2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理科)

2007年普通高等学招生全国统一考试（上海卷）
数 学（理科）
一、填空题 1．函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域为_____
2．已知1:210l x m y ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____ 3．函数()1
x f x x =
-的反函数()1
_____
f
x -=
4．方程96370x x -⋅-=的解是_____
5．函数()sin sin 32f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小正周期是_____T = 6．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____
7．有数字12345、、、、
，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____ 8．已知双曲线
2
2
14
5
x
y
-
=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方
程为_____
9．若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：
①10a a
+
≠
②()2
2
2
2a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =±
④若2a a b =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

10．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。

已知两个相交平面,αβ与两直线12,l l ，又知12,l l 在α内的射影为12,s s ，在β内的射影为12,t t 。

试写出12,s s 与12,t t 满足的条件，使之一定能成为12,l l 是异面直线的充分条件
11．已知圆的方程()2
2
11x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。

直线O P 的倾斜
角为θ弧度，O P d =，则()d f θ=的图象大致为
二、选择题
12．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程2
0x px q ++=的两根，则,p q 的值为
A ．4,5p q =-=
B ．4,5p q ==
C ．4,5p q ==-
D ．4,5p q =-=-
13．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是
A ．22a b <
B ．22a b ab <
C ．2
2
11ab
a b
<
D ．
b a a
b
<
14．在直角坐标系xOy 中，,i j
分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC
中，2A B i j =+ ，3A C i k j =+
，则K 的可能值有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
15．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若()2
f k k ≥成立，
则()()2
11f k k +≥+成立，下列命题成立的是
A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2
f k k ≥成立
B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k <成立
C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2
f k k <成立
D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k ≥成立
三、解答题
16．体积为1的直三棱柱111ABC A B C -中，90A C B ∠=︒，1A C B C ==，求直线1A B 与平面11BCC B 所成角。

17．在三角形ABC 中，2,,cos
4
2
5
B a
C π
==
=
，求三角形ABC 的面积S 。

18．（背景省略）已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。

在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦） （2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）
19．已知函数()2(0,)a f x x x a R x
=+
≠∈
（1）判断()f x 的奇偶性
（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围
20．若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1
i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项
（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得
2
1
1,2,2 (2)
m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S
21．已知半椭圆
()222
2
10x y x a
b
+=≥与半椭圆
()222
2
10y x x b
c
+
=≤组成的曲线称为
“果圆”，其中222,0,0a b c a b c =+>>>，012,,F F F 是对应的焦点。

（1）若三角形012F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若11A A B B >，求
b a
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。

是否存在实数k ，使得斜率为k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由。