最新人教版高中数学必修2第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》课堂导学

合集下载

人教版高中数学必修二导学案第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系

第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系三维目标1.理解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、会画异面直线，提升空间想象能力；3.了解公理4和等角定理，知道异面直线所成角的定义、范围及作用.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.通过身边诸多实物，空间两条直线有多少种位置关系？*问题2.如何用图形语言表示表示空间两条直线的位置关系？问题3. 如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？你能得出什么结论？【试试】公理4：符号表示为：作用：问题4. 如右图∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？【试试】等角定理：符号表示为：作用：问题5.阅读教材46-47页回答：什么是异面直线所成角？如何画出两条异面直线所成的角？异面直线所成角的范围是多少？【学做思2】1.如图2.1-17，空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.图2.1-172. 如图2.1-18,观察长方体ABCD-A'B'C'D' (1)有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？图2.1-18A 13.如图2.1-20，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？图2.1-20【反思】如何求异面直线所成角？达标检测*1.平面βα,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点最多能确定个平面*2.若︒=∠120AOB ,直线a OA a ,//与OB 为异面直线，则OB a 和所成的角的大小为 . 3.填空题：（1）如图1，'AA 是长方体的一条棱，长方体中与'AA 平行的棱共有 ________ 条.（2）如果OA//''A O ,OB//''B O ,'''B O A ________.图1 图2*4.如图2，在正方体1111D C B A ABCD 中，F E 、分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

高中数学第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案新人教A版必修2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是( )A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )A．2对 B．3对 C．4对 D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3 提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D 2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1．迁移与应用1．D2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD 1与A 1B 所成的角为45°．(3)连接D 1C ，AD 1，则A 1B ∥D 1C ．∴D 1C 与AC 所成的角就是A 1B 与AC 所成的角．又∵AC ＝CD 1＝D 1A ， ∴∠ACD 1＝60°．∴A 1B 与AC 所成的角为60°．迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90° 【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．BB 1，CC 1，DD 1 5．8。

人教版高中数学必修2-2.1导学案-空间中直线与直线之间的位置关系

2、1、2 空间中直线与直线之间的位置关系一、【学习目标】1、正确理解空间中直线与直线的位置关系,两直线的异面关系；2、以公理4和等角定理为基础，理解两异面直线所成角概念以及应用；3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读第44页—45页探究上面的内容，回答问题（异面直线）材料一：思考：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？教室内的日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线，既不相交，也不共面，即它们不同在任何一个平面内；又如天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交也不共面，即不能处在同一平面内.如下图：材料二：阅读教材“观察”的内容，如下：<1>根据材料和教材内容，请你总结出什么叫异面直线？<2>学习完异面直线以后，请总结一下空间两条直线的位置关系有几种？结论：<1>异面直线是指.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用证明；<2>空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型，可以得出结论.2、阅读教材第45页例2上面内容，回答问题（公理4）材料三：教材45页观察内容<3>结合材料三，和教材内容，请你总结归纳出公理4.结论：<3>公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a ∥b, ⇒ca ∥c .强调：公理4实质上是说平行具有性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是判断空间两条直线的依据，不必证明，可直接应用.3、阅读教材46页内容，回答问题（等角定理、异面直线所成角）<4>请你通过学习总结出等角定理.<5>你能给“两异面直线所成角”下一个定义吗？你能否总结出异面直线所成角的画法？两异面直线所成角的范围是多少？什么叫做两直线垂直？结论：<4>空间中如果两个角的两边分别对应，那么这两个角相等或者；<5>可以把异面直线所成角转化为所成角表示，如图所示，已知两异面直线a,b ，经过空间内任一点O 做直线，我们把''b a 、所成的 (或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.两条异面直线所成角的范围是 .如果两条异面直线所成的角为，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b ，记作b a ⊥.三、【练习与巩固】练习一：请同学们自学教材第例2、例3，检查自己是否完成了这节课的学习目标；练习二：完成教材第48页练习1、2.四、【作业】1、必做题：教材51页习题2.1A 组第4题<1><2><3>；B 组1<2><3>题；2、选做题：教材第52页习题2.1A 组第8题.。

