2020版高考数学一轮复习课后限时集训12函数模型及其应用含解析理20190627362
2020年领军高考数学(理)一轮必刷题函数模型及其应用(解析版)
考点12 函数模型及其应用1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B ．13C ．16D ．110【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，∵7.35<－lg [H ＋]<7.45， ∴10－7.45<[H ＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<13<12，∴110<[H ＋][OH －]<13.故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时【答案】C【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24(小时)． 5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2 x (a >0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( ) A. 5 B ．5 C ． 2 D ．2【答案】A【解析】设投入x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a2·20－x .令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a m i n ＝ 5.故选A.6、某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20 m 3A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ），因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元【解析】设售价提高x 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500. 故当x ＝90时，y m a x ＝60 500，此时售价为每件190元．10、现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________． 【答案】(100,400)【解析】设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9【解析】由已知可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，2.15x －2.55，3＜x ≤8，2.85x －3.05，x >8.由y ＝22.6解得x ＝9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P 0＝P 0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k ＝ln 0.9；又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e－kt，故－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，故t ＝10，应填10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________． 【答案】km4【解析】由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm ，定义域为(0，m )， y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4， ∵x ∈(0，m )，k ＞0，∴当x ＝m 2时，y m a x ＝km 4.15、拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 【答案】4.24【解析】∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】1909【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2) 270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2， 所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．【答案】(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2) 7916【解析】(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．19、已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg (n A)来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A＜5.5.其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)【答案】③【解析】当n A＝1时P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；设B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg(n A)＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A＜5.5，故③正确．20、某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】4【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【答案】(1) f(x)＝x(x－q)2＋p(2) f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5) 9月、10月两个月【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p . (2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q ＞1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． ②因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS 元(k 为正常数)．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?【答案】选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．【解析】(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )， ∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝ 3x (30－x )，x ∈[10,20]， ∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为4503，∴草坪造价T 2＝12kS (4503－S )．∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1) 5 000元 (2) 400吨【解析】(1)当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此，该项目不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，，12x －200＋80 000x，x ∈[144，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x≥2x 2·80 000x－200＝400－200＝200， 当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
2020版高考数学一轮复习 课后限时集训12 函数模型及其应用 理(含解析)北师大版
