高二数学-96两个平面垂直的判定和性质
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
高中数学 第九章 两个平面垂直的判定和性质(二)教学案 苏教版
高中数学第九章两个平面垂直的判定和性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的性质定理．2．异面直线上两点间的距离公式．(二)能力训练点1．弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学生的逻辑思维能力．2．掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题．3．异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．另外，还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离公式．2．教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用．3．教学疑点：(1)弄清反证法与同一法的联系与区别．(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF＝三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式．四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义，判定师：什么是两个平面互相垂直？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：如何判定两个平面互相垂直？生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．(二)两个平面垂直的性质师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．求证：AB⊥β．证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题．例1 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求证：a α．师提示：要证明a α，一般用反证法，即否定结论→推出矛盾→肯定结论．下面请同学们写出它的证明过程．其中c为α与β的交线．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾．∴a α．师：现在我们来看课本P．44的证明，这种方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻灯显示)一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般步骤是什么？(幻灯显示)1．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；2．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；3．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立．证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β．因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合．即a α．师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题．另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用．下面请同学们一齐完成例2．(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA'的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β内作EG⊥C，则EG＝AA'．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧，则EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的三个问题：(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性．(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂线，而EF是斜线，∴AA'＜EF．如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离．(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习．(四)练习在60°二面角的枝上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用异面直线上两点距离公式求CD．(P．45中练习3)∴AC与BD是异面直线．∵AB⊥AC交于点A，AB⊥BD交于点B，∴AB是AC、BD的公垂线，AC、BC所成角是60°．已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm．师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时，应用异面直线上两点间的距离公式一定要注意cosθ前正负号的选择(当θ≤90°时取“-”号)．(五)总结本节课我们学习了两个平面垂直的性质及异面直线上两点间距离的求法．正确理解、掌握异面直线上两点间的距离公式及其应用是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六9、10(2)、11、12．。
高中数学必修二6.面面垂直性质判定
授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
平面与平面垂直的判定与性质
记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的 大小？ 二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上 任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作 垂直 于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面 垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析 人教版
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析人教版一. 本周教学内容：二面角、两平面垂直的判定和性质二. 重点、难点：重点：1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二面角。
2. 作二面角的平面角常有以下方法：①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。
②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。
③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。
⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。
3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4. （1）两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。
由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。
（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
简言为：“面面垂直，则线面垂直”。
难点：1. 二面角平面角的作法与计算。
2. 判定定理和性质定理的应用。
【典型例题】例1. 如图。
AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。
高中数学面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质新人教A版必修
法二
在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n
垂直于 β 与 γ 的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ. ∴m∥n.又 n⊂β，∴m∥β.又 m⊂α，α∩β＝l， ∴m∥l.∴l⊥γ.
【变式 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
面面垂直 线面垂直
例4 , a , a , 判断a与 位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b b l a
bl
b a // a
答案 2
