第四章功与能教案

为
A、B 之间的摩擦因数 ， m A mB ，
设 并设 A 滑到 B 的另一端时
A、B 恰好具有相同的速度， 求：B 板的长度以及 B 板
走过的距离 (A 可视为质点)。
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A B (a) A B (b)
解
解：A 向右滑动时，B 给 A 一向左的 摩擦力，A 给 B 一向右的摩擦力， 摩擦力的大小为
力点位移即质点位移。 若研究对象不是质点，有时受 力点位移与物体的位移不一致，这时 受力点位移指将受力部位视为质点时 该质点的位移。
受力点 A 移动 2S,才能使物体位 移 S，计算功时，取那个位移呢？应 取受力点 A 的位移。 用力 F 拉 B 端， 弹簧上各部分的 位移是不同的。B 点位移最大，A 点位 移最小为零，计算功时，取那点位移
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* 综合运用有关动量、角动量及功 能的各定理、定律， 解决质点在平面内运动时的简单 力学问题。
教学内容：
§4-1 功 §4-2 动能定理 §4-3 势能 §4-4 机械能守恒定律 （学时：3 学时）
教学重点：
* 变力的功的计算，功与能量的 区别和关系。 * 任意保守力场势能的计算。 * 动能定理、功能原理及机械能 守恒及其应用.

l Fr m G dr

F
解： 因小球极其缓慢地移动，近似认 为加速度为零， 所受合力为：水平力 F、重力 G、 拉力 FT, 矢量和 F + G + FT = 0
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由于合力的切向分量：
F cos mg sin
可得：
F mg tan
力 F 做功

0
A F dr F dr cos mgl


l
根据动能定理，外力的功等于 链条动能的增量。
mg 2 1 2 2 A (l a ) mv 0 2l 2
得
v
例 4.4
g 2 2 (l a ) l
质量为
mB 的木板静止在光
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滑桌面上， 质量为
mA 的物体放在木板 A
一初始速度
B 的一端，
现给物体 (a )） ，
v 0 使其在 B 板上滑动（图
§ 动能定理
一 质点的动能定理
4-2
设一质点在变力作用下， 沿一条 曲线路径运动，在 a 点、b 点速率分别 为 V 1 和 V 2。 当质点在某一位置移动一元 位移时，力 F 对质点所作的元功为：
dA F dr F cos dr
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F cos Ft
— —
力 在 切 线 方 向 的 分 量
6
以车为参考系：A1=FS 以地为参考系：A2=F（S+ut） 可见功的计算与参考系有关。 2. 变力对曲线运动物体作功
a
dr

F
b
l
* 元功： 物体在某一位置作一元位 移 dr ，力作的元功为：
dA F dr F dr
（4-2） * 力 F 的功： 物体由初始位置 a 经路径 L 到 b 过程中，力作的功为：
dr cos dr cos(
（此处 dr 为位 矢大小的增量） 故上式可以写为
m1m2 dA G dr 2 r
总功为：
A

dA

rb ra
G
m1m2 r
2
dr Gm1m2
注意：万有引力功只与质点的初态末态
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的相对位置 ra 、 rb 有关， 与路径 l 没有关系—— “保守力” ---------------------------------------------------------------------------------------
(4-6)
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将(4-6)式积分：
A