课后限时集训(十二) 函数模型及其应用(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2 x ＋100C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.] 2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B ．p ＋1q ＋1－12C.pqD ．p ＋1q ＋1－1D [设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，解得x ＝1＋p1＋q －1，故选D ．]3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D [由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093. 故选D ．]4．血药浓度(Pl a sm a Concen t r at ion)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是( ) A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 D [结合图像易知A ，B ，C 均正确，D 选项中的描述会中毒，故选 D ．]5．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B x －A ，x ＞A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －5，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]二、填空题6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．4．24 [∵m ＝6.5， ∴[6.5]＝6，∴f (6.5)＝1.06(0.5×6＋1)＝4.24.]7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S m ax ＝400.]8．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为________．5 [设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2 x (a ＞0)，P ＝20－x 4，因为P ＋Q ≥5,0≤x ≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，0≤x ≤20时恒成立． (1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x ≤20时，分离参数a ≥x2，0＜x ≤20时恒成立，所以a ≥5，a 的最小值为 5.] 三、解答题9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销售x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x ＝3－2t ＋1函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润是多少万元．[解] 由题知t ＝23－x－1，(1＜x ＜3)，所以月利润：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即月最大利润为37.5万元．10．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． [解] (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10,100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10,100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10,100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a )对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10,100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x ＞80时，y ＞5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b )对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y m ax ＝log 2 100－2＝2log 2 5＜5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10,100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )＜log 2e 10－15＜210－15＝0，所以h (x )在[10,100]上是递减的， 因此h (x )＜h (10)＝log 210－4＜0， 即f (x )≤x5恒成立，满足条件③， 故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．B 组 能力提升1．(2019·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元C [设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－110⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋110×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]2.(2018·山西一模)如图，R t △ABC 中，AB ⊥BC ，|AB |＝6，|BC |＝ 2.若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动．设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数y ＝f (θ)的图像大致是( )A BC DA [当θ＝π时，y ＝2，排除B 和C ；当θ＝0时，y 取得最小值－2，排除D ，故选A.]3．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301)2026 [设从2018年后，第x 年该公司全年投入的研发资金为y 万元，则y ＝300×(1＋10%)x ，依题意得，300×(1＋10%)x ＞600，即1.1x＞2，两边取对数可得x ＞lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x ≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2026年．]4．(2019·湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x (x ＞0)件产品的销售收入是R (x )＝－14x2＋500x (元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a 元进货后，又以每件b 元销售，且b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？并求P (x )的最大值； (2)求乐观系数λ的值；(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．[解] (1)依题意设总利润为L (x )，则L (x )＝－14x 2＋500x －100x －40 000＝－14x 2＋400x－40 000(x ＞0)，∴P (x )＝－14x 2＋400x －40 000x ＝－14x －40 000x ＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x ＝40 000x，即x ＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a. ∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )， 两边同时除以(b －a )2，得1＝c －a －b －a b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a，∴1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12. (3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400.由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数模型及应用》含答案
第九节函数模型及应用知识点一几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)1．(必修1P102例3)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．2．(必修1P104例5)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．知识点二 三种函数模型性质比较3．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为1_024个．解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e 12k，所以k＝2ln2，所以y＝e2t ln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1 024.4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直线t ＝t0(0≤t0≤5)左侧部分阴影图形的面积的实际意义是在[0，t0]时间段内汽车行驶的里程．解析：根据速率与时间的关系可得．5．函数模型y＝0.25x，y＝log2x＋1，y＝1.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是y＝1.002x大于y＝0.25x的增长速度，y＝0.25x大于y＝log2x＋1的增长速度．