向量共线定理的探究

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向量共线定理的证明

向量共线定理的证明
向量共线定理向量a⃗与非零向量b⃗共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b⃗=λa⃗。

证明：
（1）首先需要证明如果b⃗=λa⃗，那么，向量a⃗与b⃗共线。

由数乘向量的定义知：一般地，实数λ与向量a⃗的积是一个向量，记作λa⃗，它的长度和方向规定如下：○1│λa⃗│=│λ││a⃗│；○2当λ>0时，λa⃗与a⃗的方向相同；当λ<0时，λa⃗与a⃗的方向相反；当λ=0时，λa⃗=0. 由此可知λa⃗与a⃗平行（共线）。

对于向量a⃗（a⃗≠0⃗）、b⃗，如果有一个实数λ，使得b⃗=λa⃗，那么，b⃗与λa⃗的模
一样大且b⃗与λa⃗的方向同。

所以，b⃗与a⃗共线。

（2）第二需要证明如果向量a⃗与b⃗共线，那么，b⃗=μa⃗。

如果向量a⃗与b⃗共线，则向量a⃗与b⃗方向相同或相反。

若b⃗的长度是向量a⃗的长度的μ倍，则有│μa⃗│=│μ││a⃗│；
当a⃗与b⃗方向相同时，有μ>0,使得b⃗=μa⃗；当a⃗与b⃗方向相反时，有μ<0,使得b⃗=μa⃗.所以始终有一个μ，使得b⃗=μa⃗。

（3）第三需要证明λ存在的唯一性。

用反证法证明：
假设μ≠λ
∵ b⃗=μa⃗（（2）的结论）
b⃗=λa⃗（（1）的证明假设前提条件“对于向量a⃗（a⃗≠0⃗）、b⃗，如果有一个实
数λ，使得b⃗=λa⃗，那么，b⃗与λa⃗的模一样大且b⃗与λa⃗的方向同。

”）
∴ b⃗= b⃗
∴μa⃗=λa⃗
∵a⃗是非零向量
∴μ=λ，而这与μ≠λ的假设矛盾，由此证明λ存在是唯一的。

把向量共线定理再表述一遍：。

向量的共线定理

一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，
它的长度和方向规定如下：
回顾旧知:
（1 ） | a || || a |;
（2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向相反。 a 的方向与特别的，当 0时， a 0.

4:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、 C是平面上不共线的三个点，动点P满足
AB AC ), [0, ), OP OA ( | AB | | AC | 则P的轨迹一定通过△ABC的( B )
设 , 为实数，那么 (1)λ(μ a) = (λμ)a; 第一分配律 (2)(λ + μ)a = λ a + μ a; 第二分配律 (3)λ(a + b) = λ a + λ b.
练习： a a 已知非零向量，求向量的模 |a| a 结论： ① 是单位向量 |a| a ②与 a 同向的单位向量是 |a| a ③与a 反向的单位向量是 |a| a ④与 a 平行的单位向量是 |a|
共线
运用
例3.设e1,e2是两个不共线的向量, 已知向量AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2, CD=2e1+e2, 若A、B、D三点共线, 求k的值.
解：∵A、B、D三点共线, 得(2-λ)e1+(k+2λ)e2=0， ∴AB//BD， ∵ e1, e2不共线, 而AB=2e1+ke2,, ∴2−λ=0，k+2λ=0， BD=CD-CB=e1-2e2，解得k=−4. 显然BD≠0，则存在实数λ使得AB=λBD ，即2e1+ke2=λ(e1-2e2 )，

你真的理解向量共线定理吗

你真的理解向量共线定理吗作者：卓杰
来源：《新高考·高一数学》2015年第01期
一、几何角度看定理
回顾一下平面向量共线定理：
如果有一个实数λ使b=λα （α≠0），那么向量b与向量α是共线向量；反之，如果向量b 与α（α≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λα.
此定理是实数与向量积的定义的表现形式，本质上是向量的数乘，反映出两向量间的长度和方向的关系.定理中的条件和结论是等价的，即条件和结论可以双向推出.定理中λ的正负体现两向量的方向关系，即当λ>0时，向量b与α同向共线；当λ
为什么定理中的向量α是非零向量呢？试想，若α=0，当定理从前往后推出时，向量b必为零向量，0与0共线失去讨论意义；当定理从后往前推出时，则向量b为任意向量都可以，同时λ的值不确定，可取任意实数，即零向量与任意向量共线，向量共线的概念已做明确规定，故定理中限制向量α非零.
二、代数角度看定理
向量的坐标运算是平面几何代数化的重要工具，它把平面几何中的推理证明转化为一般的代数运算，起到了化繁为简，化难为易的作用.平面向量共线定理的代数形式为：
三、深度理解看推广
向量共线是解决平面内线段的平行与共线的有力工具，同时也是处理三点共线的常用方法.平面向量的共线定理在处理三点共线时可进一步推广为如下形式：。

