5：12，∴AE＝12x m，由勾股定理得：AB2＝BE2+AE2，即13002＝（5x）2+（12x）2，解得：x＝100（负值舍去），∴BE＝500m，则DF＝BE＝500m，∴CD＝CF+DF＝（150+500）m，故答案为：（150+500）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记坡度的概念是解题的关键．14．【分析】由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，图象经过点（﹣1，0），由抛物线的对称性即可判断①；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，即可判断②；由a﹣b+c＝0，则方程a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0在2﹣x＝﹣1是成立，求得x＝3，即可判断③；由题意可知，由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，则﹣b≤4a，结合a﹣b+c＝0，即可判断④．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0，∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点．①∵b＝﹣2a，∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴抛物线经过点（3，0），即①正确；②Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，∴抛物线与x轴一定有公共点，∵a≠c，∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故②正确；③方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0，∵a﹣b+c＝0，∴当2﹣x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴x＝3，∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故③正确；④由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，∴﹣b≤4a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣b＝﹣a﹣c，∴﹣a﹣c≤4a，∴5a+c≥0．故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与x 轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．15．【分析】在BC上取点M，使CM＝2BM，连结EM，DM．可证△BCF≌△BEM，CF＝EM，当D，E，M三点共线时，DE+EM最小，即DF+CF的值最小．再根据勾股定理求出最小值．【解答】解：在BC上取点M，使CM＝2BM，连结EM，DM．∵EF＝2BF，CM＝2BM，BE＝BC，∴BF＝BM，∵∠CBF＝∠EBM，BE＝BC，∴△BCF≌△BEM（SAS）．∴CF＝EM，当D，E，M三点共线时，DE+EM的值最小．Rt△CDM中，CM2+CD2＝DM2，∵CD＝6，CM＝4，∴DM＝2．∴DE+EM的最小值为2．∴DE+CF的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加合适的辅助线得出全等，利用两点之间线段最短解决问题．三、解答题（共8题，共72分）16．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，（1）解不等式①，得x≥﹣3；（2）解不等式②，得x＜4；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：故不等式组的解集为﹣3≤x＜4．故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．【分析】（1）先根据平行线的性质定理证得∠BAO＝∠CDO，再根据角平分线的定义证得∠FDO＝∠EAO，根据内错角相等，两直线平行证得AE∥DF；（2）先根据AB∥CD证得∠CDO＝72°，再根据角平分线的定义求出∠CDF＝36°，进而利用外角的性质求出∠OFD的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠CDO，∵AE，DF分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠FDO＝∠CDO，∠EAO＝∠BAO，∴∠FDO＝∠EAO，∴AE∥DF；（2）解：∵AB∥CD，∠BAD＝72°，∴∠CDA＝∠BAD＝72°，∵DF分别平分∠CDA，∴∠CDF＝36°，∵∠BCD＝32°，∴∠OFD＝∠CDF+∠BCD＝36°+32°＝68°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的性质和判定定理是解题的关键．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．18．【分析】（1）用生活用品消费支出数量除以它所占百分比即可得出2022年该市居民人均总支出；用360°乘其他支出所占比例即可得出圆心角的度数；（2）用人均总支出分别减去其它各项支出，即可得出a的值，进而将图1补充完整；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）2022年该市居民人均总支出为：1500÷6.25%＝24000（元），图2中其他支出所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝9°，故答案为：24000；9°；（2）饮食支出为24000﹣1600﹣5600﹣1500﹣3200﹣2400﹣2100﹣600＝7000（元），将图1补充完整如下：（3）3×＝0.875（万元）＝8750（元），答：估计小明家2022年的人均饮食支出约为8750元．【点评】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握从条形图可以很容易看出数据的大小、从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系及两者间的联系．19．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得∠CFA＝∠ADE，根据圆周角定理得∠AED＝90°，再根据等角的余角相等即可得∠CAF＝∠EAD；（2）连AE、DE、OF，可证出△ACF∽△AED，得比例线段证出CF与AF的关系，则tan ∠CAF可求．【解答】解：（1）∵四边形FADE为⊙O的内接四边形，∴∠CFA＝∠ADE，∵∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠CAF＝∠EAD；（2）如图，连OF，∵F为的中点，∴OF⊥AE，∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴OF∥DE，∴DE＝OF，∵四边形FADE为⊙O的内接四边形，∵∠ACF＝∠AED＝90°，∴△ACF∽△AED，∴＝，∵OF＝AD，∴CF＝AF，∴AC＝CF，∴tan∠CAF＝＝．