19.2双曲线的标准方程和性质第4课时
19.2、双曲线的定义及其标准方程
( x c ) y ( x c ) y 2 a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2 2
2
( c a ) x a y a (c a )
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例 1 已 知 两 定 点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x , y 前的系数，哪一个为正， 则在哪一个轴上
2
2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
2
2
y (2) x 1. 5
2
2
例4、已知三角形的顶点坐标B（0，-5）、C（0,5）， 且|AB-AC|=6，求动点A的轨迹方程。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线标准方程的性质
双曲线标准方程的性质双曲线是数学中常见的一种曲线类型，其标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
在研究双曲线的性质时，我们可以从其图形、焦点、渐近线、对称性等多个方面进行探讨。
首先，我们来看双曲线的图形特点。
双曲线由两条分离的曲线组成，分别称为左支和右支。
这两条曲线在原点处相交，并且在无穷远处与两条渐近线相交。
双曲线的图形呈现出对称性，关于坐标轴和原点对称。
其次，双曲线的焦点是一个重要的性质。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点坐标可以表示为$(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)$。
焦点是双曲线的一个重要特征点，它对于双曲线的形状和性质具有重要的影响。
双曲线还有一条重要的性质就是其渐近线。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程分别为$y=\frac{b}{a}x$和$y=-\frac{b}{a}x$。
渐近线是双曲线的特殊直线，当$x$趋于无穷大时，双曲线的两支曲线分别趋近于这两条直线。
双曲线还具有一些对称性质。
它关于$x$轴、$y$轴和原点都具有对称性。
这种对称性质使得我们在研究双曲线的性质时可以更加方便地进行分析和推导。
总的来说，双曲线的标准方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$具有许多重要的性质，包括图形特点、焦点、渐近线和对称性等。
这些性质不仅在数学理论研究中具有重要意义，也在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域。
通过对双曲线性质的深入了解，我们可以更好地理解和应用这一数学概念。
人教版高数选修2第4讲：双曲线的标准方程与性质(教师版)
双曲线的标准方程与性质_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3. 理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)若a <c 时，则集合P 为双曲线； (2)若a ＝c 时，则集合P 为两条射线； (3)若a >c 时，则集合P 为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)类型一双曲线的定义及应用例1：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切, 动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【答案】23练习2：设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对【答案】B练习3：已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9【答案】D类型二 双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.2214x y -= B ．2214y x -= C.22123x y -= D.22132x y -= 【解析】∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)， ∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)， ∴另一个焦点为F 2(5，0)． ∴2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝2.∴a ＝1. 又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4. ∴双曲线方程为x 2－y24＝1.【答案】B练习1：设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y 轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0，12)；(3)经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7)． 【答案】(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，2b ＝12，e ＝＝.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．∴∴双曲线的标准方程为－＝1.类型三 双曲线的几何性质例3：(1)设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ＋4y ＝0【解析】等腰三角形中,到的距离为2a化简得所以渐近线方程【答案】C练习1：(2014·浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B.若点P(m ，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【答案】：52练习2：设a>1，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5) C ．(2,5)D ．(2，5)【解析】e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2. ∵a>1，∴0<1a <1，∴1<1＋1a <2，∴2<e<5，故选B. 【答案】B类型四 直线与双曲线的位置关系例4:已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 【解析】(1),,,C 的方程为由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,【答案】(1),,,C 的方程为(2)由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,研究直线与双曲线位置关系的通法：将直线代入双曲线的方程，消元，得到关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查．练习1：(2014·湖北卷)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A练习2：【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上xOy P122=-y x的一个动点。
人教版高中数学选修2第4讲：双曲线的标准方程与性质(教师版)
