北京市重点中学1011学年高二下学期3月月考(数学理)无答案
北京市高二下学期数学3月月考试卷A卷
北京市高二下学期数学3月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A . 12B . 24C . 36D . 482. （2分）在二项式的展开式中，含 x4 的项的系数是（）A . ﹣10B . 10C . ﹣5D . 53. （2分）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·长春月考) 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是（）．A .B .C .D . 15. （2分） (2017高二下·长春期中) 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A . 72B . 54C . 48D . 86. （2分） (2017高二下·东城期末) 在的展开式中，的系数为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·晋江期中) （1+x）n的展开式中，xk的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A . （1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）B . （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）C . （1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+10x10）D . （1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x10)8. （2分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A . 18种B . 24种C . 36种D . 72种9. （2分）（x2﹣x+1）3展开式中x项的系数为（）A . -3B . -1C . 1D . 310. （2分）已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车至少有2天准时到站的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若，则=（）A . -1B . 1C . 2D . 012. （2分）盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为（）A . 恰有1个是坏的B . 4个全是好的C . 恰有2个是好的D . 至多有2个是坏的二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（1﹣x）7的二项展开式中，x的系数与x3的二项式系数之和等于________．14. （1分）(2017·浙江模拟) 有3所高校欲通过三位一体招收24名学生，要求每所高校至少招收一名且人数各不相同的招收方法有________种．15. （1分）若随机变量η的分布列如下：η﹣2﹣10123P0.10.20.20.30.10.1则当P（η＜x）=0.8时，实数x的取值范围是________．16. （1分）(2013·北京理) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）计算下面各题（1）已知，求C8m；（2）解方程C =C165x﹣5；（3）计算C100+C111+C122+…+C10090 ．18. （25分）解方程Ax3+Ax2=12Ax﹣11 ．19. （5分） (2019高二下·涟水月考) 请阅读：当时，在等式的两边对求导，得，利用上述方法，试由等式（，正整数）.（1）证明：；（注：）（2）求；（3）求 .20. （10分）(2017·湖北模拟) 为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；（Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X 的分布列及数学期望．21. （10分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 .22. （10分）(2017·郴州模拟) 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
北京市高二下学期3月阶段性检测数学试题(解析版)
一、单选题1．函数在区间上的平均变化率等于（ ）()2f x x =[]0,2A ． B ．1 C ．2 D ．1232【答案】C【分析】根据平均变化率公式计算可得；【详解】解：因为，， ()()204y f f ∆=-=202x ∆=-=所以，即函数在区间上的平均变化率为； ()()20220f f y x -∆==∆-()2f x x =[]0,22故选：C2．设函数，则（ ）()2f x x x =+()()22limx f x f x∆→+∆-=∆A ．5 B ．C ．2D ．5-2-【答案】A【分析】根据瞬时变化率的求解方法即可求解.【详解】 ()()()()22000222222lim lim lim 55x x x f x f x x x x x ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆--==∆+=∆∆故选：A3．函数在处的导数为（ ） 3x y =2x =A ． B ． 96C ． D ．9ln 36ln 3【答案】C【分析】根据初等函数导数公式直接计算可得结果. 【详解】，所求导数为. ()33ln 3x x y ''== ∴9ln 3故选：C.4．若函数，则=（ ）()sin cos f x x x =+()4f π'A ．BC ．1D ．0【答案】D【分析】求导后代入求解即可4x π=【详解】由题意，，故()cos sin f x x x '=-cos sin 0444f πππ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭故选：D5．若函数，则（ ）()()3213f x x f x '=-+()1f '=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数即可求解.【详解】由函数，()()3213f x x f x '=-+则，()()2321f x x f x ''=-，所以.()()1321f f ''∴=-()11f '=故选：A【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，需熟记导数公式与运算法则，属于基础题.6．曲线在处的切线斜率是（ ） 2e x y =0x =A ． B ．1 C ．2 D ．1-e 【答案】C【分析】求得，得到，即可求得切线的斜率，得到答案.22e x y '=0|2x y ='=【详解】因为函数，可得，所以，即切线的斜率.2e x y =22e x y '=00|2e 2x y ='==2k =故选：C. 7．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．无零点B ．单调递增区间为 ()f x (),e -∞C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =【答案】C【分析】由的定义域为，可判定B 不正确；求得，得到函数的单()f x ()0,∞+()21ln xf x x-'=()f x 调性和极值的概念，可判定C 正确，D 不正确；结合单调性和，可判定A 不正确. ()10f =【详解】由函数，可得定义域为，所以B 不正确； ()ln xf x x=()0,x ∈+∞又由，令，解得， ()21ln xf x x-'=()0f x '=e x =当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0f x '<()f x所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值，e x =()f x ()1e ef =所以C 正确，D 不正确；当时，；当时，；当时，， (0,1)x ∈()0f x <1x =()10f =1x >()0f x >所以函数在定义域内有一个零点，所以A 不正确. ()f x 故选：C.8．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 2()x f x x e a =-a A ． B ． C ． D ．24(,)e +∞24(0,e 2(0,4)e (0,)+∞【答案】B【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取2()x f x x e a =-a 值范围.【详解】函数的导数为， 2x y x e =2'2(2)x x x y xe x e xe x =+=+令，则或，'0y =0x =2-上单调递减，上单调递增，20x -<<(,2),(0,)-∞-+∞所以0或是函数y 的极值点，2-函数的极值为：， 224(0)0,(2)4f f e e -=-==函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 2()x f x x e a =-24(0,e 故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.9．已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则（ ）R ()f x ()f x '()f xA ．B ． ()21f =-()()124f f ⋅<C ．D ．方程无解()()120f f ''<⋅()0f x '=【答案】C【分析】利用奇函数的性质并结合图象可判断AB 选项的正误，分析出为偶函数，结合图象()f x '可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于函数为奇函数，则，A 选项错误； ()f x ()()222f f =--<-对于B 选项，，，则，B 选项错误； ()12f -=()22f ->()()()()41122f f f f ⋅=-⋅->对于C 选项，，等式两边求导得，即， ()()f x f x -=- ()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=故函数为偶函数，由图可知，，， ()f x '()20f '->()10f '-<故，C 选项正确；()()()()02112f f f f '''⋅=--'⋅<对于D 选项，当时，由图可知，方程有解，D 选项错误. 0x <()0f x '=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数图象判断命题的正误，涉及函数奇偶性的应用，解题的关键要充分结合图象并分析出函数为偶函数，由此结合函数图象求解. ()f x '10．若函数满足在上恒成立，且，则（ ） ()y f x =()()xf x f x '>-R a b >A ． B ． ()()af b bf a >()()af a bf b >C ． D ．()()af a bf b <()()af b bf a <【答案】B【分析】构造函数，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项. ()()g x xf x =【详解】由，()()xf x f x '>-设，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以在上是增函数，()g x R 又，所以，即， a b >()()g a g b >()()af a bf b >故选：B.二、填空题11．一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为_______ ()23s t t =+2t =【答案】4【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可. 【详解】由条件可得：，()()()0022lim lim 44t t s t s t t∆→∆→+∆-=+∆=∆故答案为：412．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________．()y f x =P 5y x =-+()()3'3f f +=【答案】1【详解】由图可知 .()()()()32,'31,3'31f f f f ==-∴+=13．已知函数f (x )=ax 3+3x 2-6ax +b 在x =2处取得极值9，则a +2b =___________. 【答案】-24【分析】根据和列式可解得结果. (2)0f '=(2)9f =【详解】f ′(x )=3ax 2+6x -6a ， 因为f (x )在x =2处取得极值9，所以，即，解得，(2)0(2)9f f =⎧⎨='⎩121260812129a a a a b +-=⎧⎨+-+=⎩211a b =-⎧⎨=-⎩所以， 222224a b +=--=-故答案为：-2414．已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最()()1ln 0f x x a x a =-->()0+∞，()f x 21e ⎡⎤⎣⎦，大值与最小值的和为_____. 【答案】2e 3-【分析】先由“有且只有一个零点”求出实数的值，再求最值即可.a【详解】由，可得. ()1ln f x x a x =--()1a f x x'=-当时，，单调递减； 0x a <<()0f x '<()f x 当时，，单调递增， x a >()0f x '>()f x 又时,,时,,0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞要使在内有且只有一个零点，则. ()f x ()0+∞，()1ln 0f a a a a =--=设，则， ()1ln g x x x x =--()ln g x x '=-当时，，单调递增； 01x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减，1x >()0g x '<()g x 所以当且仅当时，取得最大值为. 1x =()g x (1)0g =所以有唯一解.()1ln 0f a a a a =--=1a =所以在上单调递增.()1ln =--f x x x 21e ⎡⎤⎣⎦，所以在上的最大值与最小值的和为.()f x 21e ⎡⎤⎣⎦，22(e )(1)e 3f f +=-故答案为.2e 3-【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、最值.一般先通过导数讨论函数的单调性和极值，判断函数图象的大致走向，从而对函数零点、最值和方程的根的情况等作出判断.15．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．()321ln 2=-+-f x ax x x x x a 【答案】10,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．【详解】由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零()23ln ax x f x x '=--()f x ()f x '点．由得，即，令，则，易知函()0f x '=23ln ax x x =+2ln 3x x a x +=()2ln x x g x x +=()312ln x xg x x -+-'=数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；12ln y x x =-+-1x =0y =01x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减．故，又当时，，当1x >()0g x '<()g x ()()max 11g x g ==10x e<<()0g x <1x >时，，所以要使有两个零点，需，即． ()0g x >()f x '031a <<103a <<故答案为：10,3⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题16．已知函数.()33f x x x =-（1）求曲线在处的切线方程； ()f x 0x =（2）求函数的单调区间与极值.()f x 【答案】（1）；（2）增区间，，减区间，函数的极大值为3y x =-(),1-∞-()1,+∞()1,1-()y f x =2，极小值为.2-【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；()0f ()0f '（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得()y f x =()y f x =出函数的单调区间和极值.()y f x =【详解】（1），，则，.()33=- f x x x ()233'∴=-f x x ()00f =()03f '=-因此，曲线在处的切线方程为；()y f x =0x =3y x =-（2）令，得，列表如下：()2330f x x '=-=1x =±x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x ' +-+()f xA 极大值A 极小值A所以，函数的增区间为，，减区间， ()y f x =(),1-∞-()1,+∞()1,1-极大值为，极小值为.()12f -=()12f =-【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.17．已知函数的极值点为2 ． 2()ln f x x a x =+（1）求实数的值； a （2）求函数的极值；()f x （3）求函数在区间上的最值．()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）极小值为；（3）8-(2)482f ln =-218e +【详解】分析: （1）直接根据求出a 的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的(2)0f '=()f x 单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦详解：（1）∵,∴()2ln f x x a x =+0x >()2a f x x x='+又函数的极值点为2， ()f x ∴， ()22202af =⨯+='解得．8a =-经验证得符合题意， 8a =-∴.8a =-（2）由（1）得.()28ln f x x x =+∴， ()()()22282x x f x x x x+-=-='当时，，单调递减，02x <<()0f x '<()f x 当时，，单调递增.2x >()0f x '>()f x ∴当时，有极小值，且极小值为2x =()f x ()2482f ln =-（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，()f x 1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]2,e ∴，()()min 2482f x f ln ==-∵，，2118f e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()218f e e f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭∴．()2max 118f x f e e⎛⎫==+ ⎪⎝⎭点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点()f x 1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]2,e 取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.1f e ⎛⎫⎪⎝⎭()f e 18．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，()32f x ax bx cx =++()y f x '=()2,0.如图所示.()4,0(1)求的单调区间； ()f x (2)求a ，b ，c 的值；(3)若函数有三个零点，求m 的取值范围.()y f x m =-【答案】(1)单调递减区间是；单调递增是和. ()f x ()2,4()f x (),2-∞()4,+∞(2) 1,9,24a b c ==-=(3) ()16,20m ∈【分析】(1)通过导函数的图象与原函数单调性的联系可得结果； (2)由导函数零点与原函数极值点可建立方程组，从而解得a ，b ，c 的值；(3)由图象可知函数的单调性及极值，函数有三个零点等价于与有三个()y f x m =-y m =()y f x =交点，继而可得m 的取值范围.【详解】（1）根据图象可知时，，即单调递减；()2,4x ∈()0f x '<()f x 和时，，即 单调递增；(),2x ∈-∞()4,+∞()0f x ¢>()f x 故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.()f x ()2,4()f x (),2-∞()4,+∞（2）由已知可得：和是的两个根，()232,f x ax bx c '=++2x =4x =()0f x '=由（1）可得的极大值在处取得，故 ()f x 2x =()2243243284220b ac a f a b c ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=++=⎪⎪⎩解得： 1,9,24a b c ==-=故答案为：1,9,24a b c ==-=（3）由（2）知，的极小值为：()32924f x x x x =-+()f x ()416f =结合的单调性可作其草图，如下所示()f x函数有三个零点等价于与有三个交点，所以. ()y f x m =-y m =()y f x =()16,20m ∈故答案为：()16,20m ∈19．已知函数，.()21ex ax f x =-R a ∈(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程 ()y f x =()()1,1f y x =(2)若，求证：当时，； 1a =0x >()0f x >(3)若的极小值为，求a 的值. ()f x 3-【答案】(1) 1y x =+(2)证明见解析 (3) 2e【分析】（1）由，求得，得出切点为，进而求得切线方程； ()11eaf '=-=a e =-(1,2)（2）当时，求得，得出函数的单调性和最小值，即可得证； 1a =()(2)e xx x f x -'=()24210ef =->（3）求得，当时，显然不成立；再分和两种情况讨论，求得函数()(2)e xax x f x -'=0a =0a >a<0的单调性和极小值，列出方程，即可求解.()f x 【详解】（1）解：由函数，可得， ()21ex ax f x =-()(2)e xax x f x -'=所以，可得，所以，即切点为，()11e a f '=-=a e =-()112e af =-=(1,2)所以切线方程为，即.21y x -=-1y x =+（2）解：当时，，可得，1a =()21ex x f x =-()(2)e x x x f x -'=当时，，单调递减；()0,2x ∈()0f x '<()f x当时，，单调递增，()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以的最小值为， ()f x ()24210ef =->所以当时，成立. 0x >()0f x >（3）解：对于函数，可得， ()21,R ex ax f x a =-∈()(2)e x ax x f x -'=①若，可得，此时函数无极值点，不符合题意（舍去）；0a =()1f x =()f x 令，解得或，()0f x '=0x =2x =②若，则：0a >当时，，单调递增；(),0x ∈-∞()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；()0,2x ∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以时，函数取得极小值， 2x =()f x ()2421e a f =-令，解得. 2413e a -=-2e a =③若，则：a<0当时，，单调递减；(),0x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增；()0,2x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，()2,x ∈+∞()0f x '<()f x 所以时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）.0x =()f x ()013f =≠-综上可得，实数的值为.a 2e 【点睛】方法技巧：解答有关函数的极值问题的方法与策略：1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；()f x '()0f x '=2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值； ()0f x '=()f x '3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. ()0f x '=20．已知函数.()(1)ln f x x x ax a =+-+（1）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；()y f x =(1,(1))f 4πa （2）若在上单调递增，求的最大值； ()f x (0,)+∞a（3）请直接写出的零点个数.()f x 【答案】（1）；（2）2；（3）见解析.1a =【分析】（1）求出，再根据切线的倾斜角可得.(1)2f a '=-1a =（2）根据函数为增函数可得在上恒成立，令，利用导数可求()0f x '≥(0,)+∞()()g x f x '=()min g x ，从而可得的最大值.a （3）结合（2）的结果可得当时的零点个数为1，而当时的零点个数为3.2a ≤()f x 2a >()f x 【详解】（1），故， 1()ln x f x x a x+'=+-(1)2f a '=-因为曲线在点处的切线倾斜角为，故即，()y f x =(1,(1))f 4π(1)1f '=21a -=故. 1a =（2）因为在上单调递增，故在上恒成立，()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞故在上恒成立. 1ln 0x x a x++-≥(0,)+∞令，则， ()1ln ,0x g x x a x x+=+->()21x g x x -'=当时，；当时，，01x <<()0g x '<1x >()0g x '>故在上为减函数，在上为增函数，()g x ()0,1()1,+∞故，故，故的最大值2.()()min 120g x g a ==-≥2a ≤a （3）由（2）的讨论可知当时，在上单调递增，2a ≤()f x (0,)+∞而，故此时的零点个数为1.(1)00f a a =-+=()f x 而当时，的零点个数为3.2a >()f x 【点睛】结论点睛：（1）函数在处的导数是函数图象在处切线的斜率；0x x =()()00,x f x （2）若可导函数在上为增函数，则在上恒成立.()f x (),a b ()0f x '≥(),a b 21．已知．()()ln 1f x x ax a =-+∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)若对恒成立，求整数a 的最小值． ()212f x ax x ≤-()0,x ∞∈+【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)2【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论. 1()f x a x'=-0a ≤0a >（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求22(ln 1)2x x a x x ++≥+22(ln 1)()2x x F x x x ++=+不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【详解】（1）的定义域为， ()f x 1(0,),()f x a x'+∞=-（ⅰ）当时，，∴在上单调递增； 0a ≤()0f x '>()f x ,()0x ∈+∞（ⅱ）当时，令， 0a >1()0100f x ax x a>⇒'->⇒<<令， ()10f x x a '<⇒>∴当时，在上单调递增；0a ≤()f x ,()0x ∈+∞当时，在上单调递增，在上单调递减． 0a >()f x 10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由，可得：， 21()2f x ax x ≤-()222(ln 1)a x x x x +≥++∵，∴原命题等价于对恒成立． 0x >22(ln 1)2x x a x x++≥+,()0x ∈+∞令，∴， 22(ln 1)()2x x F x x x ++=+()222(1)(2ln )()2x x x F x x x +'-+=+令，∴，∴在上单调递增． ()2ln G x x x =+2()10G x x'=+>()G x ,()0x ∈+∞又，(0.5)2ln 20.5ln 40,(1)10G G =-+=-+<=>故存在唯一的，使得．0(0.5,1)x ∈()0002ln 0G x x x =+=当时，，∴，00x x <<()0<G x ()0F x '>∴在上单调递增，()F x ()00,x x ∈当时，，∴，0x x >()0G x >()0F x '<∴在上单调递减．()F x ()0,x x ∈+∞∴， ()()()000max 02000002ln 121()22x x x F x F x x x x x x +++====++∴时，恒成立． 01a x ≥01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，又，∴a 的最小整数值为2．2a ≥a ∈Z 【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.第一步设出隐零点，然后代入得到等式，0x ()00x ϕ=第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值 ()0g x 第三步极值分离出代入，化简成新的表达式 ()0g x ()0x ϕ()0h x 第四步求的最值. ()0h x。
