非欧几何的创立
对非欧几何的认识
非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范，它不仅带来了数学思想的深刻变革，也使人们的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。
数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本；1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD 开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划一条直线，而使之分为上、下两个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的两个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：“数学的本质在于它的充分自由”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但三人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 余年之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4．数学科研者的认识2.4.1 敢于挑战勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多年来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多年的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的。
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
非欧几何的诞生.
罗巴切夫斯基非欧几何的
基本思想是,即用与欧几里 得第五公设相反的断言:通 过直线外一点,可以引不止 一条而至少是两条直线平 行于已知直线,作为替代公 设,由此出发进行逻辑推导 而得出一连串新几何学的 定理.如(图1).
罗巴切夫斯基几何的其他结果
• 三角形三内角之和小于两直
角，假如三角形变大，使它 的所有三条高都无限增长，
０５级数教 ３７号 席先贵非欧几何的其他发明人高斯是最先认识到非欧几 何是一种逻辑上相容并且 可以描述物质空间,像欧氏 几何一样正确的新几何,但 他未发表过任何有关非欧 几何的论著,主要是担心世 俗的攻击.
另一位对非欧几何有研究 的是匈牙利青年波约，
罗巴切夫斯基
当罗巴切夫斯基一开 始公布他的这些新几 何学的定理时，的确 遭到了高斯所预料的 “波哀提亚人的叫 嚣”，面对种种攻击， 罗巴切夫斯基表现出 比高斯更有勇气．他 坚信自己是正确的， 他同时还坚信这种新 的几何终有一天“可 以像别的物理规律一 样用实验来验证”．
非欧几何的诞生
1826年2月11日是非欧几何的诞生日。 这一天就是年轻的数学家罗巴切夫斯基
宣读他的非欧几何论文的日子。
1893年，在喀山大学树立起了
世界上第一个为数学家雕塑的 塑像。这位数学家就是俄国的 伟大学者、非欧几何的重要创 始人——罗巴切夫期基。罗巴 切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский， 英文串法
Lobachevsky/Lobachevski i）（1792年12月1日—1856年 2月24日），俄罗斯数学家， 非欧几何的早期发现人之一。
第五公设是论及平行线的，它 说的是：如果一直线和两直线 相交，且所构成的两个同侧内 角之和小于两直角，那么，把 这两直线延长，它们一定在那
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
论非欧几何的诞生
论非欧几何的诞生Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。
通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。
从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。
继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。
无数困难问题得以解决。
许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。
但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。
大数学家们也不例外。
法国数学家达朗贝尔在1759年说。
第五公设问题是“几何原理中的家丑”。
18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。
萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。
其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。
之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。
他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。
在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。
非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果
非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果非欧几何的创立与数学的变革非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
经得起历史风霜考验的,只有欧几里得的《几何原本》《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。
但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。
特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。
出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。
从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。
然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。
这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。
非欧几何两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。
罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程
人的心 目中， 罗巴切夫斯基是一位很 有才华的青年数学家． 可是 ，出乎他
存在权利． 这些古怪的语言，竟然出 自一个头脑清楚 、 治学严谨的数家教
们 的意料 ， 这位年轻 的教授在简短的 开场白之后 ， 接着说 的全是一些令人
莫明其妙的话 ， 诸如三角形的内角和 小于两直角。 而且随着边长增大而无
最先提出来的． 公元前３ 世纪， 希腊亚
历 山 大里 亚 学 派 的创 始 人 欧 几 里 得 （ Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ， 约公 元前３ ３ ｏ ＿ ＿ 前２ ７ ５ ） 集 前
头就给 出了五 个公 理 （ 适 用于所 有科 学） 和五个公设 （ 只 应 用于 几 何 学 ） ，
的是 ：如果一直线和两直线相交 ， 所
为给出第五公设的证 明， 完成欧 几里得没能完成的工作 ，自公元前 ３ 世纪起到１ ９ 世纪初 。 数学家们投入了 无穷无尽 的精力 ， 他们几乎尝试 了各
开创 非欧 几何 的利器 ： 反证 法
尔公 理 “ 过 平 面 上直 线与 已知直线不 相交 ” 作 否定 ． 得到否定命题“ 过平 面上直线 外一点 ，至少可引两条直线与已知 直线 不相交” 。 并用这个 否定命题 和
也不肯作任何公开评论 ， 会场上一片
冷漠． 一个具有独创性 的重大发现作 出了 ， 那些最先聆听到发现者本人讲 述发现 内容的同行专家 ， 却因思想上 的守旧． 不仅没能理解这一发现的重 要意义 ． 反而采取 了冷淡和轻慢的态
家、 天文学家西蒙诺夫 ， 有后来成为
科学 院院士 的古普费尔 以及后来在 数学界颇有声望的博拉斯曼． 在这些
构 成 的两 个 同 侧 内角之 和 小 于 两 直
作为逻辑推演 的前提． 《 几何原本》 的 注释者和评述者们对五个公 理和前 四个公设都很满意 。 唯独对第 五个公
非欧几何创立过程及其教育价值
非欧几何创立过程及其教育价值全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：非欧几何是数学领域中的一个重要分支，它的创立过程曲折而又充满挑战，同时也具有重要的教育价值。
在本文中，我们将从非欧几何的发展历程、重要理论及其教育意义等方面展开探讨。
非欧几何的创立可以追溯到19世纪，当时欧几里得几何学被视为数学领域中的唯一标准。
随着数学研究的深入和发展，人们开始发现欧几里得几何并非是唯一的几何学体系。
在这个背景下，一些数学家开始尝试推翻欧几里得几何的基本假设，并提出了一些与欧几里得几何不同的几何理论。
在非欧几何的发展过程中，黎曼、庞加莱和狄拉克等数学家的贡献不可忽视。
黎曼几何的提出被认为是非欧几何的重要里程碑，它开辟了一条完全不同于欧几里得几何的研究方向。