人教版高中数学双曲线的标准方程与性质1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3. 理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a ，0)，A2(a ，0) A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y ＝±b axy ＝±abx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)类型一双曲线的定义及应用例1：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【答案】23练习2：设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对【答案】B练习3：已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )A．5 B．5＋4 3 C．7 D．9【答案】D类型二双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.2214xyB．2214yxC.22123x yD.22132x y【解析】∵F1(－5，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F1(－5，0)，∴另一个焦点为F2(5，0)．∴2a＝||PF1|－|PF2||＝2.∴a＝1.又∵c＝5，∴b2＝c2－a2＝4.∴双曲线方程为x2－y24＝1.【答案】B练习1：设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y 轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．【答案】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．∴∴双曲线的标准方程为－＝1.类型三双曲线的几何性质例3：(1)设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y ＝0 D．5x＋4y＝0【解析】等腰三角形中,到的距离为2a化简得所以渐近线方程【答案】C练习1：(2014·浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【答案】：5 2练习2：设a>1，则双曲线22221(1)x ya a的离心率e的取值范围是( )A．(2，2) B．(2，5) C．(2,5) D．(2，5)【解析】e＝ca＝1＋a＋1a2＝1＋1＋1a2.∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1＋1a<2，∴2<e<5，故选 B.【答案】B类型四直线与双曲线的位置关系例4:已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．【解析】(1),,,C的方程为由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,【答案】(1),,,C的方程为(2)由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,研究直线与双曲线位置关系的通法：将直线代入双曲线的方程，消元，得到关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查．练习1：(2014·湖北卷)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2 θ－y2sin2 θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A练习2：【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
双曲线的标准方程及性质
双曲线的标准方程及性质双曲线作为数学中的一个重要几何概念，有着广泛的应用和研究价值。
在本文中，我们将探讨双曲线的标准方程以及其性质。
双曲线是由两个分离的支线组成的曲线，其标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别代表双曲线的参数，a表示双曲线与x轴的横向距离，b表示双曲线与y轴的纵向距离。
在标准方程中，分子中的x^2与y^2的系数分别为1/a^2和-1/b^2。
那么，双曲线的性质又是如何呢？首先，双曲线是一个对称图形，含有两个对称轴。
其中，双曲线的中心点为坐标原点(0, 0)，而对称轴则分别为x轴和y轴。
对称轴与双曲线的交点称为焦点，有两个焦点分别位于对称轴的正负方向。
其次，双曲线还具有两个渐近线。
渐近线是双曲线与其两个支线无限延长后的交点。
根据双曲线的标准方程，我们可以计算得出渐近线的方程。
具体来说，当x趋于正无穷大时，即x→+∞，双曲线趋近于直线y = ±b/a；当y趋于正无穷大时，即y→+∞，双曲线则趋近于直线x = ±a/b。
另外，双曲线还有一个重要的参数称为离心率(e)。
离心率是双曲线焦点与中心之间的距离与焦点到双曲线的一点之间的距离的比值。
具体计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。
对于双曲线而言，离心率永远大于1。
双曲线的形状也会根据参数a和b的取值而有所变化。
当a > b时，双曲线的开口方向会沿着x轴；当a < b时，双曲线的开口方向则会沿着y轴。
而当a = b时，双曲线则特化为一组直线。
双曲线还与一些重要的数学概念密切相关，比如焦点、双曲线的顶点和极坐标方程等。
焦点是双曲线上的点，与离心率密切相关，距离中心越远的焦点，离心率越大；双曲线的顶点则是双曲线两支线的交点；而极坐标方程则可以将双曲线的参数方程转化为极坐标形式。
总结一下，双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线的参数。
双曲线的简单性质课件
双曲线的焦点和准线
焦点：双曲线上的一点使得双曲线 上任意一点到该点的距离等于该点 到双曲线中心的距离
焦点和准线的定义
焦点和准线的关系：焦点和准线是 双曲线的两个基本性质它们决定了 双曲线的形状和位置
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准线：双曲线上的一条直线使得双 曲线上任意一点到该直线的距离等 于该点到双曲线中心的距离
焦点和准线的应用：在解决双曲线 问题中经常需要利用焦点和准线的 性质来简化计算或证明结论
焦点和准线的几何意义
焦点：双曲线上的一点到两个定点的距离相等 准线：双曲线上的一点到两个定点的距离之差等于常数 几何意义：焦点和准线是双曲线的基本性质决定了双曲线的形状和位置 应用：在几何学、物理学、工程学等领域有广泛应用
双曲线的对称性使得其具 有旋转对称性
双曲线的对称性使得其具 有反射对称性
双曲线的对称性在几何学中具有重 要意义可以用来证明许多几何定理。
对称性的应用
在艺术和设计中双曲线的对称性可 以用来创造优美的图案和形状。
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在物理中双曲线的对称性可以用来 描述某些物理现象如电磁场、引力 场等。
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双曲线的简单性质
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 双曲线的定义和标 准方程
03 双曲线的焦点和准 线
04 双曲线的渐近线
05 双曲线的离心率
06 双曲线的对称性
添加章节标题
双曲线的定义和标准方 程
双曲线的定义
双曲线是平面上到 两个定点的距离之 差的绝对值等于一 个常数（常数大于 0）的点的轨迹。
渐近线的定义
数学第四册(综高)19.2.2双曲线的性质