空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用

共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。

O0010,向量共线定理的几个推论及其应用

l1 O A + l2 O B + l3 O C = O 且 l1 + l2 + l3 =0
证：① 当 O 点与 A、B、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；
② 当 O 点与 A、B、C 三点均不重合，则三点 A、B、C 共线 Û 存在 s，t∈R，且 s·t≠0，使得
s A B + t A C = O ，此时，s≠-t，否则 A B = A C ，从而 B 点与 C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：
一、定理的推论
推论一：向量b 与向量 a 共线 Û 存在不全为 0 的实数 l1 , l2 ，使 l1 a + l2 b = 0 ，这实质是定理的另
外一种表述形式。
推论二：三个不同点 A、B、C 共线 Û 存在一组全不为 0 的实数l1, l2 ，使 l1 A B + l2 A C = 0 。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中 A B , A C 均不为零向量，而推论（一）中，向量
∴
CM = CN + CB Þ CM =
CN +
C B ；∵B、M、N 三点共线.由推论（三）知，
1- l
2l
2
2l
2
1 - l + 3(1 - l ) = 1 Þ l =
3 即为所求
2l
2
3
3
例 3 （06 年江西高考题）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若O B = a1 O A + a200 O C ，且 A、B、C
0<x+y<1，且 x<0，y>0。从而应选 C。
M P
Q B
O

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

共线向量定理推论及证明

共线向量定理推论及证明共线向量定理是数学中的一个重要定理，它给出了判断向量是否共线的方法。

在本文中，我们将介绍共线向量定理的推论及其证明。

我们回顾一下共线向量定理的表述：如果两个向量的长度相等或者它们的长度为0，则这两个向量共线；如果两个向量的长度不相等且它们的长度不为0，则这两个向量不共线。

基于共线向量定理，我们可以得出以下推论：推论一：如果向量A与向量B共线，向量B与向量C共线，则向量A与向量C共线。

推论一的证明如下：根据共线向量定理，我们知道向量A与向量B 共线，那么它们的长度相等或者为0；向量B与向量C共线，那么它们的长度相等或者为0。

根据等式的传递性质，我们可以得出结论：如果向量A与向量B长度相等或者为0，并且向量B与向量C 长度相等或者为0，则向量A与向量C长度相等或者为0。

因此，向量A与向量C共线。

推论二：如果向量A与向量B共线，且向量A与向量C不共线，则向量B与向量C不共线。

推论二的证明如下：根据共线向量定理，我们知道向量A与向量B 共线，那么它们的长度相等或者为0；向量A与向量C不共线，那么它们的长度不相等且不为0。

根据等式的传递性质，我们可以得出结论：如果向量A与向量B长度相等或者为0，并且向量A与向量C长度不相等且不为0，则向量B与向量C长度不相等且不为0。

因此，向量B与向量C不共线。

通过以上推论的证明，我们可以看出共线向量定理的重要性。

它不仅可以帮助我们判断向量是否共线，还可以推导出一些与共线性相关的结论。

在解决几何问题和向量运算中，共线向量定理是一个非常有用的工具。

总结起来，共线向量定理的推论可以帮助我们更好地理解向量的共线性质。

通过这些推论，我们可以更加灵活地应用共线向量定理，解决各种与共线性相关的问题。

希望本文对读者有所帮助。

O0010,向量共线定理的几个推论及其应用

向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使b =λa 。

谓之“向量共线定理”。

以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。

以下通过例题来加以说明。

一、定理的推论推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。

注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。

这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。

显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。

推论五：设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC O λλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。