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．20．【分析】（1）取格点E、F、G，连接CF、EG交于点O，连接BO交AC于点D，线段BD即为所求，连接BE，△BCE即为所求；（2）作点P关于直线AC的对称点Q，取格点K，连接CK、HK，CK交AP于L，过点L作AB的垂线交HK于点R，∠QAR即为所求．【解答】解：（1）如图1，连接矩形CEFG的对角线CF、EG交于点O，连接BO交AC 于点D，即BD是△ABC的角平分线，连接BE，则△BCE∽△DCB，则BD和BE即为所求；（2）如图2，点P与点Q关于直线AC对称，连接AP交CK于L，过点L作AB的垂线交HK于R，连接AR，如图所示，∠QAR即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）依据题意，把x＝10m/s时，y＝17m；x＝20m/s时，y＝50m代入y＝ax+bx2，得到方程组，解方程组即可得到结论；（2）依据题意，将x＝30代入（1）所求解析式求出刹车距离与100m比较即可得解；（3）依据题意，由在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，可列式（0.08x2+0.9x）﹣（0.06x2+cx）＝0.02x2+（0.9﹣c）x＞0，结合题意可得c＜，又c＞0，进而可以得解．【解答】解：（1）对于函数y＝ax2+bx，由x＝10m/s时，y＝17m；x＝20m/s时，y＝50m，∴，解得，∴y关于x的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x（x＞0）．（2）汽车A不会撞上运输车．理由：当x＝30时，y＝0.08×302+0.9×30＝99，∵99＜100，∴汽车A不会撞上运输车．（3）由题意，∵在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，∴（0.08x2+0.9x）﹣（0.06x2+cx）＝0.02x2+（0.9﹣c）x＞0．∵30≤x≤50，∴0.02x+0.9﹣c＞0．∴c＜0.02x+0.9．当x＝30时，c＜0.02×30+0.9＝；当x＝50时，c＜0.02×50+0.9＝，∴c＜．又c＞0，∴0＜c＜．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．22．【分析】（1）可推出△ABC是等边三角形，进而得出CD＝AC，可推出∠BAD＝90°，进而得出AD＝AB，CE＝AB，进一步得出结果；（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点F，连接CF，可推出∠B＝∠ACB＝∠CFB＝∠ACB，从而得出∠AFC＝∠ACD，进而得出△ACD∽△EFC，进一步得出结果；（3）由（2）得：CF＝CB，△ACD∽△EFC，从而，从而，设BM＝FM ＝t，AE＝3a，AB＝2a，从而，从而表示出t＝进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，∵n＝1，CD＝nBC，∴CD＝BC，∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠BAD＝60°+30°＝90°，∴AD＝AB•tan60°＝AB，∵∠E＝∠DAC＝30°，∴∠BCE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴CE＝BC•tan60°＝BC＝AB，∴＝＝1；（2）证明：如图2，以C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点F，连接CF，∴CB＝CF，∴∠B＝∠CFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CFB＝∠ACB，∴∠AFC＝∠ACD，∵∠E＝∠CAD，∴△ACD∽△EFC，∴＝n；（3）解：如图3，以C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点F，连接CF，由（2）得：CF＝CB，△ACD∽△EFC，∴，∵AB＝AC，∴，∵CM⊥AB，∴BM＝FM，设BM＝FM＝t，AE＝3a，AB＝2a，AE＝3a，∴BE＝AB+AE＝5a，∴EF＝BE﹣BF＝5a﹣2t，∴，∴t＝，∴BM＝∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．23．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出DE的表达式为：y＝﹣2（x﹣m）﹣m﹣4，得到x E＝﹣1+，则x E﹣x D ＝1＝﹣1+﹣m，即可求解；（3）求出OM2＝+＝+（﹣）2＝（x1+）2，同理可得：ON2＝+＝+（﹣）2＝（x2+）2，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4，∵tan∠CAB＝2，则OA＝2，则点A（﹣2，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣2b﹣4，解得：b＝﹣；（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4①，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣4，设点D（m，m﹣4），同理可得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣4，AC＝2＝2DE，则DE＝，则x E﹣x D＝1，∵ED∥AC，则直线DE的表达式为：y＝﹣2（x﹣m）+m﹣4②，联立①②得：x2﹣x﹣4＝﹣2（x﹣m）+m﹣4，解得：x E＝﹣1+，则x E﹣x D＝1＝﹣1+﹣m，解得：m＝1或3，则点E（2，﹣）或（4，﹣4）；（3）∵平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点为（0，﹣），∴抛物线C2的解析式为y＝x2﹣，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1＝﹣，y2＝﹣，由x2﹣＝x+m，整理得：4x2﹣8x﹣9﹣12m＝0，则x1+x2＝2，x1x2＝，则OM2＝+＝+（﹣）2＝++＝（+）2，同理可得：ON2＝+＝+（﹣）2＝（+）2，则OM+ON＝（+）+（+）＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+＝（4+）+＝9，解得：m＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根与系数的关系的应用，利用平行线分线段成比例解决问题是本题的关键．。
2023年武汉高三四调数学试卷
武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制本试题卷共4页,22题,全卷满分150分。
考试用时120分钟。
