24.1.2-垂直于弦的直径(第1课时)

7.23
A
18.5
R
D
B
OA2 AD2 OD2 , 即R 2 18.52 ( R 7.23)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R-7.23
O
解得 R≈27.3（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
可推得
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
C
A D
O A D E B
பைடு நூலகம்
B
A
O D C B
O
A
C D O
C
B
A
O C B
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
练习1
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E O
A
O
C B
E
O
A A
E C
B C D O E O D B A E D B A E

EAD 90

ODA 90

1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E O ·
课 堂 小 结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
C
A
·
O
D
B
变式：（1).如图，有一圆弧形桥拱，拱形的拱高为2 米，桥拱的半径5米，则桥的跨度AB为 米。
C
A
·
O
D
B
变式：（2).如图，有一圆弧形桥拱，拱形的拱高为4 米，桥拱的跨度为16米，则拱桥的半径为 米。
C
A
·
O
D
B
练习 垂径定理的应用 例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的 半径。
24.1.2垂直于弦的直径 第一课时
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有 1400年的历史，是今天世界上最古老的石拱 桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人.赵州 桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最 先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它 的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似 长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。 充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品， 称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991年 被列为世界文化遗产.
解：连接OA，作OE AB于E. 1 AE= AB=4 2 OA= AE2+OE2 =5
E
B
. O
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 37 C 由题设知 AB 37, CD 7.23,
1 1 AD AB 37 18.5, 2 2 OD OC DC R 7.23.
O
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AE=BE,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒
⌒ ⑤AD=BD.
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · E
B
D
推论：

由 ① CD是直径 ③ AE=BE
赵州石拱桥
1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦 的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
A

B O
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复 几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
作业：
D
O
B C
C
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 O A E O A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
·
E
A B
O
D
想一想：
条件
结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
C
.
A
O B
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，
E D
并且平分弦对的两条弧。
C
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧．
题设
（1）直径
·
A E D B
B
A
. O
B A C
O E
.
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。
再逛赵州石拱桥
1400多年前,我国隋朝建造的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧 所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦 的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半 径(精确到0.1m). 如图，用 AB 表示桥拱，AB
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
●
O
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE