第7讲导数及其运算定积分
08届高三数学导数定积分
高三新数学第一轮复习教案—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2007年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
人教版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概
1．5 定积分的概念1．5．1 曲边梯形的面积 1．5．2 汽车行驶的路程 1．5．3 定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图151①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151②所示)．图① 图②图151③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． (2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .2．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n→∞∑n i ＝1 b －anξ.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考：⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a b f (x )d x 与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .3．定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：① ② ③图152①在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图152①所示，即⎠⎛a b f (x )d x＝S .②在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图152②所示，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S .③若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x ，如图152③所示，即⎠⎛ab＝SA －SB(S A ，S B 表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． [基础自测]1．思考辨析(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012xd x <⎠⎛022xd x ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确C [作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是[x i ，x i ＋1]上任一值f (ξi )．]3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为( )图153A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x －1)d x C.⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .]4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.【导学号：31062080】[解析] ∵⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛021d x＝13＋73＋2 ＝83＋2＝143. [答案]143[合 作 探 究·攻 重 难]图154[解] (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi(i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf(ξi)Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n3·16n (n －1)(2n －1)＋1n2·－2＝－－n2＋16n2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1. (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞， 此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1趋向于S .从而有 S ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.[规律方法] 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，12＋22＋32＋…＋n 2＝＋＋6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋22. [跟踪训练]1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积.【导学号：31062081】[解] ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(3)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ 83⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.(单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ， 在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 km.[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.[跟踪训练]2．一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g ＝9.8 m/s 2)【导学号：31062082】[解] 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑n i ＝1v ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n3n＝∑n i ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n －·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3gn [1＋2＋…＋－·3n ＝9g ＋9gn2·－2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.1．在定积分的几何意义中f (x )≥0，如果f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i ＞0，f (ξi )＜0，故f (ξi )·Δx i ＜0，从而定积分⎠⎛a b f (x )d x ＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a b f (x )d x . 2．⎠⎛024－x2d x 的几何意义是什么？ 提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x2d x ＝π.3．若f (x )为[－a ，a ]上的偶函数，则f (x )d x 与f (x )d x 存在什么关系？若f (x )为[－a ，a ]上的奇函数，则f (x )d x 等于多少？提示：若f (x )为偶函数，则f (x )d x ＝2f (x )d x ；若f (x )为奇函数，则f (x )d x＝0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ； (3)1－x2d x .[解] (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.① ② ③(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32. (3)1－x2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以1－x2d x ＝π2.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－x2d x .[解]⎠⎛011－x2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴⎠⎛011－x2d x ＝π4.2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－－d x .[解] ⎠⎛011－－d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，∴⎠⎛011－－d x ＝π4.3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x ＋1－x2)d x .[解] 由定积分的性质得，(x ＋1－x2)d x ＝ x d x ＋1－x2d x .∵y ＝x 是奇函数，∴x d x ＝0.由例3(3)知1－x2d x ＝π2.∴(x ＋1－x2)d x ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.3nD.12nB [区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.]2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关A [由定积分的定义可知A 正确．]3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：31062083】[解析] ∵0＜x ＜π2， ∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x .[答案] sin x d x4．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.[答案] 555．计算： (2－5sin x )d x . 【导学号：31062084】[解] 由定积分的几何意义得，2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2×2＝2π. 由定积分的几何意义得，sin x d x ＝0. 所以 (2－5sin x )d x＝2d x－5sin x d x＝2π.。
高等数学知识点
高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
§5.1 导数的概念及其运算、定积分
高考第一轮复习
导数及其应用
第 一节 导数的概念及其运算、 定积分
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一、导数的概念
1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
函数
y=f(x)从
x1
到
x2
的平均变化率为������
(������ 2 )-������ (������ ������ 2 -������ 1
C.12
D.-12
【解析】依题意,得 y'=1+ln x,则 y'|x=e=1+ln e=2,所以-1������×2=-1,故 a=2.
2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( C ).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率 k=2,所以切线方程为 2x-y+1=0.
所以 S=
2 0
(4x-x3)dx=
2������
2
-
1 4
������
4
2
=4,故选 D.
f2(x)dx.
(3)
������ ������
f(x)dx=
������ ������
f(x)dx+
������ ������
f(x)dx(其中
a<c<b).
答案
3.微积分基本定理
一般地,如果
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
高考数学第3章导数及其应用7第7讲定积分与微积分基本定理教案理高三全册数学教案
第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎜⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式．2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎜⎛abf (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎜⎛a bkf (x )dx ＝k ⎠⎜⎛ab f (x )dx (k 为常数)； (2)⎠⎜⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎜⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎜⎛abf 2(x )dx ； (3)⎠⎜⎛a bf (x )dx ＝⎠⎜⎛a c f (x )dx ＋⎠⎜⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )． 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎜⎛abf (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪⎪b a ，即⎠⎜⎛ab f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎜⎛a bf (x )dx ＝⎠⎜⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎜⎛－a af (x )dx ＝2⎠⎜⎛0a f (x )dx .( ) (3)若f (x )是奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎜⎛1(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎜⎛1e xdx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎜⎛1e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43C. 3 D ．2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎜⎛2(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎜⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43. 若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎜⎛ef (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e ]，所以⎠⎜⎛0ef (x )dx ＝⎠⎜⎛01x 2dx ＋⎠⎜⎛1e 1x dx ＝13x 3⎪⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分：(1)⎠⎜⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx ；(3)⎠⎜⎛2|1－x |dx ；(4)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎜⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎜⎛12x 2dx ＋⎠⎜⎛122xdx ＋⎠⎜⎛121dx ＝x 33⎪⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪⎪21＝193.(2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx＝⎠⎜⎛0πsin xdx －⎠⎜⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪⎪π0＝2. (3)⎠⎜⎛02|1－x |dx ＝⎠⎜⎛01(1－x )dx ＋⎠⎜⎛12(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1.(4)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎜⎛12e 2x dx ＋⎠⎜⎛121x dx ＝12e 2x ⎪⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. 若本例(3)变为“⎠⎜⎛3|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎜⎛3|x 2－1|dx＝⎠⎜⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎜⎛13(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪⎪31＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎜⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎜⎛－11e |x |dx ＝⎠⎜⎛－10e －xdx ＋⎠⎜⎛01e xdx ＝－e －x |0－1＋e x |1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎜⎛1(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎜⎛1(x 2＋mx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2018·泉州模拟)⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝________．解析：⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎜⎛011－x 2dx ＋⎠⎜⎛0112xdx ，⎠⎜⎛0112xdx ＝14，⎠⎜⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎜⎛1(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B . 【答案】 B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎜⎛a(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sinx (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π65π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )． 【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎜⎛110F (x )dx ＝⎠⎜⎛110(x 2＋1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎜⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎜⎛abF (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403m D.203m解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2. 所以h ＝⎠⎜⎛2(40－10t2)dt ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分． 求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎜⎛1(3x ＋e x)dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎜⎛1(3x ＋ex)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎜⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎜⎛0a3t 2dt ＝t 3|a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e10＋25 B ．e10－25C ．－e 10＋25D ．－e10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎜⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋x dx＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛01f (x )dx ，则⎠⎜⎛01f (x )dx ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛1f (x )dx ，所以⎠⎜⎛1f (x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎜⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎜⎛01f (x )dx ，所以⎠⎜⎛1f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3，所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎜⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎜⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323.6．定积分⎠⎜⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎜⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎜⎛－11x 2dx ＋⎠⎜⎛－11sin xdx ＝2⎠⎜⎛1x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎜⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎜⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎜⎛－111dx ＝x |1－1＝2. 答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎜⎛1f (x )dx ＝⎠⎜⎛01(ax2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ，所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33.答案：339．求下列定积分：(1)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ； (2)⎠⎜⎛－π0(cos x ＋e x)dx .解：(1)⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎜⎛12xdx －⎠⎜⎛12x 2dx ＋⎠⎜⎛121xdx＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.(2)⎠⎜⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎜⎛－π0cos xdx ＋⎠⎜⎛－π0e xdx ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎜⎛2(2x －x2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( ) A.92 B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积． 易得S ＝⎠⎜⎛－2(2－x 2)dx ＋⎠⎜⎛1(2－x 2－x )dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33－x 22|1＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76.2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎜⎛－12f (x )dx 的值为( ) A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选 A.⎠⎜⎛－12f (x )dx ＝⎠⎜⎛－111－x 2dx ＋⎠⎜⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A.3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎜⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：504．函数y ＝⎠⎜⎛t(sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎜⎛t(sin x ＋cos x sin x )dx＝⎠⎜⎛0t⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －14cos 2x |t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y ma x ＝2. 答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎜⎛1f (x )dx ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎜⎛01f (x )dx ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋2－a )dx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a x 3＋（2－a ）x |1＝2－23a ＝－2.所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值． 解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1. 结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎜⎛t (t 2－x2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1.S 2＝⎠⎜⎛t1(x 2－t2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33.所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.5.3定积分的概念 精品
这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记
作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx＝
n
i＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b－n af(ξi)，这里，a
与
b
分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间， 函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被 积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒 有 f(x)≥0，那么定积分∫baf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b， y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分∫baf(x)dx 的几何意义是：介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
3．定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是 解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、 逆用以及变形使用．
答案：16
归纳升华 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域； (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注 意 x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据积分的性质写出结果．
[类题尝试] 如图所示，阴影部分的面积分别以 A1， A2，A3 表示，则定积分∫baf(x)dx＝________．
(2)已知 f(x)＝45－－2 xx，，xx∈∈[[23，，35）]，，求 f(x)在区间[0， 5]上的定积分．
解：(1)由定积分的几何意义得：∫3－3 9－x2dx＝π·2 32 ＝92π，∫3－3x3dx＝0，由定积分性质得∫3－3( 9－x2－x3)dx ＝∫3－3 9－x2dx－∫3－3x3dx＝92π.
导数的概念及运算、定积分
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数
的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x
上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ( D )
A．[－1,2]
B．(3，＋∞)
x.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2
＝12xsin(4x＋π)＝－＝－12sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法
b
f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作
a
F(x) ba，即abf(x)dx＝F(x) ba＝F(b)－F(a)．
1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负， 而定积分的结果可正可负. 2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
3．已知t是常数，若t (2x－2)dx＝8，则t＝ 0
A．1
B．－2
( D)
C．－2或4
D．4
解析：由t (2x－2)dx＝8，得(x2－2x) 0
t0＝t2－2t＝8，
解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝___2_e____.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于 ( B )
A．e2
导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
定积分
0
4
(3) 利用微积分基本公式求定积分.
步骤①求f(x)的一个原函数F(x); ②计算F(b)- F(a)
主页
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黄本 P.239 A5 5. 6.
3
3 3
36 . (9 x 2 )dx _______
9 9 x dx _______ . 2
2
y
3
-3
o
3 x
解：
y (t 1) 2t ( x t ).
2
此切线与坐标轴的交点分别为 2 t ( 1 ,0), (0, t 2 1). 2t 于是，所求面积为
o
1
x
2 1 2 t 1 1 S (t ) (t 1) ( x 2 1)dx 1 ( t 3 2t 1 ) 2 . 0 2 2t 4 t 3
3
3
2 9 . 1 9 x dx 3 2 2
2
主页
学案 P.81 T10
10．计算定积分：
1
0
3 4 x dx ________ 2 3 .
