2020高考数学(理)全国各地最新模拟试题分类汇编解析 压轴题(八) Word版含解析
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题 Word版含解析
2020届西安地区八校联考高考.押题卷数学*理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}212A x x =-<-<，B 为函数()()2log 1f x x =-的定义域，则A B =（ ）. A. {}1x x <- B. {}3x x >C. {}1,1x x x -或 D. {}13x x <<【答案】D 【解析】 【分析】解不等式212x -<-<，即可求出集合A ；根据对数函数的特点即可求出函数()()2log 1f x x =-的定义域，进而求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为{}212A x x =-<-<， 所以{}13A x x =-<<；又函数()()2log 1f x x =-的定义域为()1,+∞, 所以{}1B x x =>； 所以{}13A B x x ⋂=<<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题. 2. 已知复数z 和虚数单位i 满足11i z+=.则z =（ ）.A.B.C. 2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，求出1122z i =+，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为11i z+=，所以()()111111122i z i i i i +===+--+，所以2z =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（ ）. A.55-B. 55C. 135D. 65-【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=，1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4. 已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）.A. 7-B. 6-C. 12-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小. 【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题. 5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. 24π+B. 28π+C. 44π+D. 48π+【答案】B 【解析】【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4， 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1， 所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 6. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最近距离为（ ）. A.2B. 2C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到直线30x y --=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(1)1x y -+=， 圆心坐标为()1,0，半径为1， 圆心到直线的距离22d ==， 21. 故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题. 7. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）. A. 1y =- B. 10x y +-= C. y e = D. y ex =【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题.8. 执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（ ）.A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】B 【解析】 【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立， 第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立， 输出16S =， 故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.9. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（ ）A.2B.3 C. 2D.23【答案】C 【解析】 【分析】求得b a 的值，再由21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 33b a π∴==，所以，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8【答案】A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11. 设函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，则当0x >时，()()f f x 的展开式中常数项是（ ）. A. 70- B. 35- C. 35 D. 70【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数求出()()f f x 的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项.【详解】函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩， ∴当0x >时，()()()882222211f f x f xx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式的通项公式为：()()82164188211rrr rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭， 令1640r -=，解得4r =；∴展开式的常数项为：()4458170T C =-=.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题. 12. 设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则函数()f x a b =⋅的最大值是（ ） A.32B. 32-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意可知，()21cos 213sin cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π-⎛⎫=⋅=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当3x π=时，即226x ππ-=时，()f x 取最大值， ()f x 最大值为113=sin 2=sin =3362222f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期是3π，则ω=______. 【答案】23【解析】 分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的 周期公式2T ωπ=，即可求出结果.【详解】由题意可知，23ππω=，所以23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了函数()sin y A ωx φ=+周期公式的应用，属于基础题.14. 已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是【答案】44π- 【解析】 【分析】计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率 【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”， 则A 中含有的基本事件对应的面积为4π-， 故所求的概率为44π-. 故答案为：44π-. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.15. 已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M △的面积是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出12,MF MF 的值，再根据勾股定理，可证明12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，由此即可求出结果. 【详解】由椭圆的定义可知，126MF MF +=， 又122MF MF -=，联立两式 121262MF MF MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得1242MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又12F F = 所以2221212MF MF F F +=，所以12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形， 所以12F F M △的面积为121142422MF MF ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题.16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.【答案】725-【解析】【分析】 计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sin θ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a ，则较短的直角边长为1a -，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. 已知公比不等于1的等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】【分析】（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解n S ，代入已知条件求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为()1q q ≠，由题意得()2111221112322a a q a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩， 解之得122q a =⎧⎨=⎩（1q =舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=；（2）由（1）得2n n a =，∴2n n b n =-，∴()()212121221222n n n n n n n S +⋅-++=-=---， ∴不等式12470n n S +-+<， 即24502n n +-+<， 得()()1090n n +->∴10n <-（舍去），或9n >（n +∈N ），故使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.18. 某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是45、35、25.且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率； （2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）101125；（2）分布列见解析；期望为5725. 【解析】【分析】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，则“该选手被淘汰”为事件112123A A A A A A ++，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；（2）由题意X 的可能值为1，2，3，()1,2,3X i i ==表示前1i -轮均答对问题，而第i 次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．