b
a
F dr

Ekb Eka
dEk Ekb E
(4-7) —— 质点动 能定理（积分形式） 表明：合外力对质点做的功等 于质点动能的增量。 讨论： （ 1） （4-7）式中，各量均系对同一 质点，相对同一参考系而言。 （2）动能定理是与一段做功的 过程相联系，表明了合功与初、未 状态动能的变化关系，不涉及中间 各个瞬时的运动状态。 （3）功和动能的概念不能混淆 质点运动状态一但确定， 动能就惟一确定了，动能是运动状
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A
dA
b a
F dr
（4-3 ） （力 F 沿路经 L 的线积 分） 3．功的几何表示 ： 变力 F（随位置变化的函数关系） 则 ： 力
x2 x1
F F ( x) F 的 功
A
dA
F dr
为
曲线与横轴包围的面积—阴影部分。
8
F(x)
O
x2 x1
x
二
合力的功
m A g
，将
A、B 视为一系统，摩擦力是内力，
因此系统水平方向动量守恒， 设 A 滑到 B 右端时二者共同速度为
v。
m Av0 ( m A mB )v
解得
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v0 v 2
再对 A、 B 系统用质点系动能定理 （摩 擦力功是一对力的功） ， 设 B 不动，A 相对 B 移动 L，摩擦力 的功为 m A gL ， 代入质点系动能定理
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态的函数，是反映质点运动状态的 物理量。 功是和质点受力并经历位移 这个过程相联系的，过程意味着状态变 化，所以功不是描写状态的物理量，它 是过程的函数。 二
质点系的动
能定理
质点系的总动能定义为各质点动 能之和
EK
1 Eki mi vi2 i i 2
对系统中第 i 个质点，应用质点 的动能定理
1 1 2 m A gL (m A mB )v m 2 2
可得：
v0 L 4 g
再单独对 B 板应用质点动能定理， 此时 B 板受的摩擦力做正功
2
mA g x
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1 mA g x mB v 2 0 2
得：
v0 2 x 8 g
--------------------------------------------------------------------------------------
由 于 A F dr
dr v ，代入上式，为： dt
dA P dt
及
10
dr PF F v dt
功率为力与质点速度的 点积。 * 作功公式：
A

t2 t1
Pdt
* 国际单位制： 功的量纲为 ML2T–2， 单 位为 J(焦耳)， 2 -1 功率的量纲为 ML T ， 单位为 W(瓦)。
第四章 功 与能
（讨论力的空间累积,动能定理、势能定理、功 能原理和机械能守恒定律）
教学要求：
* 掌握功概念 , 计算直线运动及简 单曲线运动中变力功。 * 掌握保守力作功及势能概念，计 算势能及由势能求保守力。 * 掌握质点动能定理和质点系动能 定理， 解决质点在平面内运动时的简 单力学问题。 *掌握机械能守恒定律， 分析简单系 统在平面力学问题。
根
据
dv Ft mat m dt
以及 上式，
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v
dr dt
代入
则：
dA F dr Ft dr m 1 mvdv d ( mv 2 ) 2
动 能 定 义
dr dt
dv
：
1 E k mv 2 2
上式为：
dA F dr dEk
—— 质点动能定理(微分形式) 表明 ：力对质点做的元功等于 质点动能的微增量 dE k 。 考虑质点从 a 经路径 L 运动到 b，相应的动能变化，
dA
b a
F21 dr21
（4-5
-----------------------------------------------------------------------------------------例 4.1 一绳长为 l，小球质量为 m
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的单摆竖直悬挂， 在水平力 F 的作用下，小 球由静止极其缓慢地移动， 直至绳与竖直方向的夹角 为， 求：力 F 做的功。
2
* 有关动量、角动量及功能的定 理、定律的综合运用。
作业： 4-01 ） ； 4-05 ） ； 4-08 ） ； 4-10） ；4-13） ； 4_15)；4_17)；4_20)； 4_21)；4_22)。
---------------------------------
§ 4-1 功
一. 功
功的定义： 力 F 所作的功等于力 F 与受力点位移 r 的标积。 1. 恒力对直线运动物体作功
3
F m
r
A F r F cos r
（4-1）
讨论： （1） 功是标量，有正负之分。 0≤θ <90° A>0 力对物体作正功。 θ =90° A=0 力对物体不作功。 90°<θ ≤180° A<0 力对物体作负功。 （2）关于受力点位移 若受力物体可视为质点，则受
4
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理。 （3） 当 A 内+A 外= 0 时，Ek2=Ek1。 表明，在外力和内力对质 点系所做的合功等于零 时，质点系的动能守恒。 ------------------------------------------------------------------------------例 4.3 一链条长为 l，质量 m，放 链条一端下垂， 长度 a。 假 设链条在重力作用下由静止开始下 滑， 求：链条全部离开桌面时 的速度。 在光滑的水平桌面上，
四
一对力的功
一对力特指两个物体间的作用力 和反作用力。一对力的功指在一个过程 中一对力作功的代数和。 一对力的元功之和：