共线向量定理的推论的推广及其应用

共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。

在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。

下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。

一、推论的叙述及变式。

如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。

O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。

线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。

图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论：结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。

证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。

结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。

结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。

根据向量共线定理的几个推论及其应用,给出10个例子。

根据向量共线定理的几个推论及其应用，给出10个例子。

根据向量共线定理的几个推论及其应用本文将讨论根据向量共线定理得出的几个推论，并给出10个例子进行应用。

推论1：向量共线的充要条件向量共线的充要条件是它们可以表示为等比例的关系。

即，两个向量v和w是共线的，当且仅当存在一个非零常数k，使得v = kw。

实例1：设向量v = ⟨2, 4⟩，向量w = ⟨6, 12⟩，则v和w共线，因为可以表示为v = 3w。

推论2：向量共线的性质向量共线具有以下性质：1. 共线向量的数量不唯一。

对于任意一个向量v，与之共线的向量有无穷多个。

2. 共线向量的方向相同或相反。

共线向量的方向可以是相同的，也可以是相反的。

3. 共线向量的模长比例相同。

共线向量的模长之间存在一个恒定的比例关系。

实例2：考虑两个共线向量v = ⟨1, 2⟩和w = ⟨-2, -4⟩，它们的方向相反，模长的比例为2。

推论3：向量共线与线性相关两个向量共线等价于它们线性相关。

即，向量v和w共线，当且仅当它们的行列式为0。

实例3：设向量v = ⟨3, 6⟩，向量w = ⟨-2, -4⟩，则v和w共线，因为它们的行列式为0。

推论4：向量共线的应用向量共线的理论在实际中有很多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：根据向量共线定理，可以判断线段是否共线，计算线段的长度比例等。

2. 物理学：在力学、电磁学等物理学领域中，向量共线定理被广泛应用于描述物体的运动、力的合成等问题。

3. 工程学：在建筑、航空、航天等领域中，向量共线定理可以用于分析和计算结构的稳定性和强度等。

实例4-10：1. 在平面上，三个点A(2, 4)、B(-1, -2)、C(3, 6)共线。

2. 直线L:x/3 = y/2 = z/4，过点P(3, 6, 12)。

3. 三维空间中，平面P1：2x + 4y + 6z = 0 和平面P2：4x + 8y + 12z = 0 共线。

共线向量定理及其应用

共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。

推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。

二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。

（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0；（3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12；（6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。

2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。

3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。

4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广三点共线定理，又称三点确定一直线，它是平面几何学中一个基本定理。

它宣称，假设有三个不同的点，它们一定能构成一条直线。

本文主要介绍三点共线定理的推论及平面的推广，并且进一步评论该定理在空间几何中的推广。

一、三点共线定理：1. 定义：三点共线定理，又称三点确定一直线，是指，任意三个不同点，它们一定能构成一条直线。

2. 推论：（1）若由不同的三点确定的直线上含有两点，那么其余一点必然也在这条直线上。

（2）如果有一条直线上含有两点，则另一点也必然在这条直线上。

3. 例子：我们从A、B、C三点可以确定一条直线，若在这条直线上发现了B1点，B1点必然和A、C也在这条直线上。

二、平面推广：1.定理：三点共线定理也同样拓展到了平面中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个平行于某平面的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：三个点A、B、C在一个平面上，若在这个平面上发现了B1点，那么A、C也必定在这个平面上，这样就可以确定这个平面。

三、空间推广：1.定理：三点共线定理可以拓展到空间几何中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个空间中的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：如果三个点A、B、C全都在空间中，若空间中发现了B1点，那么A、C也必定在平面上，这样就可以确定这个平面。

总结：三点共线定理是一个基本定理，指任意三个不同点，一定能构成一条直线，并且这个定理在平面和空间几何中都能成立，一个平面或一个空中的直线，它的推论雷同，即：若有两点，另一点也在这个平面或这条直线上。