【详解】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，“该选手被淘汰”为事件M .则()145P A =，()235P A =，()325P A =. ()()112123P M P A A A A A A =++()()()()()()112123P A P A P A P A P A P A =++142433555555=+⨯+⨯⨯ 101125= ∴该选手被淘汰的概率是101125（2）X 的可能取值为1，2，3.()()1115P X P A ===， ()()()()121242825525P X P A A P A P A ====⨯=，()()()()1212431235525P X P A A P A P A ====⨯=. ∴X 的分布列为X 1 2 3P 15 825 1225∴()1812571235252525E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19. 如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，2AB =，ABE △2，在棱BE 上确定一点P ，求使得直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值为1515时CP 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）322. 【解析】【分析】 （1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可.（2）设EB x =，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值求解即可.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，∵BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，BD BE B ⋂=，故AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解：设EB x =，则122x ⨯⨯=，得x =. 在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，2AB =，可得AG GC ==，1GB GD ==，过G 作直线l ⊥平面ABCD ，以G 为原点，直线GB 为x 轴，直线GC 为y 轴，l 为z 轴建立空间直角坐标系G xyz -.则()0,0,0G ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，(E，()1,CD =-，(1,CE =，()1,CB =，(BE =设()BP BE λ==，（01λ≤≤）∴()1,CP CB BP =+=； 设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则有 0,0,n CD n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得(3,1,n =-，∴2cos ,1510n CPn CP n CP -⋅===⋅， 解得12λ=，或74λ=（舍去）. ∴1,2CP ⎛= ⎝⎭，得CP 的长为32.【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题.20. 已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【解析】【分析】 （1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解；【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =. ∴抛物线C 方程为212x y =.（2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下：设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y . 由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立. ∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PB x y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202k b --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21. 已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数.（1）求函数()()()F x mfx g x =-（m 为常数）的单调区间； （2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a x M x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+.∴()()()()ln 11x F x mf x g x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++. 当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '=，得1m x m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<. 1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>. ()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立， 即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立， 设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++， 当2a ≤时，()0M x '≥，仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ，当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（选修：坐标系与参数方程）22. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====再转化为极坐标试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程（选修：不等式选讲）23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤.（1）求m 的值；（2）若,a b +∈R ，且112m a b a +=+，求3a b +的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）2.【解析】【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥，得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m=.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年高考全国卷理科数学模拟试卷(8)Word版附答案及解析
2020年高考全国卷理科数学模拟试卷（8）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 06.已知等比数列满足，则（）A. 5B. -5C. 7D. -77.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 12B. 15C.D.8.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.9.已知数列的前项和满足 ，则（ ）A. 196B. 200C.D.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A.B.C. 2D.11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A.B.C.D. 12.已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________14.已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______15.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若521212f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为_______16.设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,>2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈=. 若1n n nb a a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 三、解答题：共70分。
2020年山东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高：=2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a ＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log[（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=，=2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z 可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+=cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有：sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，sinθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由于数列{a n }的前n 项和S n =a n +，可得a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n =，可得b 2n ﹣1==．b 2n =．即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =a n +，∴a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1=3．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，解得a n ﹣1=n+1．∴a n =n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．=（2）b n=，∴b2n﹣1==．b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．2020年7月18日。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(理科)(含解析)
1.已知集合 A = {x (x +1)(x − 4) ≤ 0}， B = {x log2 x ≤ 2} ，则 A ∩ B = （ ）
A. [− 2 , 4 ]
B. [1,+∞)
C. (0,4]
D.[−2, +∞)
2.若复数 z 满足 z(1−i)2 = i （i 是虚数单位），则 z 为（ ）
b = 2×1 = 2
成 a < b 不 立
n =1+1= 2
a = 9 + 1 × 9 = 27 2 22 4
b = 2×2 = 4
成 a < b 不 立
n = 2+1= 3
a = 27 + 1 × 27 = 81 4 24 8
b = 2×4 =8
成 a < b 不 立
n = 3+1= 4
8 / 18
x≥ 0，
14．已知
，x y
满足Βιβλιοθήκη x+y
≥
4，若
x
+
2
y
的最小值为_________．
≤ x − 2 y 1.