6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于 四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平 面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 证明 因为SA⊥平面ABCD， 所以SA⊥BC. 又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB， 又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC， 所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
答：二面角的平面角与其顶点的位置无 任何关系,只与二面角的张角大小有关。
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
高二数学两个平面垂直的判定和性质知识精讲 人教版
高二数学两个平面垂直的判定和性质知识精讲人教版【基础知识精讲】1.二面角半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β，有时也可以全用大写拉丁字母表示，例平面PAB与平面QAB形成的二面角记作P—AB—Q.注意：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样一个二面角也可以看作以一个半平面以其棱为轴旋转而成的.2.二面角的平面角平面与平面的位置关系，总的来说只有相交或平行两种.为了对相交平面的相互位置作进一步的对探讨，有必要研究二面角的大小问题.如图，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA，OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱a上另取一点O′，按同样方法作∠A′O′B′.因为OA和O′A′，OB和O′B′都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，因此∠AOB＝∠A′O′B′，可见∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.注意：①它是一个“平面角”，因此两边必须在同一平面内.②二面角的平面角的两边都必须与棱垂直.画二面角和它的平面角，最常见的两种形式：(1)直立式(2)平卧式二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.特别地：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角Q 的X 围是［0，π］3.两个平面垂直的判定(i)定义：两个平面所成二面角为直二面角；如果α与β垂直，记作α⊥β，画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直，如图：(ii)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.AB ⊥β，AB ⊂α⇒α⊥β.建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，就是依据这个定理.(iii)垂直于平行平面中的一个平面必垂直于另一个平面. α∥β,r ⊥α⇒r ⊥β说明 平面与平面的垂直问题可以转化为直线与平面的垂直问题，即线面垂直可以导致面面垂直.4.两个平面垂直的性质(i)两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.α⊥β，α∩β＝a,b ⊂α,b ⊥a ⇒b ⊥β(ii)过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这平面内. (iii)相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三平面. (iv)过不垂直于平面的一直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 从两个平面垂直的性质可以看出面面垂直可以得出线面垂直.5.两条异面直线上两点的距离公式设a 、b 是异面直线，AA ′是a 、b 的公垂线，A ′∈b,A ∈b ，AA ′＝d.E ∈a,F ∈b ，A E '＝m,FA ＝n.且a 、b 成θ角，则EF ＝θcos 2222mn n m d ±++.说明 (i)两条异面直线公垂线的存在性.(ii)可证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离.(iii)可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题.【重点难点解析】二面角及其平面角是本节重点概念，应熟练掌握找平面角的各种基本办法，两个平面垂直的判定定理及性质定理，是本节的两个重要定理，应弄清定理内容，灵活使用定理处理综合问题.如何选取恰当位置作出二面角的平面角是本节的难点，应在掌握找平面角的各种方法之后，通过加强练习达到灵活熟练的程度.同时，异面直线上两点间距离的计算也是本节的一个难点.例1 直线a 、b 是异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，a ⊥b ，求证：α⊥β.证明 过b 上任意一点作直线a ′，使a ∥a ′.∵a ⊥b,∴a ′⊥b.设相交直线a ′、b 确定一个平面γ,γ∩β＝c.∵b ⊥β,c ⊂β,∴b ⊥c.在平面γ内，b ⊥c,b ⊥a ′,∴a ′∥c.∴a ∥a ′∥c.又∵a ⊥α,∴c ⊥α,c ⊂β，∴β⊥α例2 在三棱锥S —ABC 中，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∠ASC ＝90°，且SA ＝SB ＝SC ，求证：平面ASC ⊥平面ABC.证明 取AC 的中点O ，连SO 、BO ，由已知，得ΔSAB 、ΔSBC 都是正三角形.∴BC ＝AB ＝a,SA ＝SC ＝a,又SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠SOB 就是二面角S —AC —B 的平面角.又∵SA ＝AB ＝a,SC ＝BC ＝a,AC ＝AC,∴ΔACS ≌ΔACB.∴SO ＝BO ＝22a.在ΔSOB 中，∵SB ＝a,∴∠SOB ＝90°. 即平面SAC ⊥平面ABC.另证：过S 作SO ⊥平面ABC ，垂足是O.∵SA ＝SB ＝SC ，∴S 在平面内的射影是ΔABC 的外心，同前面的证明，可知ΔABC 是直角三角形，∴O 在斜边AC 上.又∵平面SAC 经过SO ，∴平面SAC ⊥平面ABC说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.例3 如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A —BD—C 、A —BC —D 、B —AC —D 的大小.解 (1)取BD 的中点O ，连AO 、OC. 在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝2，BD ＝2，∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD. ∴∠AOC 是二面角A —BD —C 的平面角 又AO ＝OC ＝1，AC ＝2，∴∠AOC ＝90°.即二面角A —BD —C 为直二面角.(2)∵二面角A —BD —C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BCD. ∴ΔABC 在平面BCD 内的射影是ΔBOC. ∵S ΔOCB ＝21,S ΔABC ＝23,∴cos θ＝33.即二面角A —BC —D 的大小是arccos33. (3)取AC 的中点E ，连BE 、DE. ∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BED 就是二面角的平面角. 在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝26，由余弦定理，得cos α＝-31 ∴二面角B —AC —D 的大小是π—arccos31. 评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S ′＝S ·cos θ求得.例4 如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB ，SB ＝SC.求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.解法一：由于SB ＝BC ，且E 是SC 中点，因此BE 是等腰三角形SBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE ， ∴SC ⊥BD ，又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 上， ∴SA ⊥BD.而SA ∩SC ＝S ， 所以BD ⊥平面SAC.∵DE ＝平面SAC ∩平面BDE ，DC ＝平面SAC ∩平面BDC ， ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC.设SA ＝a,则AB ＝a,BC ＝SB ＝2a. 又AB ⊥BC ，所以AC ＝3a.在Rt ΔSAC 中 tg ∠ACS ＝AC SA ＝31，所以∠ACS ＝30°. 又已知DE ⊥SC ，所以∠EDC ＝60°，即所求的二面角等于60°.解法二：由于SB ＝BC ，且E 是SC 的中点，因此BE 是等腰ΔSBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E.