2
y
x
主页
学案 P.81 T8
8. 函数 F ( x) t (t 4)dt 在 [1,5] 上的最小 值为
导数的应用 定积分的概念
微积分基本定理
函数的极值与最值
生活中的优化问题举例
定积分的简单应用 主页
基础梳理
忆一忆知识要点
1. 定积分的定义 如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续 , 用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b, 将区间等分成n个小区间,在每 一个小区间[xi-1, xi]上任取一点ξi ,作和式 n n b a f ( ), f ( ) x i i i n i 1 i 1 当 n ∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫 b 做函数 f(x) 在区间[a , b]上的定积分,记作: a f ( x )dx ,
导数的概念及运算、定积分微专题
对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
1．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线
y
x
x 2
在点 3,3
处的切线与直线 ax
y
1
0 平行，
则 a 等于（ ）
1 A．
2
B． 2
C． 1 2
D． 2
2．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线 f x aex b 和曲线 g x cos x c 在它们的公
3
D．1
16．（2021·全国高考真题）若过点 a, b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则（ ）
A． eb a
B． ea b
C． 0 a eb
D． 0 b ea
17．（2020·全国高考真题（理））若直线 l 与曲线 y=
x
和
x2+y2=
1 5
都相切，则
l
的方程为（
）
A．y=2x+1
程，将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，求出 AB 以及点 P 到直线 AB 的距离，利用三角形的面积公 式结合二次函数的基本性质可求得 △PAB 面积的最大值.
【详解】
（1）抛物线
C
的焦点为
F
0,
p 2
，
FM
p 4， 2
所以， F 与圆 M : x2 ( y 4)2 1上点的距离的最小值为 p 4 1 4 ，解得 p 2 ； 2
x+3y-1=0 垂直.执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 20，则判断框中 t 的值可以为（ ）
19
A．
39
20
B．
41
21
C．
43
积分学培训课件
第二类曲面积分
详细阐述第二类曲面积分的定义、性 质及计算方法，涉及向量场、高斯公 式等内容。
积分变换与微分方
05
程求解
傅里叶变换及其逆变换
傅里叶变换
将时间域函数转换为频域函数 ，便于分析信号频率成分。
傅里叶逆变换
介绍柱面坐标系与球面坐标系下三重积分的 计算方法，包括坐标系的建立、被积函数的 变换等。
曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分
阐述第一类曲线积分的定义、性质及 计算方法，包括积分路径的确定、积 分表达式的简化等。
第二类曲线积分
讲解第二类曲线积分的定义、性质及 计算方法，涉及向量场、路径无关性 等概念。
第一类曲面积分
定积分应用举例
求曲边梯形面积
通过定积分可以求出曲边梯形面积，这是定积分的一个典型 应用。
求物体质量、重心等
利用定积分可以求出物体在某个区间上的质量、重心等物理 量，具有实际应用价值。
多Байду номын сангаас函数积分学
04
二重积分
定义与性质
详细阐述二重积分的定义、存在性、性质及其实际意 义。
直角坐标系下计算
介绍在直角坐标系下如何计算二重积分，包括积分区 域的确定、积分次序的选择等。
辛普森法
在梯形法的基础上，将每个小区间的曲边梯形面积用二次函数近似代替，从而提高近似精度。
高斯法
通过选取特定的积分点和权重，使得数值积分公式具有较高的代数精度，适用于各种光滑函数。
数值积分误差分析
误差来源
数值积分误差主要来源于插值或逼近函数与 被积函数之间的差异，以及积分区间的离散 化带来的截断误差和舍入误差。
导数、定积分
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计优质试题年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分的概念,几何意义及其运算
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域 三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
定积分的计算方法
定积分的计算方法（临沧师专数理系云南临沧677000）姻文/马忠莲董茂昌摘要：定积分是数学分析的三大基本运算之一。
是计算所有积分的基础。
文章概括了求定积分的各类方法，通过实例介绍了如何运用各类方法求定积分。
关键词：定积分计算定理 若函数()x f 在[a,b]上连续,且()x F 是()x f 的原函数（即'F (x)=f(x),x ∈[a,b]）,则).()()(a F b F dx x f ba-=ò。
这称为牛顿一菜布尼茨公式。
它也常写成()().bab f x dx F x a=ò。
例1 计算定积分ò-2024dx x x 。
分析：先用不定积分法求出24)(x x x f -=的任一原函数，然后完成定积分计算。
解：òò+--=---=-C x x d x dx x x 3222)4(31)4(42142ò=--=-203223802)4(314x dx x x 。
应用牛顿莱布尼兹公式求定积分，这种做法使得所有求不定积分的方法对于定积分都适应。
2.利用换元法计算定积分 定理 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，()t x j =在],[b a 上有连续导数，当b a ££t 时，有b t a ££)(j ，又a =)(a j ，b =)(b j ，则òòò=¢=bebaj j j j )())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba。
注意：在定积分的换元法中换元时一定要记得讲积分上下限换成新元的对应范围。
（1）第一换元法.具体做法是令被积函数中的一项()t j 为x 。
例2.计算ò202cos sin p tdt t 。
分析： 令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。
解：ò202cos sin ptdt t =ò202)(cos cos p t td =ò012dx x =01331x=-31 （2）第二换元法：具做法是令被积函数中的x 为()t j 。
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一、导数的概念及其运算
[基本知识]
1.导数的概念与导函数的定义;
2.导数的几何意义和物理意义;
3. 几种常见涵数导数;
4. 导数的四则运算及复合函数的导数.
