关于次酉矩阵与次镜象矩阵
次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
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显然
次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
第２ ３卷第 ２期
２０ ０ ７年 ４月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ． ３ № ． １２ 。 ２
Ａｐ ． ００ ｒ２ ７
次 正规矩 阵 、 酉矩 阵 、 厄米特矩 阵 次 次 及反 次厄米特矩 阵
１５ ７
２ 特征 值 与次 特 征值 、 特征 向量 次
定理 １ 设 Ａ 为 阶次酉矩 阵 ， 则 （ ｊ ）若 为 Ａ的特征值 ， ａ是 Ａ的属 于特征值 的特 征向量 ， 则 的模为 １ 或 ＿口：Ｏ ， ｒ Ｊ ； （ ）若 是 Ａ 的次 特征值 ， ｉ ｉ ａ是 Ａ 的属于 次特征值 的次特征 向量 ， ｌ ｌ ， ｒ口：Ｏ 则 ｌ ｌ 一１ 或 ＿ Ｊ ．
引 理 １ （）（ ）ｔ ｉ ｓ —Ａ；
（ｉ （ ＋ Ｂ）ｒ －Ｔ ｉ ） Ａ — ｓ ＝ＡＳ ＋ — ；
（ｉ （ ）ｔ ￣ ＇－ｒ； ｉ） ｓ ＝ ｒ ｓ ｉ Ａ
（ ）设 Ａ为 阶方 阵， ｉ ｖ 则 丁 －ｔ Ｊ＝Ａ 或 Ｓ
（ ）当 Ａ可逆 时 ， ｖ 有 Ｓ一（ ） 。 ｒ ＿．
珊
口一
口＝ Ｊ ， 忘 ＿口， ｆ ￣ａ— ｒ Ｊ
所 以（ 一 ） ＿口一Ｏ 所 以 ＝１ １ ｒ Ｊ ， 或 ｌ ＝ Ｏ Ｊ ＝； 口＝
定理 ２ 设 Ａ为 阶次厄 米特矩阵 ， 则
（ ｉ ）若 ａ是 Ａ的属 于特 征值 的特征 向量 ， 为实 数或 ａ 则 Ｕａ—Ｏ
一
些新结果．
用 Ａｔ － 表示 Ａ的共轭次转置矩 阵 ， Ｓ Ｉ表示 单位 矩阵 ， ｔ表示 次对 角线 上元 素全 为 １ 其余元 素全 为 ０ 用 ， ， 的 ７阶方 阵 ， 显然有 ｔ 一ｔ ｔ 一Ｉｔ １ ；ｓ —ｔ ＂ １ 则 ， ，， ； ； ＿ ＝ｊ ｊ ｒ ，以及下 述引理成立 ： ，
酉矩阵通用表达式
酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。
则称A为酉矩阵。
酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。
酉矩阵是一个幺正矩阵。
幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。
这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。
酉矩阵保持向量的内积不变。
对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。
这个性质在量子力学中有重要的应用。
酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。
对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。
这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。
酉矩阵是可逆的。
由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。
这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。
酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。
它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。
通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。
酉矩阵 unitary matrix
所谓的酉矩阵（Unitary Matrix ），是指其具有如下性质
I =ΦΦH
其中的上标H 表示共轭转置，也即
()T
H *ΦΦ=
所谓的共轭转置其实就是熟悉的转置运算推广到复数域。
当然在这个推广过程中，最重要的物理性质得以保留。
这个保留的意思解释如下。
譬如在实数情况下，两个实数向量之间的内积定义为
∑=i i i y x y x ,
而向量的长度则为
x x x ,2=
而两个向量为正交是说这两个向量的内积等于0. 那么，推广到复数域，内积要推广为
∑==i
i i H w v *,w v w v
这样才能保证内积与长度的关系还是
v v v ,2=
回到最前面，很显然，所谓矩阵是unitary 的，无非是说其不同列之间是正交的，而且每一列具有单位长度。
可以证明，酉矩阵是保持长度或者说保持范数的，也即