∴SC ⊥平面BDE ，SC ⊥BD.由于SA ⊥底面ABC ，且A 是垂足，所以，AC 是SC 在平面ABC 上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ；又E ∈SC ，AC 是SC 在平面内的射影，所以E 在平面ABC 内的射影在AC 上，由于D ∈AC ，所以DE 在平面ABC 内的射影在AC 上，根据三垂线定理得BD ⊥DE.∵DE ⊂平面BDE ，DC ⊂平面BDC. ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. 以下解法同解法一.例5 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示)(1)求点C ′到平面AB ′C 的距离； (2)求二面角B —B ′C —A 的余弦值.解 (1)∵ABC —A ′B ′C ′是直三棱柱，∴A ′C ′∥AC ，AC ⊂平面AB ′C ，∴A ′C ′∥平面AB ′C ，于是C ′到平面AB ′C 的距离等于点A ′到平面AB ′C 的距离，作A ′M ⊥AB ′于M.由AC ⊥平面AB ′A ′A 得平面AB ′C ⊥平面AB ′A ′A ，∴A ′M ⊥平面AB ′C ，A ′M 的长是A ′到平面AB ′C 的距离.∵AB ＝BB ′＝1，∠B ′CB ＝30°，∴B ′C ＝2，BC ＝3，AB ′＝2，A ′M ＝AA AA B A ''⨯''＝22. 即C ′到平面AB ′C 的距离为22； (2)作AN ⊥BC 于N ，则AN ⊥平面B ′BCC ′，作NQ ⊥B ′C 于Q ，则CQ ⊥B ′C ，∴∠AQN 是所求二面角的平面角，AN ＝BCAC AB ⨯＝36，AQ ＝C B B A AC ''⨯＝1.∴sin ∠AQN ＝AQ AN ＝36,cos ∠AQN ＝33.说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB ＝BB ′＝1，∴AB ′＝2，又∠B ′CB ＝30°，∴BC ＝3,B ′C ＝2,AC ＝2.作AM ⊥B ′C 于M ，BN ⊥B ′C 于N ，则AM ＝1，BN ＝23，＝23，CM ＝1，∴MN ＝21.∵BN ⊥B ′C,AM ⊥B ′C ，∴BN 与AM 所成的角等于二面角B —B ′C —A 的平面角.设为θ.由AB 2＝AM 2+BN 2+MN 2-2AM ×BN ×cos θ得cos θ＝31＝33.例6 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD. (2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小.解 (1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD. (2)EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ， ∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离.作OF ⊥BC 于F ， ∵EO ∥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离.由条件可知，OB ＝2a ,OF ＝2a×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为43a.(3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE∴AG ⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角 ∵OE ＝21PC ＝21a,OB ＝23a∴EB ＝a.∴OG ＝EB OB OE ⋅＝43a 又AO ＝21a.∴tan ∠AGO ＝OG AO ＝332∴∠AGO ＝arctan332. 评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及某逆定理的应用.例7 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，以AC 为轴翻折半平面，使二平面角B —AC —D 为120°，求：(1)翻折后，D 到平面ABC 的距离；(2)BD 和AC 所成的角.分析 研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B 、D 作AC 的垂线，垂足是E 、F ，过F 作FB ′∥BE ，过B 作BB ′∥AC ，交点B ′，则四边形EFB ′B 是矩形.∵AC ⊥DF ，AC ⊥B ′F ，∴AC ⊥平面B ′FD ，即∠DF ′B 就是二面角B —AC —D 的平面角，亦即∠DFB ′＝120°.过D 作DO ⊥′BF ，垂足为O.∵DO ⊂平面DFB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴DO ⊥AF ，DO ⊥平面ABC.在Rt ΔADC 中，CD ＝2，AD ＝23，∴DF ＝3，OD ＝OF ·sin60°＝23. (2)在ΔDFB ′中，DB ′＝︒⋅'⋅⋅-'+120cos 22F B DF F B DF ＝3.又由(1)可知，AC ∥BB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴BB ′⊥平面DFB ′，∴ΔDBB ′是直角三角形，又BB ′＝EF ＝2.∴tan ∠DBB ′＝23. ∵AC ∥BB ′,∴AC 与BD 所成的角就是∠DBB ′，即为arctan23. 说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF 、BE 上两点B 、D 间的距离，先求出BD 2＝EF 2+DF 2+BE 2-2DF ·BE ·cos120°＝13，从而得出∠DBB ′＝arccos132.【难题巧解点拨】例1 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： (1)α∥β⇒l ⊥m (2)α⊥β⇒l ∥m (3)l ∥m ⇒α⊥β (4)l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是( )A.(1)与(2)B.(3)与(4)C.(2)与(4)D.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l ⊥α，m ⊂β的前提下，当α∥β时，有l ⊥β，从而l ⊥β，从而l ⊥m ，得(1)正确；当α⊥β时，l 垂直于α、β的交线，而m 不一定与该交线垂直，因此，l 与m 不一定平行，故(2)不正确.故应排除A 、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B ，得D.解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l ∥m,l ∥α知m ⊥α，从而由m ⊂α得α⊥β.即(3)正确.故选D.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l ⊥α,m ⊥β不能否定m 是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B 、C.依据A 和D 的内容可知(1)必定是正确的，否则A 和D 也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.例2 一X 正方形的纸ABCD ，BD 是对角线，过AB 、CD 的中点E 、F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD 等于( )A.120°B.150°C.135°D.90°分析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。
两个平面垂直的判定与性质.许兴华
C
N S E 许E V 课
.
兴T华
件
Firstpage首页 upward return next last 铃
【新课】
1. 平面与平面垂直 性质 的 1 如果两个平面互相垂直 , 那么其中一个 平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面. 用途: α β于l a β a α 面面垂直 线面垂直
β P
l
α
2. 平面与平面垂直 性质2 的
如果两个平面垂直, 那么过第一个平 面内的一点垂直于第二 个平面的直线, 在第一个平面内.
N S E 许E V 课
兴T华
件
Firstpage首页 upward return next last 铃
题型1. 定义法证面面垂直
例1.在正方体 ABCD- A1B1C1 D1中, E为 A1 A的中点 求证 : 平面EBD 平面 , C1 BD.(调研P 30LE1)
例3.如果两个相交平 面都垂直于第 三个平面, 那么它们的交线垂直于 第三个平面.( 调研P31R思考题)
已知: , , a. 求证 : a . a (way1)在平面内取一点A,
过A作AN b, 作AM c,
AN a, AM a
已知: , , a. 求证 : a . (way2)过点B作直线b , b a
B
b
直线b与a重合.
a .
N S E 许E V 课
兴T华
件
Firstpage首页 upward return next last 铃
•THE END •Goodbye!
(提示)取BD的中 点E, 连结AE, EC.
