周源(最小表示法)

IOI2003冬令营演示文稿 安徽 周源
构造新的算法
首先构造新的模型： S=s1+s1为主串，s2为模式串。 如果s1和s2是循环同构的， 那么s2就一定可以在S中找到匹配！
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匹配算法：理论的下界
在S中寻找s2的匹配是有很多O(N)级的算法的。 本题最优算法的时空复杂度均为O(N)级。 这已经是理论的下界了。
s2=‘c d a b’
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明确几个记号和概念
⑹．设有两个映射f1，f2:A→A， 定义f1和f2的连接f1•f2(x)=f1(f2(x))。
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问题的数学语言表达形式
给定两个长度相等的字符串，|s1|=|s2|， 判断它们是否是循环同构的。
所以s1(x-1)不可能是s1的最小表示！ 因此M(s1)>i+k， 指针i滑到u[i+k+1]处仍可以保证小于等于M(s1)！
u：
1
…
i
…
x
…
i+k i+k+1
…
|s1|…
s1(x-1)的前几个字符 一定是s1的其他循环表示的前几个字符 w： 1 … j … j+(x-i)
大于
… j+k j+k+1 … |s2|…
设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。
i i 因为u[i+k]>w[j+k] 所以移动指针i
比较失败时k=0
u=‘b a b b a b a b b a’ w=‘b b a b a b b a b a’
j 不相等
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“最小表示法”在本题的应用
设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。
“最小表示法”就是可以应用于此类题目的一种思 想： 确立一种T中事物 将s和t化成规定大小关系
的大小关系 根据F中的变化规则 中的最小者m1和m2 m1≠m2 如果 m1=m2 可以证明， s和t不是本质相同
t
本质相同
m2
本质相同
m1
本质相同
s
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“最小表示法”在本题的应用
其中F满足两个条件： ⑴．任意t∈T，一定能在F中一系列映射的连接 的作用下，仍被映射至t。即任意一个事物t∈T， 它和自己是F本质相同的。 即“本质相同”这个概念具有自反性。 ⑵． 任意s,t∈T，若在F的一系列映射作用下， s和t是F本质相同的。那么一定有另一系列属于 F的映射作用下，t和s是F本质相同的。 即“本质相同”这个概念具有对称性。
s串： 1 2… i … j … |s|
S(1)串： 2…
i
…
j
…
|s|
1
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明确几个记号和概念
⑸．如果字符串s1可以经过有限次循环得到 s2，则称s1和s2是循环同构的。例如：
s1=‘a b c d’
一次循环
‘b c d a’
一次循环
s1和 s2 是循 环同 构的 ！
小结：引例
这道题虽然简单，却给了我们一个重要的启示： 当某两个对象有多种表达形式，且需要判 断它们在某种变化规则下是否能够达到一 个相同的形式时，可以将它们都按一定规 则变化成其所有表达形式中的最小者，然 后只需要比较两个“最小者”是否相等即 可！
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定义：“最小表示法”
s=‘b b b a a b’
如M(‘bbbaab’)=4
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“最小表示法”在本题的应用
现在换一种思路：
设u=s1+s1，w=s2+s2并设指针i,j指向u,w第一个字符
s1: 1
… |s1|
u: w:
1 1
… …
|s1| |s1|+1 … 2*|s1| |s2| |s2|+1 … 2*|s2|
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枚举算法
易知，s1的不同的循环串最多只有|s1|个， 即s1,s1(1),s1(2),…s1(|s1|-1)， 所以只需要把他们一一枚举， 然后分别与s2比较即可。
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枚举算法 Time Limit Exceeded!