解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度关系可得．解函数应用题的步骤考向一 一次函数、二次函数模型的应用【例1】 (2019·山西运城模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．(1)某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(C)A．4 B．5.5C．8.5 D．10(2)某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(B) A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：(1)由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.(2)设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考向二分段函数模型的应用【例2】已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R (x )＝⎩⎨⎧ 400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎨⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40.－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥240 000x ×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x .即x ＝400时，y x 取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考向三 指数函数、对数函数模型的应用【例3】 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.,(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.(1)(2019·长沙雅礼中学二模)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年(2)我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg I I 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．1076倍C ．10倍D ．ln 76 倍 解析：(1)设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x ＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.3－0.110.05≈4,2 016＋4＝2 020，故选D.(2)由η＝10lg I I 0得I ＝I 010 η10 ，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。
高考数学一轮复习课后限时集训12函数模型及其应用理含解析新人教A版
＋－
2
＋＋－
，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋＋＋
．(20xx·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限中普通物质的原子总
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是(
单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
－，
月份
一月份
－，
阴影部分)，则其边
，解得y＝40－x，所以
－
当且仅当x ＝11
4
A B
C D
，排除B和C；当θ＝0时，y取得最小值－．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司20xx 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%
万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝
－b－a
＝5－1
2
或λ＝
－5－1
2。
2020版高考数学一轮复习课时作业12《 函数模型及应用》(含解析)
课时作业12函数模型及应用一、选择题1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(A)x 45678910y 15171921232527A.C.指数函数模型D.对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3).故为一次函数模型.2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(D)A.不能确定B.①②同样省钱C.②省钱D.①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，因为210<211.6，故方法①省钱.3.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(D)A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5 mD.人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.4.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1).设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.故选D.5.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( B )A.10步，50步B.20步，60步C.30步，70步D.40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量.已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( D )A.5太贝克B.75ln 2太贝克C.150ln 2太贝克D.150太贝克 解析：由题意M ′(t )＝M 02－t 30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.二、填空题7.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元.解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.8.某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿1909千克.解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎨⎧ 10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过4小时后才能开车.(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车.三、解答题10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元).则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号.所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元.(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210).因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.11.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元).(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 的频率为7710012.(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2.解析：①设线段A i B i的中点为C i(x i，y i)，则Q i＝2y i(i＝1,2,3).因此只需比较C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可.不难发现y1最大，所以Q 1最大.②由题意，知p i ＝y i x i(i ＝1,2,3).故只需比较三条直线OC 1，OC 2，OC 3的斜率即可，发现p 2最大.13.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中，保鲜时间约是42 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式.(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)解：(1)保鲜时间y 与储藏温度x 间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，则⎩⎨⎧ ka 0＝192，ka 22＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝192，a ＝22732≈0.93，故所求函数解析式为y ＝192×0.93x .(2)设f (x )＝192×0.93x ，因为f (x )是减函数，且10>5，所以f (10)<f (5)，所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14.我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A.2[x ＋1]B.2([x ]＋1)C.2{x }D.{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.15.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系.Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；(2)最低种植成本是80(元/100 kg).解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.。