()()()22z z z z z z z z z z =====H H H H H H ΦΦΦΦΦΦΦ。
次酉群几何
Ｊｎ ０ ２ ｕ ．２ ｏ
［ 文章编号 ］１０ ７０ （０ ２ ０ ０ ８ ０ ０ ７— ４ ５ ２ ０ ） ２— １４— ５
次 酉 群 几 何
何 源 川
（ 集美 大学基础教 学
［ 要］研究 了次酉群 ，得到了次酉 下的不变性 质．这些性质 与酉群 下的性 质对偶 摘 ≠ ［ 关键词 ］次 酉矩阵 ；次 酉群 ；Ｈ ｒ ｔ 二次 曲面 ；Ｈ ｒ ｉ ｅｍｉ ｅ ｅｍ ｔ ｅ二次 型 ［ 中图分 类号 ］Ｏ １ ８ ［ 文献标 识码 ］Ａ
０ 引 言
设 Ａ为复 数域 Ｃ上 的 ｍ×ｎ矩 阵 ， ＝ （ ０ ，称 ｎ×ｍ矩 阵 Ｂ ＝ （ ｎｌ ｍ ＋ｌ－ｉ） 为 Ａ 的次转 置 Ａ ａ－ ） ａ＋－ ｊ …
，
矩 阵 ，记 Ｂ＝ 盯 类 似矩 阵 的转 置 ，次 转 置有 性质 ：（ 盯） ＝Ａ，ｋ 盯 ＝ ｋ 盯 ， Ａ ＋Ｂ） ＝ Ａ ． Ａ 盯 （Ａ） Ａ （
对ｎ 维复向量口ｂ若口 ｏ， ， ａ） ｂ ６， ， 定义 ａ６ ＝ａｂ ，， ＝（ 口 …，ｎ ， ＝（ ｂ …６） ， ，］ Ｓ ＝∑ ａ ｒ ｉ ｂ
称为 ａ ，ｂ的 次 内积． 它 有 以下性 质 ：
１ ａｂ ）［ ，］＝ ［ ，］； ｂａ ２ ｋ ，］ ＝ ｋ 口 ｂ ，口ｋ ］ ＝ ｋ ａ ｂ ）［ ａ ｂ ［ ，］ ［ ，ｂ ［ ，］，ｋ为 任意 复 数 ； ３ ａ＋ｂ Ｃ ＝ ［ ，］＋［ ，］； ）［ ，］ ａｃ ｂＣ ４ ａａ ）［ ，］是 实数 ． 记 ［ ］ ＝ ［ ，］，称 为 ａ的次酉 方长 ． 若 ［ ］ ＞ （＜，＝） ，称 ａ为 类 空 （ ，光 ） 向量． ０ ａａ ８ ０ 时 对 ｎ阶 次酉 矩 阵 Ｐ，其 ｎ个列 向量记 为 ｅ 一， ｅ ，由Ｐ Ｐ＝， 盯 ，当 ｎ为奇 数 ２ 一１时 ，有 ｍ ［ ｅ 一］＝ １ ｉ＝ １２ … ，２ｎ一１ ［ ｅ］＝０， Ｊ ＝ １２ … ，ｍ 一１ ； ≠ ２ —ｉ ｅ，２ ， ，， ， ； ｅ， ，， ２ ｍ ． 当 ｎ为偶 数 ２ 时 ，有 ｍ
酉矩阵性质(大学优秀论文)
0特征值的次酉矩阵
0特征值的次酉矩阵特征值为0的次酉矩阵，是线性代数中一种非常重要的矩阵类型。
在实际应用中，次酉矩阵不仅能够帮助我们解决许多数学问题，还能够在工程领域中发挥重要作用。
本文将围绕次酉矩阵的特征值为0展开，从其定义、性质、应用等多个方面进行介绍，以期全面讲解次酉矩阵的重要性和指导意义。
首先，我们来解释次酉矩阵的定义。
次酉矩阵是指对于一个复数域上的n阶矩阵A，其转置矩阵的共轭与其逆矩阵相等。
即对于一个次酉矩阵A，满足 A^* = A^(-1)，其中A^*表示A的共轭转置矩阵，A^(-1)表示A的逆矩阵。
特别地，当特征值为0时，次酉矩阵具有一些独特的性质和应用。
次酉矩阵的特征值为0意味着矩阵A的特征多项式为λ^n = 0，这意味着A具有n个重根特征值为0。
根据线性代数的基本理论，我们知道零特征值与矩阵的秩和零空间有密切关系。
对于特征值为0的次酉矩阵A，它的秩r必然小于n，即r < n。
这表明矩阵A的列向量线性相关，并且存在非零向量x使得Ax = 0。
这个非零向量x称为A的左零向量或者A的核心向量，它对应于零特征值，也称为A的特征向量。
次酉矩阵的性质使得它在很多应用中发挥了重要的作用。
首先，次酉矩阵可以应用于信号处理和通信系统中。
在无线通信系统中，特征值为0的次酉矩阵用于信号分析和信道估计，可以提高信道的估计准确性和信号的接收质量。
其次，次酉矩阵在量子力学中具有重要意义，被应用于描述量子态的演化和量子系统的相互作用。
特征值为0的次酉矩阵常常与态重叠和量子叠加等量子现象密切相关。
此外，次酉矩阵还可以用于数学领域的各种问题，如线性方程组的求解和线性变换的研究等。
总结来说，特征值为0的次酉矩阵是一种在数学和工程领域中广泛存在的矩阵类型。
它的定义、性质和应用都具有重要意义。
对于数学学科的研究者和工程技术人员来说，深入理解和掌握次酉矩阵的相关知识，有助于解决实际问题和提高工作效率。
通过对次酉矩阵的研究，我们能够更好地了解矩阵理论在应用中的价值，为学术研究和工程实践的交叉融合提供指导和支持。
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
酉矩阵的应用 -回复
酉矩阵的应用-回复酉矩阵的应用是一项广泛而重要的数学领域，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将逐步阐述酉矩阵的概念、性质和应用，并介绍一些相关的实际应用案例。
首先，我们来了解什么是酉矩阵。
酉矩阵是指一个复数域上的方阵，其共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，一个方阵U是酉矩阵，当且仅当U的共轭转置矩阵U*满足以下条件：U*U=UU*=I，其中I是一个单位矩阵。