数学：点线面位置关系两个平面垂直的判定和性质教案苏教版必修
两个平面垂直的判定和性质教学目标：使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
教学重点：两个平面垂直的判定、性质。
教学难点：两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。
教学过程：１．复习回顾：１）二面角、二面角的平面角.２）求作二面角的平面角的途径及依据.２．讲授新课：［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.请同学给两个平面互相垂直下一定义：［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.平面α和β垂直，记作α⊥β［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.［生］两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.［师］请两位同学给出分析，证明.［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB ⊂α求证：α⊥β.分析：要证α⊥β需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β＝CD，则由AB ⊂α知，AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过点B作直线BE⊥CD则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.∴α⊥β.［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直两个平面垂直的性质：［师］在所给正方体中，下式是否正确１平面ADD１A１⊥平面ABCD２D１A⊥AB３D１A⊥面ABCD［生］１∵AB⊥面ADD１A１，AB ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面ADD１A１２∵AB⊥面ADD１A１，D１A ⊂面ADD１A１∴AB⊥D１A３∵AA１⊥面ABCD∴AD１与平面ABCD不垂直［师］平面ADD１A１⊥面ABCD，平面ADD１A１∩平面ABCD=AD，A是平面ADD１A１内一点.过点A可以在平面ADD１A１内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.请同学予以证明.［生］证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a, AB⊂α，AB⊥a于B.求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角由α⊥β可知，AB⊥BE又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线∴AB⊥β.［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例１也可做为性质定理用.例１：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂α.［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证a⊂α先作出直线b⊂α然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，∵α⊥β ∴b⊥β，而a⊥β，P∈a因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.所以直线a应与直线b重合.那么a⊂α.［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.例２：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由.［生］可从多角度解决该题.解法一：∵VC⊥面ABC，AC面ABC，BC ⊂面ABC∴VC⊥AC，VC⊥BC则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°∴面VBC⊥面VAC又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC而AC⊥VC即DE⊥VC那么DE⊥面VBC.［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直.］解法二：因VC⊥面ABC，AC⊂面ABC∴VC⊥AC又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC由此AC⊥面VBC而D、E是VA、VC中点，DE∥AC故DE⊥面VBC.［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.转化关系：线垂直面⇒线垂直面内线线垂直面⇒与此线平行的线也垂直平面.］解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）３．课堂练习：课本P４7练习２，３，４．４．课时小结：（１）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.（２）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.（３）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用. ５．课后作业：课本P４76，7，8。
高二数学-96两个平面垂直的判定和性质
1．面面垂直的判定定理和性质定理是“面面垂直”和“线面垂直”之间互相转化的完整体系，运用时要“充分用足条件，尽情享受结论”．
2．求二面角的步骤是：“一找二证三计算”．
3．找二面角的平面角的方法较多，主要是用三垂线定理及其逆定理法．其关键步骤是“三垂”中的“第一垂”，这一垂的作出一般依赖图形中的线面垂直关系或面面垂直的性质定理．
又PEI PF＝P，
∴ l⊥平面γ．
点拨 使用性质定理时，要找齐应具备的条件，用足定理的结论，此例中由“α⊥γ”推出“l⊥a”条件不足．
出题方向2 两个平面垂直的性质
例2 如图9－6－5，PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角，求证：AB⊥BC．
[分析] 要证线线垂直，可以通过线面垂直．而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直的性质．
[证明] 过A作AD⊥PB于D．
∵ 二面角A－PB－C是直二面角，即平面APB⊥平面CPB，
出题方向4 平面图形的翻折问题
例4 如图9－6－12，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，现沿CD将∠ACB折成60°的二面角A－CD－B，求折后AC与平面CDB所成角的正弦值．
[解] 在折前图(1)CD上取一点M，过M作CD的垂线交AC、BC于E、F，折后图(2)中．
∵ CD⊥EM，CD⊥FM，
∴ PA⊥BC．而PAI AD＝A，
∴ BC⊥平面PAB．
∴ BC⊥AB．
出题方向3 有关二面角的计算
点拨 (1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角．
(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角．把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0°，90°)，而二面角取值范围为(0°，180°)．
两平面垂直的判定与性质课件
楼梯的斜面
楼梯的斜面与地面垂直， 确保了楼梯的安全和稳定。
梁的支撑
建筑中的梁常常通过与垂 直的柱子相连接来支撑整 个结构。
实例二：机械中的两平面垂直
车床的主轴
车床主轴的轴线与车床的工作平 面垂直，确保了工件的加工精度。
发动机的汽缸
发动机汽缸的轴线与曲轴的旋转平 面垂直，保证了发动机的正常运转。
锤子的打击面
两平面垂直的判定与性质课件
目录
• 两平面垂直的判定 • 两平面垂直的性质 • 两平面垂直的实例 • 两平面垂直的应用
01 两平面垂直的判定
定义与性质
两平面垂直的定义
两平面垂直是指它们之间的夹角 为90度。
性质
两平面垂直时，它们的法向量也 垂直。
判定定理
定理一
如果两平面中的一个平面包含另一个 平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质一：垂直平面的性质