4、离心率：离心率为双曲线焦距和实轴长的比值，记作e ，即c e a= 备注 注：（1）e 是刻画双曲线的开口大小（2）因为c a <<0，所以1>e .e 越大双曲线开口越大；e 越小双曲线开口越小5、准线：如图19-14，直线c a x 2±=叫做双曲线2222 1 (0)x y a b a b-=>>的准线方程. 显然，双曲线的准线垂直于双曲线焦点所在的轴，到双曲线中心的距离为ca 2，两条 准线间的距离是.22c a例2已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为12，离心率为56，求双曲线的标准方程.例3 求与双曲线112822=-y x 有相同的焦点，且过点（5，2）的双曲线方程.练习 2：1、求下列双曲线的离心率，准线方程：（1）32822=-y x ； （2）.1492522=-y x 2. 求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦距为16，离心率为34，焦点在y 轴上； （2）一个顶点是A （5，0），离心率为65；（3）实轴长为8，离心率为546、渐近线方程（1）定界矩形： . 备注（2）渐近线方程：焦点在x 轴上 ；焦点在y 轴上 .（3）等轴双曲线：①定义： ；②性质： 。
例4：分别求下列双曲线的渐近线方程。
（1）221916x y -= （2）2233x y -=- （3）2222x y -=例5：求满足下列条件的双曲线的标准方程1、 一个顶点为（4，0），定界矩形面积为16；2、 一个焦点是(6,0)F ，一条渐近线为y =；3.以椭圆221716x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的长轴顶点为焦点。
4.过点M （－5，3）；练习3：求满足下列条件的双曲线的标准方程1与椭圆221259x y +=有相同焦点，一条渐近线为3y x =；2.焦点在y 轴上，虚轴长为6，一条渐进线为34y x =；3.与椭圆2211625x y +=有相同焦点，一条渐近线为2y x =.。
中职数学教案：双曲线的标准方程和性质(全4课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§19.2双曲线的标准方程和性质（1）教学目标1.能够写出双曲线的标准方程.2.理解双曲线中a,b,c的几何意义及它们之间的关系.重点双曲线的定义及标准方程难点双曲线的标准方程的推导教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容复习引入：椭圆：平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的动点的轨迹叫做椭圆.新课讲授：双曲线：平面上到两个定点（焦点）距离之差的绝对值为定值的动点的轨迹叫做双曲线.双曲线的焦距：两个焦点之间的距离cFF221；双曲线的中心：双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，原点为其对称中心;教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容双曲线的顶点：双曲线与坐标轴的交点;双曲线的实轴21AA、虚轴21BB；实轴长aAA221=、虚轴长bBB221=. 实半轴长 a 、虚半轴长 b 、半焦距 c双曲线的标准方程,2(-),2-,2),()0,)0,(2.22222121212121aycxycxaMFMFayxMcFcFcFFyFFxFF=+-++=-=）（由两点间距离公式，得即距离之差为任意一点，其到两焦点是双曲线上，设（、，则设建立平面直角坐标系轴，的中垂线为轴，线段的直线为，取过两焦点、设双曲线的焦点分别为.1,)()222222222222222222222=-=-=--=--byaxbayaxbbacacayaxac即则上式可化为令（化简整理得教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容.1-轴上：焦点在2222=bxayy的几何意义：、半焦距、虚半轴实半轴cba222222baccbaoFcoBboAa+=构成直角三角形的三边、、；半焦距；虚半轴长；实半轴长222acb-=.,6)0,5()0,5(.121的标准方程求双曲线离之差的绝对值是线上一动点到两焦点距，双曲和为已知双曲线的焦点坐标例FF-.116-916,3,5,62.1-222222222==-=====yxacbacabyax为所以双曲线的标准方程所以由题意知，程为解：设双曲线的标准方江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§19.2双曲线的标准方程和性质（2）教学目标1.理解双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念.2.能够根据条件写出双曲线的标准方程.重点双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念难点双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念的理解教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容复习回顾：1.双曲线的标准方程；2.椭圆的性质.导入新课：能否像研究椭圆一样，根据双曲线的标准方程得到双曲线的范围、对称性和顶点坐标？新课讲授：下面以双曲线方程（19.5）：2222-1x ya b=（a>0，b>0）为为例，讨论双曲线的性质.（1）范围由双曲线的标准方程（19.5）知，22xa=1+22yb所以22xa这表明双曲线在不等式x a x a≥≤-或所表示的平面区域内。
双曲线第四定义
双曲线第四定义整理如下：一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
下面是整理的双曲线的定义及标准方程，供参考。
1双曲线的定义(1)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
(2)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为x=±a²/c(焦点在x轴上)或y=±a²/c(焦点在y轴上)。
(3)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
(4)在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)2双曲线的标准方程标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
1、双曲线顶点A(-a,0)，A'(a,0)。
同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b)，B'(0,b)。
同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0，-c),F2(c,0)或(0，c)。
F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c22、双曲线离心率第一定义：e=c/a 且e∈(1，+∞)第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
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（2015—2016 学年第 2 学期）
班级名称 课程名称数学 授课教师 教学部
课题序号 授课课时 授课章节 名 称 教学手段 教学目标
1 2
授课班级 授课形式 教学方法
14 机电、商服 讲授
19.2 双曲线的标准方程和性质第四课时 多媒体 PPT 1.掌握双曲线的标准方程，能根据条件熟练求出双曲线的标准方程; 2.掌握双曲线的性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线 )，并 能利用双曲线的性质解决相关问题; 3.掌握直线与双曲线的位置关系，会求解直线与双曲线相交对应的各类问 题
六、布置 作业 (1)学习指导用书平 P10 (2)导学案 P121 A 组
教学重点
根据条件熟练求出双曲线的标准方程
教学难点 更新、补 充、删节 内 容 课外作业
直线与双曲线的位置关系，会求解直线与双曲线相交对应的各类问题
课堂教学安排
教学过程 一新课导 入 尝试练习 主要教学内容及步骤
二、导入 新课
三例题讲 解
知识小结：
四、课内 练习
拓学习指导用书平 P9 (2)导学案 P115 B 组