接下来，我们来详细探讨酉矩阵的性质。
首先，酉矩阵的行列式的模长等于1，即det(U) =1。
其次，酉矩阵的特征值具有单位模长，即酉矩阵U 的特征值λ满足λ=1。
此外，酉矩阵的特征向量正交归一，即酉矩阵U 的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交且归一的。
最后，酉矩阵可以分解为单位模长的特征向量与特征矩阵的乘积，即U=VDV*，其中V 是酉矩阵的特征向量组成的酉矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是酉矩阵U的特征值。
接下来，我们来看一些酉矩阵的应用案例。
首先，酉矩阵在量子力学中起着重要的作用。
量子力学是研究微观领域中粒子的行为和相互作用的理论框架，而酉矩阵则是描述量子力学系统中的态演化的数学工具。
量子态的演化可以用酉矩阵来表示，而量子测量可以通过酉矩阵的特征向量和特征值来描述。
其次，酉矩阵在信号处理中也有广泛应用。
例如，在正交频分复用系统中，酉矩阵可以用来进行信号的正交化处理，从而实现多个信号的同时传输。
在多输入多输出（MIMO）系统中，酉矩阵可以用来进行信号的空间预编码和信号的空间解码，从而提高系统的信号传输速率和可靠性。
此外，酉矩阵还在图像处理和机器学习等领域中广泛应用。
在图像处理中，酉矩阵可以用来进行图像的变换和压缩。
在机器学习中，酉矩阵可以用来进行特征提取和数据降维，从而改善机器学习算法的性能。
总之，酉矩阵的应用十分广泛，涉及到数学、物理、工程等多个学科领域。
通过了解酉矩阵的概念、性质和应用，我们可以更好地理解和应用酉矩阵，发挥其在各个领域的作用。
酉矩阵概念及性质
酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。
它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。
酉矩阵有一系列特定的性质。
首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。
第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。
第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。
第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。
第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。
酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。
它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。
在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。
系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。
总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。
0特征值的次酉矩阵
0特征值的次酉矩阵特征值是矩阵的重要概念之一，它描述了在矩阵变换中的特殊性质。
特征值和特征向量在线性代数中扮演着重要的角色，它们在各个领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将研究一个特殊的矩阵-次酉矩阵的特征值问题。
次酉矩阵是指满足A*A^H=I的矩阵，其中A^H表示A的共轭转置矩阵，I是单位矩阵。
这意味着A是一个酉矩阵的共轭转置矩阵。
次酉矩阵与酉矩阵具有类似的性质，但是它们的特征值存在一些特殊的关系和性质。
我们先来看一个重要的定理：定理1：次酉矩阵的特征值有两种可能的取值-1和0。
证明：设A是一个次酉矩阵，v是A的一个特征向量，即Av=λv。
对此等式两边同时取共轭转置，可得(Av)^H=(λv)^H。
利用矩阵乘法和共轭转置的性质，有v^H*A^H=v^H*λ^H。
由于A是次酉矩阵，即A*A^H=I，代入此式得v^H*I=v^H*λ^H，即v^H=λ^H，进一步可得v^H=λ。
由于v^Hv是一个实数，设为α，因此λ=λ^H=α。
由于λ是复数，因此可表示为λ=α+iβ，其中α和β是实数。
代入上式得α=α。
由于α是实数，因此α=±1、当α=1时，表示λ=1+iβ；当α=-1时，表示λ=-1+iβ。
由于特征值是方程Av=λv的解，因此0=Av-λv=(A-λI)v。
根据线性代数基本定理，当A-λI不可逆的时候，方程有非零解。
因此，当λ=1+iβ时，方程有非零解；当λ=-1+iβ时，方程也有非零解。
当然，特征向量不能为零向量，否则无法满足Av=λv。
