向量共线定理的证明

向量共线定理的证明

向量共线定理向量a⃗与非零向量b⃗共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b⃗=λa⃗。

证明：

（1）首先需要证明如果b⃗=λa⃗，那么，向量a⃗与b⃗共线。

由数乘向量的定义知：一般地，实数λ与向量a⃗的积是一个向量，记作λa⃗，它的长度和方向规定如下：○1│λa⃗│=│λ││a⃗│；○2当λ>0时，λa⃗与a⃗的方向相同；当λ<0时，λa⃗与a⃗的方向相反；当λ=0时，λa⃗=0. 由此可知λa⃗与a⃗平行（共线）。

对于向量a⃗（a⃗≠0⃗）、b⃗，如果有一个实数λ，使得b⃗=λa⃗，那么，b⃗与λa⃗的模

一样大且b⃗与λa⃗的方向同。

所以，b⃗与a⃗共线。

（2）第二需要证明如果向量a⃗与b⃗共线，那么，b⃗=μa⃗。

如果向量a⃗与b⃗共线，则向量a⃗与b⃗方向相同或相反。若b⃗的长度是向量a⃗的长度的μ倍，则有│μa⃗│=│μ││a⃗│；

当a⃗与b⃗方向相同时，有μ>0,使得b⃗=μa⃗；当a⃗与b⃗方向相反时，有μ<0,使得b⃗=μa⃗.所以始终有一个μ，使得b⃗=μa⃗。

（3）第三需要证明λ存在的唯一性。

用反证法证明：

假设μ≠λ

∵ b⃗=μa⃗（（2）的结论）

b⃗=λa⃗（（1）的证明假设前提条件“对于向量a⃗（a⃗≠0⃗）、b⃗，如果有一个实

数λ，使得b⃗=λa⃗，那么，b⃗与λa⃗的模一样大且b⃗与λa⃗的方向同。”）

∴ b⃗= b⃗

∴μa⃗=λa⃗

∵a⃗是非零向量

∴μ=λ，而这与μ≠λ的假设矛盾，由此证明λ存在是唯一的。

把向量共线定理再表述一遍：