⋆祝考试顺利⋆注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A =x ∣x 2-x -6<0 ,B ={x ∣2x +3>0},则A ∩B =A.-2,-32 B.32,3 C.-32,3 D.-32,2 2.若复数a +3i 2+i是纯虚数,则实数a =A.-32 B.32 C.-23 D.233.已知sin α+π3 =35,则sin 2α+π6=A.2425 B.-2425 C.725D.-7254.正六边形ABCDEF 中,用AC 和AE 表示CD ,则CD =A.-23AC +13AEB.-13AC +23AEC.-23AC +23AED.-13AC +13AE 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题:将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列a n ,则a 10=A.55B.49C.43D.376.设抛物线y 2=6x 的焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上位于第一象限内的一点,过P 作l 的垂线,垂足为Q ,若直线QF 的倾斜角为120°,则|PF |=A.3B.6C.9D.127.阅读下段文字:“已知2为无理数,若(2)2为有理数,则存在无理数a =b =2,使得a b 为有理数;若(2)2为无理数,则取无理数a =(2)2,b =2,此时a b =(2)2 2=(2)2⋅2=(2)2=2为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是A.(2)2是有理数B.(2)2是无理数C.存在无理数a ,b ,使得a b 为有理数D.对任意无理数a ,b ,都有a b 为无理数8.已知直线y =kx +t 与函数y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象恰有两个切点,设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k 1和k 2,且k 1>k 2,则A.k 1k 2>73B.53<k 1k 2<73C.75<k 1k 2<53D.k 1k 2<75二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2023年湖北省武汉市四月中考调考(期中)模拟数学试题
2023年湖北省武汉市四月中考调考（期中）模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．．．．．小张与小李相约去科技馆参观，该馆有两个入口，有E ，F 四个出口，他们从同一入口进入后分散参观，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（）．12．1416．18．如图所示，在中，C ∠，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别,AC AB 于点，再分别以点M 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BC 于点D ．5BD =，则的面积是（）A．24B．30 9．如图，在扇形AOB中，点,C DA．9B．310()二、填空题15．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），过顶点()()1,,0,A m B n -两点，且0,0m n <>下列四个结论：①0abc >；②2a bm am b -<+；③若点()()1122,,,C x y D x y 在抛物线上，12x x <，且122x x +>-，则12y y <；④当图象经过点()1,3时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，()212x x x <，则1230x x +=．正确的是______________（填写序号）．16．如图，在Rt ABC △和Rt BDE △中，90ABC BDE ∠=∠=︒，点A 在边DE 的中点上，若AB BC =，2DB DE ==，连结CE ，CD ，则CDE 的周长为____________．三、解答题17．解方程组43325x y x y -=⎧⎨+=⎩①②请按下列步骤完成解答．解：2⨯①＋②得：____________________；解得：x =_______________；把x =__________代入①得：y =________________；则方程组的解为：______________．18．如图，,12AB DE ∠=∠∥，AE 平分BED ∠．(1)这次被调查的学生共有_____________(2)C组所在扇形的圆心角的大小是(3)该校共有2000名学生，请你估计该校学生平均每周阅读时间不少于20．如图，四边形ABCD中，、，分别交半圆点A，连接OC OD(1)求证：CD 是圆O 的切线；(2)若4,9AD BC ==，求图中阴影图形的面积．21．如图是由小正方形组成的77⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC ∆的三个顶点都是格点，点D E 、分别是边AC AB 、与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CA 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CF ，此时tan BCF ∠=_________；再在CF 上画点G ，使CAG BCF ∠∠=．(2)在图（2）中，先在边AB 上画点P ，使APD △与ABC 是以点A 为位似中心的相似三角形，再分别在边BC AC 、上画M N 、点，使EM MN +的值最小．22．某经销商3月份用18000元购进一批T 恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T 恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a 件，然后将b 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a 的代数式表示b ；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．23．（1）[问题背景]如图1，已知ACB DCE ∽，求证：CDA CEB △∽△；(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)把抛物线1C平移后得到抛物线2C与直线AC交于M、N两点，N点横坐标为抛物线2C（用m表示）；∥，求证直线(3)在（2）的条件下，抛物线2C上有两点P、Q，直线PQ M N交点D横坐标与直线MQ，NP交点E横坐标相等．。
湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.4.24本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i i1i z =++，则z =（）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合复数的四则运算法则与模长定义计算即可得.【详解】()()()2i 1i 2ii i 12i 1i 1i 1i z -=+=+=+++-，则z ==故选：D.2.已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣，则A B = （）A.{}2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】先求解集合,A B ,再利用交集运算进行求解.【详解】{}{}223013A xx x x x =--<=-<<∣∣，{}{}240,1,2,3B x x x x =-<∈=Z ∣，所以{}1,2A B = .故选：B3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m αβ⊥ α，则m β⊥B.若,m αβα⊥⊂，则m β⊥C.若m,n αα⊥，则m n⊥D.若m n m ,⊥ α，则n α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及借助正方体，结合点线面的位置关系即可求解.【详解】如图所示对于A ，设平面α为平面ABCD ,平面β为平面11BCC B ,m 为11B C ，则,m αβ⊥ α，则m β⊂，故A 错；对于B ，设平面α为平面ABCD ,平面β为平面11BCC B ,m 为AD ，则,m αβα⊥⊂，则m β ，故B 错；对于C ，过m 作平面γ与平面α交于直线b ，m α，则m b ，n α⊥，可得n b ⊥，则m n ⊥，故C 正确；对于D ，设平面α为平面ABCD ,11A B 为m ，11B C 为n ，则m n m ,⊥ α，则n α∥，故D 错.故选：C.4.()()5231x x --的展开式中3x 的系数为（）A.－50B.－10C.10D.50【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理得出()51x -展开式的通项，求出3T ，4T ，进而得出3x 的系数.【详解】()51x -展开式的通项为()155C 1r rrr T x -+=-，则3310T x =，2410T x =-，故()()5231x x --展开式中3x 的系数为()()21031050⨯-+-⨯=-.故选：A5.记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】对于,a b 可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于c 和,a b 的大小关系利用中间值法即可.【详解】因为0.20.2100.33b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，幂函数0.2y x =在()0,∞+上单调递增，又1033>，所以0.20.20103313⎛⎫>>= ⎪⎝⎭，所以1b a >>，又对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减，所以0.20.2.log 0.3log 021c ==<，故1b a c >>>.故选：D.6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8128,26S S ==，则4S =（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，484128,,S S S S S --成等比数列，可解出4S .【详解】因为数列{}n a 为等比数列，且等比数列{}n a 的前项和为n S ，所以484128,,S S S S S --成等比数列，则()()8441822S S S S S =⋅--，即()()4428268S S =⋅--，解得432S =或42S =.设等比数列{}n a 公比为q ，则1q ≠，848441111S q q S q-==+>-，则840S S >>，得42S =.故选：B7.点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点，则PA PB ⋅的最大值为（）A.2B.114C.3D.134【答案】C 【解析】【分析】借助AB 中点Q 和平方差公式得()()214PA PB PQ QA PQ QA PQ ⋅=+⋅-=- ，再探究PQ 的最大值即可.【详解】分别取AB ，DE 中点Q ，R ，连接PQ ，QR ，则由题12QA =，2222cos 11211cos1203BD DC BC DC BC BCD =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= ，即BD =，所以2QD ====，作图如下，由图可知当P 运动到D 或E 时PQ 最大，所以()()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ QA PQ QA⋅=+⋅+=+⋅-222211344PQ QA PQ QD =-=-≤-= ，所以PA PB ⋅的最大值为3.故选：C .8.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，其左右顶点分别为,A B ，过F且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点，设线段MF 的中点为P ，若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（）A.2 B.3C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，(c,0)F ，2(,b M c a ，2(,)b N c a -，2(,2bP c a，分别求出直线BP 和AN 的方程，从而得到直线BP 和AN 与y 轴的交点坐标，即可求出答案.【详解】由题可得：(,0)A a -，(,0)B a ，(c,0)F ，2(,)b M c a ，2(,)b N c a -，2(,2bP c a，所以222BPb c a a k c a a+==-，直线BP的方程为：()2c ay x a a +=-，令0x =，解得：2c a y +=-，所以直线BP 与y 轴交点为0,2c a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于2ANb c a a k c a a--==-+，则直线AN的方程为：()c a y x a a -=-+，令0x =，解得：y a c =-，所以直线AN 与y 轴交点为()0,a c -，因为直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，所以2c aa c +-=-，解得：3c a =，所以双曲线E 的离心率3ce a==，故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知函数()2πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，则（）A.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 B.函数π12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数C.()f x 3 D.()f x 在区间π7π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD。
湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题含答案