高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案
高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（ ）对（ ）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥， 则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。
北京市高二下学期3月调研数学试题(解析版)
一、单选题1．在等差数列中，，则的值为{}n a 1910a a +=5a A ．5B ．6C ．8D ．10 【答案】A【详解】解析：由角标性质得，所以=51952a a a +=5a2．已知函数，则（ ）()f x =()f x '=A ．BC ．D ．-【答案】A【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则，即可求得答案.【详解】由可得 ()f x =()11221(1)(1)(1)2f x x x -'⎡⎤'=-=-⨯-=⎢⎥⎣⎦故选：A 3．设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（ ）()f x ()f x 'A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由原函数的单调性是由导函数的函数值的正负，单调递增可得，单调()f x ()0f x '≥()f x 递减可得，数形结合即可得解.()0f x '≤【详解】解：由的图像知:当时，单调递减，，()f x (),1x ∈-∞()f x ()0f x '<当时，单调递增，，()1,4x ∈()f x ()0f x ¢>当时，单调递减，，()4,x ∞∈+()f x ()0f x '<由选项各图知：选项C 符合题意，故选：C.4．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ） {}n a q 1q >()*1N n n a a n +>∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出11a =-答案.【详解】解：当时，则，11a =-1n n a q -=-因为，所以，所以，1q >1n n q q ->1n n q q --<-故， ()*1N n n a a n +<∈所以不能推出， 1q >()*1N n n a a n +>∈当时，则，11a =-1n n a q -=-由，得， ()*1N n n a a n +>∈1n n q q -->-则，所以，1n n q q -<01q <<所以不能推出， ()*1N n n a a n +>∈1q >所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 1q >()*1N n n a a n +>∈故选：D.5．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D【答案】D 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.，所以，1(2,)n n a n n N-+=≥∈又，则1a f =7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数1n n a q a +=*0,q n N ≠∈1n n a q a -=*0,2,q n n N ≠≥∈{}n a 列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比{}n a 0n a ≠212n n n a a a --=⋅*3,n n N ≥∈{}n a 数列.6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()323f x x tx x =-+R t A ．B ．C ．D ．(],3-∞-[]3,3-()3,3-[)3,+∞【答案】B 【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范R R t 围.【详解】由，则，()323f x x tx x =-+()2323f x x tx '=-+因为函数在区间上单调递增，所以恒成立，()f x R ()0f x '≥即恒成立，则，解得.23230x tx -+≥24360t ∆=-≤33t -≤≤故选：B7．若直线是函数切线，则实数的值是（ ） y kx =()ln f x x =k A ． B ． C ．1 D ．21e 1e 1-【答案】B【分析】设切点为，利用导数的几何意义可求得的值，即可求得答案.00(,)x y 0x 【详解】由题意设切点为，则，00(,)x y 00ln y x =由，得， ()ln f x x =()1f x x '=故，故， 0001y k x x ==001,e y x =∴=故， 1ek =故选：B8．已知数列，若，，则（ ）{}n a 11a =121n n a a n +-=-51a =A ．2500B ．2501C ．2502D ．2503【答案】B【分析】利用累加法结合等差数列的前n 项和公式，即可求得答案.【详解】由，，11a =121n n a a n +-=-可得 5150504921511(())()a a a a a a a a -+-+-=++ ， 50(991)9997311125012+=+++++=+= 故选：B 9．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则'()f x ()f x x R ∈(1)0f -=0x >'()()0xf x f x -<使得成立的的取值范围是()0f x >x A ．B ． (,1)(0,1)-∞- (1,0)(1,)-È+¥C ．D ． (,1)(1,0)-∞-- (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【详解】构造新函数,，当时. ()()f x g x x =()()()2'xf x f x g x x -='0x >()'0g x <所以在上单减，又，即. ()0,∞+()()f x g x x =()10f =()10g =所以可得,此时， ()()0f x g x x=>01x <<()0f x >又为奇函数，所以在上的解集为：.()f x ()0f x >()(),00,-∞⋃+∞()(),10,1-∞-⋃故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造()()xf x f x '-.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就()()f x g x x=()()f x f x '+()()x g x e f x =()()f x f x -'构造，（3），就构造，（4）就构造()()x f x g x e=()()2f x f x +'()()2x g x e f x =()()2f x f x -'，等便于给出导数时联想构造函数. ()()2xf xg x e =10．数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论：{}n a 23n a n n =-n N ∈n n S ①存在正整数，使得；(),m n m n ≠m n S S =②存在正整数，使得；(),m n m n ≠m n a a +=③记则数列有最小项，()121,2,3,n n T a a a n == {}n T 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，23n a n n =-0n a =30a =23S S =3n ≥，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由，且当0n a ≥1232,2,0a a a =-=-=3n >时，，且单调递增，可判定③正确.0n a >【详解】由题意，数列的通项公式为，{}n a 23n a n n =-令，即，解得或（舍去），即，0n a =230n n -=3n =0n =30a =所以，即存在正整数，使得，所以①正确；23S S =(),m n m n ≠m n S S =由，可得当时，，且单调递增，23n a n n =-3n ≥0n a ≥当且时，可得，，所以；,[1,3]m n ∈,m n N +∈0m n a a +<0≥m n a a +≠当且时，时等号成立，[),3,m n ∈+∞,m n N +∈m n a a +≥m n a a =综上可得，不存在正整数，使得，所以②不正确；(),m n m n ≠m n a a +=由数列的通项公式为，{}n a 23n a n n =-可得，且当时，，且单调递增，1232,2,0a a a =-=-=3n >0n a >所以，所以当时，数列有最小项，所以③正确. ()121,2,3,n n T a a a n == 1n ={}n T 12T =-故选：C.二、填空题11．是等比数列的前和，，，则公比__________. n S {}n a n 18a =212S =q =【答案】##120.5【分析】根据已知求得，根据等比数列的公比的含义即可得答案.2a 【详解】由是等比数列的前和，，， n S {}n a n 18a =212S =可得，12212,4a a a +=∴=故， 2112a a q ==故答案为：1212．已知是等差数列，公差不为零.若，，成等比数列，且，则数列的通{}n a d 2a 3a 5a 21a =-{}n a 项公式是___________.【答案】1n a n =-【分析】根据条件列出关于公差和首项的方程，解之即可求解.【详解】因为数列是等差数列，公差不为零，且，，成等比数列，{}n a d 2a 3a 5a 所以，即，所以，2325a a a =⋅2111(2)()(4)a d a d a d +=++10a =又因为，所以公差，则，21a =-211d a a =-=-1(1)1n a a n d n =+-=-故答案为：.1n a n =-13．已知函数，则函数的单调递增区间为__________. ()ln x f x x =()f x 【答案】(0,e)【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.()0f x ¢>【详解】由函数可得， ()ln ,(0)x f x x x =>()21ln x f x x -'=令， ()21ln 0,0,0e x f x x x -'>∴>∴<<即函数的单调递增区间为，()f x (0,e)故答案为：(0,e)14．已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个()()()()23R f x x a x a =--∈3x =()f x a 的值为_________.【答案】4（答案不唯一，满足即可）3a >【分析】由极大值的概念及求导法则即可求解【详解】由题意得，，令,解得 ()()()()()()()()232333223323f x x x a x x x x a x x a =-+-⨯-=--+-=---'()0f x '=或， 3x =233a +当即时，在上单调递增，在上单调递减， 2333a +>3a >()f x (),3-∞233,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在处取极大值，()f x 3x =所以的一个取值可取，a 4a =故答案为：4（答案不唯一，满足即可）.3a >15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为，用的大小评价在这()W f t =()()f b f a b a---[,]a b 段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；[]12,t t ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；2t ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；3t ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．[][][]112230,,,,,t t t t t []10,t 其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数， ()()f b f a b a---在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治[]12,t t 理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数[][][]112230,,,,,t t t t t []12,t t 最大，即在的污水治理能力最强．④错误；[]12,t t 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力2t 比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 3t 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题16．设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，.{}n a 12a =324a a =+{}n b n n S 2n S n =(1)求与的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前项和；{}n n a b +n n T (3)设，求数列的前项和. 11n n n c b b +=⋅{}n c n n H 【答案】(1),2n n a =21n b n =-(2)1222n n T n +=-+(3) 21n H n n =+ 【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式即可求得，利用和之间的关系可求得； n a n S n b n b （2）利用分组求和的方法结合等差以及等比数列的前n 项和公式，即可得答案;（3）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案. 11n n n c b b +=⋅【详解】（1）由题意是公比为正数的等比数列，，，{}n a 12a =324a a =+设公比为q ，则，2224,2q q q =+∴=故；2n n a =由的前项和，，则，{}n b n n S 2n S n =111b S ==当时，，2n ≥221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-也适合该式，故.11b =21n b n =-（2）由题意可得1122()()()n n n T a b a b a b =++++++2(222)[13(21)]n n =+++++++- .1222n n +=-+（3）由（1）得， 111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===-⋅-+-+故 111111[(1)()()23352121n H n n =-+-++--+ . 11(122121n n n =-=++17．已知函数()33f x x x =-(1)若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；()f x ()()0,0f 10x ay ++=a (2)求在区间上的最值； ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，求的单调区间.()()()31g x f x a x =+-()g x 【答案】(1)3-(2)18;2-(3)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用两直线的垂直关系即可求得答案.（2）令导数等于0，求得极值点，计算出函数在区间端点处的值以及极值，比较大小可得答案. （3）求出导数，解不等式，即可求得函数的单调区间.【详解】（1）由得，则，()33f x x x =-()233f x x ¢=-()03f '=-由在点处的切线与直线垂直，()f x ()()0,0f 10x ay ++=可得. 1(3)(1,3a a--=-∴=-（2）令，则，()2330f x x '=-=1x =±当和时，，在上单调递增，1x <-1x >()0f x ¢>()f x (,1),(1,)-∞-+∞当时，，在上单调递减，11x -<<()0f x '<()f x (1,1)-故的极大值为，极小值为，()f x ()12f -=(1)2f =-又，， ()333918f -=-+=-39()28f =-故在区间上的最小值为，最大值为2. ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18-（3），故，()()()3313x g x a a x x f x ==--+()233a g x x =-'当时，，在上单调递减；0a ≤()0g x '<()g x (,)-∞+∞当时，，得 0a >()0g x '>x <x >故的单调递增区间为和， ()g x (,-∞)+∞时，得的单调递减区间为, ()0g x '>()g x (即当时，在上单调递减；0a ≤()g x (,)-∞+∞当时，的单调递增区间为和， 0a >()g x (,-∞)+∞单调递减区间为. (18．已知函数.()e x f x x =(1)求在点处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)求证：当时，.0x >()2f x x >(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.0x >()20f x ax -≥a 【答案】(1)2e e y x =-(2)证明见详解(3)e a ≤【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解；()1f ()1f '（2）当时，恒成立，等价于恒成立，0x >()2f x x >e x x >构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得证；()e x g x x =-()g x （3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立， e ,(0)xa x x ≤>再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解 e (),(0)xh x x x=>()h x 【详解】（1）由题意，，又()1=e f ()e e ,x x f x x '=+由导数的几何意义， ，(1)e e 2e k f '==+=所以在点处的切线方程：，()f x ()()1,1f e 2e(1)y x -=-即；2e e y x =-（2）当时，恒成立，等价于恒成立，0x >()2f x x >e x x >设，则，()()e ,0x g x x x =->()e 1x g x '=-当时，，所以，即在上为增函数，0x >e 1x >()0g x '>()g x ()0,∞+所以，即恒成立，恒成立，()(0)10g x g >=>e 0x x ->e x x >所以当时，，问题得证；0x >2e x x x >（3）若时，恒成立，0x >()20f x ax -≥等价于恒成立， e ,(0)xa x x≤>令，则， e (),(0)xh x x x =>2(1)()x e x h x x '-=令，得，()0h x '=1x =当时，；当时，，()0,1x ∈()0h x '<()1,x ∈+∞()0h x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()0,1()1,+∞则，min ()(1)h x h e ==故当时，原不等式恒成立.e a ≤【点睛】利用导函数解不等式常见思路：（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．19．设等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且{}n a n n S 28a =440S ={}n b n n T ，.230n n T b -+=*N n ∈(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前项和. ,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}nc 21n +21n P +【答案】(1)，（），，（）4n a n =*N n ∈132n n b -=⋅*N n ∈(2)212212482n n P n n ++=+++ 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，可求数列的通项公式；n {}n a 对于数列，当时，，先求出递推公式，从而得到的通项公式；{}n b 2n ≥1n n n b T T -=-{}n b （2）利用分组求和的方法可求数列的前项和.{}n c 21n +21n P +【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得{}n a d ，解得，所以，（）； 1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩144a d =⎧⎨=⎩4n a n =*N n ∈对于数列，由已知，当时，，得，{}n b 1n =11302b b +-=13b =当时，， ，2n ≥230n n T b -+=11230n n T b ---+=两式相减，得，所以数列为等比数列，12,(2)n n b b n -=≥{}n b 得，（）.132n n b -=⋅*N n ∈（2）由（1）可得设, 14, 32,n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数所以211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++ 44(21)6(14)(1)214n n n ++-=⋅++-2122482n n n +=+++20．已知函数()()2ln 1f x x ax x =-+-+(1)若，求函数的极值点.1a =()f x (2)若函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围.()f x a 【答案】(1)极小值点为，极大值点为0； 12-(2)()2,+∞【分析】（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可1a =()()2ln 1f x x x x =-+-+求得函数的极值点；（2）先求导数，由函数既有极大值又有极小值，转化为在定义域上两个不同实根，()f x ()0f x '=再由二次方程的根的分布即可求的取值范围．a 【详解】（1）当时，，定义域为，1a =()()2ln 1f x x x x =-+-+()1,-+∞则，令，可得或， ()1(21)2111x x f x x x x -+=-'+-=++()0f x '=12x =-0x =列表： x 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12- 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0()0,∞+ ()f x ' -0 +0- ()f x A 极小值 A 极大值A 由上表可知，函数的极小值点为，极大值点为0； ()f x 12-（2），定义域为，()()2ln 1f x x ax x =-+-+()1,-+∞ ()()()22211211x a x a f x x a x x -+-+-'=-+-=++()1x >-记，，()22(2)(1)h x x a x a =-+-+-()1x >-因为函数既存在极大值又存在极小值，()f x所以在上有两个不同实根，即在上有两个不同实根，()0f x '=()1,-+∞()0h x =()1,-+∞由二次方程的根的分布可得，解得， ()()()212210214Δ2810h a a a a a ⎧-=-+-+-<⎪-⎪->-⎨⎪⎪=-+->⎩2a >-所以的取值范围为．a ()2,+∞21．若有穷数列满足且对任意的，{}n a ()12:0,3k a a a k N k *≤<<<∈≥ ,(1)i j i j k ≤≤≤至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质j i j i a a a a +-与{}n a {}n a P （1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为的数列具有性质，求证：；(,3)k k N k *∈≥{}n a P ()1212k k k ka a a a a -=++++（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的(,3)k k N k *∈≥{}n a P 4k ={}n a 例子，并证明当时，数列是等差数列4k >{}n a 【答案】（1）数列不具有性质，理由见解析；（2）证明见解析；（3）数列具有1,2,4,8P 0,1,4,5性质，但该数列不是等差数列，证明见解析.P 【解析】（1）根据性质的定义判断；P （2）根据性质有若，则，从而得,这个等式P k i a a M +∉k i a a M -∈(1)k k i i a a a ---=(1,2,,)i k = k 相加后可证；（3）由（2）得，设，得，设，得10a =2i k ≤≤1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-31i k ≤≤-，两者相减得，得证等差数列．1(13)k k i i a a a i k ---=≤≤-11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-【详解】解：（1）数列不具有性质1,2,4,8P 因为，但是，它们均不是数列中的项，01248≤<<<415,413+=-=1,2,4,8所以数列不具有性质.1,2,4,8P （2）证明：因为，所以，即，所以k k a a M +∉k k a a M -∈0M ∈10a =设，因为，所以.2i k ≤≤k i a a M +∉k i a a M -∈则得12210k k k k k k k k a a a a a a a a a a --=-<-<-<<-<-L 因为12310k k a a a a a -≤<<<<<L 所以11223211,,,,,k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a ----=-=-=⋯⋯-=-=将上面的式子相加得()12211231k k k k k k ka a a a a a a a a a a ----+++++=++++L L 所以.()1212k k k ka a a a a -=++++ （3）数具有性质，但该数列不是等差数列.(答案不惟一)0,1,4,5P 下面证明当上，即时，数列是等差数列.4k >5k ≥{}n a 由（2）得10a =①设2i k ≤≤由（2）知12210k k k k k k k k a a a a a a a a a a --=-<-<-<<-<-L 因为，12310k k a a a a a -≤<<<<<L所以11223211,,,,,k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a ----=-=-=⋯⋯-=-=因此.(*)1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-②设，31i k ≤≤-则，所以，得.112k i k k a a a a a --+>+=1k i a a M -+∉1k i a a M --∈由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<<-<-=L 及123320k k a a a a a --≤<<<<<L 可得111122133133,,,,k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ---------=-=-=⋯⋯-=所以.1(13)k k i i a a a i k ---=≤≤-因为，由上知，，且，5k ≥111k k a a a ---=122k k a a a ---=所，且，111k k a a a ---=122k k a a a ---=所以.(**)1(11)k k i i a a a i k ---=≤≤-由(*)知，1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-两式相减11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-所以当时，是等差数4k >123,,,,k a a a a L 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是新定义对数列进行转化，在证明等差数列时，利用性质得出，解题时从数列最大项开始考虑，确定最大项与P 11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-前面各项的差仍在数列中，这是解题的关键所在．。
北京市101中学高三数学3月月考试题理