．D [−1, 1] 3
15.已知 线 与 有 的 ， 是两 抛物
y2 = 2 px( p > 0)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
相同 焦点 F
P
曲
线的公共点，若
PF
=
5
，则此 的 为 . p
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。
2020高考理科数学经典押题(含答案)
2020高考数学经典押题（含答案）满分：100分，时间：60分钟一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A ． BCD ． 2.已知，则A ∩B =（）A ．B ．C ．D ． 3. 在中，角的对边分别为，若且，则（）A ．B ．C ．D ． 4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A． B ． C ．D ．5. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6. 函数的部分图象大致是（） z ()(1)1z i i +-=z =21222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=1(0,)31[2,)3-1(,2]31(,2)3ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 3sin ,A B c ==5cos 6C =a =348+6+6+8+,x y 22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2y x z x y =-7[,1]2-7[2,]2-77[,]23--3[,1]2-()22x xe ef x x x --=+-7. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，若成立，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则．14.在二项式的展开式中，其3项为，则．15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是．22221(0,0)x y a b a b-=>>x ,A B D ABD∆2))+∞U ()()231,ln 42x x f x eg x -==+()()f m g n =n m -1ln 22+ln 212ln 22+2ln 2m u r n r 2(11,2)m n -=-u r r 5m =u r n =r 6120x =E 1111ABCD A B C D -11C D 1//BD 1B CF 1BDCE A 2:2(0)C x py p =>O ,A B (0,8)M OA C ABO ∆p三、解答题（本大题共2小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数） （1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.{}n a 221111,n n n n a a a a a ++=+=-{}n b n n S 2n n S n a =+{}n a {}n b 11{}n n a b +n n T xOy 1C cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩2C 2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩1C 2C x l (cos 2sin )4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ M l2020高考数学经典押（答案）一、选择题1-5: ACB CA 6-8: D D A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）因为，所以，，因为，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知， 所以. 18.解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆. （2）由已知得，设，则， 直线，点到直线的距离为 ， 所以 ，即到直线的距离的最小值为. 52232211n n n n a a a a +++=-()()1110n n n n a a a a +++--=10,0n n a a +>>10n n a a ++≠11n n a a +-={}n a 11n a n =2n ≥12n n n b S S n -=-=1n =12b =2n b n =111111()2(1)21n n a b n n n n +==-++11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L 1C 22(1)1x y +-=(0,1)12C 2214x y +=x (0,2)P (2cos ,sin )Q θθ1(cos ,1sin )2M θθ+:240l x y --=Ml d ==5d ≤=Ml 5。
2020全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)含解析
17.（本小题 12 分）
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2
△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知 b 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
BC CD 1 AB 2
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
9.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a 3, c 2
3,bsinA
21. （本小题 12 分）
设函数 f x a2 ln x x2 ax a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）求使 e 1 f x e2 对 x 1, e 恒成立的 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
4 1 =（ 4 1 ）（a+b）=5+ 4b a ≥5+2
ab ab
ab
4b a 9 ab
e
e
e
河北省石家庄市2020届高三模拟(八)数学(理)试题 Word版含解析
2020届高三五月模拟考试（八）数学试卷（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )A. {2}A B =B. A B R =C. (){1,2}R BC A =-D. (){|12}R BC A x x =-<<【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >，再根据{2}AB =即可得到答案.【详解】因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-， 所以{2}A B =，AB R ≠，(){1,0,1}RC A B =-，()[2,1]{2}R C A B =-故选：A【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题. 2.已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A. B. 1-D. 1【答案】D 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+，1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．4.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A. 11B. 13C. 14D. 17【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果. 【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡ 继续执行循环：()12,120mod3,n =≡ 继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡ 继续执行循环：()15,150mod3,n =≡ 继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡ 跳出循环，输出17n = 故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若a b ，是两个非零向量，且13a b m a m b m ⎡⎤+==∈⎣⎦，，.