江苏专用2020年高考数学一轮复习考点12函数模型及其应用必刷题含解析
【答案】①
【解析】直线 y 1 x b 的斜率为 k＝ 1 ，
2
2
对于① y
1 ，求导得：
x
y'
1 x2
，对于任意
x≠0，
1 x2
1
＝
2
无解，所以，直线
y
1 x b 不能作为切线； 2
对于② y sin x ，求导得： y' cos x 1 有解，可得满足题意； 2
田，花
元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 万元（已减去所用柴油费）；该收割
机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所
付费用 （元）与使用年数 的关系为： 元．
，已知第二年付费 元，第五年付费
（1）试求出该农机户用于维修保养的费用 （元）与使用年数
(
)．
，所以主体高度为
． ．
记
，
，
所以
，
令
，得
列表：
，又
，所以 ．
0
所以当 时， 有最小值．
答：当 为 时该别墅总造价最低． 9．（江苏省前黄高级中学、溧阳中学 2018-2019 学年上学期第二次阶段检测）某工艺品厂要生产如图所示 的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之
.
10．（盐城市 2019 届高三年级第一学期期中模拟考试）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的 限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率 与日产量 （件）之间大体满足关系：
（注：次品率
，如
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题12 函数模型及其应用(解析版)
考点12 函数模型及其应用1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B ．13C ．16D ．110【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，∵7.35<－lg [H ＋]<7.45， ∴10－7.45<[H ＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<13<12，∴110<[H ＋][OH －]<13.故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时【答案】C【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24(小时)． 5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2 x (a >0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( ) A. 5 B ．5 C ． 2 D ．2【答案】A【解析】设投入x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a2·20－x .令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a m i n ＝ 5.故选A.6、某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20 m 3A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ），因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元【解析】设售价提高x 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500. 故当x ＝90时，y m a x ＝60 500，此时售价为每件190元．10、现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________． 【答案】(100,400)【解析】设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9【解析】由已知可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －＋1，x >8，＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，2.15x －2.55，3＜x ≤8，2.85x －3.05，x >8.由y ＝22.6解得x ＝9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P 0＝P 0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k ＝ln 0.9；又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e－kt，故－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，故t ＝10，应填10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________． 【答案】km4【解析】由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm ，定义域为(0，m )， y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4， ∵x ∈(0，m )，k ＞0，∴当x ＝m 2时，y m a x ＝km 4.15、拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 【答案】4.24【解析】∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】1909【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2) 270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2， 所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．【答案】(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2) 7916【解析】(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．19、已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg (n A)来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A＜5.5.其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)【答案】③【解析】当n A＝1时P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；设B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg(n A)＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A＜5.5，故③正确．20、某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】4【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【答案】(1) f(x)＝x(x－q)2＋p(2) f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5) 9月、10月两个月【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p . (2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q ＞1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． ②因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS 元(k 为正常数)．