北京 101 中学 2018 届放学期高三年级 3 月月考数学试卷（理科）一、选择题：共8 小题，共40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.在复平面内，复数z 知足 z（1+i） =2，则 z 的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限2.已知直线 l：x+ay-1=0 ，l：（ a+1）x-ay=0 ，若 p：l∥l；q：a=-2 ，则 p 是 q 的（）1212A. 充要条件B. 充足不用要条件C. 必需不充足条件D. 既不充足也不用要条件3x y603. 设 x， y 知足拘束条件x y20 ，则目标函数z=-2x+y 的最小值为（）x0,y0A. -4B. -2C. 0D. 24.我国古代数学文籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相遇?”现用程序框图描绘，如图所示，则输出的行值n 为（）A. 5B. 4C. 3D. 25. 函数 y=2x 2-e |x|在 [-2， 2] 的图象大概为（）6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6 个年级的学生出门观光包含甲博物馆在内的6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆观光，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A. A2 ×A 4 种B. A2 4C. C2 42 ×A 4 种×5 种 ×5种D. C6566657. 设函数 f （x ） =Asin （ x+ ）（ A ， ，是常数， A>0， >0），且函数 f （ x ）的部分图象以下图，则有（）A. f (3) f ( 5) f ( 7 ) 4 3 6 B. f (3) f ( 7) f ( 5 ) 46 3C. f (5)f (7)f ( 3)364D. f (5 ) < f ( 3)f (7)3 468. 已知 A 、 B 是单位圆 O 上的两点（ O 为圆心），∠ AOB=120°，点 C 是线段 AB 上不与 A 、 B重合的动点。
北京市重点中学1011学年高一下学期3月月考(数学)无答案
北京市重点中学10-11学年高一下学期3月月考高 一 数 学2011.03一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1、已知120n n a a +--=，则数列{}n a 是 （ ）A 、递增数列B 、递减数列C 、常数列D 、摆动数列2、ABC D 中，tan tan 1A B > ，则ABC D 为 （ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定3、若数列{}n a 是等差数列，33a =，69a =，则12a = （ ）A 、15B 、21C 、27D 、814、ABC D 中，AB =，1AC =，30B ? ，则ABC D 的面积为 （ ）A 、2B 、4C 、2、2或45、若a 即是2x 和2x 的等差中项，又是2x 和2x 的等比中项，则a 的值为 （ ）A 、0B 、4C 、0或4D 、4或4-别为30 与60 ，6、在200米高的山顶上测得一建筑物顶部与底部的俯角分则建筑物高为 （ ）A 、4003米B 米C 米D 、100米7、锐角ABC D 中，如果1,2a b ==，那么c 的范围是 （ ）A 、13c <<B 、1c <<、35c << D c <8、等比数列{}n a 中，233a a +=，44a =，则56a a += （ ）A 、8-B 、89- C 、24 D 、89-或24二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9、在ABC D 中，::3:5:7a b c =，则角C =10、已知123232n a a a na n ++++= ，则n a =11、若数列1,,,15a b 的前三项成等比数列，后三项成等差数列，则a b +=12、若等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S t +=+，则公比q 等于 ，t =13、在ABC D 中，若(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C A B C A B +++-=，则C 的大小等于14、已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n N Î，2011a = ， 2016a =三、解答题（共4小题，每小题11分，共44分）15、数列{}n a 是等差数列，23a =，前四项和416S =。
北京市重点高二下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．在数列中，，且，则等于 {}n a 12n n a a +=+11a =4a A ．8 B ．6 C ．9 D ．7【答案】D【分析】根据递推关系得出数列为等差数列，且求得公差，由此计算得的值.4a 【详解】由于，故数列是首项为，公差为的等差数列，故12n n a a +-=n a 121431327a d a +=+⨯==，故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列的识别，考查等差数列项的计算，属于基础题.2．函数处的导数等于（ ） ()f x =1x =()1f 'A ．B ．C ．1D ．212-12【答案】B【分析】对求导，将1代入求值即可. ()f x ()f x ¢【详解】由. ()f x '=()112f '=故选：B3．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ） {}n a 3105,9,n a a S ==-{}n a n n S n A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】根据解得：然后求得：，3105,9,a a ==-2,112;n d a n =-=-()2210525n S n n n =-+=--+当时取最大值，且； 5n =n S ()max 25n S =【详解】因为所以 3105,9,a a ==-()3952,3112;7n d a a n d n --==-=+-=-因为，所以112n a n =-()()229112105252n n n n S n n +-==-+=--+所以当时取最大值，且； 5n =n S ()max 25n S =故选：B4．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c ）随开窗通风换气时间（t ）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）A ．B ．C ．D ．[5,10][5,15][5,20][5,35]【答案】C【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、5t =10t =15t =20t =35t =A B C D E ，由图可知，0AB AC AE AD k k k k >>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；[5,20]故选：C5．四位同学返校看望老师，由于时间关系，只见到语文，数学，英语三位老师，于是他们邀请老师一起照相，三位老师坐中间共有多少种排列方式（ ） A ．90 B ．120 C ．144 D ．216【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理及排列知识先排老师，再排学生即得． 【详解】根据分步乘法计数原理先排老师共种排法，再排学生共种排法，33A 44A所以共有种排列方式. 33A 44A 144=故选：C.6．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）1x =()332f x x ax =-+()f x A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】D【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数1x =1a =(),()f x f x '()f x 单调递区间及极大值点为，代入求解即可.=1x -【详解】解：因为()332,R,f x x ax x =-+∈所以，()233f x x a '=-又因为是函数的极小值点， 1x =所以， ()1330f a =-='解得，1a =所以，， ()332f x x x =-+()233f x x ¢=-令，得，()2330f x x '=-=121,1x x =-=所以当时，，单调递增； (,1)x ∈-∞-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； (1,1)x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增； (1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以在处取极大值，在处取极小值， ()f x =1x -1x =所以的取极大值为. ()f x ()11324f -=-++=故选：D.7．设无穷等差数列|的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数{}n a n S n *∈N 0n a >{}n S 列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以， n *∈N 0n a >11,2n n n n S S n S a --=+>≥所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；{}n S 必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，{}n S {}n a 且为递增数列，但是.故必要性不满足.{}n S 110a =-<故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件. n *∈N 0n a >{}n S 故选：A8．已知函数.若函数在上为增函数，则的取值范围（ ）()()ln ,f x x a x a =-∈R ()f x ()0,∞+a A ．B ．21,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】函数在上为增函数，即在恒成立，然后参变分离即可．()f x ()0,∞+()0f x '≥()0,∞+【详解】由题意有在恒成立， ()ln 0f x ax x x'-=+≥()0,∞+即在恒成立，ln x x x a +≥()0,∞+令，，令得， ()ln g x x x x =+()ln 2g x x '=+()0g x '=21e x =当时，，当时，，210e <<x ()0g x '<21e x >()0g x >∴在上单调递减，在上单调递增，()g x 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴，()()2222min 1111g 2e ee e x g ⎛⎫==⨯-+=- ⎪⎝⎭∴． 21e a ≤-故选：A ．9．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ） 1a 2a 3a 4a 5a 5a A ．－64 B ．－8C ．D ．16418【答案】B【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解. 5a 44a =【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4，5a 1a 3a 5a 2a 4a设等比数列的公比为， {}n a (0)q q <当时，，所以，所以，所以； 44a =21a =2424a q a ==2q =-544(2)8a a q =⨯=⨯-=-当时，，所以，所以，所以； 41a =24a =24214a q a ==12q =-54111()22a a q =⨯=⨯-=-综上，的最小值为－8. 5a 故选：B10．已知函数，给出下列三个命题：①对恒成立；②函数()cos sin f x x x x =-()()0,π,0x f x ∀∈'<在处取得极小值-1；③若对恒成立，则的最大值为.则正确命题()f x π2x =sin x a x <0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭a 2π的序号是（ ） A ．① B ．①③C ．②③D ．①③【答案】B【分析】求得，根据三角函数的性质，可判定①成立；②不成立；令()sin f x x x '=-()sin xg x x=，求得，结合单调递减，得到在上单调递减，()2cos sin x x x g x x-'=()cos sin f x x x x =-()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭求得，可判定③成立. ()2πg x >【详解】由函数，可得， ()cos sin f x x x x =-()cos sin cos sin f x x x x x x x -=-'=-当，可得，所以恒成立，所以①成立；②不成立； ()0,πx ∀∈sin 0x >()0f x '<令，则，()sin x g x x=()2cos sin x x xg x x -'=由在上单调递减，()cos sin f x x x x =-()0,π当时，，即，所以在上单调递减，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <()0g x '<()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭故，()π2()2πg x g >=因为对于恒成立，所以，即的最大值为，所以③成立.sin x a x <0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭2πa ≤a 2π故选：B.二、填空题11．等比数列的前项和为，已知，则=_________________. {}n a n n S 25216a a ==，6S 【答案】63【分析】由可得，再由可求出25216a a ==，11,2a q ==()111nn a q S q-=-663S=【详解】，则， 3528a q a ==2q =211aa q==()661126312S ⨯-∴==-故答案为：63【点睛】等比数列基本量计算问题的思路：主要围绕着通项公式和前项和公式11n n mn m a a q a q --==，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当()111=11n n n a q a a qS q q --=--1,,,,n n a a q n S 的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．12．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有___________种. 【答案】6【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得．【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为．24C 6=故答案为：6．13．已知数列满足：的前项和为，则__________. {}n a {}11,,n n n n n a n b b a a +==n n S 2023S =【答案】20232024【分析】由题意可得，利用裂项相消求解即可得答案. 111n b n n =-+【详解】解：因为， n a n =所以， 11111(1)1n n n b a a n n n n +===-++所以. 20231111112023112232023202420242024S =-+-++-=-= 故答案为：2023202414．已知函数的图像与直线相切，则实数__________. ()()ln 2f x x a =+2y x ==a 【答案】1【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】设函数的图像与直线相切于点，()()ln 2f x x a =+2y x =()00,x y由， ()()()2ln 22f x x a f x x a'=+⇒=+所以有，()00022212f x x a x a'==⇒+=+，()()()0000002ln 2222ln 22y y x x y x a x x y x x a x -=-⇒-+=-⇒=++-于是有，()00000ln 220121x x a x a x a =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩故答案为：115．如果数列满足不等式（其中），我们就称这个数列为“数{}n a 112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N σ列”，对于以下关于“数列”的四个结论：①等差数列均为“数列”；②“数列”一定是递增数σσσ列；③“数列”通项公式可以是；④“数列”中对于任意，都满足σ12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭σ*,N m n ∈.所有正确结论的序号是__________. ()()1n m m m a a n m a a +-≤--【答案】①③④【分析】利用等差中项的关系可判断①的正误；再根据等差数列的公差与单调性的关系判断②的正误；将等价转化为，结合可判断③的正误；利用累112n n n a a a -+≥+11n n n n a a a a -+--≥12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭加法的思想可判断④的正误.【详解】对于①，根据等差数列的性质可知，（其中），112n n n a a a -+=+*,2n n ∈≥N 所以等差数列均满足不等式（其中）， 112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N 所以等差数列均为“数列”，①正确； σ对于②，由①可知，等差数列均为“数列”， σ当公差小于0时仍然满足“数列”， σ所以“数列”可能是递减数列，②错误；σ对于③，等价于，112n n n a a a -+≥+11n n n n a a a a -+--≥因为，所以， 12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11111222n n nn n a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为函数为减函数，所以，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭11n n n n a a a a -+-->满足不等式（其中），③正确； 112n n n a a a -+≥+*,2n n ∈≥N 对于④，当时，满足， m n =()()1n m m m a a n m a a +-≤--由于对称性，不妨设， n m >由③可知，， 11n n n n a a a a +--≤-所以，11m m m m a a a a ++-≤-，121m m m m a a a a +++-≤-，即，21132m m m m m m a a a a a a +++++-≤-≤-231m m m m a a a a +++-≤-以此类推，，即， 1121n n n m m n a a a a a a ---+-≤≤--≤ 11m n n m a a a a -+--≤所以，()()()()()()1111211m m n n m m m m m m m m a a a a a a a a a a a a ++++++-+-≤--+++-+-- 所以，④正确， ()()1n m m m a a n m a a +-≤--故答案为: ①③④.【点睛】关键点点睛：本题的难点在于④的判断，结合题意的不等式可得，11m m m m a a a a ++-≤-，，，，利用累加法的思想即可证121m m m m a a a a +++-≤-231m m m m a a a a +++-≤-L 11m n n m a a a a -+--≤明.三、解答题16．已知在等差数列中，. {}n a 253,3a a ==-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.2nn n b a =+{}n b n n T 【答案】(1)27n a n =-+(2)21622n n T n n +=-+-【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.n【详解】（1）设等差数列的公差为，d 由； ()()12511323,351227435n a d d a a a n n a d a +==-⎧⎧==-⇒⇒⇒=+-⋅-=-+⎨⎨+=-=⎩⎩（2）()()()()()222152322725372222212572212622.n n nnn T n n n n n n +=++++-++=+++-++++-+-=+-=-+- 17．已知函数.()321f x x x x =--+(1)求函数在点处的切线方程； ()f x =1x -(2)求函数在的最大值和最小值. ()f x []0,4【答案】(1) 440x y -+=(2) ()()max min 45,0f x f x ==【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率，代入直线的点斜()f x =1x -式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极小值，再分别求出端点处的函数值比()f x []0,4较即可得出其最大值和最小值．【详解】（1）易知，函数的定义域为；()321f x x x x =--+R 所以，则切点为，(1)11110f -=--++=()1,0-又，则在点处的切线斜率， 2()321f x x x '=--()f x =1x -(1)4k f '=-=所以切线方程为，整理可得，即， ()041y x -=+44y x =+440x y -+=即函数在点处的切线方程为.()f x =1x -440x y -+=（2）由（1）可知，，又，所以令得， 2()321f x x x '=--[]0,4x ∈()0f x '=1x =令得，所以在上单调递减， ()0f x '<01x ≤<()f x [0,1)令得，所以在上单调递增，()0f x '>14x <≤()f x (1,4]所以函数有极小值为，也是函数的最小值，()f x ()111110f =--+=又，，所以函数的最大值为， ()000011f =--+=()464164145f =--+=()f x 45综上可得，函数在上的最大值为，最小值为.()f x []0,445018．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，{}n a (1)d d >n n S {}n b q 11a b =，__________.在①；②；③，这三个d q =53225,6a a a b +==23432,3b a a b =+=34529,8S a a b =+=条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)求数列的通项公式；{}{},n n a b (2)记，求数列的前项和.2nn nac b ={}n c n n T 【答案】(1)121,2n n n a n b -=-=(2) 2332n nn T +=-【分析】（1）分别选择条件①、②、③，运用等比数列和等差数列通项公式，解方程组求出基本量，从而得到数列的通项公式； {}{},n n a b （2）运用错位相减法求出数列的前项和. {}n c n n T 【详解】（1）当选条件①时：由题设可得：，又，解之得：，，1111125256a d a d a d a b d q +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩1d >2d q ==111a b ==，； 12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=当选条件②时：由题设可得：，解之得：，，12111122531b q a d b q a b d q =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=>⎩2d q ==111a b ==，； 12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=当选条件③时：由题设可得：，解之得：，， 111113()92781a d a db q a b d q +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=>⎩2d q ==111a b ==，；12(1)21n a n n ∴=+-=-11122n n n b --=⨯=（2）由（1）可知， 212n nn c -=①， 231111113()5()(23)((21)()22222n n n T n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 则②， 2341111111()3()5()(23)((21)()222222n n n T n n +=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 则①—②：2311111112()(((21)(222222n n n T n +⎡⎤=++++--⨯⎢⎥⎣⎦ ， 211111()11222(21)()12212n n n -+⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⨯--⨯-. ()1111212122n n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴2332n n +=-【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； {}n n a b {}n a {}n b （3）对于型数列，利用分组求和法；{}n n a b +（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a ()d d ≠019．已知函数.()()2e x f x x =-(1)求函数的单调区间和极值：()f x (2)在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；()f x (3)若，讨论函数的零点个数.()()g x f x a =-()g x 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值(),1-∞()1,+∞e -(2)图象见解析(3)答案见解析【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；()f x '（2）分析可知时，，由此可作出函数图象；2x <()0f x <（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.()f x y a =【详解】（1）定义域为，，又恒成立，()f x R ()()()e 2e 1e x x x f x x x '=+-=-e 0x >当时，；当时，；∴(),1x ∈-∞()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值. ()f x \(),1-∞()1,+∞()1e f =-（2）当时，，，恒成立，2x <20x -<e 0x >()0f x ∴<图象如下：()f x（3）的零点个数等价于与的交点个数；()g x ()f x y a =结合（2）中图象可知：当时，与有且仅有一个交点；0a ≥()f x y a =当时，与有两个不同交点；e 0a -<<()f x y a =当时，与有且仅有一个交点；a e =-()f x y a =当时，与无交点；e a <-()f x y a =综上所述：当时，有唯一零点；当时，有两个不同零点；当[){}0,e a ∈+∞- ()g x ()e,0a ∈-()g x 时，无零点.(),e a ∈-∞-()g x 20．设函数，，，记.()ln 1f x x =+()2g x ax =+a ∈R ()()()F x f x g x =-(1)求曲线在处的切线方程；()y f x =1x =(2)求函数的单调区间；()F x (3)若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围.()ln 1f x x =+()2g x ax =+a 【答案】(1)y x =(2)答案见解析(3) 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；()1f '()11f =（2）求导后，分别在和的情况下，根据正负得到单调区间；0a ≤0a >()F x '（3）将问题转化为恒成立的问题，采用参变分离的方式，构造函数，ln 12x ax +<+()ln 1x h x x -=利用导数可求得，由此可得的范围.()max h x a 【详解】（1），，又， ()1f x x'= ()11f '∴=()11f =在处的切线方程为，即.()f x \1x =11y x -=-y x =（2）由题意知：，则定义域为，， ()ln 1F x x ax =--()F x ()0,∞+()11ax F x a x x-'=-=当时，，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；0a ≤10ax ->()0F x '∴>()F x ∴()0,∞+当时，若，则；若，则； 0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<的单调递增区间为，单调递减区间为； ()F x ∴10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单0a ≤()F x ()0,∞+0a >()F x 调递增区间为，单调递减区间为. 