则向量b 与a b -夹角的取值范围是( )A. 233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 2536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】设|a |=|b |=t ，设向量b 与a b -夹角为θ，由已知和a b ⋅ 222m t =-t 2，计算出a b -后，由向量数量积求出cos θ，由m 的范围可得结论．【详解】根据题意，设|a |=|b |=t ，则|a b +|=mt ，再设向量b 与a b -夹角为θ，则有|a b +|2=（a b +）2a =2b +2+2a b ⋅=m 2t 2，变形可得 a b ⋅ 222m t =-t 2，则有|a b -|2=（a b -）2a =2b +2﹣2a •b =2t 2﹣2（222m t -t 2）=4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a b -|=，则cosθ()222222112224m t t t b a b a b b b a b b a b t --⋅-⋅-=====---⨯-又由1≤m ≤1≤≤，则有≤cosθ12≤-， 又由0≤θ≤π，则有23π≤θ56π≤，即θ的取值范围为[23π，56π]；故选：C .【点睛】本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键． 6.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设()1ln ,0=-->f x x x x ，用导数法可得ln 1x x <-，从而有()ln 1,1+<>-x x x ，可得()0f x >确定选项.【详解】设()1ln ,0=-->f x x x x ， 所以()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以()()10f x f >=， 所以ln 1x x <-，所以()ln 1,1+<>-x x x ， 所以()()10ln 1=>-+f x x x ，排除B ，C ，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.7.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( )A. 4M NB.()4N MN-C.2M NN+D.42M NN+【答案】B【解析】【分析】首先求出0＜a＜1，0＜b＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.【详解】学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，得到N个实数对（a，b），因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以N个实数对（a，b）都在边长为1的正方形AOBC内，如图所示：若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以1a b+>，2212a bab+-＞，即a2+b2＞1，1a b+>所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，由几何概率的概率公式可得：21111411MNπ⨯-⨯==⨯114π-，所以π()4N MN-=，故选：B.【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A. (10)(1)-⋃+∞，， B. (1)(01)-∞-⋃，， C. (1)(1)-∞-⋃+∞，， D. (10)(01)-⋃，， 【答案】D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB 的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C. D. 8【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 2|=，代入计算即可求解. 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0）， 可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB|=|y 1﹣y 2|.=△MAB的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2|=， =，解得t =±1， 则|AB |=.=8， 故选：D .【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ()21nnS S -=.数列{b n }满足(1)(21)n n n b n a =-⋅+则数列{b n }的前100项和T 100为( ) A.101100B. 101100-C. 100101-D.100101【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出12,a a ，归纳猜测出n a ，再用数学归纳法证明猜测n a 对于*n N ∈成立，进而求出数列{b n }通项公式，用裂项相消法，即可求出结论. 【详解】∵()21n nnS a S -=，∴当n =1时，有a 1211(1)S S -=，解得a 112=；当n =2时，可解得a 216=，故猜想：a n ()11n n =+，下面利用数学归纳法证明猜想：①当n =1，2时，由以上知道a n ()11n n =+显然成立；②假设当n =k （k ≥2）时，有a k ()11k k =+成立，此时S k ()11111111112231122311k k k k k k =+++=-+-++-=⨯⨯+++成立， 那么当n =k +1时，有2221111111(1)(1)(1)11k k k k k k k k k ka S S a k a k S S a a k ++++++++--+-+===+++，解得a k +1()()1111k k =⎡⎤+++⎣⎦，这说明当n =k +1时也成立.由①②知：a n ()11n n =+.∵(1)(21)n n n b n a =-⋅+，∴111(1)(21)(1)()(1)1nn n b n n n n n =-⋅+⋅=-+++，∴数列{b n }的前100项和1001111111(1)()()()22334100101T =-+++-++++ 11001101101=-+=-. 故选：C .【点睛】本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于中档题. 11.对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先得到()cosx sinx cosxf x sinx sinx cosx ≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误；函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，△PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为68π.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C.12D.13【答案】D 【解析】 【分析】由已知作出图象，找出二面角P AC B --的平面角，设出AB BC AC ，，的长，即可求出三棱锥P ABC -的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC 长度的字母表示），再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求.【详解】如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED AC ⊥交AC 于点D ，连接PD ，则PDE ∠为二面角P AC B -的平面角的补角，即有6cos PDE， 易知AC ⊥面PDE ，则AC PD ⊥，而△PAC 为等边三角形，∴D 为AC 中点， 设22ABa BCb ACa b c ，，，则3PE PDsin PDE =∠=c 32c =， 故三棱锥P ABC -的体积为：1132V ab =⨯2231121212224c a b c abc c +⨯=≤⨯=，当且仅当a b ==时，体积最大，此时B D E 、、共线. 