2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A.()15,12- B.0C.3- D.11-2.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞D.(⎤⎦3.下面四个数中，最大的是（）A.ln3B.()ln ln3 C.1ln3D.()2ln34.数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（m ，n +∈N ）则9a =（）A.9B.1C.8D.455.复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A. B. C.D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228B.210C.240D.2388.抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<.过A ，B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQS S =△△，则λ=（）A.32B.23C.33D.13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0B.4C.8D.1610.已知函数()()0,,22f x x t t ππωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则（）A.ωπ= B.53ωπ=C.()91f =D.()91f =-11.如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为736，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为74B.112DH =C.111128E ADH ABC A B C V V --=D.,44EH ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数()ln 2ex x xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ~，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=______.14.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O 上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S .16.（15分）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b+=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，（1）证明：12BA BA ⊥；（2）设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值.参考公式：()()3322m n m n m mn n+=+-+17.（15分）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为3π，图1图2（1）如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；（2）如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ α∥，PQ n ⊥且PQ m ⊥，（i ）证明：直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .18.（17分）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，（1）若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；（2）记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数()n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(),M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y 均为正整数），（1）求()6ϕ和()15ϕ；（2）现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足()(),1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有()1,1a M xa -=，证明：若n x X ∈，则(),,dc x M M x n n ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又()11,ec M x n =，()22,e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.2221ln2e ex y -=+--（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则18n n a a n +=+，则()()()12818182n n n a a n a n n --=+-=+-+-()218121441a n n n =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+-=-+.……5分（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-：当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，在11b =时，()11n n S n -=-⋅；11b =-时，()1nn S n =-⋅.……13分16.（15分）（1）证明：当1a >时，1C 的离心率1e =，1a <时，1C 的离心率1e =；因为a b ≠==，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10a b >>>；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B x l y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=-，因此12BA BA ⊥；……4分（2）解：由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B I 与2C 的方程22211x y aa x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120x a x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421a x a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P ax a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，……9分因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()()()()()()24334262422224443114331141111a a a a aaa a aa a f a a a a-+--+-++-+-===++'+，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a -<<+，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∈+∞，因此()f a在a =且最大值为14f=，……14分因此PQ 最大值为max 322PQ ==.