[典型例题]
例1 若函数)(x f 在a x =处的导数A , 求x x a f a f x ∆∆+-→∆)()(lim
0；t t a f t a f t )5()4(lim 0+-+→.
例2 求导：（1）x x y cos 2=；
（2）x y 2sin 3=；
例3 （1）求过点)2,1(-P 且与曲线2432+-=x x y 在点)1,1(M 处的切线平行的直线方程.
（2）已知曲线12-=x y 与33x y -=在0x x =处的切线互相垂直，求0x .
（3）若直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线，求实数a 的值.
（4）设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在点)(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为
]4
,0[π
，求P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围.
（5）（11江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x (x ＞0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．
二、定积分与微积分基本定理
[基本知识]
1.定积分的定义；
2.定积分的几何意义；
3.微积分基本定理；
4.利用微积分基本定理计算平面图形的面积.
[典型例题]
例1 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)('+=x x f
（1）求)(x f y =的表达式；
（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
例2（1）求dx x ⎰-302
4； （2）若,2210=+⎰k)dx x (求k .
例3由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为_______________
[规范训练]
1. 求导：（1）11
-+=x x e e y ； （2）)1ln(2x x y ++=； （3）3221sin ln x x y -+=.
2、曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )
A ．1/3
B ．1/2
C ．2/3
D ．1
3、函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2，对任意,2)(,>'∈x f R x ，，则42)(+>x x f 的解集为(
) A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)
4、曲线21
cos sin sin -+=x x x
y 在点)0,4(π
M 处的切线的斜率为( )
A ．21
- B ．21 C ．22- D ．22
5、由直线0,3,3==-=y x x π
π与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A ．21
B ．1
C ．23
D ． 3
6、曲线y ＝e x
在点A(0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．
e 1 7、曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为 …( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－3x ＋5
C ．y ＝3x ＋5
D ．y ＝2x
8、dx x e x ⎰+1
0)2(等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
9、由曲线x y =，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A ．10/3
B ． 4
C ．16/3
D ． 6
10若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1
11、如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y ＝S′(t)的图像大致为( )
12、已知点P 在曲线1
4+=
x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2ππ D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ,43 13、若函数f(x)＝ax 4＋bx 2
＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0
14、曲线2
+=x x y 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2
15、dx x ⎰-+22
)cos 1(π
π等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2
16、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）.那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )
A.在t 1时刻，甲车在乙车前面
B.t 1时刻后，甲车在乙车后面
C.在t 0时刻，两车的位置相同
D.t 0时刻后，乙车在甲车前面
17、已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2-x)-x 2
+8x-8,则曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（ ） A.y ＝2x-1 B.y ＝x C.y ＝3x-2 D.y ＝-2x+3
18、曲线y ＝e －2x
＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A ． 31 B ．21 C ．3
2 D ．1 19、函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点()2,k
k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则
a 1＋a 3＋a 5的值是__________．。