证毕。
根据定理1，次酉矩阵的特征值只能取0和1、接下来我们研究特征值0的情况：定理2：如果次酉矩阵A的特征值为0，则A的零空间的维数等于A的秩。
证明：设 A 是一个次酉矩阵，λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
对于特征值 0，有 Av = 0v = 0。
因此特征向量 v 属于零空间 N(A)。
假设 v 属于 A 的列空间 C(A)，则根据零空间和列空间的性质，有v ⊥ C(A)，即 v 与 C(A) 中的任意向量正交。
次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
! ") 可唯一表成 )Z) 其中 ) L ) ) &[ !# & 是次厄米特矩阵 # ! 是反次厄米特矩阵 $ ! ") 是次正规矩阵 @) L L ) ) ) & !Z ! &! & &! 2 &! 2 > : > : > : > : 2 2 证!! " 因 )Z & ! " " # 令) " # " # 显然 # L )[ ) [ ! )> ) )[ ) ) )> ) ) &Z !Z & 是次厄米特 ! ! ! ! 矩阵 # 若另有次厄米特矩阵 5 使 )Z5 由) ) 5 ) 5 ! 是反次厄米特矩阵 % & 与反次厄米特矩阵 5 !# &[ !# &[ !Z & 显然 ) 所以必有 ) [5 5 5 ) 5 ) 5 5 5 ! 得) &> &Z !> !% &> & 是次厄米特矩阵 # !> ! 是反次厄米特矩阵 # &> &Z ! 即有 ) 表示式唯一 % >) 2# 5 ) 5 !Z &Z &# !Z !#
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0特征值的次酉矩阵
0特征值的次酉矩阵一个特征值为0的n×n次酉矩阵是一个方阵，其特征值全为0，且满足矩阵转置后乘以自身等于单位矩阵。
即A*A^H=I，其中A^H表示矩阵A的共轭转置。
考虑一个3×3的次酉矩阵A，可表示为：A=[a11a12a13;a21a22a23;a31a32a33]由于特征值全为0，所以矩阵A的所有特征值都为0。
特征值为0的矩阵具有一个特殊的性质，即其行列式为0。
由此得到一个等式：A，=a11*a22*a33+a21*a32*a13+a31*a12*a23-a13*a22*a31-a23*a32*a11-a33*a12*a21=0这个等式可以得到一个约束条件，即矩阵A的元素之间满足以下关系：a11*a22*a33=a13*a22*a31+a23*a32*a11+a33*a12*a21-a21*a32*a13-a31*a12*a23对于一个3×3的次酉矩阵，存在无穷多个满足特征值为0的矩阵，下面给出一个例子：令a11=0，a22=0，a33=0，则等式变为：0=-a21*a32*a13-a31*a12*a23我们可以选择a21=1，a32=0，a13=0，a31=0，a12=0，a23=1，此时等式成立。
所以一个满足特征值为0的3×3次酉矩阵可以表示为：A=[000;101;000]需要注意的是，以上只是给出了一个例子，满足特征值为0的次酉矩阵是存在无穷多个的，可以通过选取不同的元素值得到不同的矩阵。
对于n×n的次酉矩阵，也存在满足特征值为0的矩阵，其构造方法与上述类似。
可以通过给定部分元素值的方式，满足约束条件即可。
综上所述，一个特征值为0的n×n次酉矩阵可以通过给定矩阵的元素值，满足行列式为0的约束条件来构造。
而对于n×n的次酉矩阵而言，存在无穷多个满足特征值为0的矩阵，因此可以通过选取不同的元素值得到不同的矩阵。
酉矩阵——精选推荐
⾣矩阵正交矩阵、正规矩阵和⾣矩阵在数学中，正规矩阵是与⾃⼰的共轭转置交换的复系数⽅块矩阵，也就是说，满⾜其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对⾓化的⼀个简便⽅法：任意正规矩阵都可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵，反过来所有可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的⾣矩阵、埃尔⽶特矩阵和斜埃尔⽶特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不⼀定是正规矩阵⾣矩阵n阶复⽅阵U的n个列向量是U空间的⼀个标准正交基，则U是⾣矩阵(Unitary Matrix)。
⼀个简单的充分必要判别准则是：⽅阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是⾣矩阵。
即⾣矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
⾣⽅阵在量⼦⼒学中有着重要的应⽤。