优点：思维简单，易于实现。 时间复杂度是O(N2)级（N=|s1|=|s2|）。 如果N大一些，几十万，几百万……
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小结：枚举和匹配算法
很容易得到的枚举算法显然不能满足大数据的要求， 于是我们从算法的执行过程入手， 探查到了枚举算法的实质：模式匹配。 最后，通过巧妙的构造、转换模型， 直接套用模式匹配算法，得到了O(N)级的算法。
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浅析“最小表示法”思想 在字符串循环同构问题中的应用
安徽省芜湖市第一中学 周 源
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前言
“最小表示法”比起动态规划、贪心等思想， 最小表示法”比起动态规划、贪心等思想， 最小表示法 在当今竞赛中似乎并不是很常见。但是 在当今竞赛中似乎并不是很常见。 在解决判断“同构” 在解决判断 “同构 ”一类问题中却起着 重要的作用。 重要的作用。 本文即将讨论字符串中的同构问题， 本文即将讨论字符串中的同构问题 ， 如何 巧妙地运用最小表示法来解题呢， 巧妙地运用最小表示法来解题呢 ，让我 们继续一起思考吧。 们继续一起思考吧。
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“最小表示法”在本题的应用
同理，当u[i+k]<w[j+k]的时候，可以将指针j滑到w[j+k+1]处！ 也就是说，两指针向后滑动比较失败以后，
指向较大字符的指针向后滑动k+1个位置。
下面让我们将这种方法应用于一个实例。
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[分析]
由于题目要求“不记顺序”，因此每一列数的不 同形式高达n!种之多！ 如果要一一枚举，显然是不科学的。
如果两列数是相同的，那么将它们排 序之后得到的数列一定也是相同的。 {an}：4 2 6 3 {bn}：6 2 3 4
排序后
{an}：2 3 4 6 {bn}：2 3 4 6
相同
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⑴．|s|=length(s)，即s的长度。 ⑵．s[i]为s的第i个字符。 ⑶．s[i→j]=copy(s,i,j-i+1)。 这里1≤ i≤ j≤ |s|。
s[i→j]
s串：
1
…
i
…
j
…
|s|
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明确几个记号和概念
⑷．定义s的一次循环s(1)=s[2→|s|]+s[1]； s的k次循环(k>1)s(k)为s(k-1)的一次循环； s的0次循环s(0)=s。
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问题引入
有两条环状的项链，每条项链上各有N个多种 颜色的珍珠，相同颜色的珍珠，被视为相同。 问题：判断两条项链是否相同。 简单分析：由于项链是环状的，因此循环以 后的项链被视为相同的，如图的两条项链就 是一样的。
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明确几个记号和概念
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求一个字符串的最小表示
直到j=n。 在上述步骤中，始终保持了i<j,这样就不 会出现i=j而直接停止的情况。实际上， 对于长度为n的字符串的n种同构，上述 方法是都判断了的，只是，对于不满足 的就直接跳过了。这类似于用较人体法 国优解去推更优解，直到推出最优解。 那么，什么情况下，
s2: 1
… |s2|IBiblioteka I2003冬令营演示文稿 安徽 周源
“最小表示法”在本题的应用
现在换一种思路：
如果s1和s2是循环同构的，那么当i,j分别指向M(s1),M(s2)时， 一定可以得到u[i→i+|s1|-1]=w[j→j+|s2|-1]，迅速输出正确解。 |s1|
i u: w: 1 1 … M(s1) … … … 2*|s1|
u： 1 … i … x … i+k i+k+1 大于 j+k j+k+1 … … |s1|…
“最小表示法”在本题的应用
相等
w： 1 … j … j+(x-i) … …
|s2|…
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“最小表示法”在本题的应用 很容易就得到u[x→i+k]>w[j+(x-i)→j+k]。
i i 因为u[i+k]>w[j+k] 所以移动指针i
比较失败时k=2
u=‘b a b b a b a b b a’ w=‘b b a b a b b a b a’
j 不相等
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“最小表示法”在本题的应用
设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。
i
u=‘b a b b a b a b b a’ w=‘b b a b a b b a b a’
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因为u[x]在u[i]后(x-i)个位置， 对应的可以找到在w[j]后(x-i)个位置的w[j+(x-i)]， 同样对应的有u[x+1]和w[j+(x+1-i)]，u[x+2]和w[j+(x+2)-i]， 直到u[i+k-1]和w[j+k-1]。 它们都是相等的， 即有u[x→i+k-1]=w[j+(x-i)→j+k-1]。