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由题意知：当时，恒成立，； 0x >ln 12x ax +<+ln 1x a x -∴>令，则， ()ln 1x h x x-=()22ln x h x x -'=当时，；当时，；∴()20,e x ∈()0h x '>()2e ,x ∈+∞()0h x '<在上单调递增，在上单调递减，()h x ∴()20,e ()2e ,+∞，，即实数的取值范围为. ()()22max 1e e h x h ∴==21e a ∴>a 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21．已知有穷数列满足．给定正整数m ，若()*12:,,,,3N A a a a N N ∈≥N {}()1,0,11,2,,i a i N ∈-= 存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连()t s t ≠{}0,1,2,,1k m ∈- s k t k a a ++=m -续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；:1,1,0,1,0,1,1A --3-4-(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；2-(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列12:,,,N A a a a 4-112:,,,,1N A a a a - 212:,,,,0N A a a a 与数列都是连续等项数列，且，求的值．312:,,,,1N A a a a 4-30a =N a【答案】(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；A 3-4-(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；:1A -1-（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连11N ≥A 2-10n ≤A 2-续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，123,A A A 4-21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-，再由反证法证得21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a -+-++====，即可得出的值.{}min ,,1i j k =N a 【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:A 3-4-因为，所以是连续等项数列.24(0,1,2)k k a a k ++==A 3-因为为；1234,,,a a a a 1,1,0,1-为；2345,,,a a a a 1,0,1,0为;5346,,,a a a a 0,1,0,1为，4567,,,a a a a 1,0,1,1-所以不存在正整数，使得.,()s t s t ≠(0,1,2,3)s k t k a a k ++==所以A 不是连续等项数列.4-（2）设集合，则中的元素个数为.{{}{}}(,)|1,0,1,1,0,1S x y x y =∈-∈-S 23=9因为在数列中，所以.A )}{1,0,1(,1,2,i a i N ∈-= 1(,)(1,2,,1)i i a a S i N +∈=- 若，则.11N ≥1109N -≥>所以在这个有序数对中，1223341(,),(,),(,),,(,)N N a a a a a a a a - 1N -至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.,()s t s t ≠11,t s s t a a a a ++==所以当项数时，数列一定是连续等项数列.11N ≥A 2-若，数列不是连续等项数列.3N =0,0,12-若，数列不是连续等项数列.4N =0,0,1,12-若，数列不是连续等项数列.5N =0,0,1,1,02-若，数列不是连续等项数列.6N =0,0,1,1,0,1-2-若，数列不是连续等项数列.7N =0,0,1,1,0,1,1-2-若，数列不是连续等项数列.8N =0,0,1,1,0,1,1,1--2-若，数列不是连续等项数列.9N =0,0,1,1,0,1,1,1,1---2-若,数列不是连续等项数列.10N =0,0,1,1,0,1,1,1,1,0---2-所以的最小值为11.N （3）因为与都是连续等项数列，12,A A 3A 4-所以存在两两不等的正整数,,,(,,2)i j k i j k N <-使得，21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,, 1.k N k N k N k a a a a a a a -+-++====下面用反证法证明.{}min ,,1i j k =假设，{}min ,,1i j k >因为，{}1113,,,1,0,1i j k N a a a a ----∈-所以中至少有两个数相等.1113,,,i j k N a a a a ----不妨设，则11i j a a --=111122,,,,i j i j i j i j a a a a a a a a --++++====所以是连续等项数列，与题设矛盾.A 4-所以.{}min ,,1i j k =所以.22230N i j k a a a a a +++=====【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，12,A A 3A 4-21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a -+-++====-，利用反证法求21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a -+-++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a -+-++====是关键点. {}min ,,1i j k =。
高二数学3月月考试题理试题_1_1
创作；朱本晓 2022年昌平区2021-2021学年高二数学3月月考试题 理〔无答案〕考试范围：北师大版选修2-2第二三四章；考试时间是是120分钟；总分150分。
一、选择题〔每一小题5分，一共12小题，一共60分，每一小题四个选项里面只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里〕1．以下导数公式错误的选项是 ( )A. (sin )cos x 'x =-B. 1(ln )x '=x C. 211()'xx =- D. (e )e x x '=2．以下函数中,在),0(+∞上为增函数的是 〔 〕A.x y 2sin =B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(3． 如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，那么()()55f f '+=〔 〕 A. 12B.1C. 2D. 04．设函数()223+++=cx bx ax x f 的导函数为()x f '，假如()x f '为偶函数，那么一定有 〔 〕创作；朱本晓 2022年A. 0≠a ，0=cB. 0,0≠=c aC. 0,0==c b0=b5．函数()xx f 1=的图象在点〔2，()2f 〕处的切线方程是〔 〕 A. 044=-+y x B. 024=--y x C. 012=--y x D.04=-y x6．⎰1dx e x 的值是 〔 〕A. e +1B. e -1C. 1-eD. e7．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，假设()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,那么()f x 与()g x 满足〔 〕A ()f x =()g xB ()f x =()0g x =C ()f x -()g x 为常数函数D ()f x +()g x 为常数函数8．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为 ( )创作；朱本晓 2022年A.6π B. 3π C. 4πD.34π9．函数()x f y =定义在区间〔-3，7〕上，其导函数 如下图，那么函数()x f y =在区间〔-3，7〕上极小值的个数是〔 〕A.2个B.310．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，那么42)(+>x x f 的解集为 ( )A. 〔1-，1〕B. 〔1-，+∞〕C.〔∞-，1-〕D.〔∞-，+∞〕11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )创作；朱本晓 2022年A.①②B .①③C.③④D.①④12． 函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论： ① 函数()f x 在区间π(,0)2-上单调递增，在区间π(0,)2上单调递减；② 函数()f x 没有最大值，而有最小值；③ 函数()f x 在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点.其中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①②B. ①③C.②③D. ①②③二、填空题〔每一小题4分，一共5小题，一共20分, 将答案填在答题卡的横线上〕13．函数()2f x x =，那么()()0limx f x f x∆→∆-=∆ .创作；朱本晓 2022年14．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 .15．函数3()=23f x x x -, 那么在()f x 的切线中，斜率最小的一条切线方程为 .16． 定义在R 上的函数)(x f 满足)(',1)2(x f f =为)(x f 的导函数。
北京市重点中学高二下学期3月月考(数学文)无答案
北京市重点中学高二下学期3月月考高 二 数 学(文科) .03（测试时间：100分钟）姓名 班级 考号 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、在复平面内，复数)1(i i -(i 是虚数单位）对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、设集合A={x|x 2-2x-8<0},B={x|2x+1>5}，则A B = （ ）A ．{x|-2<x<4} B.{x|x>2} C.{x|2<x<4} D.{x|x>4} 3、已知命题:R,2p x x x∃∈<1使得+,2:R,10q x x x ∀∈++>命题，下列结论正确的 是 （ ）A ．命题“q p ∧”是真命题 B. 命题“（)P q ⌝∧”是真命题C. 命题“()p q ∧⌝”是真命题D. 命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题 4、设集合{}03M x x =<≤，{}01N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、若函数(2),2,()1()1, 2.2x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞C ．(0,2)D ．13[,2)86、函数321()2f x x x =-+的图象大致是 （ ）7、已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，xyO（A ）（B ）（C ）（D ）xyO xyO xyO1若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于 （ ） A.2 B.38、给出下列四个命题:①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a .其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.9、的定义域是函数2log 21-=x y ．10、i 是虚数单位，1i 1i+=+___________. 11、已知动点P 到定点（2，0）的距离比它到定直线1:-=x l 的距离大1，则点P 的轨迹方程为_________.12、已知2,0,()12lg ,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩若()2f x =，则x =___________.13、 P 为椭圆162522y x +＝1上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3) 2＋y 2＝4和(x －3) 2＋y 2＝1上的点，则|PM |+|PN |的取值范围是___________.14、如图所示，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①对于[, ]c c -内的任意实数, m n （m n <），()()0gn gm n m->-恒成立；②若0b =，则函数()g x 是奇函数；③若1a ≥，0b <，则方程()0g x =必有3个实数根； ④若0a >，则()g x 与()f x 有相同的单调性.其中正确的是___________.（A ）②③ （B ）①④ （C ）①③ （D ）②④三、解答题：本大题共3小题,共44分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、已知集合{}012|22<-+-=a ax x x A ，集合{}023|2≤+-=x x x B ， 若A B A = ，求实数a 的取值范围。
北京市数学高二下学期第三次理数月考试卷A卷
北京市数学高二下学期第三次理数月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·怀化模拟) 设复数z=1﹣ i（i是虚数单位），则 + =（）A . + iB . ﹣ iC . iD . ﹣ i2. （2分）用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A . n=1成立B . n=2成立C . n=3成立D . n=4成立3. （2分）有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·孝义模拟) 设a=（1﹣2x）dx，则二项式（ x2+ ）6的常数项是（）A . 240C . ﹣60D . 605. （2分）(2018·大新模拟) 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值 (单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）(附：若随机变量服从正态分布，则，， )A . 0.6826B . 0.6587C . 0.8413D . 0.34136. （2分）已知二次函数y=f(x)=-x2+1，则它与x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .7. （2分）线性回归方程=a+bx所表示的直线必经过点（）A . （0，0）B . （.0）C . （0,）8. （2分） (2017高二下·菏泽开学考) 设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·肥城模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·河南期中) 将标号分别为，，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为（）A .B .C .D .11. （2分）已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·仁寿模拟) 定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（）A . （﹣∞，0）B . （﹣∞，1）C . （﹣1，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·牡丹江月考) 已知随机变量的分布列如下表所示则的值等于________14. （1分） (2018高二下·上海月考) 设，则 ________．15. （1分） (2019高三上·天津月考) 函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为________。
2023-2024学年北京市高二下册统练3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册统练3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．已知复数2i 1iz a =+-，其所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(1,+)∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【正确答案】D【分析】先对复数z 化简，再由其对应的点在第四象限，列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：因为22(1)11(1)1(1)(1)i z ai ai ai i a i i i i +=+=+=++=++--+，所以复数z 在复平面对应的点为(1,1)a +，因为复数z 在复平面对应的点在第四象限，所以10a +<，得1a <-，故选：D3．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【正确答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】ππsin 2sin236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需将sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度即可.故选：B.4．对任意向量a ､b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．()22a ba b +=+ B ．()()22a b a b a b⋅=+-- C ．a b a b ⋅≤⋅ D ．a b a b -≤-【正确答案】D根据向量的平方即为模的平方．即可判断A ；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断B ；运用向量数量积的定义，即可判断C ；运用向量模的性质，即可判断D.【详解】A ，由模的平方等于向量的平方知()22a ba b +=+恒成立，故正确；B ，由平方差公式知()()22a b a b a b ⋅=+-- 恒成立，故正确；C ，cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅≤⋅恒成立，故正确；D ，当,a b →→不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，a b a b ->-，故a b a b -≤- 不恒成立，故D 错误.故选：D5．在ABC 中，2a =，6A π=，则“3B π=”是“b =的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：在ABC 中，2a =，6A π=，当3B π=时，由正弦定理可得2sinsin63b ππ=，22sin213sin62b ππ=⨯==当b =2πsin sin6B =，sin 2B =，因为5(0,)6B π∈，所以3B π=或23B π=，所以“3B π=”是“b =的充分而不必要条件，故选：A6．若直线2y x =与双曲线:C 22221x ya b-=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（）AB ．1C ．2D ．【正确答案】C【分析】由直线与双曲线的位置关系求得,a b 的不等关系，由此变形可得离心率范围，得到正确选项．【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，直线2y x =与双曲线无公共点，则2b a ≤，22224a b c a ≥=-，225c a≤，即c e a =≤，所以e ∈．故选：C ．7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A ．29B ．30C ．58D ．59【正确答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【正确答案】A【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11812(1)1611113212n nnn a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<< ，当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>> ，所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ．故选：A ．关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值．9．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +-=上一点，Q 是ABC 边上一点，则OP OQ ⋅的最大值是（）A．B ．12C．D ．16【正确答案】B【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，【详解】解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==，所以1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，所以问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，因为点(,)P x y 在圆M 上，设点(,)P x y 所在的直线l 为x y t +=，因为直线l 与圆M 有公共点，≤所以42t -≤，解得26t ≤≤，即1126x y ≤+≤，所以1142()12x y ≤+≤，所以OP OQ ⋅的最大值是12，故选：B关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是该正方体棱上一点.若满足()10PB PC m m +=>的点的个数为4，则m 的取值范围是（）A ．⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡+⎣C ．⎡⎣D ．2⎡+⎣【正确答案】B先求得正方体的8个顶点到1,B C 两点的距离之和，进而得到得到在棱上的运动时m 的取值范围，然后再根据点的个数为4取交集即可.【详解】如图所示：因为顶点1,C B 到1,B C两点的距离之和分别为111114,4,CB CC B B B C BC +=+==所以当点P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m的取值范围是4]；因为顶点1,A D ，到1,B C两点的距离之和分别为：1111122AB AC D B D C BC +=++=+=所以当点P 分别在棱11,C D AB 上运动时，m的取值范围是2+；因为顶点11,,,A B C D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1114B B B C +=，14CB CC +=，1DB DC +=，所以当点P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m的取值范围是；因为顶点11,,,A A D D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1DB DC +=，111122AB AC D B D C +=++=+所以当点P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m的取值范围是[2+.由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，所以当1||(0)PB PC m m +=>的点P 的个数为4时，则m的取值范围是[4,2+，故选：B二、填空题11．已知向量(,1)a m = ，(3,)b m = ，若a 与b方向相反，则m 等于___________.【正确答案】【分析】由题意可设(0)a b λλ=< ，从而可得31m m λλ=⎧⎨=⎩，进而可求出m 的值【详解】解：由于a 与b方向相反，所以设(0)a b λλ=< ，所以(,1)(3,)m m λ=，则31m m λλ=⎧⎨=⎩，解得3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去），所以m =故12．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【正确答案】2根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值.【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为.2结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos2αα-=，则cos α=___________.【正确答案】5运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±，而π(0,)2α∈，因此cos 5α=.14．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【正确答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为60︒．圆锥的计算．15．对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列命题：①存在函数()y g x =满足：()0>g f t ，且()y g x =有最小值；②设()()||=h x g x ，若()()=h g f t f t ，则()0g x ≥；③若()1=g f t ，则()y g x =为单调函数；④设()()()h x g x a a R =+∈，则()()=g h f t f t ．其中所有正确命题的序号为__________．【正确答案】②④【分析】根据方程()g x t =实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用()h x t =和()g x t =的解的个数相同，可判断，③举一反例，设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，可判断，④利用图象平移可说明判断．【详解】①若()g x 有最小值，则存在实数m ，使得()g x m ≥，则当<t m 时，()g x t =无实数根，即()0g f t =与()0g f t >矛盾，①错；②()()0h x g x =≥，故当0t <时，()h x t =无实数根，()0h f t =，所以()0g f t =，所以()g x t =无实数根，则()0g x ≥．②正确；③设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，易知对任意的实数t ，()g x t =有且只有一个根，所以()1g f t =，但()g x 不是单调函数，③错误；④()()h x g x a =+，()h x 为()g x 向左平移a 个单位所得图象对应的函数（a<0时，表示向右平移a 个单位），因此()h x t =和()g x t =的解的个数相等，所以()()h g f t f t =，④正确．故②④.关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义()g f t 的意义，根据新定义问题()g f t 转化为方程()g x t =解的个数．这样我们或兴例说明，或通过()g x t =的解的个数确定函数的性质，完成求解．三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2PA AD CD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）求二面角E CD A --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，则结合已知条件可证得四边形AFCD 是正方形，可得AB CF ⊥，AC BC ==BC AC ⊥，而由已知可得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAC ，从而由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知可得,,PA AD AB 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解二面角E CD A --的余弦值【详解】解：（1）.取AB 的中点F ，连接CF ，所以AF CD =，又因为//AF CD ，所以四边形AFCD 是平行四边形.因为AB AD ⊥，AD CD =，所以四边形AFCD 是正方形，则AB CF ⊥，2CF AD ==，所以AC BC ==，得到222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⊥平面PAC .（2）.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，则,,PA AD AB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,1)E ，所以(0,2,0)DC = ，(2,0,1)CE =-.