黎曼几何不仅对数学领域产生了深远影响，还为后来的相对论和量子力学等物理学理论的发展提供了重要的数学基础。
非欧几何具有重要的教育价值，它对于培养学生的数学思维能力和创新意识具有积极的作用。
在传统的欧几里得几何学习中，学生主要被要求记忆和应用一些定理和公式，缺乏对数学本质的深刻理解。
而非欧几何则要求学生在逻辑性、抽象性和创造性等方面有更高的要求，从而培养学生的综合运用能力和问题解决能力。
非欧几何还可以激发学生的兴趣和热情，激发他们对数学的探索欲望。
传统的欧几里得几何学习内容相对单一和枯燥，很难引起学生的积极性和主动性。
而非欧几何则提供了一种全新的数学学习方式，能够引起学生的好奇心和求知欲，从而激发他们对数学的热爱和兴趣。
第二篇示例：非欧几何学是数学中的一个重要分支，起源于19世纪初的欧洲。
它的创立过程非常曲折和复杂，涉及到许多著名数学家的贡献和努力。
非欧几何学的创立不仅仅是数学界的一次革命，更是对传统欧几里德几何学体系的挑战和颠覆。
它的兴起和发展不仅为数学领域带来了新的思考和理论，还对现代教育体系产生了深远的影响和启发。
非欧几何学的创立过程可以追溯到哥伦比亚大学数学教授尼科拉斯·亨利·埃尔米特提出的“第五公设”问题。
非欧几何
非欧几何19世纪，由于各国数学家对欧几里得《几何原本≮五公设(见第五公设)的怀疑和探索，出现了许多不同于欧几里得几何的几何。
通常把这些称为非欧几何。
第一非欧几何——罗巴切夫基几何，就是在对平行公设的研究中诞生的。
罗巴切夫斯基是俄国数学家，1792年生于高尔基城的一个穷职员家庭。
他从小聪明好学，才思过人，15岁时以高材生的资格进入喀山大学，毕业即获硕士学位，后留校任教，历任教授、数学—物理系系主任、校长等职。
从1816年起，罗巴切夫斯基开始像他的前人一样尝试证明第五公设，但很快发现他的证明无法逃脱循环论证的错误。
于是他改变了研究方法。
罗巴切夫斯基首先提出两个不同的假设：(1)过直线AB外一点P只能作一条直线与AB不相交；(2)过直线AB外一点P不止作一条直线与AB不相交。
如采用(1)作公理，可以导出我们熟悉的欧几里得几何。
罗巴切夫斯基从(2)出发，推导出一系列前后一贯的命题，构成了逻辑上没有矛盾，但与欧几里得几何完全不同的另外一种几何。
罗巴切夫斯称这种新的几何系统为“虚几何学”。
1826年2月23日，俄国喀山大学物理—数学系的学术会议上，罗巴切夫斯基宣读了他的论文《几何原理概述及平行线定理的严格证明》，向被称颂为“几何学经典”的欧氏几何发出了挑战：“直到今天为止，几何学中的平行线理论是不完全的。
从欧几里得时代以来，两千年徒劳无益的努力，使我怀疑在概念(指…第五公设‟)本身之中，并未包含那样的真实情况!”1829—1830年他在《喀山学报》上发表《论几何基础》，这是世界上最早的非欧几何的文献；1837年他用法文发表了《虚几何学》；1840年用德文写他影响最大的专著《平行理论的几何研究》。
但由于罗巴切夫斯基的新学说背离了几千年的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威，也违反了人们的“常识”，因此，他的学说一发表，就遭到社会上的攻击、侮辱和谩骂。
科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”，有人在杂志上谩骂罗巴切夫斯基是“疯子”。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
大学 数学专业 空间解析几何第五章 非欧几何简介 PPT
19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯 基在否定第五公理的同时，假设其 反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平 行”，得到了一系列定理，并且认 为他得到了一门新的几何学。这是 过去2000年以来的重大突破。
π(α)
罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布 自己建立了新的几何学之后，得到 了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德 国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认 可是在他去世几十年后的事了.
欧氏几何
欧氏几何在公元前300年就已产生。 欧几里德在他的名著《几何原本》中，以5 个基本假设为基础，把当时人类已经掌握的纷杂 的几何知识变成一个演绎系统，使用逻辑推理方 法，一共推出了465个定埋。 这个系统所依据的只是几个虽然没有加以证 明，但是看起来相当明显，并且合乎人类经验的 假设。这几个“不证自明”的事实叫做公理 (axioms)。
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于 几何基础的假设》
(黎曼非欧几何)
(罗氏几何)
(欧氏几何)
椭圆几何 双曲几何 抛物几何
A+B+C=π