两平面垂直，则它们 之间的二面角为直角。
两平面垂直，则它们 的交线与其中任一平 面垂直。
两平面垂直，则它们 的法线互相垂直。
性质二：垂直平行的性质
两平面垂直，则它们之间的任 意直线都与另一平面垂直。
两平面垂直，则它们的法线平 行。
两平面垂直，则它们的交线与 另一平面的任意直线平行。
性质三：垂直平面的应用
在几何学中，两平面垂直的性质 常用于证明定理和推导结论。
在建筑学中，两平面垂直的性质 用于确定建筑物的垂直度和稳定
性。
在物理学中，两平面垂直的性质 用于描述物体的运动轨迹和力的
方向。
03 两平面垂直的实例
实例一：建筑中的两平面垂直
建筑物的墙角
墙角处的两个墙面相互垂 直，这是建筑设计中常见 的垂直关系。
高二数学面面垂直的判定和性质
α A
D
α A
β
B
C
D
β
B C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
发现 猜想 证明 证明 过程 结论 问题 发现
注
性质定理
猜想，得： 若增加条件ABCD，则命题为真，即
α 直线AB 平面 α 直线AB 平面 β 。 A 平面 α 平面 β CD D AB CD
A
D
β
E
AB BE AB CD
BE β CD β
AB β 。
B
C
BE CD B
证明过程 过程 结论 问题 发现 猜想 证明 证明
注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B
C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
作业
P.81：
1、习题：2、3、6；
2、课后总结。
2) 若PA=AB=a, AC
6 a，求二面角A PB C的大小。 3
2 a, PA PB a , 在Rt PAB中，AE 2 6 PA a, AC a, EE 3 15 在Rt PAC中，PC a, FF 3 AF 2 5 在Rt AEF中， sin AEF 。 AE 5
PA AC 10 AF a, PC 5
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
高二数学平面和平面垂直的判定与性质
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
O C
B
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B．2 C．3 D．4
高二数学课件：《两个平面垂直》
高二数学课件：《两个平面垂直》掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.1.定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定和性质语言表述图示字母表示应用判定根据定义.证明两平面所成的二面角是直二面角.AOB是二面角a的平面角，且AOB=90，则证两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.AOB是二面角a的平面角，则AOB=90证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a证直线和平面垂直[重要提示] 1.两个平面垂直的性质定理，即："如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面'是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作（找）一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a.2.三种垂直关系的证明（1）线线垂直的证明①利用"两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直'；②利用"线面垂直的定义'，即由"线面垂直线线垂直'；③利用"三垂线定理或三垂线定理的逆定理'.（2）线面垂直的证明①利用"线面垂直的判定定理'，即由"线线垂直线面垂直'；②利用"如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面'；③利用"面面垂直的性质定理'，即由"面面垂直线面垂直'；④利用"一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面'.（3）面面垂直的证明①利用"面面垂直的定义'，即证"两平面所成的二面角是直二面角；②利用"面面垂直的判定定理'，即由"线面垂直面面垂直'.1、在三棱锥A-BCD中，若ADBC，BDAD，⊿BCD是锐角三角形，那么必有（）A、平面ABD平面ADCB、平面ABD平面ABCC、平面ADC平面BCDD、平面ABC平面BCD。
高考数学一轮经典例题 两平面垂直的判定和性质 理 试题
2021年高考数学〔理〕一轮(yīlún)经典例题——两平面垂直的断定(duàndìng)和性质典型(diǎnxíng)例题一例1．根据表达(biǎodá)作图，指出二面角的平面角并证明．〔１〕如图1，．在内作于，在内作于A．〔２〕如图２，．作于，在 内作于，连结．〔３〕．作于P，于Q，平面，连结、．作图与证明在此略．说明：此题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型(diǎnxíng)例题二例2. 如图，在立体(lìtǐ)图形中，假设(jiǎshè)是的中点，那么以下命题(mìng tí)中正确的选项是〔〕.〔A〕平面⊥平面〔B〕平面ABD⊥平面〔C〕平面ABC⊥平面，且平面⊥平面BDE〔D〕平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为且是AC的中点，所以同理有，于是平面BDE.因为平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面,所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.⊂说明：此题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例３．如图，P是所在(suǒzài)平面外的一点，且平面(píngmiàn)ABC，平面(píngmiàn)平面(píngmiàn)．求证．分析：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．PAC平面PBC于证明：在平面内作，交于．因为平面⊥AD⊥，所以．又因为平面PC，平面PAC，且PCBC平面ABC，所以PBC，于是有①．另外⊥PA平面ABC，⊂AC平面．由①②及，可知平面PAC．因为⊂BC⊥．PAC，所以AC说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过此题可以看到，面面垂直线面垂直⇒线线垂直．典型例题四例４．如图，是⊙的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上异于A、的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：证明面面垂直的有两个根据(g ēnjù)，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的断定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求(xúnqiú)线面垂直．证明(zhèngmíng)：因为AB 是⊙O 的直径(zhíjìng)，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，那么BC PA ⊥②． 由①②及，得⊥BC 平面PAC ．因为⊂BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．说明：低一级的垂直关系是断定高一级垂直关系的根据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联络，垂直关系的断定和性质一共同构成了一个完好的知识体系．典型例题五例５．如图，点A 在锐二面角的棱上，在面α内引射线，使AP 与MN 所成的角为，与面β所成的角大小为，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后(ránhòu)将平面角放入一个可解的三角形中〔最好是直角三角形〕，通过解三角形使问题得解．解：在射线(shèxiàn)AP 上取一点(y ī di ǎn)B ，作于，连结(liánjié)，那么为射线AP 与平面β所成的角，．再作，交MN 于Q ，连结，那么HQ 为在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角βα--MN 的平面角．