设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，所以0n DC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以20,20,y x z =⎧⎨-+=⎩即0,2,y z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2z =，所以平面CDE 的法向量为(1,0,2)n =，又因为平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，所以cos ,⋅==⋅m n m n m n，由已知，二面角E CD A --为锐角，所以二面角E CD A --.关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立正确的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题17．已知函数()4sincos((0)223xxf x m ωωωπ=-+>.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知.(1)求(3f π的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③.(0)2f =注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】答案见解析【分析】利用三角函数恒等变换公式把函数()f x 化简成π()2sin()33f x x m ω=-+，选择①②，利用①、②分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择①③，利用①、③分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择②③，利用②、③都只能求出m 不能求出ω.【详解】13()4sin(cos sin )2222xx xf x m ωωω=⋅++22sin cos 3sin 222x x x m ωωω=++sin 3(1cos )x x m ωω=-+sin 3cos 3x x m ωω=-+π2sin()33x m ω=-+.选择条件①②：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2ω=，由②知，(23)(23)0m m ++-=，所以3m =，则()f x π2sin(2)3x =-，所以π2πππ()2sin(2sin 33333f =-=(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.选择条件①③：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2=ω，由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =，则()f x π2sin(2)23x =-++，所以ππ()2sin 33f ==；(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.说明：不可以选择条件②③：由②知，(2)(2)0m m ++-=，所以m =；由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =；矛盾.所以函数()f x 不能同时满足条件②和③.涉及正余弦型函数性质(单调性、周期性、对称性、最值等)的三角函数式问题，正确利用三角函数恒等变换公式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式是解决问题的关键.18．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠= ，120BCD ∠= .（1）若105ADC ∠=o ，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.【正确答案】（1）16米；（2）63米.【分析】（1）连接BD ，可知ABD △是等边三角形，可得出20BD =，求出BDC ∠的值，利用正弦定理可求得BC 的长；（2）设ADC θ∠=，利用正弦定理得出3BC πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而可得出围成该区域所需板材的长度关于θ的表达式，利用正弦函数的有界性可求得结果.【详解】（1）连接BD ，由题意ABD △是等边三角形，所以20BD =，又因为105ADC ∠=o ，所以45BDC ∠= ，在BCD △中，sin sin BC BDBDC C=∠∠，得20sin 45216sin1203BD BC ⨯==≈（米）；（2）设ADC θ∠=，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD △中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以sin 33BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，233DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所需板材的长度为()24033f ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1140sin cos cos sin 40sin 322223θθθθθ⎫=+-++=+⎪⎪⎝⎭.答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为4063≈（米）.方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常用两种思路：（1）转化为边，利用基本不等式求解；（2）转化为角，利用三角函数的有界性来求解.19．已知椭圆2222:1x y C a b +=()30A -,，()3,0B ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求BMO 与NMO △的面积之比．【正确答案】(1)22193x y +=；(2)4:7.【分析】(1)由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=，写出PA 所在直线方程，求得E 点坐标，得到直线l的方程，再写出PB 方程求解N 点坐标，把三角形的面积比转化为B 与N 点的横坐标的绝对值之比得答案．【详解】（1）由题意，3a =，又3c e a ==，c ∴=，则b ==∴椭圆C 的方程为22193x y +=；（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=．∴直线AP 的方程为00(3)3yy x x =++，取4x =，可得点07(4,)3y E x +，直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-，又直线PB 的方程为0(3)3y y x x =--，联立直线l 与PB 的方程，消去y 得00003(3)73x yx x y x +-=--，∴220000007937(3)3y x y x y x x +-⋅=--，①2200193x y +=，∴220093x y -=-，代入①解得点N 的横坐标214N x =，∴1||||||342121||7||||24B BMO B NMON N OM x S x S x OM x ⋅===⋅△△．故BMO 与NMO △的面积之比为4:7．20．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)求a 的值;(2)若对任意的[0,+)x ∈∞,有()2f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;【正确答案】(1)1；(2)12.【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；（2）先分析0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；再分析0k >时，构造函数()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥，对函数求导，分类讨论102k <<和12k ≥，即可求出结果.【详解】(1)()f x 的定义域为(),a -+∞,由()()ln f x x x a =-+，得()111x a f x x a x a+--'==++；由()0f x '>得1x a >-，由()0f x '<得1a x a -<<-，故函数()f x 在()1a a --，上单调递减，在()1a -+∞，上单调递增；因此当1x a =-时，()()min 110f x f a a =-=-=，所有1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；当0k >时，设()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥()()22111211x kx k g x kx x x -+-=--='++，令()0g x '=得0x =或1212k x k -=>-，①当102k <<时，1202k k ->，当12(0,)2k x k -∈时，()0g x '>，因此函数()g x 在12(0,)2kk -上单调递增，因此当012(0,)2k x k-∈时，()()000g x g ≥=，即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不满足题意；②当12k ≥时，1202kk-≤，()0g x '<在(0,+)∞上恒成立，因此()g x 在(0,+)∞上单调递减，从而对任意的[0,+)x ∈∞，有有()2f x kx ≤成立,故12k ≥符合题意；综上，实数k 的最小值为12.本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.21．已知数列012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅.设集合{}(),0,1,2,,0,1,2,,k i A i x k i n k n ===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，如果对任意的整数()0k k n ≤≤都有集合k A 的元素个数等于k x ，则称A 为“完美数列”(1)分别判断数列1:2,0,2,0A 和2:1,2,0,1A 是否为“完美数列”，直接写出结论：(2)若A 是“完美数列”，求证：()01223122n x x x n x n +++⋅⋅⋅++=+；(3)若A 是“完美数列”，且02023x =，求出所有满足条件的数列A .【正确答案】(1)1:2,0,2,0A 为“完美数列”；2:1,2,0,1A 不是“完美数列”(2)证明见解析(3):2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）【分析】（1）根据“完美数列”的定义进行判断即可；（2）根据A 共有1n +个元素，结合“完美数列”的定义可得0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+；又A 中各元素之和为123231n x x x nx n +++⋅⋅⋅+=+，加和即可证得结论；（3）根据02023x =可确定2024n ≥，依次分析2024,2025,2026n =的情况，结合0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+可确定2026n =时存在满足题意的数列；当2027n ≥时，在20231x =和20232x =的情况下，利用1A 的定义可说明不合题意，由此可得最终结论.【详解】（1）对于数列2,0,2,0，则02x =，10x =，22x =，30x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为02x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为10x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为22x =；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x =；1:2,0,2,0A ∴为“完美数列”；对于数列1,2,0,1，则01x =，12x =，20x =，31x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为01x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为12x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为21x ≠；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x ≠；2:1,2,0,1A ∴不是“完美数列”.（2）若A 是“完美数列”，则{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为0x ，{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为1x ，{}22,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为2x ，……，{},0,1,2,,n i A i x n i n ===⋅⋅⋅的元素个数为n x ，012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅ 共有1n +个元素，0121n x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+，又12323n x x x nx +++⋅⋅⋅+表示数列A 各项的和，123012231n n x x x nx x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+，()()()01212301223123n n n x x x n x x x x nx x x x x ∴+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=()2122n n +=+.（3）若012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅是“完美数列”，当2023n ≤时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则2023n >，与2023n ≤矛盾，不合题意；当2024n ≥时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则{}20232023,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为20231x ≥，①当2024n =时，012202320242025x x x x x +++⋅⋅⋅++=，12202320242x x x x ∴++⋅⋅⋅++=，又20230x ≠，A 中含有2023个等于0的项，12202220240x x x x ∴==⋅⋅⋅===，20232x =，此时{}22,0,1,2,,2024i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为21x ≠，不合题意；②当2025n =时，0122023202420252026x x x x x x +++⋅⋅⋅+++=，122023202420253x x x x x ∴++⋅⋅⋅+++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20233p x x +=且0p x ≠，若20231x =，则2p x =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为11x ≠，不合题意；若20232x =，则1p x =，若2p ≠，此时{}22,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数21x ≠，不合题意；若2p =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数11x ≠，不合题意；③当2026n =时，01220232024202520262027x x x x x x x +++⋅⋅⋅++++=，1220232024202520264x x x x x x ∴++⋅⋅⋅++++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20234p q x x x ++=不为0，且0p x ≠，0q x ≠；若20231x =，则3p q x x +=，可令1p x =，2q x =，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为2，{}22,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为1，则12x =，21x =，即:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）满足题意；若20232x =，则2p q x x +=，则1p q x x ==，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为12x ≠，不合题意；④当2027n ≥时，012202320241n x x x x x x n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+，12202320242022n x x x x x n ∴++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-，又A 中含有2023个等于0的项，则有20232022p q r x x x x n ++⋅⋅⋅++=-，且,,,p q r x x x ⋅⋅⋅均不为0，若20231x =，则存在2m x =，其余各项均为1，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；若20232x =，则p q r x x x ==⋅⋅⋅=，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；综上所述：:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）.关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题的求解，本题解题关键是能够充分理解“完美数列”的定义，结合“完美数列”中各项之和来分析确定数列中的各项所有可能的结果，从而得到符合题意的“完美数列”.。
2023-2024学年北京市高二下学期3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册3月月考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，则它的公差为A ．2B ．3C ．2-D ．3-【正确答案】C【详解】试题分析：由32n a n =-可得12321,3221a a =-==-⨯=-，所以公差21112d a a =-=--=-．故C 正确．等差数列的定义．2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若22n S n n =+，则5a =（）A ．-21B ．11C ．27D ．35【正确答案】B【分析】根据n S 与n a 的关系即可求解.【详解】由22n S n n =+得25525=35S =+⨯，24424=24S =+⨯，所以554352411a S S =-=-=,故选：B3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若q =2，26S =，则3S =（）A ．8B ．12C ．13D ．14【正确答案】D【分析】由等比数列的基本量运算求得1a 后求得3a ，从而易得3S ．【详解】由题意21126S a a =+=，12a =，所以23228a =⨯=，3236814S S a =+=+=．故选：D ．4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.3P ξ<<=，则()4P ξ>=（）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【正确答案】D【分析】根据随机变量服从正态分布()22,N σ，求得其图象的对称轴2x =，再根据曲线的对称性，即可求解答案．【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布()22,N σ，所以2μ=，即图象的对称轴为2x =，又由()020.3P ξ<<=，则()240.3P ξ<<=，则()1(04)40.22P P ξξ-<<>==，故选：D ．5．用数学归纳法证明()*1111,12321n n n n ++++<∈>-N 时，第一步应验证不等式（）A ．1122+<B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【正确答案】B【分析】取2n =即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当2n =时，不等式为111223++<．故选：B ．6．小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A ．11144B ．112C ．1172D ．16【正确答案】C【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出.【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为112，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为121111C 1121272⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭.故选：C.7．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A ．0.4B ．0.8C ．0.2D ．0.5【正确答案】B【分析】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，根据题意可得出()P A 、()P AB ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，则()0.4=P AB ，()0.5P A =，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是()()()0.40.80.5P AB P B A P A ===.故选：B.二、多选题8．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则下列命题正确的是（）A ．若10a >，则48S a >B ．若10a >，则84S a ≤C ．若10a <，则48S a >D ．若10a <，则84S a ≤【正确答案】AD【分析】根据题意结合等比中项可得12d a =，再根据等差数列前n 项和结合作差法逐项分析判断.【详解】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，则2215a a a =，可得()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，由0d ≠，则12d a =，则()()11114181467332a d a d a d a a S a a =+-+=-=-=-.对A 、B ：若10a >，即1480S a a =>-，故48S a >，A 正确，B 错误；对C 、D ：若10a <，即1480S a a =<-，故48S a <，D 正确，C 错误；故选：AD.三、填空题9．在等差数列{}n a 中，已知45630a a a ++=，则19a a +=___．【正确答案】20【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 为等差数列，则4565330a a a a ++==，可得510a =，∴195220a a a +==.故20.10．数列{}n a 中各项均为正数，且()*12102,16n n a a n a a +=∈=N ，则6a ＝___．【正确答案】4【分析】根据等比数列下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 中各项均为正数，且()*12n n a a n +=∈N ，则数列{}n a 为等比数列，∴2210616a a a ==，可得64a =或64a =-（舍去）.故4.11．数列{}n a 满足111,31n na a a +==-，则2023a =________．【正确答案】3【分析】根据递推关系求出前几项，可知数列具有周期性，利用周期求解.【详解】由题可知，111,31n na a a +==-，得234111121,,31213231()123a a a a ==-=====----，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴20231367413a a a +⨯===．故312．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆ10.5yx a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的估计值为___________x24568y2050607080【正确答案】213.5由于回归直线过中心点，所以将中心点坐标代入回归直线方程中求出a ，再把20x =代入方程中可求得结果【详解】解：1(24568)55x =++++=，1(2050607080)565y =++++=，所以中心点为(5,56)，所以5610.55a =⨯+，解得 3.5a =，所以回归直线方程为10.5.5ˆ3yx =+，所以当20x =时，10.520 3.5213.5y =⨯+=，故213.5四、解答题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，29S =，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足32n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．条件①：47a =；条件②.422S =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)*3()n a n n =+∈N ,(2)122n n T +=-【分析】（1）选择条件①：由等差通项公式列出方程，得出数列{}n a 的通项公式；选择条件②：由等差求和公式列出方程，得出得出数列{}n a 的通项公式；（2）由3=22-=n n a n b ，结合等比求和公式得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）选择条件①：设公差为d ，因为2=9S ，47a =，所以112937a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.选择条件②：设公差为d ，因为2=9S ，4=22S ，所以11294622a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.（2）因为32n a n b -=，所以3=22-=n na nb 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()1122122122212n n n n n T b b b +-=++⋅⋅⋅+==-=--14．已知在等比数列{}n a 中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)12n n a -=(2)n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2)121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦ ()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-.221n n =+-.数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．15．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望()E X.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望.6 5（1）补全列联表，计算出2K后可得结论；（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.，计算出概率得分布列，由分布列计算期望．【详解】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为222800(300150250100)(450250)16010.8285502504004005525211K ⨯⨯-⨯-===>⨯⨯⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.所以0323351(0)10C C P X C ===，1233253(1)5C C P X C ===，5122333(2)10C C P X C ===.所以X 的分布列为X 012P11035310所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.答：x 的数学期望为65.16．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100] ，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【正确答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人（2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=依题意可知：~(3,0.3)X B ()300.7P X ==,1123(1)0.30.7P X C ==22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C P X ====所以,X 的分布列为X 0123P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.。