……15分17.（15分）（1）解：设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设CA b =，CB a =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为3π，且它们交于点C ，则3ACB π∠=，从而221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（a b =时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以3322CH ab =≤，所以点C 到平面α的距离32h ≤，其最值为32；……5分（2）（i ）证：如图，过点P 作直线l n ∥，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又PQ α∥且DB α⊂，于是PQ DB ∥，又l n ∥，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为PQ n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又l m P = ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，则PH BD ⊥，又AD BD D = ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为3π，则直线m 与l 之间的夹角也为3π，则3APD π∠=，于是23PAH PDH APD ππ∠+∠=-∠=，即直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值23π；……11分（2）（ii ）解：因为BD ⊥平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又3APD π∠=，由（1）问同法算得332PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<，……15分18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；……1分i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x '>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,+∞上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……3分ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令10x >，20x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……5分若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……7分若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x >，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；……11分则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---……11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；……14分欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+=- -++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.……17分19.（17分）（1）解：6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8；……2分（2）证明：因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，……4分设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M x n ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p xkp s kp kp s kps s N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M x p M t p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M xp ϕ=，记()21n xN p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N x pq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；……8分i.0st ≠时，记(),c M x n c =，则()()()()1,,,k n ddcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p =，又()()()(),,,1k k n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),dM c n x =，即(),,de M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；ii.若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,ddcdc dcM c n M x n M k p n ==，又()11,dcM k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n ddcdeq M c n M p k n pk M pq xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,dcM M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：……11分（3）因为12231e e =+，所以12231e e xx +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111kk k k kk k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k kn n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x n x ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.……17分。