设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，由已知，248R ππ=，得R =.过点O 作OF PE ⊥于F ，则四边形ODEF 为矩形，则OD EF ==232ED OF PDcos PDE c ==∠=⨯=，2c PE =，在Rt △PFO 中222)(22c =+，解得2c = ∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为：332124243c ==.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.第II 卷二、填空题：13.已知()()511x ax -+的展开式中，2x 的系数为0，则正实数a =_____． 【答案】12【解析】 【分析】()()511x ax -+()()5511x ax ax =+-+，然后利用()51ax +展开式的通项公式研究2x ．【详解】解：∵()()511x ax -+()()5511x ax ax =+-+，故原式展开式中，含2x 的项为()244335511xC ax C ax ⋅⋅-⋅⋅()22510a ax=-，令25100a a -=，得12a =，或0a =（舍去）， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题．14.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若PAB △为等腰三角形，120PAB ∠=，则双曲线的离心率为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由已知条件求出(2,3)P a a -，代入双曲线方程得到221a b=，再求离心率即可. 【详解】如图所示：过点P 做PD x ⊥轴，垂足为D .因为PAB △为等腰三角形，所以2PA AB a ==， 又因为120PAB ∠=，所以60PAD ∠=.sin 603PD PA a =⋅=，cos60AD PA a =⋅=，故(23)P a a -.因为点(23)P a a -在双曲线22221x y a b-=上，所以2222431a a a b -=，即221a b=.222222212c a b b e a a a+===+=2【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 15.已知数列{a n }满足11111n n a a n n n n +-⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为_____. 【答案】22n n - 【解析】 【分析】由题意令n =1可得a 1，当2n ≥时，转化条件可得11111n n a a n n n n +--+=-，进而可得121na n n -=-，即可得解.【详解】因为数列{a n }满足11111n n a a n n n n +-⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭（n ∈N *），所以11111n n a a n n n n +-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭， ①当n =1时，110a -=即a 1=1，②当2n ≥时，由11111n n a a n n n n +-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭可得11111n n a a n n n n+--+=-， ∴数列11n a n n ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭从第二项开始是常数列，又212221a -=-，∴121n a n n -=-，∴()222n a n n n =-≥，又1121a ==-满足上式，∴22n a n n =-.故答案为：22n n -.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的能力与运算求解能力，合理构造新数列是解题的关键，同时要注意n 的取值范围，属于中档题. 16.改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.9974 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案．【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故()()12145452P Z P Z -<<≥=10.99740.00132-==， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足P （Z≤41）()()1254125410.97722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足P （Z≤48）()()1404840480.99722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()()()129373729370.84132P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()1440.52P Z ≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到， 而()()()1293731290.18572P Z P Z P Z -≤>≤==＜＜；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()()13850380.001352P Z P Z -<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，由0.18570.00135>，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④．【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin A sin CbsinB--=，且△ABC 外接圆的半径为1. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）4π；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理和题设条件，化简可得222a cb -=-，即22222a b c ab +-=，由余弦定理求得cos 2C =，即可求得角C ；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，求得2ab ≤=+即可求得面积的最大值.【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理22a b c R sinA sinB sinC====， 可得sin 2a A =，sin 2b B =，sin 2cC =，又由222sin A sin C b sinB --=，可得22442a c b -=，整理得222a cb -=-，即22222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 22a b c C ab +-==，又因为(0,)C π∈，所以4C π.（Ⅱ）由正弦定理2c sinC =，可得2sin 24c π==， 由余弦定理，可得2222222(22)2a b ab ab ab ab =+-⋅≥-=-， 可得2222ab ≤=+-，当且仅当a b =时等号成立，可得1221sin 2ABC S ab C ab ∆+==≤，当且仅当a b =时等号成立， 即ABC ∆面积的最大值为212+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．18.如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF //AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AO 中点H ，连结EH ，则EH ⊥BD ，又AC ⊥BD ，由此可证；（Ⅱ）以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，再根据平面的法向量的夹角即可求出答案．