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?【答案】选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．【解析】(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )， ∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝ 3x (30－x )，x ∈[10,20]， ∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为4503，∴草坪造价T 2＝12kS (4503－S )．∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1) 5 000元 (2) 400吨【解析】(1)当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此，该项目不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，，12x －200＋80 000x，x ∈[144，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x≥2x 2·80 000x－200＝400－200＝200， 当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
2020版全国通用高考数学一轮复习：第12课 函数模型及其应用
第12课函数模型及其应用1．利用函数图像刻画实际问题(1)(2015北京，5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．图12－2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )图12－2A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此选项A显然不对；选项B，应是甲车耗油最少；选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10千米/升，故消耗8升汽油；由图可知，当速度小于80千米/小时，丙车的燃油效率高于乙车，因此用丙车更省油，故选D. 2．函数模型的实际应用a．一次函数模型(2)(2015北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升) 加油时累计里程(千米)2015年5月1日12 350002015年5月15日48 35600注：在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升B．8升C．10升D．12升答案：B解析：由题意知，2015年5月1日至2015年5月15日的耗油量为48升，行驶的路程为35600－35000＝600(千米)．设行驶的路程为x千米，耗油量为y升，则y与x之间的函数关系式为y＝kx(x>0)，∴每千米的平均耗油量为k ＝y x＝48600＝0.08(升/千米)，∴该车每100千米平均耗油量为0.08×100＝8(升)． b ．二次函数模型(3)(2018河南濮阳期末，5分)辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据，y(元)与上市时间x(天)的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③log b y a x =.利用你选取的函数，求：辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市________天，最低价格为________元． 答案：20 26解析：根据题意知，随着x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中，y ＝ax ＋b 和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴所选函数为y ＝ax 2＋bx ＋c.把(4，90)，(10，51)，(36，90)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a·42＋4b ＋c ＝90，a·102＋10b ＋c ＝51，a·362＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市20天，最低价格为26元． c ．指数函数模型(4)(2018北京海淀期中，5分)某商品的价格在近四年中不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格相比较，变化情况是( ) A ．不增不减 B ．约增1.4% C ．约减9.2%D ．约减7.8% 答案：D解析：设该商品原价为a ，最后一年的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a ，所以（1－0.9216）a a ×100%＝0.0784aa×100%＝7.84%，即比原来减少了7.84%.故选D. (5)(2018北京大兴一模,5分)恩格尔系数n ＝食品消费支出总额消费支出总额×100%，国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个地区家庭的富裕程度．某地区家庭2018年底恩格尔系数n 为50%，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加10%，食品消费支出总额增加5%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n 满足30%<n ≤40%达到富裕水平至少经过( )(参考数据：lg0.6≈－0.22，lg0.8≈－0.09，lg21≈1.32，lg22≈1.34) A ．4年 B ．5年 C ．11年 D ．12年 答案：B解析：设该地区2018年底的食品消费支出总额为a ，则消费支出总额为2a.设x 年后达到富裕水平，则(10.05)2(10.1)x x a n a +=+×100%＝12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%，∴30%<12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%≤40%，即0.6<2122x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0.8，两边同取对数得lg0.6<x(lg21－lg22)≤lg0.8，即lg0.8lg21－lg22≤x<lg0.6lg21－lg22，而lg0.8lg21－lg22≈4.5，lg0.6lg21－lg22≈11，故最少需要5年．d ．对数函数模型(6)(经典题，12分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(Ⅰ)若建立函数模型y ＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (Ⅱ)现有两个奖励函数模型：①y ＝120x ＋1；②2log 2y x =-.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．答案：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数； ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立； ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立(Ⅱ)函数模型①不符合，函数模型②符合 解：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数；(1分) ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立；(2分) ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立．(3分)(Ⅱ)对于函数模型y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝80时，y ＝5，因此当x>80时，y>5，不满足条件ⅱ，故该函数模型不符合公司要求．(6分) 对于函数模型2log 2y x =-，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝100时，y max ＝21og 20l 0y =-＝22log 5<5，即f(x)≤5恒成立，满足条件ⅱ；设h(x)＝2log 2x -－15x ，则h′(x)＝2log e x－15， ∵x ∈[10，100]，∴1100≤1x ≤110，∴h′(x)≤2log e 10－15<210－15＝0，∴h(x)在[10，100]上是减函数，∴h(x)≤h(10)＝2log 104-<0，即f(x)≤x5恒成立，满足条件ⅲ，∴该函数模型符合公司要求．(11分)综上，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．