北京市高二下学期数学3月月考试卷
北京市高二下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（）A . 种B . 种C . 种D . 种2. （2分）(2018·株洲模拟) 展开式中的系数为（）A . 10B . 30C . 45D . 2103. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为奇数}，B={两次的点数之和小于7}，则P（B|A）=（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·红桥期末) =（）A . 5B . 6C . 7D . 85. （2分）四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A . 96B . 48C . 24D . 06. （2分） (2018高二下·晋江期末) 的展开式中的系数为（）A . -160B . 320C . 480D . 6407. （2分）在（x2+x﹣2）4的展开式中，各项系数的和是（）A . 0B . 1C . 16D . 2568. （2分）来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）（1+2x）6（1+y）4的展开式中xy2项的系数为（）A . 45B . 72C . 60D . 12010. （2分）抛掷一枚均匀的硬币二次，结果是“一次正面向上，一次反面向上”的概率是（）A . 1B .C .D .11. （2分）(2017·黄陵模拟) 若二项式的展开式共7项，则展开式中的常数项为（）A . ﹣120B . 120C . ﹣60D . 6012. （2分） (2020高二下·栖霞月考) 盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为（）A . 恰有1个是坏的B . 4个全是好的C . 恰有2个是好的D . 至多有2个是坏的二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·宝安模拟) 二项式（x﹣）6展开式中的常数项是________．14. （1分） (2016高二下·三门峡期中) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数字作答）．15. （1分）已知随机变量ξ的分布列是：ξ01234P0.10.20.40.1x则x=________，P（2≤ξ≤4）=________．16. （1分） (2016高三上·平湖期中) 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？18. （25分） (2017高二上·新余期末) 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？19. （5分） (2016高二下·泰州期中) 在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．（1）求它是第几项；（2）求的范围．20. （10分） 2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．空气质量指数（0，35][35，75]（75，115]（115，150]（150，250]＞250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲区天数1320422032乙区天数832401622（1）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；（2）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．．在（1）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望．21. （10分） (2020高二下·栖霞月考) 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 .22. （10分） (2018高二下·陆川期末) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2023-2024学年北京市海淀区高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年北京市海淀区高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．复数112i -（i 是虚数单位）的虚部是（）A ．25-B ．2i5-C ．25D ．2i5【正确答案】C【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可判断；【详解】解：()()112i 12i 12i 12i 12i 12i 555++===+--+，故其虚部为25故选：C2．下列式子正确的有（）A ．()00e e '=B ．()()1ln mx x'=，()0m >C ．('=D ．()3ln3log x x'=【正确答案】B【分析】根据导数的运算法则逐项判断对错即可.【详解】对于A ，()0e 0'=，A 错误；对于B ，()()()11ln ln ln 0mx m x x x''=+=+=，B 正确；对于C ，(312232x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭，C 错误；对于D ，()31log ln 3x x '=，D 错误.故选：B.3．在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后，变为226x y ''-=，则曲线C 的渐近线方程是（）A ．23y x=±B ．32y x=±C ．49y x =±D ．94y x =±【正确答案】A【分析】先求得曲线C 的方程，进而求得曲线C 的渐近线方程.【详解】依题意，23x xy y''=⎧⎨=⎩，所以由226x y ''-=可得()()2222236,13223x y x y -=-=，所以2232,,2323a b a b ====所以曲线C 的渐近线方程为23b y x x a =±=±.故选：A4．可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x=在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =.但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-，()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件．故选D ．本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．函数2ln x y x=图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解．【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=，当0e x <<时，0y >'，函数单调递增，当>x e 时，0'<y ，函数单调递减，排除D ．故选：C .本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．过抛物线28y x =的焦点的直线与抛物线相交于M ，N 两点，若M ，N 两点到直线3x =-的距离之和等于11，则这样的直线（）A ．不存在B ．有且仅有一条C ．有且仅有两条D ．有无穷多条【正确答案】C【分析】利用抛物线图像的对称性和抛物线的通径的长即可得到符合条件的直线的数量.【详解】由题意知,M N 两点到准线2x =-的距离之和等于9，由抛物线定义得9MN =，而在抛物线28y x =过焦点的弦中，弦长的最小值为28p =，而9MN =，根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选：C ．7．若函数()2sin f x x a x =+在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ．(2,)-+∞C ．[2,)-+∞D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】由导数判断单调性求解【详解】()2cos f x a x '=+，由题意()0f x '≥恒成立，故2020a a -≥⎧⎨+≥⎩解得22a -≤≤故选：A8．已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．4【正确答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，因为ln y x a =-，所以1y x'=，切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--，所以201e x -=，0ln 1x a b --=，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值是4.故选：D.9．定义在R 上的奇函数()f x 的图像连续不断，其导函数为()f x '，对任意正数x 恒有()()2xf x f x '<-，若()()2g x x f x =，则不等式()()()22log 210g x g -+->的解集为（）A ．()0,2B．()2C ．()2,2-D．()2,2-【正确答案】D【分析】由()f x 的奇偶性和()()2xf x f x '<-判断出()g x 在R 上的奇偶性和单调性，利用()g x 的单调性和奇偶性，求不等式()()()22log 210g x g -+->的解集即可.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴当0x >时，()()()22xf x f x f x <=-'-⇔()()20f x xf x '+<，又∵()()2g x x f x =，∴()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，当0x >时，()0g x '<，∴()g x 在区间()0,∞+上单调递减，又∵当x ∈R 时，()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，∴()()2g x x f x =为R 上的奇函数，∵()f x 在R 上的图象连续不断，∴()g x 在R 上单调递减.又∵()()()22log 210g x g -+->，∴()()()22log 210g x g -->，即()()()22log 21g x g ->，∴()222log 21log 2x -<=，∵2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，∴2022x <-<，解得()2,2x ∈- .故选：D.10．若存在[]12,,x x a b ∈且12x x ≠，使()()()()1212g x g x L f x f x ->-成立，则在区间[],a b 上，称()g x 为()f x 的“倍函数”．设()ln f x x =，()2ln 1xg x x =+，若在区间e ⎤⎦上，()g x 为()f x 的“倍函数”，则实数L 的取值范围为（）A ．,9e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,9e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．(),e -∞【正确答案】B【分析】利用导数可证得()g x 在e ⎤⎦21x x e ≤<≤，可将不等式化为()()()()1122g x f x g x x L Lf ->-，可将问题转化为()()()h x g x Lf x =-在e ⎤⎦上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为()()22ln 12ln 1x x L x -<+在e ⎤⎦上有解，令ln x t =，可得()()()2211,1221t e t F t t t -⎛⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦+⎝⎭，则()max L F t <，利用导数求得最大值，从而得到结果.【详解】 ()()22ln 102ln 1x g x x -'=≥+在e ⎤⎦恒成立，∴()g x在e ⎤⎦上单调递增，由对数函数单调性知：()f x在e ⎤⎦上单调递增；21x x e ≤<≤，由()()()()1212g x g x L f x f x ->-得：()()()()()1212g x g x L f x f x ->-，()()()()1122g x f x g x Lf x L ∴->-．令()()()h x g x Lf x =-，则()()12h x h x >，∴()h x在e ⎤⎦上存在单调递增区间，即()()22ln 102ln 1x Lh x xx -'=->+在e ⎤⎦上有解，即()()22ln 12ln 1x x L x -<+在e ⎤⎦上有解，()()()2max2ln 12ln 1x x L x x ⎡⎤-⎤∴<∈⎢⎥⎦+⎢⎥⎣⎦，令ln x t =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()()2211,1221t e t F t t t -⎛⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦+⎝⎭，则()max L F t <，()()()23214021t e t F t t -+'=>+⎡⎤⎣⎦ ，∴当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()F t 单调递增，∴()()max 19e F t F ==，∴9e L <，即实数L 的取值范围为,9e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B.关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的关系，从而利用导数来求解．二、填空题11．世界锦标赛简称1F ，是方程式汽车赛中最高级别.所谓“方程式”赛车是按照国际汽车联合会（1F A ）规定的标准制造的赛车，目前西南交通大学实验室制造了一种新的方程式赛车，已知这种赛车的位移和时间的关系满足321()91056S t t t t =++-，则4t =时赛车的瞬时速度是______（米/秒）.【正确答案】90【分析】根据导数的物理意义，利用导数求值，可得答案.【详解】由321()91056S t t t t =++-，则21()18102S t t t '=++，即()214418410902S '=⨯+⨯+=，故答案为.9012．已知向量()()4,3,2,1a b m =--=--，若()2a b a +⊥ ，则m =__________.【正确答案】476##576【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.【详解】解：因为()()4,3,2,1a b m =--=-- ，所以()()()24,34,228,25a b m m +=--+--=--，因为()2a b a +⊥ ，所以()2326150a b a m +⋅=-+= ，解得476m =故47613．已知函数()()()sin e e 1R,R x xf x a x b a b -=+-+∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()2022f +()()()202220232023f f f ''-+--的值为___________.【正确答案】2【分析】分别计算()()f x f x +-与()()f x f x ''+-的值，代入可得结果.【详解】∵()sin (e e )1x x f x a x b -=+-+，∴()sin (e e )1x x f x a x b --=-+-+，()cos (e e )x x f x a x b -'=++，∴sin (e e )x x y a x b -=+-为奇函数，∴()()2f x f x +-=，∴(2022)(2022)2f f +-=，∵()cos (e e )x x f x a x b -'=++，∴()cos (e e )x x f x a x b -'-=++，∴()f x '为偶函数，∴()()0f x f x ''--=，∴(2023)(2023)0f f ''--=，∴(2022)(2022)(2023)(2023)2f f f f ''+-+--=，故2.三、双空题14．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数()()(2)f x x a x =--'，若函数()f x 无极值，则a =___________；若x =2是()f x 的极小值点，则a 的取值范围是___________.【正确答案】22a <【分析】对a 进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.【详解】当2a <时，()f x 在区间()(),,2,a -∞+∞上()()'0,f x f x >递增，在区间(),2a 上()()'0,f x f x <递减.()f x 的极大值点为a ，极小值点为2.当2a =时，()()2'20f x x =-≥，()f x 在R 上递增，无极值.当2a >时，()f x 在区间()(),2,,a -∞+∞上()()'0,f x f x >递增，在区间()2,a 上()()'0,f x f x <递减.()f x 的极大值点为2，极小值点为a .故2；2a <四、填空题15．已知函数()2ln ,,23,,x x x a f x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩其中0a >.如果对于任意1x ，2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】1[,1]e【分析】把题意翻译为函数()f x 在R 上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等于左端点的函数值即可．【详解】解：对于任意1x ，2x R ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，即函数()f x 在R 上单调递增，先考察函数2()23g x x x =-+-，x R ∈的单调性，配方可得2()(1)2g x x =---，函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()max g x g =（1）2=-，1a ∴ ，以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1=x e．随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：x 1(0,)e1e1(,)e+∞()h x '-0+()h x 单调递减极小值单调递增即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且11()()min h x h e e ==-．对于任意1x ，2x R ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，∴1a e，12e->-，即()()min max h x g x >，a ∴的取值范围为1[,1]e．故1[,1]e．16．已知曲线1C ：e x y =，抛物线2C ：24y x =，(),P P P x y 为曲线1C 上一动点，(),Q Q Q x y 为抛物线2C 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________①直线l ：1y x =+是曲线1C 和2C 的公切线：②曲线1C 和2C 的公切线有且仅有一条；③Q PQ x +1；④当PQ x ∥轴时，PQ 最小值为1ln 22-.【正确答案】①③④【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求PF 的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点()111,e (0)x P x x >的坐标，根据//PQ x 轴，进而建立目标函数121e 4x PQ x =-，然后研究该函数单调性即可.【详解】解：选项①，对于曲线1:e xC y =，e x y '=，当0x =时，0e 1y ==，00e 1x y ==='，故直线:1l y x =+与曲线1:e xC y =相切与点(0,1)；联立214y x y x=+⎧⎨=⎩，可得()220y -=，故此时直线:1l y x =+与y =()2,2，故直线l ：1y x =+是曲线1C 和2C 的公切线，故①正确；对于②，设公切线分别与e ,0)x y y x ==>切于点()()1122,,,A x y B x y ，则曲线e x y =的切线A l 为：111e e ()x xy x x -=-，曲线0)y x =>的切线B l为2)y x x --，根据A l 与B l表示同一条直线，则有111e e (1)x x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得121e (1)10xx --=，令2()e (1)1(0)x h x x x =-->，则有222()2e (1)e e (12)x x x h x x x '=--=-，可得()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有1e10,(1)1022h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()h x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线1C 和2C 的公切线有且仅有2条，故②错误；对于③，如图所示，可得(1,0)F ，根据抛物线的焦半径公式可得1Q QF x =+，故有：11Q PQ x PQ QF PF ++-≥-=，1:e ,ex xC y y '==设点P 的坐标为00(,e )xP x ：，则有：PF =令22()(1)e x q x x =-+，可得22()222e 2(e 1)x x q x x x '=-+=+-，再次求导可得：2()2(e 1)0x q x ''=+>，故2()2(e 1)x q x x '=+-在R 上单调递增，又(0)0q '=，可得：当(,0)x ∈-∞时，()0q x '<，即()q x 在(,0)-∞上单调递减；当,()0x ∈+∞时，()0q x '>，即()q x 在(0,)+∞上单调递增；故min ()(0)2q x q ==，则minPF=1Q PQ x +≥，故③正确；对于④，当//PQ x 轴时，设()111,e (0)x P x x >，则112e ,e 4x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有：121e 4x PQ x =-，记2e ()4x p x x =-，则有2e ()12xp x '=-，令()0p x '=，解得：ln 22x =，故当ln 220,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x '<，()p x 在区间ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当ln 2,2x +∈∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0p x '>，()p x 在区间ln 2,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；故有min ln 21ln 2()222p x p ⎛⎫==-⎪⎝⎭，故min 1ln 22PQ -=，故选项④正确.故①③④.五、解答题17．已知函数()()2e 61xf x x x =-+.(1)求函数()f x 在点1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 在区间[]0,6上的最值.【正确答案】(1)8e 4e y x =-+(2)最大值为6e ，最小值为54e -.【分析】（1）求导，求出()1f '及()1f ，再用点斜式写出直线方程即可；（2）求导，求出函数()f x 在区间[]0,6上的单调性，根据单调性可求最值.【详解】（1）()()2e 61x f x x x =-+ ，()()()()22e 61e 26e 45x x x f x x x x x x '∴=-++-=--()()1e 1458e f '∴=--=-，又()()1e 1614e f =-+=-∴函数()f x 在点1x =处的切线方程为()4e 8e 1y x +=--，即8e 4e y x =-+；（2）由（1）得当()0f x ¢>时，1x <-或5x >，当()0f x '<时，15x -<<，函数()f x 在区间[]0,6上单调增区间为[]5,6，单调减区间为[]0,5当5x =时，()()()52min 55e 64e 551f x f ==-⨯+=-，又()01f =，()()6626e 6661e f =-⨯+=，当6x =时，()x 6ma =e f x ，∴函数()f x 在区间[]0,6上的最大值为6e ，最小值为54e -.18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =.(1)求证：11A F C E ⊥；(2)当三棱锥1B BEF -的体积取得最大值时，求二面角1B EF B --的正弦值.【正确答案】(1)证明过程见详解(2)3【分析】设AE BF x ==．以C 为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标（1）通过计算110A F C E⋅=，证明11A F C E ⊥E ．（2）判断当BEFS取得最大值时，三棱锥1B BEF -的体积取得最大值．求出平面1B EF 的法向量，底面ABCD 的法向量，设二面角1B EF B --的平面角为θ，利用空间向量的数量积求出1cos 3θ=，然后求解二面角1B EF B --的正切值．【详解】（1）设AE BF x ==．以C 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)C ，(2,0,0)D ，1(2,0,2)D ，1(2,2,2)A ，1(0,2,2)B ，(0,2,0)F x -，(2,2,0)E x -，则()12,,2A F x =--- ，()12,2,2C E x =--，因为()()112,,22,2,242240A F C E x x x x ⋅=---⋅--=-+-+=．所以11A F C E ⊥．（2）设AE BF x ==．以C 为原点建立空间直角坐标系，因为111233B BEF BEF BEFV SBB S -=⨯=，所以当S △BEF 取得最大值时，三棱锥B 1﹣BEF 的体积取得最大值．因为()()2111211222BEFSx x x ⎡⎤=-=--≤⎣⎦，所以当1x =时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥1B BEF -的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为(1,2,0)E ，(0,1,0)F ，由（1）可得：1(1,0,2)B E =- ，(1,1,0)EF =--，设平面1B EF 的法向量为(),,m a b c=，则120m B E a c m EF a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1c =，则2,2a b ==-，得()2,2,1m = -．显然底面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设二面角1B EF B --的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为31cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅ ，所以1cos 3θ=，于是sin θ=1B EF B --的正弦值为3．19．已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，其中ω为正整数，π||2ϕ<，且π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求()y f x =图像的一条对称轴；(2)若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ．【正确答案】(1)712x π=(2)π3ϕ=【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴及函数值确定x ωϕ+的表达式，再结合最小正周期确定ω的可能取值，即可得解.【详解】（1）因为函数()sin()f x x ωϕ=+在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，所以函数()f x 的最小正周期ππ2π2263T ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，又因为π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线1π2π223x ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭即7π12x =为()y f x =图象的一条对称轴；（2）由（1）知2π3T ≥，故2π3Tω=≤，由ω*∈N ，得1,2ω=或3．