⾣等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若⼀ n ⾏ n 列的复矩阵U满⾜其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为⾣矩阵或译⼳正矩阵。
即，矩阵U为⾣矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若⾣矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，⼳正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶⽅阵，则下列条件等价：1.是⾣矩阵2.是⾣矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的⼀组正交基4.的⾏向量构成内积空间C n上的⼀组正交基⾣矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平⾯的单位圆上，因此⾣矩阵⾏列式的值也为1。
⾣矩阵是正规矩阵，由谱定理知，⼳正⾣矩阵U可被分解为其中V是⾣矩阵，Σ是主对⾓线上元素绝对值为1的对⾓阵。
对任意n，所有n阶⾣矩阵的集合关于矩阵乘法构成⼀个群。
性质U可逆U 1 = U*|det(U)| = 1U*是⾣矩阵正交变换最初来⾃于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部运动的动能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,由⼒常数的数学表达式可以知道fij = fji因⽽矩阵为⼀个正交变换通过⾣变换可以把矩阵变形成为对⾓矩阵的形式：。
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基，令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵，并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
（4）A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 k det Ak 0 (k 1, , n)
酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结
酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。
在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。
本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。
本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。
关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。
The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix;Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置，即H U =-U '.定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E = 定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U = 22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则k U （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （）证明 因为12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212H H H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.证明 由E H U U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det = gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦也是酉矩阵.证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵. 因为H11111111U U U U -U U -U U ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵. 