【详解】（Ⅰ）证：取AO 中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ，∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ， 又菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且EH ∩AC =H ， EH ，AC 在平面EACF 内， ∴BD ⊥平面EACF ， ∴BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，∴以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45°， ∵AB =4，∴AO =3AH 3=EH 3=∴H （0，0，0），A 30，0），D （3-2，0），O （3-，0，0），E （0，03， 平面ABCD 的法向量n =（0，0，1），AO =（﹣3，0，0），DE =33，，）， ∵EF //AC ，∴EF AO λ==（﹣3，0，0）， 设平面DEF 的法向量m =（x ，y ，z ），则3230230m DE x y z m EF x λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y 3=m =（032），∴cos 717n m n m n m ⋅===-⋅⋅,∴平面DEF 与平面ABCD 7=【点睛】本题主要考查线面垂直的证明和二面角的求法，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．19.已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1， 两式相减可得21a （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+，∴22b a- ⋅3212=-1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣my ﹣1=0， 则y 3+y423m =+，y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|==∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|223m ==≤=+，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0.【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.20.为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验.已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元.检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿.现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据.应选购哪种设备？请说明理由.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，13；（Ⅱ）不对剩余产品进行逐一检验，理由见解析；（Ⅲ）应选购乙设备，理由见解析.【解析】【分析】（I）利用频率分布直方图中的频率（概率）求出尺寸在[12,15]的产品件数，及在[14,15]的产品件数，得ξ的可能取值为0，1，2，分别计算出概率得概率分布列，由分布列计算出期望；（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，计算对剩余产品逐一检验和对剩余产品不检验需支付的费用，比较后可得；（III ）利用频率（概率）计算出两种方案的利润期望，比较可得．【详解】（I ）抽取的40件产品中，产品尺寸x ∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18，其中x ∈[14，15]的产品件数为40×（0.075×1）=3， ∴ξ的可能取值为0，1，2，∴P （ξ=0）2152183551C C ==，P （ξ=1）11153218517C C C ⋅==，P （ξ=2）23218151C C ==， ∴ξ的分布列为：∴E ξ＝03551⨯+1517⨯+211513⨯=. （II ）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50×100=5000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用50×10+200×90×0175=3650， ∵5000＞3650，故不对剩余产品进行逐一检验.（III ）设甲设备生产一件产品的利润为y 1，乙设备生产一件产品的利润为y 2， 则E （y 1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415， E （y 2）=50025⨯+40012⨯+200110⨯=420. ∵E （y 1）＜E （y 2）. ∴应选购乙设备.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的概率分布列和期望，考查期望的应用，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()ln 1f x x ax =++.（Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）()xf x xe ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(1,0)-；（Ⅱ）(,1]-∞.【解析】 【分析】（Ⅰ）先求导，对a 分类讨论，求出单调区间，结合零点存在性定理，即可求出结论； （Ⅱ）分离参数转化为满足1xlnx a e x x≤--在(0,)+∞上恒成立时，a 的取值范围，设1()x lnx g x e x x=--，通过求导求出min ()g x ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由已知得x ＞0，()'1fx a x=+. ①当a ≥0时，()0f x '>，此时f （x ）是增函数，故不存在两个零点； ②当a ＜0时，由()10f x a x'=+=，得10x a =-＞，此时10x a ，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '＞，此时()f x 是增函数； 当1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 时，()0f x '＜ ，此时()f x 是减函数， 所以1x a=-时，f （x ）取得极大值，由f （x ）有两个零点， 所以11()ln()0f a a-=->，解得10a -<<.又10a f e e ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以f （x ）在（0，1a-）有唯一零点. 再取021()e x a a=--＞， 则()01121212210e e e f x ln a a a aa -⎛⎫⎛⎫=+-+++--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜. 所以f （x ）在1()a-+∞，有唯一实数根， 所以a 的取值范围是(1,0)-.（Ⅱ）()xf x xe ≤恒成立，即ln 1x xe x ax ≥++在(0,)+∞上恒成立，即1xlnx a e x x≤--在(0,)+∞上恒成立. 令1()xlnx g x e x x =--，则()2'22x xlnx x e lnx g x e x x+=+=. 令2()xh x x e lnx =+，则()'212x xh x xe x e x=++＞0.所以()h x 在(0,)+∞上递增，而121(1)0,()10ee h e h e e=>=-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0()0h x =，即02000xx e lnx +=.∴0010000001111ln x x x e lnx ln ln e x x x x ⋅=-==令(),(0,)xx xe x λ=∈+∞，()(1)0xx x e λ'=+>， 所以()x λ在(0,)+∞上递增，∴001x lnx =. 而0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x 上递减；0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，故()g x 在0(,)x +∞上递增.所以0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值，0100min0000011()()1ln x x lnx x g x g x e e x x x x -==--=--=，∴a ≤1.