第五平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833)
平行公理
A
这个平行公理在所有公理之中是最不明显的， 所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的 公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年， 后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的 发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的 事实，是西方数学和中国数学不同的地方。
这五个公理是
1. 两点间必可连一条直线； 2. 直线可以任意延长； 3. 已知圆心及半径可作一圆； 4. 凡直角皆相等；
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
高斯非欧几何
高斯非欧几何
高斯非欧几何，又称为非欧几何学，是数学中的一个分支，与欧
几里得几何学相对应。
它的名字源于德国数学家高斯（Carl
Friedrich Gauss），他是非欧几何学的先驱之一。
传统的欧几里得几何学中，一直认为一条直线是一条无限延伸的
直线，并且两条不同的直线永远不会相交。
但是在高斯非欧几何学中，一条直线并不一定是无限延伸的，而且两条不同的直线可能会相交。
这些看似简单的变化，在数学上却有着深刻的意义。
高斯非欧几何学的广泛应用，已经不局限于数学学科内部，还被
应用到物理学、宇宙学、计算机科学等领域。
在物理学中，相对论就
是基于高斯非欧几何学理论的。
在计算机科学中，高斯非欧几何学的
一些概念，如Klein几何、Poincare几何等，被用于计算机图形学领
域的建模和渲染工作中。
总的来说，高斯非欧几何学是一门非常重要的数学分支，不仅有
着深刻的理论意义，还可以应用到许多不同领域中。
通过研究高斯非
欧几何学，我们不仅可以扩展我们对几何学的认识，还能够更好地理
解自然界与科学事物的运作规律。
非欧几何的开山祖师高斯波尔约罗巴切夫斯基的悲欢情结
非欧几何的开山祖师高斯\波尔约\罗巴切夫斯基的悲欢情结南康中学数学讲座材料主讲陈济林波尔约，J．(Bolyai，Janos)1802年12月15日生于匈牙利特兰尼西瓦亚的科罗日瓦(今罗马尼亚克卢日)；1860年1月17日卒于匈牙利毛罗什瓦萨尔海伊(今罗马尼亚特古穆列什)．波尔约的父亲F．波尔约(Bolyai)21岁进哥丁根大学，是著名数学家C．F．高斯(Gauss)的同学和终身好友，1804—1853年一直是毛罗什瓦萨尔海伊(Marosvásárhely)福音学院颇有名望的数学、物理、化学教授．在几何基础方面，他特别注重欧氏平行公设的研究，其数学代表作《写给好学青年的数学原理》(Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae)试图建立一个坚实而系统的几何基础及算术、代数、分析的基础．波尔约的生母S．V．阿卡丝(Arkos)是一位外科医生的女儿，死于1821年；后母T．娜格(Nagy)是一位铁商的女儿．波尔约在父亲指导下，少年时代就学习了微积分、分析力学等高深学科的基础知识．1818年考入维也纳帝国工程学院，在数学及其他学科上显示了天才，1822年毕业分配至军事部门，从事军事研究工作．1833年不幸遭车祸致残，他退役回到父亲家里，不久后母去世，两人在一起常有冲突，最后波尔约迁至偏辟的多马尔德(Domald)地区过着隐居式的生活．1834年，他与当地妇女R．V．娃本(Orbam)结婚，生有三个孩子，生活极端艰苦．1856年其父去世，同年他又与妻子中断了关系，晚年专心于文艺创作．他死于肺病，埋葬在奥匈帝国偏辟小镇毛罗什瓦萨尔海伊的墓地里．波尔约是非欧几何创始者之一．1894年，匈牙利数学物理学会主持修复了他的墓地，并建造雕像，供人景仰．1905年，匈牙利科学院高度表彰了他的功绩，颁发了以他命名的国际数学奖，奖励那些为数学进展作出巨大贡献的人，著名数学家J．H．庞加莱(Poincaré)、D．希尔伯特(Hilbert)及物理学家A．爱因斯坦(Einstein)都曾获得这个大奖．欧几里得《几何原本》(Elements)第1卷的第5个公设是平行公设：“若两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同旁内角之和小于两直角，则这两直线无限延长后必相交于该侧的一点”，实质是说明“在平面上过直线外一点，只能作一条直线与它平行”．但这一公设不象其他公设那样便于在实践中检验，欧氏也只是在证明第29个命题时才用到它，且在此后任何命题中不再引用．一部体系严密的经典著作出现这样文字冗长又非显而易见的公设似乎是个缺陷，从希腊时代到18世纪两千余年间，许多学者试图证明它，然而他们大都不自觉地引用了与第五公设等效的命题，因而使愿望落空．波尔约的父亲对欧氏平行公设问题探讨了大半辈子而徒劳无益．1820年，在大学就读的波尔约继承了父亲对平行公设的研究．开始，他也是从正面入手，试图用欧氏其他公设来证明平行公设，结果失败了．