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2017~2018学年度武汉市部分学校九年级四月调研测试数学试卷
考试时间：2018年4月17日14:30~16:30
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．武汉地区春季日均最高气温15℃，最低7℃，日均最高气温比最低气温高（ ）
A．22℃ B．15℃ C．8℃ D．7℃
2．若代数式41x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞－4 B．x＝－4 C．x≠0 D．x≠－4
3．计算3x2－2x2的结果（ ）
A．1 B．x2 C．x4 D．5
x
2
4．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这名球员投篮一次，投中的概率约是（ ）
投篮次数 10 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 4 35 60 78 104 123 152 251
投中频率 0.40 0.70 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．计算(a+2)(a－3)的结果是（ ）
A．a2－6 B．a2＋6 C．a2－a－6 D．a2＋a－6
6．点A(－2，5)关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(－2，－5) C．(2，－5) D．(5，－2)
7．一个几何体的三视图如左图所示，则该几何体是（ ）
8．某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如下表（其中x为未知数）．他们的月平均工资
是2.22万元．根据表中信息，计算该公司工作人员的月工资的中位数和众数分别是（ ）
A．2、4 B．1.8、1.6 C．2、1.6 D．1.6、1.8
9．某居民小区的俯视图如图所示，点A处为小区的大门，小方块处是建筑物，
圆饼处是花坛，扇形处是休闲广场，空白处是道路．从小区大门口向东或向南
走到休闲广场，走法共有（ ）
A．7种 B．8种
C．9种 D．10种
10．在⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条直径，点E在BC弧上，CF⊥AE于点F．若点F三
等分弦AE，⊙O的直径为12，则CF的长是（ ）
A．552 B．5102 C．556 D．
5
106
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：2)32(的结果是__________
12．计算1112xxx的结果是__________
13．两个人玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，其中一人获胜的概率是__________
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14．一副三角板如图所示摆放，含45°角的三角板与含30°角的三角板的较长直角边重
合．AE⊥CD于点E，则∠ABE的度数是__________°
15．如图，在□ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，∠A＝60°．点E从点D出发沿DA边运动
到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2 cm/s，点F运动速度为1 cm/s，
它们同时出发，同时停止运动．经过__________s时，EF＝AB
16．已知二次函数y＝x2＋2hx＋h，当自变量x的取值在－1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，
则n的最大值是__________
三、解答题（共8题，共72分）
17．（本题8分）解方程组
6342yx
yx
18．（本题8分）如图，B、E、C、F四点顺次在同一条直线上，AC＝DF，BE＝CF，AB＝DE，
求证：AB∥DE
19．（本题8分）学校食堂提供A、B、C三种套餐，某日中餐有1000名学生购买套餐，随机抽
查部分订购三种套餐的人数，得到如下统计图
订购各类套餐人数条形统计图 订购各类套餐人数所占百分比扇形统计图
(1) 一共抽查了_________人
(2) 购买A套餐人数对应的圆心角的度数是_________
(3) 如果A、B、C套餐售价分别为5元、12元、18元，根据以上统计估计食堂当天中餐的总销
售额大约是多少元
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20．（本题8分）下表中有两种移动电话计费方式
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min）
方式一 58 200 0.20
方式二 88 400 0.25
其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费
(1) 如果每月主叫时间不超过400 min，当主叫时间为多少min时，两种方式收费相同？
(2) 如果每月主叫时间超过400 min，选择哪种方式更省钱？
21．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、
DC
相切，切点分别为E、G、F，其中E为边AB的中点
(1) 求证：BC与⊙O相切
(2) 如图2，若AD＝3，BC＝6，求EF的长
22．（本题10分）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的动点，A(p，0)、B(0，q)．以AB为边，
画正方形ABCD
(1) 在图1中的第一象限内，画出正方形ABCD．若p＝4，q＝3，直接写出点C、D的坐标
(2) 如图2，若点C、D在双曲线
x
k
y
（x＞0）上，且点D的横坐标是3，求k的值
(3) 如图3，若点C、D在直线y＝2x＋4上，直接写出正方形ABCD的边长
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23．（本题10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点P，
CD
2
＝DP·DB
(1) 求证：∠BAC＝∠CBD
(2) 如图2，E、F分别为边AD、BC上的点，PE∥DC，EF⊥BC
① 求证：∠PFC＝∠CPD
② 若BP＝2，PD＝1，锐角∠BCD的正弦值为33，直接写出BF的长
24．（本题12分）已知抛物线
33
2
bxaxy
与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交
于点C．P为抛物线的对称轴上的动点，且在x轴的上方，直线AP与抛物线交于另一点D
(1) 求抛物线的解析式
(2) 如图1，连接AC、DC．若∠ACD＝60°，求点D的横坐标
(3) 如图2，过点D作直线3y的垂线，垂足为点E．若PDPE2，求点P的坐标
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