定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是H U 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与H U =U '的特征值全部相同,因此λ是H U 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理2.1设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos kk k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理1.2.2知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又HU U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同.下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式.用n U 表示全体n 阶酉阵; n n C ⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得 AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得 C 01<ij i j n =≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵.证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221*********k H k H k H k k H H H k H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于 1111,1H H1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以 11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫ ⎪⎝⎭显然, U 为由阵 且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H 22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12*0H 212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a (ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r 这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵.(2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵. 通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ；(4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ则 H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义：1．定义 矩阵A=[ij a ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=T A =[ji a ]。
矩阵镜像变换公式
矩阵镜像变换公式矩阵镜像变换公式是一种常用的数学工具，它可以将一个矩阵按照某个轴进行翻转。
这种变换在图像处理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵镜像变换公式的原理和应用，并通过具体案例进行说明。
一、矩阵镜像变换公式的原理矩阵镜像变换是一种线性变换，它可以将一个矩阵按照某个轴进行翻转。
在二维平面中，常见的镜像变换有水平镜像和垂直镜像两种。
水平镜像是将矩阵按照水平中轴线进行翻转，垂直镜像则是将矩阵按照垂直中轴线进行翻转。
以水平镜像为例，假设有一个二维矩阵A，其大小为m×n。
矩阵A 的水平镜像变换可以表示为矩阵B=MA，其中M为水平镜像变换矩阵，其大小也为m×n。
水平镜像变换矩阵M的元素满足M[i][j]=A[m-i-1][j]，其中0≤i<m，0≤j<n。
二、矩阵镜像变换的应用矩阵镜像变换在图像处理中有着广泛的应用。
通过对图像进行镜像变换，可以实现图像的翻转、旋转、缩放等效果。
1. 图像翻转图像的水平镜像变换可以实现图像的左右翻转，垂直镜像变换可以实现图像的上下翻转。
通过对图像进行水平和垂直镜像变换，可以实现任意方向的图像翻转效果。
2. 图像旋转图像的旋转可以通过对图像进行镜像变换和旋转变换相结合实现。