所以a 的取值范围是(,1]-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及恒成立和最值的关系，确定极值点满足的条件是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线1(0)2πθββ=<<与曲线C 2交于O ，P 两点，射线22πθβ=+与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值.【答案】（Ⅰ）10x y -+=，4cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数t ，即得曲线C 1的普通方程. 由曲线C 2的参数方程消去参数α，得曲线C 2的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.曲线C 1的普通方程化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ-+=，则点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭.由112POQSOP OQ =⨯⨯=，求出β，即求OP 的值. 【详解】（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数），消去参数t ，得曲线C 1直角坐标方程为：10x y -+=.曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α，得直角坐标方程为2240x y x +-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ. 由于直线C 1的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 可得点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭，114cos 12cos sin POQSβββ∴=⨯⨯=+， cos sin ,4πβββ∴=∴=.∴|OP |＝4cos β=【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c =1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】证明：（Ⅰ）1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a =b =c ”时取等号；（Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭22113333222≥-=⨯-=，当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．。
【精编版】2020高考数学(理)全真模拟卷8(解析版)
备战2020高考全真模拟卷8数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数21()ln(1)4f x x x=+--的定义域为（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-【答案】C【解析】由题意可得：24010x x ⎧->⎨->⎩，即21x -<<,故选：C2.已知a R ∈,那么“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A3.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<4)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】由P (ξ<4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2。
又正态曲线关于x ＝2对称。
则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0<ξ<4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6。
故选A 。
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．9.5斤 D ．12斤【答案】A【解析】依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A. 5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 【答案】D【解析】若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，故A 错； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，也可能异面， 故B 错；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β则α与β可能相交，也可能平行，故C 错；对于D 项，由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α，又知n ∥β，故α⊥β，所以D 项正确．6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集为( )A.(5,)+∞B. (0,5)C. ()(),05,-∞+∞UD. (5)(),05,-+∞U 【答案】D【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =. 又当0x <时，0x ->，∴2()4f x x x -=+.又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()240f x x x x --<=，∴()220,04,04,0x x x f x x x x x ->--<⎧⎪==⎨⎪⎩. 当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >； 当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U ．7.已知函数()log (1)2,(0,1)a f x x a a =-+>≠恒过定点P ，若点P 在直线40(0,0)mx ny m n +-=>> 上，则41m n+取得最小值时m =（ ） A.1 B. 23 C. 43 D. 23±【答案】C【解析】(2,2)P ，从而2m n +=，1414442()()()5529n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥+⨯=，当且仅当4n m m n =即24,33m n ==时取“=”. 8.在复平面内，复数1532z i =-对应的向量为AB u u u r ，复数243232iz i+=-对应的向量为AC u u u r ，则ABC ∆的面积为( )A.22B. 3C.522D. 2【答案】A【解析】(3,2)AB =u u u r ，(2,6)AB =u u u r ，从而26cos =5AB AC A AB AC ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，1sin 5A = 12sin 22ABCS AB AC A ∆=⋅=u u u r u u u r . 9. 在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．99【答案】B【解析】因为在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，所以a n ＋3＝a n ，即数列{a n }中各项是以3为周期呈周期变化的．因为a 7＝2，a 9＝3，a 98＝a 3×30＋8＝a 8＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝2＋4＋3＝9，所以S 100＝33×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 100＝33×9＋a 7＝299，故选B.10. 设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A【解析】由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时， a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时， a ＝m ，b ＝3，tan α＝m3≥tan 60°＝3，∴m ≥9. 