新人教A版必修2高中数学 2.1.2空间直线位置关系导学案

第二章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置【学习目标】1.理解异面直线的概念；了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；2.能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。

3.通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．【学习重点】重点：异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法难点：理解异面直线概念，作异面直线所成的角.【知识链接】以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系；通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理．【基础知识】复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理)公理1_________________________________________________________________；公理2_________________________________________________________________；公理3_________________________________________________________________.探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A1B与CC1这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：αabαβabαab理解选择合适的异面直线的定义：A BC1C1B1AD不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

[精品]新人教A版必修二高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。

再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b共面直线 =>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD1BD 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=21BD同理FG∥BD且FG=2因为EH∥FG且EH=FG所以四边形EFGH是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

最新人教版高中数学必修2第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》2

2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1．掌握空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义中“不同在”的含义． 2．知道两条异面直线所成角的意义，掌握两条直线垂直的含义． 3．理解并掌握公理4和等角定理，并能解决有关问题．1．异面直线(1)概念：不同在________平面内的两条直线叫做异面直线．对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是“不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”．(2)图示：如图a ，b 所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．【做一做1】如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与AA 1异面的是( )A ．AB B ．BB 1C ．DD 1D ．B 1C 12．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，________一个公共点； (2)平行直线——同一平面内，____公共点；(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．(1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线； (2)空间两条直线的位置关系空间两条直线⎩⎨⎧共面⎩⎪⎨⎪⎧相交平行异面【做一做2】不平行的两条直线的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行D ．相交或异面∥c____公理4是今后论证平行问题的主要依据．在公理4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况．【做一做3】如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.A′，OB∥O′B′O′B′或∠AOB＋∠′＝180°证明两个角相等或互补等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立．【做一做4】已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝() A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____(或____)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的．(2)范围：________.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是____，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a__b.两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．【做一做5】在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′垂直且异面的棱有__________．答案：1．(1)任何一个【做一做1】D2．(1)有且只有(2)没有【做一做2】D3．平行a∥c传递性【做一做3】证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四边形EBB′E′是平行四边形．∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.4．相等互补【做一做4】C5．(1)锐角直角(2)(0°，90°](3)直角⊥【做一做5】BC，B′C′，CD，C′D′1．对异面直线的理解剖析：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．要注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b这两条直线.例如，如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，则AB和B1C1是异面直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．有以下方法可以判断两条直线是异面直线：①定义法(直观判断法)：由定义判断两条直线不可能在同一个平面内．或者用下面的结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.用符号语言表示为：Bα，A∈α，aα，A a，则a与直线AB为异面直线．如图所示．②排除法：排除两条直线共面(平行或相交)，则两条直线是异面直线．2．作出两条异面直线所成的角剖析：根据异面直线所成角的定义，通常在两条异面直线中的一条直线上取一点，然后只需作另一条直线的平行线即可．但是，在作辅助线之前最好观察图形，看看在所给的图形中，有没有满足定义的角，如果没有，再作辅助线．例如，如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB和B1C1是异面直线．由于AB∥A1B1，则∠A1B1C1就是它们所成的角，当然∠ABC也是它们所成的角；对于异面直线AD1和B1C来说，在图中就没有它们所成的角，这就需要作辅助线，连接BC1交B1C于E，则BC1∥AD1，故∠C1EC是异面直线AD1和B1C所成的角．很明显△C1EC 是等腰直角三角形，∠C1EC＝90°，即异面直线AD1和B1C所成的角为90°.题型一：空间两条直线位置关系的判定【例1】已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．反思：判定两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交，可用平面几何中的定义和方法来处理；判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断．在解答本题的过程中，易出现这样的错误：a与b异面，b与c异面，则a与c异面．事实上，异面这种位置关系，不像平行一样具有传递性．题型二：求两条异面直线所成的角【例2】如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求E F和AB所成的角．反思：(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形．因此可用“一作二证三计算”来概括．(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况． (3)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧．题型三：公理4的应用【例3】已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点．求证：B F ∥ED 1.反思：证明两条直线平行时，若能证明它们分别平行于第三条直线，根据公理4，则这两条直线平行，此法又称为中间量法．题型四：等角定理的应用【例4】如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC.反思：在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等．此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行．答案：【例1】解：直线a 与c 的位置关系有三种情况，如图所示．直线a 与c 可能平行，如图①；可能相交，如图②；可能异面，如图③.【例2】解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角，且EG ＝GF . ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF . ∴∠EGF ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形． ∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.【例3】证明：如图，取BB 1的中点G ，连接GC 1，GE .∵F 为CC 1的中点，∴BG ∥C 1F ，且BG ＝C 1F ，∴四边形BGC 1F 为平行四边形． ∴BF ∥GC 1.又∵EG ∥A 1B 1，A 1B 1∥C 1D 1，且EG ＝A 1B 1，A 1B 1＝C 1D 1， ∴EG ∥C 1D 1，且EG ＝C 1D 1， ∴四边形EGC 1D 1为平行四边形． ∴ED 1∥GC 1.∴BF ∥ED 1.【例4】证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC . ∴△A 1B 1C 1∽△ABC .1．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，a ，c 异面，则b 与c( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线2．直线a 与直线b 相交，直线c 与直线b 相交，则直线a 与直线c 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能 3．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与B 1C 1所成的角等于__________．4．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AH AB AD =，CF CGCB CD=，则EH 与F G 的位置关系是__________．5．已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠BEC ＝∠B1E1C1.答案：1．C 2.D 3.45° 4.平行5．证明：如图所示，连接EE1.∵E，E1分别是AD，A1D1的中点，∴AE∥A1E1，且AE＝A1E1，∴四边形AEE1A1是平行四边形．∴AA1∥EE1，且AA1＝EE1.又∵AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴EE1∥BB1，且EE1＝BB1，∴四边形BEE1B1是平行四边形．∴BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.。