设，在中，,在△中，,是锐角，,即二面角βα--MN 等于45．说明：此题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联络互相依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．典型例题六例６．如图，将边长为的正三角形ABC 以它的高为折痕折成一个二面角．〔１〕指出(zh ǐ ch ū)这个二面角的面、棱、平面角； 〔２〕假设(ji ǎshè)二面角C AD C --'是直二面角，求的长；〔３〕求与平面(píngmiàn)所成的角；〔４〕假设(ji ǎshè)二面角C AD C --'的平面角为，求二面角的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决． 解：〔１〕二面角C AD C --'的面为ADC 和面，棱为AD ，二面角的平面角为．〔２〕假设，．〔３〕平面，为C A '与平面CDC '所成的角．在直角三角形C AD '中，，于是．〔４〕取的中点E ，连结、，，为二面角D C C A -'-的平面角．在直角三角形中，．说明：这是一个折叠问题(wèntí)，要不断地将折叠前后的图形加以比拟，抓住折叠前后的变与不变量．典型(di ǎnxíng)例题七例7 正方体的棱长为1，是AD 的中点(zh ōn ɡ di ǎn)．求二面角的大小(dàxi ǎo)．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联络，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理〞的方法，如图考虑到AB 垂直于平面，在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线，那么PF ⊥面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是、F ，连结．∵AB ⊥面1AD ，PF 面1AD ，∴，又，∴PF ⊥面1ABD ． 又∵，∴，∴PEF ∠为所求二面角的平面角．∵∽，∴．而，，，∴．在中，．∵1BD PE ⊥，∴．在中，，在中，，∴．典型(di ǎnxíng)例题八 例8 在所在平面(píngmiàn)外有一点，，与底面ABC 所成角为，二面角的大小(dàxi ǎo)为，且．求二面角的大小(dàxi ǎo)．分析：由题设易证，由得SC ⊥平面，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，假如去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．解：如下(rúxià)图，作⊥平面(píngmiàn)ABC 于O ，连结(lián jié)并延长(yáncháng)交AB 于，连结．∵SO ⊥平面ABC ， ∴是SC 与平面ABC 所成角，．∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥， ∴，．∴是二面角C AB S --的平面角，．∵︒=+90ϕθ，∴SD SC ⊥． 又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ， ∴平面⊥平面SAB ，∴二面角A SB C --的大小为．说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．在求二面角大小时，假设其平面角不易作出时，那么可考虑断定两平面是否垂直，假如两平面垂直，那么其二面角为︒90，反之亦然． 典型例题九例9 假如，，，那么．分析：(1)此题是一道高考题，考察线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理才能．要证α⊥a ，只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质到达证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法〞来证明． 证法(zhèn ɡ f ǎ)一：如下图，设，， 过平面(píngmiàn)α内一点(y ī di ǎn)P 作于A ，作于．∵αβ⊥，∴．又a =γβ ，∴，同理可证．∵且，∴α⊥a ．证法(zhèn ɡ f ǎ)二：如下图，设b =βα ，在平面内作直线．∵，∴．设c =γα ，在平面内作直线．同理可证，因此．由于，，∴． 而，，∴．故由a l //2知，α⊥a ．证法三：如下图过直线(zhíxiàn)a 上一点(y ī di ǎn)P 作直线(zhíxiàn)．∵γβ =a ，，∴，根据课本(kèb ěn)第37页例2〔假如两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内〕， ∴．同理可证，故．椐公理2可知，直线与直线a 重合． ∴α⊥a说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直〞、“线面面垂直〞的断定与性质定理来进展考虑的，希望同学们今后在解题中多进展这方面的训练，这对进步数学思维才能是大有裨益的． 典型例题十例10 设由一点S 发出三条射线、、SC ，，，，α、β、θ均为锐角，且．求证：平面⊥平面．分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．证明(zhèngmíng)：如图，任取点A ，作于B ，过B 作于C ，连结(lián jié)AC ． ∵，，故．又由θβαcos cos cos =⋅， 那么(nà me)，从而(cóng ér)可得，即，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面，即有，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，故平面ASB ⊥平面BSC ．说明：此题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线． 此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，于C ，连结．在中，由余弦定理及条件θβαcos cos cos =⋅，证明，从而，∴SC ⊥面ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．典型例题十一例11 假如二面角的平面角是锐角，点P 到α、β和棱的间隔 分别为、、，求二面角的大小．分析：假如二面角内部，也可能在外部，应区别处理．解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部(nèibù)时， 乙是点P 在二面角βα--l 的外部(wàibù)时． ∵，∴．∵，∴面．同理，面，而面面 ∴面PAC 与面PBC 应重合(chónghé)， 即A 、C 、B 、P 在同一(tóngy ī)平面内，是二面角的平面角．在中，，∴．在中，，∴，故〔图甲〕或者〔图乙〕．说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是此题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．典型例题十二例12 P 为的二面角内一点(y ī di ǎn)，P 到α和β的间隔(jiàn gé)均为10，求点P 到棱a 的间隔(jiàn gé) ．分析(f ēnx ī)：此题二面角的大小而求点到直线的间隔 ，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题． 解：如图，过点P 作α⊥PA 于A ，于B ，设相交直线、确定的平面为γ，，那么，连结，那么∵α⊥PA ，β⊥PB ， ∴，而平面γ，∴，∴PO 的长即为点P 到直线a 的间隔 ． 又∵γ⊥a ，，∴是二面角βα--a 的平面角，即．而四边形为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用． 在APB ∆中，10==BP AP ，，∴．由正弦(zhèngxián)定理：．说明(shu ōmíng)：(1)该题寻找(xúnzh ǎo)︒120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，假设题目可找到与棱垂直(chuízhí)的平面，用“垂面法〞确定二面角的平面角也是一种可取的方法． (2)充分借助于四边形为一圆内接四边形，∵，，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进展转移，由正弦定理帮助解决了问题． 