综上，m ∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.11.在Rt ABC ∆中，4CA =，3CB =，M 、N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．5[2,]2B ．11948[,]255C.[4,6] D ．14453[,]255【答案】B【解析】以CA ，CB 为,x y 轴建立直角坐标系，则：()()4,0,0,3A B ,3:34AB l y x =-，设33,3,(,3)44M a a N b b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，假设a b <，因为2MN =，所以85a b =-，CM CN ⋅u u u u r u u u r =225637165b b -+，又845b ≤≤，CM CN ⋅u u u u r u u u r =225637165b b -+=22556133()162525CM CN b ⋅=-+u u u u r u u u r 所以CM CN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围为11948,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.函数1()(,)f x ax a Z b Z x b=+∈∈+，，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝3．已知方程()sin(1)1f x A x =-+有1234,,,x x x x 共4个不等实根，则12341234()()()()f x f x f x f x x x x x ++++++=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解析】C【解析】函数f （x ）＝ax（a ，b ∈Z ），导数f ′（x ）＝a，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ＝3， 可得f （2）＝2a3，f ′（2）＝a0，解方程可得a ＝1，b ＝﹣1，（分数舍去），则f （x ）＝x ；方程x ﹣1A sin （x ﹣1）有x 1，x 2，x 3，x 4共4个不等实根，可令t ＝x ﹣1，可得t A sin t ，由g （t ）＝t A sin t 为奇函数，且t ≠0，可设t 1+t 3＝0，t 2+t 4＝0，g （t 1）+g （t 3）＝0，g （t 2）+g （t 4）＝0， 即有f （x 1）+f （x 3）＝g （t 1）+g （t 3）+2＝2， f （x 2）+f （x 4）＝g （t 2）+g （t 4）+2＝2， x 1+x 2+x 3+x 4＝4，则()()()()12341234224f x f x f x f x x x x x ++++==+++1，故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
压轴题(八)
12．(2019·湘赣十四校联考二)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝2，E 为AD 的中点，P 为正方形A 1B 1C 1D 1内的一个动点(含边界)，且|PE |≤5，则|P A 1→＋PB 1→＋PC 1
→|的最小值为( ) A ．17－1 B ．17－3 C ．17 D ．17＋1
答案 B
解析 设A 1D 1的中点为F ，连接EF ，PF ，则在△EFP 中，EF ⊥FP ，EP 2＝EF 2＋FP 2，∴FP 2≤1，∴点P 的轨迹是以F 为圆心，以1为半径的半圆面(位于正方形A 1B 1C 1D 1内)，以A 1为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
则A 1(0,0)，B 1(2,0)，C 1(2,2)，F (0，1)，设点P 的坐标为(x ，y )，则P A 1→
＝(－x ，－y )，PB 1→＝(2－x ，－y )，PC 1→＝(2－x ，2－y )，P A 1→＋PB 1→＋PC 1
→＝(4－3x,2－3y )． |P A 1→＋PB 1→＋PC 1→|＝
(4－3x )2＋(2－3y )2
＝3×
⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23－y 2
. 设Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，则|P A 1→＋PB 1→＋PC 1
→|＝3|PQ |≥3(|QF |－1)＝17－3.故
选B.
16．已知椭圆的焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，其中c ＝23∫π
40cos x d x ，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，∠F 1PF 2＝60°，则此椭圆的方程为________．
答案 x 215＋y 2
9＝1
解析 由题意，得在P (x 0，y 0)处的切线方程为yy 0b 2＋xx 0
a 2＝1.
所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
x 0，0，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，b 2y 0，
S △AOB ＝12×a 2b 2x 0y 0，因为y 20b 2＋x 20
a 2＝1≥2x 0y 0a
b ，
所以1x 0y 0
≥2
ab .所以S △AOB ≥ab .
当且仅当y 0b ＝x 0a ＝2
2时，△AOB 的面积最小． 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由余弦定理，得
4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－3r 1r 2＝4a 2
－3r 1r 2，
所以r 1r 2＝4
3b 2，
所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin60°＝33b 2
， 所以12·2c ·y 0＝33b 2，y 0＝3b 23c ＝22b ， 所以c ＝63b .
又因为c ＝23⎠⎛0π4cos x d x ＝23sin x
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin π4－sin0＝ 6.
所以b ＝3，a ＝15.
所以此椭圆的方程为x 215＋y 2
9＝1.
20．(2019·广东四校联考)某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在9月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克8元，销售价每千克12元，当天未卖出的水果全部转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：℃)有一定关系．若最高气温不低于30，则需求量为5000千克；若最高气温位于[25,30)，则需求量为3500千克；若最高气温低于25，则需求量为2000千克．为了制订今
年9月份订购计划，统计了前三年9月份的最高气温数据，得下面的频数分布表：
(1)求今年9月份这种特产水果一天需求量X (单位：千克)的分布列和数学期望； (2)设9月份一天销售这种特产水果的利润为Y (单位：元)，当9月份这种特产水果一天的进货量n (单位：千克)为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为多少？
解 (1)今年9月份这种特产水果一天的需求量X 的可能取值为2000,3500,5000.
P (X ＝2000)＝4＋1490＝1
5， P (X ＝3500)＝3690＝2
5， P (X ＝5000)＝
21＋1590＝25.
于是X 的分布列为
X 的数学期望E (X )＝2000×15＋3500×25＋5000×2
5＝3800.
(2)由题意，知这种特产水果一天的需求量至多为5000千克，至少为2000千克，因此只需要考虑2000≤n ≤5000.当3500≤n ≤5000时，
若最高气温不低于30，则Y ＝4n ； 若最高气温位于[25,30)，
则Y ＝3500×4－(n －3500)×3＝24500－3n ；
若最高气温低于25，则Y ＝2000×4－(n －2000)×3＝14000－3n .
此时E (Y )＝25×4n ＋25×(24500－3n )＋15×(14000－3n )＝12600－1
5n ≤11900. 当2000≤n <3500时，。