(12分)e ．对勾函数模型(7)(2018江苏扬州期末，16分)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n 个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn ＋1000)元(其中k 为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用)注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 答案：(Ⅰ)200 (Ⅱ)4个市，1900元解：(Ⅰ) 每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k ＋1000)＋(2k ＋1000)＋(3k ＋1000)＋(4k ＋1000)＋(5k ＋1000)]×1000×10＝(15k ＋5000)×10000＝(3k ＋1000)×50000，(4分)所以16×106＋（3k ＋1000）×5×10410×1000×5＝1920，解得k ＝200.(7分)(Ⅱ)设在每个省有n(n ∈N *)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知f(n)＝110×1000×n×{16×106＋[(200＋1000)＋(400＋1000)＋…＋(200n ＋1000)]×1000×10}＝1600＋200n （n ＋1）2＋1000nn ＝100n ＋1600n ＋1100≥2100n ·1600n＋1100＝1900，(13分)当且仅当100n ＝1600n，即n ＝4时，等号成立．(15分)答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．(16分) f ．分段函数模型(8)(2018陕西西安期中，12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000，144≤x ≤500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润，如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 答案：(Ⅰ)不获利，5000元 (Ⅱ)400吨解：(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，设该项目获利为f(x)元，则f(x)＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，(3分)所以当x ∈[200，300]时，f(x)<0，因此该项目不会获利． 当x ＝300时，f(x)取得最大值，为－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．(5分) (Ⅱ)设二氧化碳每吨的平均处理成本为g(x)元，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x x，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000x，144≤x ≤500，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，120≤x<144，12x ＋80000x －200，144≤x ≤500.(7分)①当x ∈[120，144)时，g(x)＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，g(x)取得最小值240.(9分) ②当x ∈[144，500]时，g(x)＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时，g(x)取得最小值200.(11分)因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(12分) g ．其他函数模型(9)(2018河南焦作期中，12分)某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t 百万元，可增加销售额约为(－t 2＋7t)百万元．(Ⅰ)若该公司一年的广告费至多为4百万元，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？ (Ⅱ)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4lnx 百万元．请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．(注：收益＝销售额－投放，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入) 答案：(Ⅰ)3百万元 (Ⅱ)4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销解：(Ⅰ)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t 2＋7t)－t ＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9(0≤t ≤4)，(3分)所以当t ＝3时，f(t)取得最大值，最大值为9.即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大．(5分)(Ⅱ)若用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(5－x)百万元，设由此增加的收益为g(x)百万元，则g(x)＝12x 2＋4lnx ＋[－(5－x)2＋7(5－x)]－5＝－12x 2＋3x ＋4lnx ＋5(1≤x ≤5)，(8分)所以2434(4)(1)()3x x x x g x x x x x'---+=-++=-=-(1≤x ≤5)． 令g′(x)＝0，解得x ＝4或x ＝－1(舍去)． 当1<x ＜4时，g′(x)＞0，g(x)是增函数； 当4＜x<5时，g′(x)＜0，g(x)是减函数．(11分) 所以当x ＝4时，g(x)取到最大值．即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大．(12分)随堂普查练121．(经典题，5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案：A解析：由切线的几何意义知，对路程s 求导，切线的斜率表示的是速度．由题意，一开始加速行驶，也就是切线斜率越来越大；然后是匀速行驶，此时切线斜率保持不变；最后是减速行驶到停车，对应的切线斜率越来越小，直到斜率为0，因此对应的图像应该为A.2．(经典题，5分)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒)的长途电话才合算．A ．300秒B ．400秒C ．500秒D ．600秒 答案：B解析：设王先生打长途电话的时间为x 秒，则打本地电话的时间为5x 秒，∴0.06x ＋0.36·5x60＋12≤0.07x＋0.6·5x60，解得x ≥400. 故选B.3．(2018安徽颍上月考，5分)某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件(卖不出去的商品可退还厂家)，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，销售价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( ) A ．90元B ．190元 C ．100元D ．110元 答案：B解析：设销售价提高x 元，获得的利润为y 元，由题意得y ＝(100＋x －80)(1000－5x)＝－5x 2＋900x ＋20000＝－5(x －90)2＋60500(0≤x ≤200，xN)．故当x ＝90时，y 取得最大值，此时售价为每件190元．故选B.4．(2018北京顺义一模，5分)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C )满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则该食品在21°C 的保鲜时间是________小时． 答案：24解析：由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln192. 又∵48＝e 14k ＋b＝e14k ＋ln192＝192e 14k ＝192(e 7k )2，∴112274811e19242k⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设该食品在21°C 的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e21k ＋ln192＝192e 21k＝192(e 7k )3＝192×312⎛⎫⎪⎝⎭＝24.5．(2019改编，5分)某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元；销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为4log y a x b =+，某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元． 