典型例题十三例13 如图，正方体的棱长为1，，求：(1)与所成的角；(2)AO 与平面AC 所成角的正切值； (3)平面与平面所成的角．解：(1)∵，∴AO 与11C A 所成的角就是． ∵，平面，∴〔三垂线定理〕．在中，，，∴．(2)作，平面(píngmiàn)1BC ⊥平面(píngmiàn)AC ．∴⊥平面(píngmiàn)AC ，为与平面(píngmiàn)AC 所成的角．在中，，．∴．(3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴平面AOB ．又∵平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．说明：此题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种．典型例题十四例14 如图，矩形，⊥平面ABCD ，假设，PB 与平面所成的角为，PB 与平面ABD 成角，求：(1)的长；(2)求PB 与CD 所在的角； (3)求二面角的余弦值．分析(f ēnx ī)：从图中可以看出，四面体是一个根底四面体，前面已推导(tu īd ǎo)出平面PBC 与平面(píngmiàn)所成的二面角的余弦(yúxián)值为，可见，根底四面体作为一局部，经常出如今某些几何体中． 解：(1)∵平面ABCD ，∴．又⊥BC 平面，∴为PB 与平面PCD 所在的角，即．同理：即为PB 与平面ABD 所成的角， ∴，在中，∵2=PB ，∴．在中，︒=∠30PBD ，∴，．在中，，3=BD ，∴． (2)∵，∴PB 与CD 所成的角，即为PB 与AB 所成的角，即为PB 与AB 所成的角 ∵⊥PD 平面ABCD ，，∴〔三垂线定理〕．在中，，2=PB ，∴．(3)由点C 向作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结．∵⊥PD 平面ABCD ，∴．又，∴平面，CF 为平面PBD 的斜线，由于，∴由三垂线定理：．∴为二面角D PB C --的平面角在BCD Rt ∆中，2=BC ，，3=BD ，∴．在中，2=BC ，，2=PB ，∴，∴．∴，∴二面角D PB C --的余弦(yúxián)值为．说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如此题中的线线所成的角、面面(miàn miàn)所成的角从理认上都必须说清楚终究是谁；另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑(luó jí)上的需要有机的结合在一起的．典型(di ǎnxíng)例题十五例15 过点S 引三条不一共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，，，假设截取(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的间隔 ．分析：要证明(zhèngmíng)平面ABC ⊥平面(píngmiàn)BSC ，根据面面垂直的断定定理(dìngl ǐ)，须在平面ABC 或者(huòzh ě)平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ， ∴和都是等边三角形， ∴，取BC 的中点，连结AH ，∴．在中，，∴，，∴，∴．在中，∴，222a SH =，，∴，∴，∴平面SBC ．∵平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或者：∵，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为的外心，又BSC ∆为，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点， ∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：，BC SH ⊥，∴平面ABC ，∴的长即为点S 到平面(píngmiàn)ABC 的间隔(jiàn gé) ，，∴点S 到平面(píngmiàn)ABC 的间隔(jiàn gé) 为．典型例题十六例16 判断以下命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．分析：(1)假设该点在两个平面的交线上，那么命题是错误的，如图，正方体中，平面AC ⊥平面1AD ，平面平面1AD ，在AD 上取点A ，连结，那么，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB 没有保证在平面内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体C A 1中，平面1AD ⊥平面AC ，1AD ⊂平面11A ADD ，AB ⊂平面ABCD ，且，即AB 与1AD 互相垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；(3)如上图，正方体C A 1中，平面(píngmiàn)11A ADD ⊥平面(píngmiàn)ABCD ，1AD ⊂平面(píngmiàn)11A ADD ，⊂AC 平面(píngmiàn)ABCD ，1AD 与AC 所成的角为，即1AD 与AC 不垂直．说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．典型例题十七例17 如图，在︒60二面角内有一点P ，P 到α、β的间隔 分别为3和5，求P 到交线a 的间隔 ．解：作于A ，于B ，设PA ，PB 所确定的平面为γ，， 连，，∵α⊥PA ，∴a PA ⊥．同理a PB ⊥，∴平面γ， ∴，那么是P 到a 的间隔 ． 在四边形中，，∴PAQB 是圆的内接四边形，且． 又∵，， ∴， ．说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，防止(fángzh ǐ)了再证明P 、B 、A 、Q 四点一共面，同时(tóngshí)用到正弦定理和余弦定理．典型(di ǎnxíng)例题十八例18 如图，四面体中，ABC ∆是等腰三角形，，，且平面(píngmiàn)ABC ，．求点A 到平面SBC 的间隔 ．分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作于D ，连结SD ，那么平面⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角的平面角所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全一样．解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有，又， ∴BC ⊥平面SAD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面(píngmiàn)SBC ⊥平面(píngmiàn)，且平面(píngmiàn)SBC 平面(píngmiàn)ADS， ∴过点A 作于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ． 在中，a SA 3=，， ∴，即点A 到平面SBC 的间隔 为． 说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的间隔 ，只要过该点找到与平面垂直的平面，那么点面距即可根据面面垂直的性质作出．内容总结。
高二数学平面与平面垂直
D
过B在b作BE // CD且BE CD, ABE是AB与CD所的角 ,
解有关的直角三角形 AC 16 cos 450 8 2 , BD 8 2 8 3 3 2 ABE . AE 8 2 8 8 3 sin ABE 16 2 3
变式练习： 长为 16的线段AB两端点 , 分别在直二面角 a CD b 的两个面内 ,并且与两个面分别成 300、 450 角, z 求AB和CD所成的角 . 分析二： A 0 0 同分析一得 ABC 45 , BAD 30 . 建立空间坐标系如图并设AC=1
所以BEF是二面角B AC D的平面角
2a 2a 2a a 2a BE 2a, BF 2 2 2a 2 a a 2 5 面面垂直,线在面内,面面相交, B BF 10 sin BEF 线交垂直 ,则线面垂直 BE 5
？
E C
解三个直角三角形 :
B
. 于它们交线的直线 垂直于另一个平面
求证 : AB^b
A
D E
且BE b , ABE是直二面角a CD b 0 的平面角,即ABE 90 则AB ^ BE
C
面面垂直,线在面内,面面相交, 线交垂直 根据线面垂直判定定理 有 ,则线面垂直 AB^b .