证明三点共线的向量定理

证明三点共线的向量定理证明三点共线的向量定理1. 引言在几何学中，共线是指多个点在同一条直线上。

证明三点共线的向量定理是一种常用的方法，它利用向量的性质来判断三个点是否在同一条直线上。

本文将深入探讨这个定理，通过提供详细的解释和举例，帮助您全面了解这一概念。

2. 向量的基本概念在开始证明之前，我们先了解一些基本的向量概念。

向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

向量可以表示为有序数对 (a, b)，其中a 和 b 分别表示向量在水平和垂直方向上的分量。

在这里，我们使用巴斯克定理，这是一个三角学中的基本定理，通过它我们可以找到一个向量的模长和方向。

3. 证明三点共线的向量定理现在我们来证明三个点是否共线的向量定理。

假设有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。

根据向量的定义，我们可以将向量 AB 表示为向量 a = (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BC 表示为向量 b = (x3 - x2, y3 -y2)。

如果这两个向量是平行的，那么向量 a 和向量 b 的比例关系为 a= k * b，其中 k 是一个常数。

这意味着点 A、B 和 C 共线。

为了证明这一点，我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值，如果比值等于常数 k，那么三个点就共线。

具体计算如下：a = (x2 - x1, y2 - y1)b = (x3 - x2, y3 - y2)k = a / b = (x2 - x1) / (x3 - x2) = (y2 - y1) / (y3 - y2)如果比值 k 等于常数，那么三个点 A、B 和 C 就共线。

4. 举例说明为了更好地理解上述证明过程，我们举个例子来计算三个点是否共线。

假设有三个点 A(1, 2)、B(3, 4) 和 C(5, 6)。

我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值：a = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)b = (5 - 3, 6 - 4) = (2, 2)k = a / b = (2 - 1) / (2 - 1) = 1由于比值 k 等于常数 1，所以点 A、B 和 C 是共线的。

向量的三点共线定理

向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。

它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。

二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。

在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。

定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。

三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。

特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。

性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。

四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。

特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。

特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。

五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。

规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。

特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。

向量共线的判定定理

向量共线的判定定理1. 引言向量是数学中重要的概念之一，在几何和物理等领域都有广泛的应用。

对于向量来说，共线是一个重要的性质，它表示两个或多个向量位于同一条直线上。

本文将详细探讨向量共线的判定定理。

2. 向量的定义在二维平面上，向量可以用有序数对表示，例如向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量a在x轴和y轴上的分量。

同样地，在三维空间中，向量可以用有序三元组表示，例如向量b可以表示为(b1, b2, b3)，其中b1、b2和b3分别是向量b在x轴、y轴和z轴上的分量。

3. 向量共线的定义向量共线是指两个或多个向量在同一条直线上，即它们的方向相同或相反。

如果存在一个非零实数k，使得向量a1 = k * a2，则向量a1和a2共线。

同样地，如果存在一个非零实数k1和k2，使得向量b1 = k1 * b2 = k2 * b3，则向量b1、b2和b3共线。

4. 向量共线的判定定理向量共线的判定定理可以简化为以下几种情况： 4.1. 两个非零向量共线如果向量a1和a2是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量a1和a2共线。

4.2. 三个非零向量共线如果向量b1、b2和b3是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量b1、b2和b3共线。

4.3. 多个向量共线如果有多个向量c1、c2、…、cn，其中n是正整数。

如果对于任意两个不同的向量ci和cj，它们的方向相同或相反，则向量c1、c2、…、cn 共线。

5. 向量共线的证明向量共线的判定定理可以通过向量的线性组合进行证明。

对于向量a1、a2和a3，如果存在非零实数k1和k2，使得k1 * a1 + k2 * a2 = a3，则向量a1、a2和a3共线。

证明思路如下： 1. 假设向量a1和a2共线。

2. 则存在非零实数k1，使得a1 = k1 * a2。

3. 将a1和a2代入k1 * a1 + k2 * a2 = a3，并整理得到(k1 + k2)* a2 = a3。

共线向量的推论

向量共线定理的几个推论及其应用推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。

注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。

这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则A B A C = ，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O-+-= ，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。

显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。

推论五：设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC Oλλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。

推论五实质是推论四的逆否命题。

推论六：点P 在ΔABO 的内部（不含边界）⇔存在正实数12,λλ，使得12OP OA OB λλ=+，且121λλ+<。

证：：如图，必要性：若点P 在ΔABO 的内部（不含边界），则12OP OA OB λλ=+，延长OP 交AB 于P 1，过P 作OA 、OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M ，N 点，过P 1作OA ，OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M 1，N 1点，显然11||||PM PM <，11||||PN PN <，12OP OM ON OA OBλλ=+=+。