答案：1024解析：依题意得44log 81, log 644,a b a b +=⎧⎨+=⎩即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴422log 2log 2y x x =-=-. 当y ＝8，即2log 2x -＝8时，x ＝1024. 故他的销售额应为1024万元．6．(2018北京丰台二模，5分)甲、乙两地相距500km ，一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知运输汽车每小时运输成本为29360250v ⎛⎫+⎪⎝⎭元，则全程运输成本y 与速度v 的函数关系是y ＝________，当运输汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案：1000018(0120)v v v ⎛⎫+< ⎪⎝⎭… 100 解析：运输汽车从甲地到乙地所用的时间为500v (0＜v ≤120)，则全程运输成本y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋10000v (0＜v ≤120)， 而v ＋10000v≥2v ·10000v ＝200，当且仅当v ＝10000v，即v ＝100时取等号，故当运输汽车的行驶速度为100km/h 时，全程运输成本最小．7．(2018山东烟台期末，12分)某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每人的培训费用减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x(x>0，xN *)人，每位员工的培训费用为y 元，培训机构的利润为Q 元． (Ⅰ)写出y 与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．答案：(Ⅰ)**850,130,N 115010,3060,,Nx x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„ (Ⅱ)57或58人，最大利润为21060元 解：(Ⅰ)当1≤x ≤30且xN *时，y ＝850；当30<x ≤60且xN *时，y ＝850－10(x －30)＝1150－10x.∴y 与x 之间的函数关系式为**850,130,N 115010,300,N ,6.x x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„(5分) (Ⅱ)当1≤x ≤30且xN *时，Q ＝850x －12000，函数单调递增，∴当x ＝30时，Q 取得最大值，Q max ＝850×30－12000＝13500(元)；(8分)当30<x ≤60且xN *时，Q ＝(1150－10x)x －12000＝－10x 2＋1150x －12000，其函数图像为抛物线且开口向下，对称轴为x ＝1152＝57.5，∴当x ＝57或58时，Q 取得最大值，Q max ＝21060(元)．(11分)∵13500<21060，∴当x ＝57或58时，Q max ＝21060元，即当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构所获利润最大，最大利润为21060元．(12分) 8．(2018湖北宜昌期末，12分)已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且24006,040,()740040000,40.x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩„(Ⅰ)写出年利润f(x)(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．答案：(Ⅰ)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40(Ⅱ)32万部，最大利润为6104万美元 解：(Ⅰ)由“利润＝销售收入－成本”可得，当0＜x ≤40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x ＞40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40000x －16x ＋7360，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40.(5分)(Ⅱ)当0＜x ≤40时，f(x)＝－6x 2＋384x －40＝－6(x －32)2＋6104，∴x ＝32时，f(x)max ＝f(32)＝6104(万美元)；(8分)当x ＞40时，f(x)＝－40000x－16x ＋7360≤－240000x ·16x＋7360＝5760，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50时，f(x)max ＝f(50)＝5760(万美元)．(11分) ∵5760＜6104，∴当x ＝32时，f(x)max ＝6104万美元，即当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元．(12分)9．(经典题，12分)某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图12－6所示，其中图1(一条折线)、图2(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图3是每件样品的销售利润与上市时间的关系．图12－6(Ⅰ)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t 的关系；(Ⅱ)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案：(Ⅰ)f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40，g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)(Ⅱ)有可能，是上市后的第30天解：(Ⅰ)图1是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(30，60)两点，第二条线段经过(30，60)，(40，0)两点，由待定系数法，得f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.(2分)图2是一个二次函数的部分图像，图像经过(0，0)，(20，60)，(40，0)三点，易得g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)．(4分)(Ⅱ)有可能．图3是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(20，60)，第二条线段经过(20，60)，(40，60)，故每件样品的销售利润h(t)与上市时间t 的关系为h(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40，故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t 的关系为222338,020203()608,203020360240,3040.20t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，剟„„(6分)当0≤t ≤20时，F(t)＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F′(t)＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F(t)在[0，20]上是增函数，∴F(t)在[0，20]上的最大值为F(20)＝6000<6300；(8分)当20<t ≤30时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ， 令F(t)＝6300，得3t 2－160t ＋2100＝0， 解得t ＝703(舍去)或t ＝30；(10分)当30<t ≤40时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240， 由F(t)在(30，40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，是上市后的第30天．(12分)课后提分练11-12 函数与方程、函数模型及其应用A 组(巩固提升)1．(2018陕西商洛模拟，5分)函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(3，4)B ．(2，e)C ．(1，2)D ．(0，1) 答案：C解析：∵f(x)＝ln(x ＋1)－2x在(0，＋∞)上单调递增且连续，且f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)的零点所在的大致区间是(1，2)．2．(2018湖南期末，5分)关于x 的方程cos π2x －lg|x|＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：C解析：由cos π2x －lg|x|＝0得cos π2x ＝lg|x|.显然y ＝cos π2x ，y ＝lg|x|都是偶函数，故只需讨论x>0时的情况．画出x>0时两个函数的图像，如图．