又CD BCD, BD ^ CD 1 求证: 面ABD^面ACD;
A F
D
五、变式练习： 平面a内有一个圆, AB是直径, SA ^ a , C为圆上异于A、B的 一点，连结SB、SC, 且A在SB、SC S 上的射影分别为E、F ,
求证 : 平面SAC ^ 平面SBC; 平面AEF ^ 平面SAB.
指出图中的直角三角形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学-96两个平面垂直的判定和性质.txt*一篇一篇的翻着以前的的签名,那时候的签名有多幼稚就有多么的幼稚。
你连让我报复的资格都没有-〞好想某天来电显示是你的号码。
好想某天你的状态是为我而写。
有些人，我们明知道是爱的，也要去放弃，因为没结局9．6 两个平面垂直的判定和性质
学法导引
1．面面垂直的判定定理和性质定理是“面面垂直”和“线面垂直”之间互相转化的完整体系，运用时要“充分用足条件，尽情享受结论”．
2．求二面角的步骤是：“一找二证三计算”．
3．找二面角的平面角的方法较多，主要是用三垂线定理及其逆定理法．其关键步骤是“三垂”中的“第一垂”，这一垂的作出一般依赖图形中的线面垂直关系或面面垂直的性质定理．知识要点精讲
知识点1 二面角的概念及平面角的作法
1. 二面角概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图9－6－1所示，记为α－a－β，二面角有三个要素：两个半平面和一条棱．
2. 二面角的平面角的求法：二面角的平面角有“明暗”两种求法：明的是作角求角，
3．二面角的平面角的作法有三种：(1)定义法；(2)三垂线定理法；(3)直截面法(作与棱垂直的截面)．
4．二面角的大小的取值范围为(0°，180°)．
5．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
6．两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直．知识点2 两个面垂直的判定方法
方法一(定义法)如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．定义法把面面垂直关系数量化．
方法二(判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．知识点3 两个平面垂直的性质
性质1 (性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质2 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
知识点4 平面图形的翻折
将平面图形沿某一直线进行翻折得到一个二面角，图形由平面图形变成了空间图形，研究折后空间元素的数量或位置关系，这一类问题称为平面图形的翻折．
解这类问题的关键是把折前折后的图形进行对照，分析哪些元素的数量或位置发生改变，哪些没有改变．
解题方法、技巧培养
出题方向1 两个平面垂直的判定
例1 如图9－6－2，P是△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，求证：平面PAC⊥平面ABC．
[分析] 要证明平面PAC⊥平面ABC，只要在平面PAC(或平面ABC)中找到一条平面ABC(或平面PAC)的垂线，这条垂线要根据图中条件来找．
[证明] ∵PA＝PC，取AC中点O，连PO，OB，则PO⊥AC，
∵∠ABC＝90°，O为AC中点，
∴AO＝OC＝OB．
△POC和△POB中，PO＝PO，
PC＝PB，OC＝OB，
∴△POC≌△POB．
∴∠POB＝∠POC＝90°，即PO⊥OB．
点拨应用判定定理，面面垂直要由线面垂直推得，而线面垂直又要依靠线线垂直，因此线线垂直在证明面面垂直时尤为重要．
出题方向2 两个平面垂直的性质
例2 如图9－6－5，PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角，求证：AB⊥BC．
[分析] 要证线线垂直，可以通过线面垂直．而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直的性质．
[证明] 过A作AD⊥PB于D．
∵二面角A－PB－C是直二面角，即平面APB⊥平面CPB，
∴PA⊥BC．而PAI AD＝A，
∴BC⊥平面PAB．
∴BC⊥AB．
出题方向3 有关二面角的计算
点拨(1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角．
(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角．把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0°，90°)，而二面角取值范围为(0°，180°)．
出题方向4 平面图形的翻折问题
例4 如图9－6－12，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，现沿CD将∠ACB折成60°的二面角A－CD－B，求折后AC与平面CDB所成角的正弦值．
[解] 在折前图(1)CD上取一点M，过M作CD的垂线交AC、BC于E、F，折后图(2)中．∵CD⊥EM，CD⊥FM，
∴∠EMF＝60°且平面EMF⊥平面CFM．
过E作EH⊥FM，则EH⊥平面CBD．连CH，则CH为CE在平面CDB上射影，设CE＝a，点拨平面图形的翻折要注意观察折前后图形中元素的数量及位置的变化，如EM、MF的长度不变，CM⊥EM，CM⊥FM的位置关系不变，而EF的长度，∠ECF的大小发生了变化等．
易错易混点警示
本节内容中易错易混点主要表现在①对判定定理和性质定理中的条件理解不充分，结论运用不到位而产生混乱．②求二面角时作平面角不正确．下面仅举两例简要说明．例5 已知平面α⊥平面γ，平面β⊥γ，αIβ＝l，
求证：l⊥γ．
[错证] 如图9－6－17．
[错因分析] 错误原因是把α⊥γ=> l⊥a作为性质．
又PEI PF＝P，
∴l⊥平面γ．
点拨使用性质定理时，要找齐应具备的条件，用足定理的结论，此例中由“α⊥γ”推出“l⊥a”条件不足．。