由7π12x =为()sin()f x x ωϕ=+的一条对称轴，所以117πππ,122k k ωϕ+=+∈Z ．因为π62f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2ππ2π63k ωϕ+=+或323π2π2π,,63k k k ωϕ+=+∈Z ，若2ππ2π63k ωϕ+=+，则()125ππ2π126k k ω=+-，即()12212255k k ω=+-，不存在整数12,k k ，使得1,2ω=或3；若3π2π2π63k ωϕ+=+，则()135ππ2π126k k ω=-+-，即()13212255k k ω=-+-，不存在整数13,k k ，使得1ω=或3．当1321k k =+时，2ω=．此时3π2π3k ϕ=+，由π||2ϕ<，得π3ϕ=．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过1,2A ⎛ ⎝⎭，2B ⎭两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知()4,0Q ，过()1,0P 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP MQNP NQ=．【正确答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP 平分MQN ∠，可得结论.【详解】（1）由题知，椭圆E过2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2B ⎭，所以222213123112a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为0y =，所以()2,0M ，()2,0N -或()2,0M -，()2,0N ．所以MP MQNP NQ=．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222230m y my ++-=，所以12222my y m +=-+，12232y y m =-+，()()222212216240m m m ∆=++=+>，所以114MQ y k x =-，224NQ y k x =-，所以121212124433MQ NQ y y y y k k x x my my +=+=+----()()()()()()12211212212121233233339y my y my my y y y my my m y y m y y -+--+==---++222223223220323922m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以QP 平分MQN ∠，因为sin sin M MP M PM QQ PQ ∠∠=，sin sin N NP N P N Q Q PQ∠∠=，所以MP NPMQ NQ =，即MP MQ NP NQ=．21．已知函数()()21e 1R 2xf x x ax a =---∈．(1)若不等式()0f x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若0x >，求证：()21e 1ln 122x x x x ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭．【正确答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，证明导数为单调增函数，然后分1a ≤和1a >两种情况判断导数的正负，从而判断函数的单调性，结合不等式恒成立，求得参数范围；（2）利用（1）的结论将要证明的不等式转化为证明()2ln 12xx x+>+，从而构造函数()()()2ln 102xF x x x x =+->+，利用导数判断函数单调性，结合函数值范围，进而证明原不等式成立.【详解】（1）由题意知()e xf x x a '=--，[)0,x ∈+∞，令()()u x f x '=，则()e 1xu x '=-，则()0u x '≥在[)0,∞+上恒成立，仅在0x =时取等号，所以()u x 在[)0,∞+上单调递增，即()f x '在[)0,∞+上单调递增．当1a ≤时，()()010f x f a ≥=-'≥'在[)0,∞+上恒成立，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()0f x f ≥0=，符合题意；当1a >时，()010f a '=-<．令()e 2x h x x =-，则()e 2xh x '=-，所以()h x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()()ln 222ln 20h x h ≥=->．所以()e e 20a af a a a a '=--=->，又()f x '在[)0,∞+上单调递增，所以()00,x a ∃∈，使得()00f x '=，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000f x f <=，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞．（2）证明：由（1）得，当1a =，0x >时，2e 1102xx x ---≥，即2e 122xx x -+>+，要证不等式()21e 1ln 12,(0)2x x x x x ⎛⎫-++>> ⎪⎝⎭，只需证明()212e 12ln 1x x x x -+>+，只需证明()22ln 1x x x +>+，即只需证()2ln 12xx x+>+，设()()()2ln 102x F x x x x =+->+，则()()()()222141212x F x x x x x '=-=++++，当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,∞+上单调递增，又()00F =，所以()0F x >恒成立，所以原不等式成立．难点点睛：第二问证明不等式成立时，要结合第一问的结论，得到2e 1102xx x ---≥，即2e 122xx x -+>+，这是要结合所要证明的不等式的变形进行的合理变式，因此难点就在于要利用分析的方法，将原不等式转化为证明()212e 12ln 1xx x x -+>+，即需证明()22ln 1x x x +>+，也就是证()2ln 12xx x+>+，然后可以构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题.22．椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线{}2332(,),4270C x y y x ax b a b ==+++≠∣．P C ∈关于x 轴的对称点记为P %．C 在点(,)(0)P x y y ≠处的切线是指曲线y =在点P 处的切线．定义“⊕”运算满足：①若,P C Q C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点R ，则P Q R⊕= ；②若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，则P Q P ⊕= ；③若P C ∈，规定*0P P ⊕= ，且**00P P P ⊕=⊕=．(1)当324270a b +=时，讨论函数3()h x x ax b =++零点的个数；(2)已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，证明：P P Q⊕= ；(3)已知()()1122,,,P x y C Q x y C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点，求P Q ⊕的坐标．参考公式：()3322()m n m n m mn n -=-++【正确答案】(1)见解析(2)证明见解析(3)2212121212121121212,2y y y y y y x x x x y x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎢⎥---++- ⎪ ⎪--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性后求出极值，从而可判断零点的个数.（2）利用“⊕”运算的性质计算P P Q Q⊕⊕⊕ 后可得证明.（3）设直线PQ 的斜率1212y y x x λ-=-，利用点在曲线上结合因式分解可求第三个点的坐标.【详解】（1）由题设可知0a ≤，有2()3h x x a =+'，若0a =，则0b =，则3()h x x =，此时()h x 仅有一个零点；若a<0，令()0h x '=，解得12x x ==当x <或x >()0h x '>，当x <()0h x '<，故()h x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上为单调递增；在⎛ ⎝上()h x 单调递减.因为324270a b +=，若0b <，则b =此时(03a h b b ⎛=---== ⎝，而0h <故此时()h x 有2个零点；若0b >，则b =-，此时03a h b b ⎛=-+== ⎝，而(0h >故此时()h x 有2个零点；综上，当()20,0b h x >=，所以()h x 有2个零点．当()10,0b h x <=，所以()h x 有2个零点．当0a =，有0b =，则()h x 有1个零点．（2）因为PQ 为C 在点P 处的切线，且Q C ∈，所以P Q P⊕= ，故()0P P Q P P*⊕⊕=⊕= ，故()()0P P Q Q Q Q *⊕⊕⊕=⊕= ，因为“⊕”运算满足交换律、结合律，故()()()()()0P P Q Q P P Q Q P P P P *⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕ ，故P P Q⊕= .（3）直线PQ 的斜率1212y y x x λ-=-，设PQ 与C 的第三个交点为()33,x y ，则()3311y x x y λ=-+，代入23333y x ax b =++得()()2223311311332x x y x x y x ax b λλ-+-+=++，而23111y x ax b =++，故()()22333113111332x x y x x x ax b x ax b λλ-+-+++=++，整理得到：()()()22333113131312x x y x x x x a x x λλ+----=+，故()32213231112x x y x x a x x λλ-++=++即()222231311120x x x x x y a λλλ+-++-+=，同理可得()222232322220x x x x x y a λλλ+-++-+=，两式相减得：()()()22212312121220x x x x x x x y y λλ-+-+--=-，故()()1223121202y y x x x x x λλ-+++-=-，所以()2231202x x x λλ+-+=+，故2312x x x λ=--，故21231212y y x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭，所以21212312112122y y y y y x x y x x x x ⎛⎫-⎝⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣-⎦-=--+ ⎪-⎭，因此P Q ⊕的坐标为：2212121212121121212,2y y y y y y x x x x y x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎢⎥---++- ⎪ ⎪--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．思路点睛：函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式，而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数.。
2023-2024学年北京市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．在等差数列{an }中，若31a =-，公差d=2，则a 7=（）A ．7B ．9C ．11D ．13【正确答案】A【分析】根据31a =-，公差d=2，利用等差数列的性质求解即可.【详解】因为等差数列{an }中，且31a =-，公差d=2，所以a 7=a 3+4d=7.故选：A本题主要考查等差数列的基本性质，属于基础题.2．已知数列{}n a 中，12a =且满足()1*11N n na n a +=∈-，则12a =（）A ．2B ．1-C ．12D ．112【正确答案】C【分析】先写出数列{}n a 的前几项，发现其周期，进而求得12a 的值.【详解】由12a =，()1*11N n na n a +=∈-，可得21a =-，312a =，42a =，51a =-,612a =,则数列的值以3为周期重复，则31212a a ==故选：C3．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若131313a S ==，则1a =（）A ．14-B ．13-C ．12-D ．11-【正确答案】D【分析】由求和公式得出1a .【详解】由题意，得11311313()13(13)1322a a a S ++===，解得111a =-．故选：D5．已知等比数列{}n a 中,13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=()A ．33B ．72C ．84D ．189【正确答案】C【分析】先根据条件求出公比，再代入求结果.【详解】由题意可设公比为q ，则21344a a a =+，244q q ∴=+∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===故选：C本题考查等比数列基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“0n a >”是“{}n S 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】0n a >，则1n n S S ->，{}n S 是递增数列，充分性；1a 的符号不确定，不必要，得到答案.【详解】若0n a >，则1n n S S ->，{}n S 是递增数列，“0n a >”是“{}n S 是递增数列”的充分条件；若{}n S 是递增数列，则1n n S S ->，0(2)n a n >≥，但是1a 的符号不确定，“0n a >”不是“{}n S 是递增数列”的必要条件.故选：A7．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()242242f f f f ''<<-B ．()()()()224224f f f f ''<-<C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【正确答案】B【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知()f x '在(0,)+∞上单调递增故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，即()()()()224224f f f f ''<-<故选：B8．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1＝1，Sn ＝2an ＋1，则Sn ＝A ．2n－1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -【正确答案】B由11n n n a S S ++=-把已知式转化{}n S 的递推式，从而知{}n S 是等比数列，可求得其通项公式．【详解】由已知Sn ＝2an ＋1得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn )，即2Sn ＋1＝3Sn ，132n n S S +=，而S 1＝a 1＝1，所以13(2n n S -=.故选：B.本题考查由n S 与n a 的关系式求数列{}n S 的通项公式，解题关键是利用11n n n a S S ++=-把已知式转化{}n S 的递推式．9．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（）A ．若2n =，则m 只能是4B ．当17m =时，12n =C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,128【正确答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于A ，2n =，逆推124→→，m 只能是4，故A 对；对于B ，17m =时，175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，12n =，故B 对；对于C ，3m =时，7n =，4m =时，421→→，2n =，故C 错，对于D ，7n =时，逆推128326421124816205103⎧⎧→→⎨⎪⎪⎩→→→→→⎨⎧⎪→→⎨⎪⎩⎩，故D 对.故选：C.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()21nn S a n n=+-，()*n N ∈，若()23211202323m S S S S m m+++⋅⋅⋅+--=，则m 的值为（）A ．1007B ．1006C ．1012D ．1013【正确答案】C【分析】由()12n n n S S a n --=≥，结合题干条件得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，以2为公差的等差数列，通过数列的前n 项和公式即可求解.【详解】∵()21nn S a n n=+-，∴()121n n n S S S n n --=+-，()2n ≥整理可得，()()1121n n n S nS n n ---=-，两边同时除以()1n n -可得112n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，以2为公差的等差数列，∴()()()2232111121232n n n S S S S n n n n -+++⋅⋅⋅+--=⨯+⨯--()22121n n n =--=-，由题意可得，212023m -=，解可得1012m =.故选：C.二、填空题11．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若22a =，516a =，则6S 的值为__________.【正确答案】63【分析】由已知求出首先和公比即可得出.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得11,2a q ==，()661126312S ⨯-∴==-.故63.12．函数()1f x x=在区间[1,1]x +∆上的平均变化率是___________.【正确答案】11x-+∆【分析】根据给定条件求出函数值的增量，再利用平均变化率的意义计算即得.【详解】依题意，在区间[1，1+x ∆]内的函数值的增量为：y ∆=f (1+Δx )-f (1)=11x +∆-1=1xx-∆+∆，于是得yx ∆∆＝11x-+∆，所以所求的平均变化率为11x-+∆.故11x-+∆13．数列{}n a 满足22123334n n a a a n ++⋅⋅⋅+=，则4a =______.【正确答案】2881【分析】利用3n =与4n =时两式相减即可求得4a 的值.【详解】由22123334n n a a a n ++⋅⋅⋅+=可得，当3n =时，3212323633343a a a +⨯=+=，当4n =时，3214423234334634a a a a ++⨯=+=，两式相减得446436283a -==，解之得42881a =故288114．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是5y x =-+，则()()3'3f f +=__________．【正确答案】1【详解】由图可知()()()()32,'31,3'31f f f f ==-∴+=.15．数列{}n a 中，()*1132,22n n a a n n N -=--≥∈，且11a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()34n S n λ⋅+≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为__________．【正确答案】23【分析】由已知可得数列{}1n a +是以2为首项，12-为公比的等比数列，求其通项公式，得到数列{}n a 的前n 项和n S ，代入()34n S n λ⋅+≤，分离参数λ求解．【详解】由()1132,22n n a a n n N *-=--≥∈，得()()11112,2n n a a n n N *-+=-+≥∈，11a = ，∴数列{}1n a +是以2为首项，以12-为公比的等比数列，11122n n a -⎛⎫∴+=⨯- ⎪⎝⎭，则11212n n a -⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭．1231112412113212n nn n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++++=⨯-=---⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭由()34n S n λ⋅+≤，得4131432nλ⎡⎤⎛⎫⋅--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1112nλ∴≤⎛⎫-- ⎪⎝⎭．当1n =时，1112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭有最小值为23，23λ∴≤，即实数λ的最大值为23．故答案为.23三、解答题16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【正确答案】（1）29n a n =-；（2）2=8n S n n -，最小值为–16．【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得n S ，根据二次函数的性质即可求出.【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】公式法设等差数列{}n a 的公差为d ，由315S =-得，()3237152d ⨯⨯-+=-，解得：=2d ，所以29n a n =-．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列{}n a 通项公式为=+n a kn b ，易得+=7k b -，由315S =-，即2315a =-，即25k b +=-，解得：=2,=9k b -，所以29n a n =-．（2）[方法1]：邻项变号法由1(1)=+2n n n d S na -可得2=8n S n n -．当0n a <，即29<0n -，解得14n ≤≤，所以n S 的最小值为41=4+6=16S a d -，所以n S 的最小值为16-．[方法2]：函数法由题意知2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2=8n S n n -()2416n =--，所以n S 的最小值为24=44×8=16S --，所以n S 的最小值为16-．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再利用邻项变号法求最值；方法二：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再根据二次函数性质求最值．17．已知数列{}n a 中，12a =，且()1222,N n n a a n n n -+=-+≥∈.(1)求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式；(3)数列{}n a 的前n 项和n S .【正确答案】(1)24a =，37a =，证明见解析；(2)()12N n n a n n -+=+∈；(3)()()121N 2n n n n S n ++=-+∈【分析】（1）利用赋值法即可求得2a ，3a ，利用等比数列定义即可证得{}n a n -是等比数列；（2）先求得数列{}n a n -的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式；（3）利用分组求和法即可求得数列{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）由12a =，()1222,N n n a a n n n -+=-+≥∈得24a =，37a =，()1122221n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦，∴()121n n a na n --=--，又111a -=，∴{}n a n -是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知112n n a n --=⨯，∴()12N n n a n n -+=+∈.（3）数列{}n a 的前n 项和()()()()01212122232n n S n -=++++++++ ()()01212222123n n -=+++++++++ ()()()111221N 1222n n n n n n n +++-=+=-+∈-18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*3122n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足：11b a =，23b =，()*212N n n n b b b n +++=∈.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c ，11c a =，()*1N n n n c c b n +-=∈，求数列{}n c 的通项公式；(3)若不等式12603nn n k a b +⎛⎫⋅⋅-+≥ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立，写出一个符合条件的k 的值.【正确答案】(1)()1*3N n n a n -=∈，()21N n b n n *=-∈；(2)()211n c n =-+；(3)1（答案不唯一，满足3,32k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭即可）.【分析】（1）先利用n a 与n S 的关系求得数列{}n a 的通项公式，再利用递推关系求得数列{}n b 的通项公式；（2）利用叠加法即可求得数列{}n c 的通项公式；（3）将题给条件转化为关于k 的不等式272nn k -≥恒成立，利用数列的单调性求得数列272n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值，进而求得k 的取值范围，进而得到一个符合条件的k 的值.【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*3122n n S a n N =-∈①，当1n =时，1113122S a a ==-，解得11a =.当2n ≥时，()*1131N 22n n S a n --=-∈②，①②相减得：13322n n n a a a -=-，则13n n a a -=（常数），则数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列.则()132-=≥n n a n 当1n =时，11131a -==，即满足上式.故()1*3N n n a n -=∈.数列{}n b 满足：111b a ==，23b =，()*212N n n n b b b n +++=∈，则数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，故()*21N n b n n =-∈.（2）111c a ==，121n n n c c b n +-==-则()()()()13211122n n n n n c c c c c c c c c c -------=+++++ ()()()()2112212212111n n =--+--++⨯-+⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()21121111112n n n =---++=-+⎡⎤⎣⎦（3）不等式12603nn n k a b +⎛⎫⋅⋅-+≥ ⎪⎝⎭即()2321603nn k n ⎛⎫⋅⋅--+≥ ⎪⎝⎭化简得272nn k -≥对任意*n ∈N 恒成立.设()*27N 2n n n p n -=∈，则()1112172792222n nn n n n n n p p ++++----=-=，当15n ≤<时，1n n p p +>，数列{}n p 为单调递增数列；当5n ≥时，1n n p p +≤，数列{}n p 为单调递减数列，由45131632p p =<=，所以当5n =时，n p 取得最大值332，所以要使272nn k -≥对任意*n ∈N恒成立，332k ≥.故实数k 的取值范围为3,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.则一个符合条件的k 的值为1.19．已知数列{}n a 满足：*1a N ∈，136a ≤，且1218{23618n n n n n a a a a a +≤=->，，，()12n =⋯，，．记集合{}*|n M a n N =∈．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【正确答案】（Ⅰ）{}6,12,24M =；（Ⅱ）证明见解析；（III ）8．【分析】（Ⅰ）16a =，利用1182,18236,n n n nn a a a a a +>⎧=⎨-⎩ 可求得集合M 的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由1182,18(1236,n n n nn a a a n a a +>⎧==⎨-⎩ ，2，)⋯，可归纳证明对任意n k ，n a 是3的倍数；（Ⅲ）分1a 是3的倍数与1a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值．【详解】解：（Ⅰ）若16a =，由于1182,18(1236,n n n n n a a a n a a +>⎧==⎨-⎩ ，2，)⋯，*{|}n M a n N =∈．故集合M 的所有元素为6，12，24，{}6,12,24M ∴=；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由1182,18(1236,n n n nn a a a n a a +>⎧==⎨-⎩ ，2，)⋯，可归纳证明对任意n k ，n a 是3的倍数．如果1k =，M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >，因为12k k a a -=，或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数；于是1k a -是3的倍数；类似可得，2k a -，⋯，1a 都是3的倍数；从而对任意1n，n a 是3的倍数；综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合M 的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对136a ，11182,18(1236,n n n n n a a a n a a -->⎧==⎨-⎩ ，2，)⋯，可归纳证明对任意n k ，36(2n a n <=，3，)⋯因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩ ，所以2a 是2的倍数．从而当2n时，n a 是2的倍数．如果1a 是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，n a 是3的倍数．因此当3n时，{12n a ∈，24，36}，这时M 的元素个数不超过5．如果1a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，n a 不是3的倍数．因此当3n时，{4n a ∈，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8．当11a =时，{1M =，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。