其父坚决反对儿子堕入在他看来是前途渺茫的深渊，1820年写信责令儿子必须停止这项研究，信中说：“它将剥夺你所有闲暇、健康、思维的平衡及你一生所有的快乐．这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔式的牛顿，这个夜任何时候也不会在大地上光明．”但波尔约并未被如此骇人听闻的言词所吓倒，他一方面深入了解和分析前人的研究过程；另方面又对自己所作研究进行认真的反思．他在与A．脱莱坎(Teleki)伯爵的管家K．悉阿斯(Siasr)的交谈中得到启发，开始用归谬法证明，即从反面来考虑命题，看否定平行公设能否引出与欧氏几何的其他公设或公理相悖的结果．在他不遗余力的严密推理下，不但没有发现任何矛盾，反而推出一系列全新的无矛盾的结论，为此，他断言第五公设是一条独立的公设，若能找到替代此公设的“平行公设”，便可以构成一门独立的新几何．这一别开生面的思想，使他独辟蹊径，构造了“新几何学”，他把它称为绝对几何，后人称为“虚几何”、“双曲几何”或“罗巴切夫斯基几何”，这是一种非欧几何．经过几年的艰苦努力，他于1823年写成了著名论文《空间的绝对几何学》(Appendix explaining theabsolutely true Sácnce ofspace)，时年21岁．11月3日，他兴奋地给父亲发出信函：“我决定出版自己关于平行线的著作，……，我已从乌有创造了另一个全新的世界”，他把手稿寄给父亲，请求父亲帮助出版，其父不相信这么年轻的儿子会有什么成就，更看不到冲破传统观念的束缚对科学发展和造就人才的意义，对儿子研究成果的反映非常冷淡，拒绝协助出版．1825年2月波尔约回家探亲，特地把含有绝对空间理论的这一文稿当面送给父亲看，其父为新几何中依赖于一个任意常数而迷茫，仍不能接受这种几何学．1826年，他把论文的德文抄稿寄给母校的数学老师，请求评审和支持，不幸抄稿遗失了．在波尔约表现出非凡的数学天才之际，其父也于1829年完成了他的《写给好学青年的数学原理》二卷，含三个附录．1831年(时隔8年)，经波尔约再三请求，其父才勉强同意将他的论文作为该书的《附录》之一出版，这篇被压缩到24页的的论文，是波尔约一生中发表的唯一成果．1831年6月20日其父写信给高斯，并将儿子《附录》样稿寄给他，想听听他的意见，但高斯没有回信，1832年1月16日又给高斯去信，高斯在3月6日的复信中写道：“关于你儿子的工作，当我一开始便说我不能称赞他时，你一定会感到震惊……，因为称赞他便等于称赞我自己，文章所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达结果，和我在30至35年前已开始的一部分工作完全相同，我真是被这些结果吓住了，……，但我本来就是不愿发表的，……”．信中虽夸奖波尔约是“头等品质的天才”，信的结尾还有注记，其中包括让波尔约确定如何在他的几何里求四面体的体积，但波尔约还是感到心情沉重，他不相信别人比他更早达到同一结果，认定高斯在这个发现上要夺优先权，尽管他后来相信高斯所讲是真话，仍认为高斯没有公开自己的发现是一个错误．由于高斯的那封回信，更由于文章历尽艰辛而出版后却没有引起多少反应，当罗巴切夫斯基独立研究的同样成果发表后，他甚至变得恼怒，以致有一段时间陷于失望而影响了数学工作．1837年，父子两人克服种种困难，参加了由莱比锡加勃罗诺协会(The Jablonow Societyin Leipzig)赞助的关于“虚量的严格几何构造”(The rigorousgeometric construction of imaginary quantities)问题有奖征解数学竞赛，以重振他俩在数学界的威望，但二人的解答因太复杂而落选．后来，波尔约研究过绝对空间中四面体的体积，并在1856年写成一个注记．波尔约一生中的最大成就是独立创建绝对几何．他首先摒弃了欧氏第五公设，建立了绝对空间的概念：在空间的平面上，过直线外一点有一束直线不与原直线相交．当这束直线减少为一条时，该空间就是欧氏空间．他用这一“平行公设”替代了欧氏平行公设，再与欧氏其他公理、公设结合，逻辑地演绎出一系列全新的、彼此相容的命题，建立起非欧几何．它与欧氏几何的主要差别，在于共面不交线这方面．非欧几何中，过定点和定直线共面的不交线有无穷多条；而欧氏几何中，过定点和定直线共面的不交线只有一条．这种非欧几何体系是否存在？用公理化的方法来探讨，即非欧几何体系的整个公理体系是否在逻辑上相容？如何能唯一地确定一个非欧几何体系？波尔约的重大贡献就在于他独立地、成功地解答了上述问题．非欧几何最终被人们所承认是其创造者死后的事情．波尔约作为《附录》的论文原为拉丁文，1867年译成法文，1868年译成意大利文，1872年译成德文，1891年译成英文．意大利数学家E．贝尔特拉米(Beltremi)在1868年的论著中又用微分几何的理论作出了非欧几何的模型，证明了只要欧氏几何学没有矛盾，则非欧几何学也没有矛盾；德国数学家F．