首先，对图像进行水平或垂直镜像变换，然后再对镜像后的图像进行旋转变换，即可实现图像的任意角度旋转。
3. 图像缩放图像的缩放可以通过对图像进行水平和垂直镜像变换结合裁剪操作实现。
首先，对图像进行水平或垂直镜像变换，然后再按照一定的比例对镜像后的图像进行裁剪，即可实现图像的缩放效果。
三、实例说明为了更好地理解矩阵镜像变换的应用，我们以一张包含文字的图像为例进行说明。
假设有一张图像A，其中包含一段文字。
我们希望将这段文字进行水平翻转，即将文字从左到右排列变为从右到左排列。
将图像A转化为一个二维矩阵，记为矩阵M。
然后，根据水平镜像变换公式，构造水平镜像变换矩阵N。
酉矩阵与酉变换的性质与应用
酉矩阵与酉变换的性质与应用在数学中，酉矩阵和酉变换是重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍酉矩阵及其性质，酉变换的定义及其应用，并探讨它们在量子力学和通信领域的具体应用。
一、酉矩阵的性质酉矩阵是指n阶复方阵U，满足U^H * U = I，其中U^H表示U的共轭转置，I表示n阶单位矩阵。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长为1，即|det(U)|=1。
这意味着酉矩阵的行列式既不会扩大也不会缩小空间的体积。
2. 酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵，即U的逆矩阵U^-1也满足U^-1 = U^H。
3. 两个酉矩阵的乘积仍然是酉矩阵，即若U1和U2都是酉矩阵，则U1 * U2也是酉矩阵。
二、酉变换的定义及性质酉变换是指通过酉矩阵将一个向量或一个矩阵转换为另一个向量或矩阵的线性变换。
设有一个n维向量x和一个n阶酉矩阵U，酉变换可以表示为y = Ux。
酉变换具有以下性质：1. 酉变换保持内积不变，即对于任意向量u和v，有(u, v) = (Uu, Uv)，其中(u, v)表示向量的内积。
2. 酉变换保持长度不变，即对于任意向量u，有||u|| = ||Uu||，其中||u||表示向量的范数。
三、酉矩阵与量子力学的应用在量子力学中，酉矩阵和酉变换被广泛应用于描述量子态的演化和变换过程。
量子态是用复数表示的，而酉矩阵正好能够保持复数模长的不变性，因此可以用来描述量子态的变换。
酉矩阵在量子力学中的具体应用包括：1. 描述量子比特的变换：量子比特是量子力学中最基本的信息单元，酉矩阵可以通过酉变换来描述量子比特的状态的演化和变换。
2. 量子门操作：量子门是一种特殊的酉矩阵，用于在量子计算中实现特定的操作，如位翻转、位移和比特之间的相互作用等。
3. 量子纠缠和量子密钥分发：酉矩阵在描述量子系统的纠缠态和量子密钥分发协议中起到重要作用，通过酉变换可以实现量子态之间的转换和相互作用。
四、酉矩阵与通信的应用在通信领域，酉矩阵和酉变换也有重要的应用，主要体现在信号传输和编码方面。
线性代数术语表
图的邻接矩阵：满足下面条件的方阵
，在图中当从第 i 个节点到第 j 个节点间有
一条边相连时，
，否则
。对于一个无向图有
。
放射变换：
线行变换+平移。
结合律：(AB)C=A(BC)，即括号可以去掉：ABC=(AB)C=A(BC)。
增广矩阵：方程 Ax=b 的增广矩阵为[Ab]。当 b 在 A 的列向量空间中时，方程 Ax=b 是可解
，有标准正交的（复）特征向量。
零空间 N（A）：N（A）={Ax=0 的解}，维数为 n-r=(列数)-rank。 零空间矩阵 N：N 的列示 As=0 的 n-r 个特解。正交矩阵 Q 是有标准正交列向量的方阵。于是
由
。矩阵有
。
所以
，且特征向量正交，例如：旋转，反射，置换。
正交子空间：V 中任意向量 v 和 W 中所有向量 w 都正交。
Fourier 矩阵 F：矩阵元
给出正交列
，y=Fc 是（可逆）离散 Fourier
变换
。
A 的自由列向量：没有主元的列；此列可表示为前面列的线性组合。 自由变量 ：第 i 列在消元后没有主元，n-r 个变量可取任意值。则 Ax=b 决定了这 r 个主
变元（若可解！） 列满秩 r=n：列向量线性无关，N(A)={0}，没有自由变量。 行满秩 r=m：行向量线性无关。Ax=b 至少有一个解，列空间是 。 满秩是行满秩或列满秩。
则
。
对角化
： =特征值矩阵。S=特征向量矩阵。A 必须有 n 个线性无关的特征向
量使 S 可逆。
。
向量空间 V 的维数：dim(V)=V 的一组基中向量的个数。
分配率：A(B+C)=AB+AC。即先加后乘与先乘后加结果相同。
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（ ）若 Ｂ 也 是 ｎ阶 次 酉 阵 ， ＡＢ 也 是 ｎ阶 次 酉 阵 ； １ 则 （） ， ２ Ａ盯， ， Ａ Ａ¨ ， ～ ， ４ 均 为 ｎ阶 次 酉 阵 ； （ ）Ａ 的 伴 随 阵 也 是 ｎ阶 次酉 阵 ； ３