数学必修2——2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》导学导练

高中数学必修2高中数学必修二2.1.2《空间直线与直线的位置关系》导学导练【知识要点】1、空间中两直线的位置关系（重点）2、平行公理（公理4）3、定理：4、异面直线所成的角【范例析考点】考点一．直线位置关系的判断例1：下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是直线 ②BD 和FH 是直线 ③BH 和DC 是直线(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有条? 【针对练习】1．两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线D. 可能是异面直线，也可能是相交直线2．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）. A. 异面 B. 平行 C. 相交D. 以上都有可能3．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c ,那么直线c 一定（）A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行． 4．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（）①这三条直线必共点； ②其中必有两条是异面直线； ③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）.A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．异面6．已知直线a ∥b ，a 与平面α相交于A ，求证：b 与平面α必相交．考点二．异面直线的判断例2：如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对? 【针对练习】1、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面D.可能相交、可能平行、可能异面2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则 a 和c 的位置关系是（）A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面3、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（）.A. 12B. 24C. 36D. 485、如图，已知平面α与平面β相交于直线m ，n ⊂β，且m ∩n ＝A ，直线l ⊂a 且l ∥m ．证明n 、l 是异面直线．考点三．空间直线的平行问题例3：已知a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （）A 、一定是异面直线B 、一定是相交直线C 、不可能是平行直线D 、不可能是相交直线【针对练习】1．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（）A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行；② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是GF H EB C D AEAFB C M ND鼎吉教育遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长3、如图在空间四边形ABCD 中， E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课堂导学
三点剖析
一、空间直线位置关系的概念
【例1】判断下列说法是否正确.
分别在不同平面内的两条直线为异面直线
解：此说法是错误的，
例图（1）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，A1D1⊂平面A、B、C、D，BC⊂平面ABCD，但A1D1∥BC,而不是异面直线.
例图（2）平面α∩平面β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=A,b∩l=A,由此a∩b=A,从而可知a,b是相交直线而不是异面直线.
温馨提示
（1）深刻理解异面直线的概念，“不同在任何一个平面内”可理解“既不平行又不相交”）. (2)判定两条直线是异面直线的证明问题常用的反证法
反证法证题的一般步骤是：①反设：作出与命题结论相反的假设.②归谬：由作出的假设，连同已知条件，进行正确的推理，导出矛盾，从而断定原命题正确.
各个击破
类题演练1
异面直线是指（）
A.空间中两条不相交直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
解析：对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），另一是异面.
∴A项应排除；
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可平行也可相交也可异面，如图就是相交的情况，∴B项应排除；