克莱因(Klein)在1871年首次认识到从射影几何中可推导度量几何，并建立了非欧平面几何(整体)的模型；希尔伯特给出欧氏几何学完备的公理体系，证明了平行公理对其他公理是独立的，因而明确了非欧几何学成立的逻辑基础；爱因斯坦根据相对论证明了把我们所在的时空看作非欧空间的合理性，所以非欧空间对于空间型的问题也非常有用．这些研究最终使非欧几何获得了普遍的承认和应用，打破了欧氏几何的一统天下，从根本上革新了人们的几何学观念．非欧几何对于20世纪初关于空间和时间的物理观念的变革也起了重要作用，非欧几何首先提出了弯曲空间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具，人们在广义相对论的基础上研究了宇宙的结构，认识到宇宙结构的几何学是接近于非欧几何的．在天体大范围观测和原子论微观世界中有效的应用，充分显示非欧几何的创立有重大的哲学价值和划时代的意义．波尔约创立非欧几何的功劳是不可磨灭的．非欧几何被后世誉为“19世纪最有启发性、最重要的数学成就”．它与这一时期创立的近世代数一起，改变了人们处理数学问题的观点和方法，迎来了数学发展的新时代．波尔约是一位悲情数学家。
欧几里得第五公设问题：非欧几何的产生
欧⼏⾥得第五公设问题：⾮欧⼏何的产⽣关于欧⼏⾥得其⼈现在了解的很少.根据记载推断，欧⼏⾥得早年就学于雅典，在公元前三百年左右应托勒密王的邀请，在亚历⼭⼤城从事教学⼯作，传说他是⼀位温良敦厚的教育家，曾受教于柏拉图的“雅典学院”，深得柏拉图⼏何学的真传。
据传托勒密王曾问欧⼏⾥得有⽆学习⼏何的捷径，欧⼏⾥得回答说：“⼏何学⽆王者之道”。
另⼀则轶事说，⼀次⼀个学⽣刚学了第⼀个⼏何命题就问：“学了这些我能获得什么呢？”欧⼏⾥得叫来⼀个仆⼈吩咐说：“给这位先⽣三个分币，因为他⼀门⼼思从学过的东西中捞点什么。
”欧⼏⾥得写过不少数学、天⽂、光学和⾳乐⽅⾯的著作，现存的有《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》、和《镜⾯反射》等，还有⼀些仅知其名内容失传的著作如《圆锥曲线》、《衍论》、《曲⾯轨迹》、《辩伪书》等。
所有的著作中，最重要的莫过于《原本》。
关于《原本》原始的⼿稿已不存在了，只有后来的⼀些修订本。
从1482年到19世纪末，它已⽤各种⽂字出了⼀千版以上，除《圣经》以外没有任何其他著作，其研究、使⽤和传播之⼴泛能够与它相⽐。
《原本》的中⽂译本为《⼏何原本》，它的英⽂原名为《Elements》，应译作《原本》，《⼏何原本》中的“⼏何”⼆字是利玛窦和徐光启在1307年翻译成中⽂时加上去的。
《原本》并不是单纯地讲⼏何，还包括了⼏何数论和初等代数的⼀些内容。
《原本》共⼗三篇（后来有⼈⼜附加了两篇），包括5条公理、5条公设、119个定义和465个命题。
其中公理和共设的区分是采⽤亚⾥⼠多德的⽅法，同时沿⽤当时尺规作图的演绎证明的思想。
另外，由于毕达哥拉斯学派的不可公度量的发现造成很⼤困难，《原本》中采⽤⽐例理论，把基础建⽴在⼏何直观上，避免了⽆理数所造成的困境。
《原本》中的公设是指只适⽤于⼏何的真理，包括5个：1、从任⼀点到任⼀点作直线（是可能的）；2、把有限直线不断循直线延长（是可能的）；3、以任⼀点为中⼼和任⼀距离[为半径]作⼀园（是可能的）；4、所有直⾓彼此相等；5、若⼀直线与两直线相交，且若同侧所交两内⾓之和⼩于两直⾓，则两直线⽆限延长后必相交于该侧的⼀点。
欧式几何与非欧式几何的历史进程
编辑词条
Non-Euclidean geometry
非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓 广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几 何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
诞生
[编辑本段]
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出 另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线 的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改 进”的球面。
新闻网页知道mp3图片视频百科非欧几里得几何进入词条搜索词条帮助设置首页自然文化地理历史生活社会艺术人物经济科学体育片片起舞非欧几何在百科中为本词条的同义词已为您做自动跳转
非欧几里得几何_百科页码，1/3blogofxuyuan 实习小编 一级(46) | 我的百科 新闻 网页 贴吧 知道 MP3 图片 视频 百科
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼 几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似 性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复 变函数论等方面。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命 题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