文 章 编 号 ： ０ ５ — ７ ７ ２ ０ ） ３０ １ —５ ２ ５ ７ ９ （０ ２ ０ — ３ ４０
０ 引 言
正 交 矩 阵 （ 阵 ） 研 究 已取 得 了 丰 富 的 成 果 ， 优 化 理 论 、 算 数 学 、 号 分 析 、 子 理 酉 的 在 计 信 量 论 、 理 学 等 诸 多 领 域 中都 有 着 举 足 轻 重 的地 位 ． 着 应 用 的需 要 和 研 究 的深 入 ， 献 ［ ］ 物 随 文 １ 推
广 了正 交 矩 阵 的概 念 ， 究 了 次 正 交 矩 阵 的 性 质 ， 文 对 此 作 了 有 益 的 拓 广 ， 一 步 研 究 了 研 本 进
次 酉 矩 阵 与 次 镜 象 阵 的 性 质 及 其 与 （ ） ｒ ｔ 之 间 的 联 系 ． 无 论 是 对 于 深 入 研 究 矩 反 Ｈｅ ｍｉ ｅ阵 这 阵 理 论 ， 是 对 于 应 用 ， 疑 都 是 很 有价 值 的 ． 中所 用 有关 矩 阵 的 术 语 ， 号 主 要 参 见 文 献 还 无 其 记 ［～７． １ ］
， 为 的共 轭 矩 阵 的次 转 置 矩 阵 ） 由定 义 １及 文 献 ［ ］ 知 ： １易
（ １） （ （＊ ） ）（＊ ）一 Ａ ， （ ＋ Ｂ ）（＊ ）一 Ａ （＊ ）＋ Ｂ （＊ ），（ Ａ ＡＢ ）（＊ ）一 Ｂ （＊ ） （＊ ）， Ａ （ ） （＊ ）一 Ｓ丁 ；
阶复 矩 阵 为 次 酉 矩 阵 的 充 要 条 件 是 Ａ 一 ㈡ 一 所 以 Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ — Ｉ
．
证 必 要 性 ：由条 件 有
充 分 性 ：因
， Ａｆ 故 ４ ＝ＡＡ 一 即 为 次 酉 矩 阵 ． “
由定 理 １必 要 性 的 证 明可 知 ： 酉 矩 阵 的 行 列 式 Ｉ Ｉ 次 的模 为 １ ． 显 然 ： 正 交 矩 阵 Ｌ必 是 次 酉 矩 阵 ， 之 不 真 ． 次 １ ］ 反 因此 次 酉矩 阵 是 次 正 交 矩 阵 的 推 广 ． 于 由 与 均 是 次 正 交矩 阵 ， 而 也 是 次 酉矩 阵 ． 因 由定 义 ２易 知 ：
定 义 １ 设 一 （ 为 × 复 矩 阵 ， ｂ —ａ ＋ 一 ｆｌ 一 １ ｎ） 令 ｉ 一 ｊ 一 ＋ （ ，… ， ； 一 １ ，… ， ） ， 则 称 × 复 矩 阵 （ 为 的 共 轭 次 转 置 矩 阵 ， 为 ６） 记 ’ （ 显 然 ： ㈠ 一 ６） 一 ． 其 中 （
ＮＯ ３ ．
袁 晖坪
关 于 次 酉 矩 阵 与 次 镜 象 矩 阵
３５ １
１ 次 酉 矩 阵 与 （ ） Ｈｅ ｍｉ 反 次 ｒ ｔ ｅ阵
定 义 ２ 设 为 ｎ阶 复 矩 阵 ， Ａｆ 若 ４
定理 １
故 可 逆 且
， 称 为 ｎ阶 次 酉 矩 阵 ． 则
’ ． Ｉ ＩＩ — 一 因 而 Ｉ Ｉ ０ ≠ ，
（ ） × 阵 的共 轭 转 置 阵 Ａ ２ 一 Ａ“’ （ 中 是 次 对 角 线 元 全 为 １ 其 余 元 全 为 其 ，
０的 方 阵 ） ；
（ ‘ 一 ，Ｉ 一 Ｉ， 一 ， ３） ‘ 一 ；
（ ）（ ４
） ’ （ ＿ ，ｌ 一 ㈡ ） 。
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Ｎ Ｏ．３
数 学 杂 志
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关 于 次 酉 矩 阵 与 次 镜 象 矩 阵
袁 晖 坪
（ 庆 工 商 大 学 数 学 系 ，重 庆 ４ ０ ３ ） 重 ０ ０ ３
（ ）若 ， ，… ， ， ４ 为 的 特 征 值 ， 每 一 ＾（一 １ ，… ， ） 是 ㈡ 的特 征 值 ． 则 ，２ 均
证 由 题 设 有 一
（ ）因 为 ＢＢ 一 ， （ １ 故 ＡＢ） Ｂ） 一ＡＢＢ Ａ ：ＡＡ“ （ 一 ， ＡＢ 为 次 酉 阵 ． 且 （ ）因 为 （ ） 一ＡＡ ２ ‘ 一７一 所 以 为 次 ㈡ （ ） 一 所 以 盯为 次 酉 阵 ； 是 由 为 次 酉 阵 及 （ ） ： 一Ｊ “ 于 １知 Ａ Ａ盯 也 为 次 酉 阵 ； 又 “ （ ） 一 Ａ“ Ａ一 ， 以 所 为 次 酉 阵 从 而 ～ 一Ａ 也 为 次 酉 阵 ； 由 再 为 次 酉 “ 一 Ｉ Ｉ （ Ｉ ） 一 Ｉ Ｉ Ｉ （ Ａ） — Ａ Ｉ Ａ Ｉ （ ＊）
Ｉ Ｉ Ｉ （ Ａ） ＝ａ — ，ａ Ａ㈠’ ．
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ９ ２ ０ — １１ ．
接 收 日期 ：２ ０ — — ６ ０ ０ １１０
右
基 金 项 目 ： 庆 市 教 委 科 学 基 金 资 助 项 目． 重
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