对于C，如图a、b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C项应排除；
只有D项符合定义.∴应选D.
答案：D
变式提升1
a，b，c是三条直线，若a与b异面，b与c异面,判断a与c的位置关系，并画图说明. 解：直线a与c的位置关系有以下三种情形（如图）
∴直线a 与c 的位置关系可能平行〔如图（1）〕；可能相交〔如图（2）〕；可能异面〔如图（3）〕. 二、空间直线位置关系的判断与论证
【例2】已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.
思路分析：若证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行.选其一证出即可.
证明：如图，连结BD.∵EH 是△ABD 的中位线，
∴EH ∥BD,EH=
21
BD. 又∵FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD,FG=
2
1BD. 根据公理4，FG ∥EH,且FG=EH ，∴四边形EFGH 是平行四边形. 温馨提示
（1）若证明EFGH 是平行四边形，可有两条途径：一是证两组对边分别平行；二是证明一组对边平行且相等.
（2）下面再给出一个问题.同学们考虑如何予以证明.
“ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EG 与FH 相交于一点且被这点平分”. 类题演练2
如下左图，在一个长方体木块的A 1C 1面上有一点P ，过P 点画一直线和棱CD 平行，应怎样画？若要求过P 点画一条直线和BD 平行，又该怎样画？
解：过P 画EF ∥C 1D 1即可，因为CD ∥C 1D 1,则EF ∥CD.过P 画GH ∥B 1D 1即可，因为BD ∥B 1D 1,则GH ∥BD,如上右图. 变式提升2
已知：直线a 、b 是异面直线，A 、B 是a 上相异两点，C 、D 是b 上相异两点. 求证：AC 、BD 是异面直线.
证明：如图,假设直线AC、BD不是异面直线，则它们必共面. ∴A、B、C、D在同一平面α内，
∴AB⊂α,CD⊂α.即a⊂α,b⊂α.
这与a、b是异面直线矛盾.
∴AC、BD是异面直线.
三、异面直线所成的角
【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求：
(1)A1B与B1D1所成的角;
(2)AC与BD1所成的角.
解：(1)如图,连结BD、A1D,
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴DD BB1.
∴DBB1D1为平行四边形.
∴BD∥B1D1.
∴A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线.
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形.
∴∠A1BD=60°.
∵∠A1BD是锐角,
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
(2)连结BD交AC于点O,取DD1中点E,连结EO、EA、EC. ∵O为BD的中点,
∴OE∥BD1.
∵∠EDA=90°=∠EDC,ED=ED,
AD=DC,
∴△EDA≌△EDC.∴EA=EC.
在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,
∴EO⊥AC.∴∠EOA=90°.
又∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角,
∴AC与BD1所成的角为90°
温馨提示
①a ⊥b,a ⊥c ⇒b ∥c ②两线平行与两线异面易混，它们虽然都无公共点，但所处的位置不同，前者在同一平面内，二者不同在任何一个平面内 ③异面直线求角易错，弄清范围（0°,90°］,若求出钝角时，则补角为异面直线成的角 ④作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所在的角.值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置. 类题演练3
正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
(1)哪些棱所在的直线与直线BA 1是异面直线？ (2)求BA 1与CC 1夹角的度数．解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA 1成异面直线的有：B 1C 1、AD 、CC 1、DD 1、DC 、D 1C 1.
（2）由BB 1∥CC 1，
可知∠B 1BA 1等于异面直线BA 1与CC 1的夹角，所以异面直线BA 1与CC 1夹角为45°. 变式提升3 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（）
A.510
B.515
C.
54 D.3
2 解析：取D 1C 1中点M ，连结OM ，易证OM ∥FD 1.
所以∠MOE 是异面直线OE 和FD 1所成的角，连结OC 、ME. OM=FD 1=5，ME=22
12
1=+E C MC ，
OE=31)2(22
2
=+=
+CE OC
在△OME 中，OM 2=ME 2+OE 2， ∴∠OEM=90°. ∴cosMOE=515
5
3=
=OM OE . 故应选B. 答案：B。