2023-2024学年北京市高二下册3月检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册3月检测数学试题一、单选题1．27A =（）A ．13B ．21C ．42D ．5040【正确答案】C【分析】根据排列数公式计算可得.【详解】27A 7642=⨯=.故选：C2．圆22260x y x y +--=的圆心坐标为（）A ．(1,3)--B ．(1,3)C ．(1,3)-D ．(1,3)-【正确答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，即可得解.【详解】圆22260x y x y +--=即()()221310x y -+-=，所以圆心坐标为()1,3.故选：B3．直线0x y +=的倾斜角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒【正确答案】D【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．【详解】由0x y +=，得y x =-，故斜率为1k =-，因tan θk =，所以倾斜角135θ=︒．故选：D ．4．“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用两直线垂直可求得m 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直，则220m m --=，即220m m +-=，解得2m =-或1，因为{}2-{}2,1-，所以，“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的充分非必要条件.故选：A.5．抛物线2x ay =的准线方程是1y =，则a 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【正确答案】C【分析】根据抛物线的性质计算可得.【详解】因为抛物线2x ay =的准线方程是1y =，所以a<0，且14a -=，所以4a =-.故选：C6．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【正确答案】A【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”为事件A ，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为24C 6=，而甲、乙在同一组的分法有1，故()16P A =，故选：A.7．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在y 轴上的点有（）A ．36个B ．30个C ．25个D ．20个【正确答案】C【分析】根据点不在y 轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在y 轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有155C =个点，第二类坐标不含0的点，共有2520A =个点，根据分类加法计数原理可得共有20525+=个点.故选：C8．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】A【分析】设出A 、B 、C 的坐标，利用已知条件，转化求解C 的轨迹方程，推出结果即可．【详解】解：在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，不妨设(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)C x y ，所以(),AC x a y =+ ，(),BC x a y =-因为1AC BC ⋅=，所以()()21x a x a y +-+=，即2221x y a +=+，所以点C 的轨迹为圆．故选：A ．9．与双曲线22148x y -=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（）A ．B ．C ．2D ．4【正确答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为()22048x y λλ-=≠，将点()2,4的坐标代入可求λ．即可求解.【详解】设与双曲线22148x y -=有共同的渐近线的双曲线的方程为()22048x y λλ-=≠，该双曲线经过点()2,4，416148λ∴=-=-．∴所求的双曲线方程为：22148x y -=-，即22184y x -=．所以2b =，所以虚轴长为4.故选：D10．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种【正确答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有12C 种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有22A 种方法；安排在甲有3个位置的一侧有222A 种方法，最后安排其余3人有33A 种方法，综上，不同的排队方法有：12232223C (A 2A )A 72⋅+⋅=种.故选：C.11．已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点A 的坐标为()12,6，则点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D【正确答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和1PA PH PA PF +=+-，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为1AF -，求出答案.【详解】如图，PH ⊥x 轴，连接PF ，由抛物线定义得：抛物线24x y =的准线方程为1y =-，焦点坐标为()0,1，故1PH PF =-，则点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和1PA PH PA PF +=+-，连接AF ，与抛物线交于点P '，此时11P A P F AF ''+-=-，故点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值为1AF -，其中13AF ==，故最小值为112AF -=.故选：B12．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()22221(341)m x y x x y +-+=++表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A ．(0,5)B ．(0,25)C ．(5,)+∞D ．(25,)+∞【正确答案】B【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得m 的不等式，可得所求范围．【详解】方程()22221(341)m x y x x y +-+=++，即()()2221341m x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦，显然0m >()221341m x y x y -+=++()222222134534134x y x y m m -++=+++，可得动点(),P x y 到定点()1,0和定直线3410x y ++=m1m>，解得025m <<，即m 的取值范围为()0,25.故选：B ．二、填空题13．(51x +的展开式中2x 的系数是___________．【正确答案】5【分析】首先写出展开式的通项，再令122r =求出r ，最后代入计算可得.【详解】二项式(51展开式的通项为51215C C rr rr r T x+==，()05,N r r ≤≤∈，令122r =，解得4r =，所以245255C T x x ==，所以展开式中2x 的系数为5.故514．用数字2，0组成五位数，且数字2，0至少都出现一次，这样的五位数共有___________个．（用数字作答）【正确答案】15【分析】首先确定数字中2和0的个数，出每种情况的结果数，根据分类加法计数原理计算即可.【详解】解：首先确定数字中2和0的个数，当数字中有1个2，4个0时，共有11C 1=种结果，当数字中有2个2，3个0时，共有14C 4=种结果，当数字中有3个2，2个0时，共有24C 6=种结果，当数字中有4个2，1个0时，共有34C 4=种结果，根据分类加法原理知共有146415+++=种结果，故15．15．过点(1,2)可作圆222420x y x y k ++-+-=的两条切线，则实数k 的取值范围是____．【正确答案】(3,7)【分析】把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r ，由过点()1,2P 可作圆222420x y x y k ++-+-=的两条切线，可得P 在圆外，利用P 到圆心的距离d 大于圆的半径r ,列出关于k 的不等式，同时考虑7k -大于0,两不等式求出公共解集即可得到k 的取值范围.【详解】把圆的方程化为标准方程得：()()22127x y k ++-=-，∴圆心坐标为(－1,2)，半径r 则点()1,2P 到圆心的距离d ＝2，因为点()1,2P 在圆外时，过点(1,2)总可以向圆222420x y x y k ++-+-=作两条切线，∴d>r ，且7－k>0，解得：3<k<7，则实数k 的取值范围是(3,7)，故答案为(3,7)．本题主要考查圆的方程以及点与圆的位置关系，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度降低，本题将过点()1,2可作圆222420x y x y k ++-+-=的两条切线转化成点在圆外问题是解题的关键.16．已知12F F ，分别为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左，右焦点，直线l y =：与椭圆C的一个交点为M ，若12MF MF ⊥，则椭圆的离心率为______.1-##1-【分析】由直线过原点及斜率，12MF MF ⊥，可得22MO OF F M c ===，再结合椭圆定义，在焦点三角形12F MF △通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率【详解】由题可知，12F MF △为直角三角形，12OF OF c ==，直线l 过原点O ，260MOF ︒∠=，故22MO OF F M c ===，又122F M F M a +=，则12F M a c =-，在12F MF △中，2221212F M F M F F +=，即222(2)(2)a c c c -+=，又ce a=，解得：1e =或1e =（舍去）.故答案为117．对于双曲线,给出下列三个条件:①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30︒;③实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．【正确答案】2211648x y -=,答案不唯一根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．【详解】若选择①③，所以2,28ce a a===，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故2211648x y -=，答案不唯一．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.【正确答案】①②将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(22B ，(,22C -，()22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故①②本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题19．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.(1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？【正确答案】(1)35(2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有37C 种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即12214343C C C C +.【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有37765C 353创==！种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.20．已知圆E 经过点()0,0A ，()2,2B ，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．①与y 轴相切；②圆E 恒被直线()20R mx y m m --=∈平分；③过直线440x y +-=与直线240x y --=的交点C ．(1)求圆E 的方程；(2)求过点()4,3P 的圆E 的切线方程．【正确答案】(1)任选一条件，方程都为22(2)4x y -+=(2)4x =或512160x y -+=【分析】(1)选①，设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意列出方程组，求解即可；选②，由题意可得直线20mx y m --=恒过(2,0)为圆E 的圆心，代入A 点坐标即可求解；选③，求出两直线的交点为(4,0)C ，根据圆E 过A ，B ，C 三点求解即可；(2)先判断出点P 在圆E 外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.【详解】（1）解：选①，设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=，由题意可得222222(2)(2)a r a b r a b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为22(2)4x y -+=；选②，直线20mx y m --=恒过(2,0)，而圆E 恒被直线20(R)mx y m m --=∈平分，所以20mx y m --=恒过圆心，因为直线20mx y m --=过定点(2,0)，所以圆心为(2,0)，可设圆的标准方程为222(2)x y r -+=，由圆E 经过点(0,0)A ，得24r =，则圆E 的方程为22(2)4x y -+=．选③，由条件易知(4,0)C ，设圆的方程为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由题意可得082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=．综上所述，圆E 的方程为22(2)4x y -+=；（2）解：因为22(42)3134-+=>，所以点P 在圆E 外，若直线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为3(4)y k x -=-，即430.kx y k --+=2=，解得512k =．所以切线方程为512160x y -+=，若直线斜率不存在，直线方程为4x =，满足题意．综上过点(4,3)P 的圆E 的切线方程为4x =或512160x y -+=．21．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()3,P m 到焦点F 的距离为4．(1)求实数p 的值；(2)若过点()1,0的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且8AB =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)2p =(2)10x y --=或10x y +-=【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p 即可；（2）设直线l 的方程，联立直线l 和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，∴342p PF =+=，解得：2p =；（2）由（1）知抛物线2:4C y x =，则焦点坐标为F ()1,0，显然直线l 斜率不为0，设直线l 为：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y联立直线与抛物线方程：214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得：2440y ty --=，则124y y t +=，124y y =-，则()21212242x x t y y t +=++=+所以2124282AB AF B x x p t F ++=+=+==+，解得1t =±，所以直线l 为：10x y --=或10x y +-=；综上，2p =，直线l 为：10x y --=或10x y +-=.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2且过点(2,1)A .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l y x m =+:与椭圆C 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值；(3)己知点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点．【正确答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）利用题意得到关于,,a b c 的等式，进行联立求解即可；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入,AP AQ k k 中计算，即可得到结果；（3）由AM AN ⊥可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，设出直线MN 方程，与椭圆方程联立后结合韦达定理，代入等式中，可整理得到,k t 的关系，代入直线MN 方程即可得到定点坐标；【详解】（1）设椭圆的半焦距为c （0c >）．根据题意得222222411a b c c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）直线l y x m =+:与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，设()()1122,,,P x x m Q x x m ++，且(2,1)A ，联立直线与椭圆方程22163x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简可得2234260x mx m ++-=，由()()22443260m m ∆=-⨯->，可得33m -<<，由韦达定理可得21212426,33m m x x x x -+=-=，且1212121111112222AP AQ x m x m m m k k x x x x +-+-+++=+=+++----()()()()1212121241121212224x x m m x x x x x x +-⎛⎫=+++=++ ⎪---++⎝⎭()22244164433321202828223333m m m m m m m m -----=++=+=++++.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值；（3）设点()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥，所以()()()()121222110AM AN x x y y ⋅=--+--=，整理可得:()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，当直线MN 的斜率存在时，不妨设直线MN ：y kx t =+，由22163x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124260k x ktx t +++-=，()()222216412260k t k t ∆=-+->即22360t k --<设()11,M x y ，()22,N x y ，则12221224122612kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以()121222212t y y k x x t k +=++=+，()()22221212122612t k y y k x x kt x x t k -=++++=+，代入①式化简可得:()()2481310k kt t t ++--=，即()()212310k t k t +-++=，所以12t k =-或213k t +=-，则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+，或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1与点A 重合，故舍去，所以直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市重点中学10-11学年高二下学期3月月考
高 二 数 学 (理科)2011.03
（测试时间：100分钟）
姓名 班级 考号 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题的4个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.对于以下四个函数，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是 ( ) ①y ＝x
②y ＝x
2
③y ＝x
3
④x
y 1=
A.① B ．② C ．③ D ．④
2.y ＝x 2
sin x ，则y '＝ ( )
A ．2x sin x
B ．x 2cos x
C ．2x cos x ＋x 2cos x
D ．2x sin x ＋x 2
cos x
3.曲线y ＝e x 在点(2，e 2
)处的切线的横截距为 ( )
A ．e 2
B ．－1
C ．－e 2
D ．1 4.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( )
A.)2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞
5.函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数是（ ）
A. 1
B.2
C.3
D.4
6. 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3
a >-
D ．13
a <-
7.已知函数()()3
2
2
24,8.f x x x x g x ax x =++-=+-若[)0,x ∀∈+∞都有()(),f x g x ≥则实数a 的取值范围（ ）
A ．(],5-∞
B ．[)5,+∞
C ．1,3
⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
8.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义.对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()k f x f x K
f x K f x K
≤⎧=⎨
>⎩，
取函数()f x =1
2x e ---. 若对任意的(,)x ∈+∞-∞，恒有()k f x =()f x ，则 ( )
A. K 的最大值为2
B. K 的最小值为2
C. K 的最大值为1
D. K 的最小值为1
二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.
9.曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为____________________. 10.已知直线1y x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为___________.
11.已知函数32()3f x x ax x =-+在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围____________. 12.已知函数()()2
16ln 110f x x x x =++-，直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值
范围________________. 13.已知函数222()
,(0)y x r r x r =+->，则其定义域为_________;最大值为__________.
14.对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠.
定义：（1）设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '=的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()y f x =的“拐点”；
定义：（2）设0x 为常数，若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ，都有
000()()2()f x x f x x
f x ++-=成立，则函数()y f x =的图象关于点()00,()x f x 对称. 己知3
2
()322f x x x x =-++，请回答下列问题： （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标______________;
（2）检验函数()f x 的图象是否关于“拐点”A 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论______________.
三、解答题：本大题共3小题,共44分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(8分)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> 求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x .
16.（12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为2
2
=e .
(I)求椭圆C 的标准方程；
(II)若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为1
2
，求直线l 的方程.
17.（12分）已知函数e a e x x f ax
,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值.
18.（12分）过x 轴上的动点(,0)A a 引抛物线2
1y x =+的两切线,.,AP AQ P Q 为切点.
(I)求切线,AP AQ 的方程； （Ⅱ）求证直线PQ 过定点； （III ）若0a ≠,试求
APQ S OA
∆的最小值.。