非欧几何的由来
非欧几何的由来非欧几何的由来作者：彭林文章来源：《中学数学教学参考》点击数：5450 更新时间：2007-3-17在数学史乃至整个科学史中，很少有一个分支能像非欧几何一样对人类认识史发生如此直接的影响。
它的创立，不仅决定了近百年来数学许多领域的发展。
而且对现代人文学、宇宙学、物理学的进步以及人类时空观念的变革都产生深远影响。
正如伟大的物理学家爱因斯坦所指出的：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”。
1、第五公设问题的发生非欧几何的产生与著名的欧几里得第五公设密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行长期努力的结果。
公元前三世纪欧几里得( Euclid)在其著作《原本》中从一些被认为是不证直明的事实出发，通过逻辑演绎建立了第一个几何学公理体系一一欧几里得几何学。
这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为是数学严格性的典范。
但是人们感到欧氏几何中仍然存在着某些瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”一一若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线必在和小于二直角的一侧相交。
数学家们普遍认为这条公理所说明的事实并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它们似乎缺少作为一条公理所必需的直明性。
因此尽管人们并不怀疑第五公设本身的真实性，但却怀疑它作为公理的资格。
此便发生了数学史上有名的第五公设问题。
2、证明尝试的失败于是以证明第五公设为目的的种种尝试出现了。
从《原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。
因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。
通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。
曾经用来证明第五公设的等价命题有许多。
其中较简单的有芬恩( Fenn)1769年提出的：“两相交直线不能同时平行于第三条直线”还有英国普雷非尔(Playfair, 1748-1819)提出的“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行”等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非欧几何的创立
1893年，喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，他就是俄国著名学者，非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基。
那么，罗巴切夫斯基是怎么走上非欧几何的创立之路的呢？这就要说到公元前3世纪欧几里得在《几何原本》里给出的五个公设了，从那个世纪开始一直到19世纪初，无数数学家们都想要证明一直被证明不了的第五个公设—平行线理论，也就是我们所熟悉的“一个三角形不可能有两个内角都是90度”的说法，而罗巴切夫斯基，可能也想用这个公设的被证明来体现自己的价值，或是表达自己对学术的不懈追求，他也尝试去证明欧氏第五公设。
最初，他也是在前人的思路上继续求证，但是，当经历了无数次失败之后，他开始接受失败这一事实，开始反思，开始打破传统并换个角度思考问题，可能这个为人们千思万想要证明的权威公设根本就不可证。
于是，他大胆地进行了尝试，创造性的在这个问题上用了处理复杂数学问题的反证法。
他将“第五公设不可证”这一命题与其他公理公设组成新的公理系统，并展开逻辑推演，结果没有得出逻辑矛盾。
于是就这样证明了第五公设不可证。
因此，非欧几何的大门开始向世人打开。
1826年，随着他的论文《几何学原理和平行线定理严格证明的摘要》在喀山大学的宣读，非欧几何诞生。
可想而知，一个新的重大成果的问世，总是要受到一些批判与反对，甚至是无视；当然，罗巴切夫斯基没有停止研究，支持这一理论的部分学者们也在尝试证明非欧几何，终于，1868年，也就是罗逝世后12年，意大利数学家贝特拉米发表论文《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧几何可以在欧几里得空间的曲面比如球面上实现，也就意味着人们既然相信欧几里得没有矛盾，那么非欧几何就没有矛盾，于是，人们自然就开始尝试进入罗巴切夫斯基打开的那扇门内，若干年后，还称赞罗为“几何学中的哥白尼”。
那么非欧几何的创立告诉了我们什么呢？就是面对失败的时候，我们首先要承认失败，再自我反省，适当地改变自己的思维方向，更要勇于迈出第一步，并不轻易放弃，这样，就能离成功更近。