结合图像可知x>0时有5个交点，故总共有10个交点，即方程的实根个数为10.3．(2018北京西城二模，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x，x ≤1，12x ＋a ，x>1，其中a ∈R.如果函数f(x)恰有两个零点，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12解析：令g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，12x ，x>1，则f(x)＝g(x)＋a.令f(x)＝0，得g(x)＝－a.作出g(x)的图像，如图．函数f(x)恰有两个零点⇔函数g(x)的图像与直线y ＝－a 有两个交点．由图可知12<－a ≤2，解得－2≤a<－12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12. 4．(经典题，5分)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图像如图11－1(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2，2]，图像如图11－1(2)所示，方程f(g(x))＝0有m 个实数根，方程g(f(x))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )图11－1A ．14B ．12C ．10D ．8 答案：A解析：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1. 由题图2可知，当g(x)＝－1时，x ＝－1或x ＝1；当g(x)＝0时， x ＝－1.5或x ＝1.5或x ＝0；当g(x)＝1时，x ＝2或x ＝－2，∴m ＝7. 由题图2可知，若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0.由题图1可知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5各有2个实数根；f(x)＝0有3个实数根，∴n ＝7.故m ＋n ＝14.5．(2018湖南名校联考，5分)已知函数f(x)＝222,12log (1),1,x x x x ⎧+⎪⎨⎪->⎩…则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－32的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：A解析：设t ＝f(x)，令F(x)＝0，则f(t)－2t －32＝0，∴f(t)＝2t ＋32，分别作出函数y ＝f(x)和y ＝2x ＋32的图像，如图所示．由图可得两函数图像有两个交点，设交点横坐标为t 1，t 2(t 1<t 2)，则t 1＝0，1＜t 2＜2.∵f(x)＝t 1＝0有1个实根，f(x)＝t 2(1＜t 2＜2)有3个不等实根，∴函数F(x)的零点个数为4.6．(经典题，5分)已知函数f(x)＝||2x－2＋b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1>x 2)，下列结论正确的是( )A ．1<x 1<2，x 1＋x 2<2B ．1<x 1<2，x 1＋x 2<1C ．x 1>1，x 1＋x 2<2D ．x 1>1，x 1＋x 2<1 答案：A解析：函数f(x)＝|2x－2|＋b 有两个零点，即函数y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像有两个交点，交点的横坐标就是x 1，x 2(x 1>x 2)．在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像，如图所示，由图像可知1<x 1<2.∵x 1≠x 2，∴1222220x x-+-=，即12124222xxx x +=+>∴1224x x +<，∴x 1＋x 2<2.7．(2018山东济南一模，5分)设x 1，x 2分别是函数f(x)＝x －a -x和g(x)＝log a x x －1的零点(其中a>1)，则124x x +的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案：D解析：令f(x)＝x －a -x＝0，g(x)＝log a x x －1＝0，所以当x>0时，1x ＝a x ，log a x ＝1x .分别作出函数y ＝1x，y ＝a x，y ＝log a x 的图像，如图．设交点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，B 221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0<1x <1，2x >1. ∵y ＝a x，y ＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称，y ＝1x 的图像也关于直线y ＝x 对称，∴点A ，B 关于直线y＝x 对称．∵点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线y ＝x 对称的点是111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111x x =，∴121144x x x x +=+.令y ＝x ＋4x (0<x<1)，由对勾函数的性质得y>5，故124x x +的取值范围是(5，＋∞)．8．(经典题，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f （x －1）＋m ，x>1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n ](n ∈N *)上所有零点的和为________．答案：2n-1＋22n-1解析：∵函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，∴函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图像连续，21－1＝f(1－1)＋m ，即1＝20－1＋m ，∴m ＝1.画出函数f(x)的图像，如图所示．由图可知，函数f(x)的图像与直线y ＝x 的交点的横坐标分别为0，1，2，3，…，∴函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n](n ∈N *)上所有零点分别为0，1，2，3， (2)， ∴所有零点的和为2n（1＋2n）2＝2n-1＋22n-1，n ∈N *.9．(经典题，5分)已知函数f(x)＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a<b<c ，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)·f(1)>0；②f(0)·f(1)<0；③f(0)·f(3)>0；④f(0)·f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：C解析：由题意可知f(x)有3个零点，设g(x)＝x 3－6x 2＋9x ＝ x(x －3)2，则f(x)＝g(x)－abc ，g′(x)＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝ 3(x －3)(x －1)，令g′(x)＝0，得x ＝3或1，所以g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，画出函数g(x)的图像，要使f(x)有3个零点，需将g(x)的图像向下平移至如图所示位置．由图像可知，f(0)·f(1)<0且f(0)·f(3)>0.故②③正确．10.(经典题，5分)向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f(t)的图像如图12－1所示，则杯子的形状是( )答案：A解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，且在[0，t 1]内上升慢，在[t 1，t 2]内上升快，故选A.11.6.(2019改编，5分)英国经济学家马尔萨斯在1798年提出了自然状态下的人口增长模型为：y ＝0y e rt，其中t 表示经过的时间(单位：年)，0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．若某国的人口年平均增长率为2%，该国2019年人口数量为m ，则( )年后，该国的人口翻一番(即2倍)．(注：ln2≈0.7)A ．25B ．30C ．35D ．40 答案：C解析：记2019年为起始年，即0y ＝m ，经过t 年后，人口翻一番，则2100e 2t m m ，∴t ＝50ln2≈50×0.7＝35，故选C.12.(2018北京延庆一模，5分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t ，P)，点(t ，P)落在如图12－2所示的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示，且Q 与t 满足一次函数关系，那么在这30天中，第( )天日交易额最大．图12－2第t 天 4 10 16 22 Q(万股)36302418A ．10B ．15C ．20D ．25 答案：B解析：由图像可知，当0≤t<20时，图像过点(0，2)，(20，6)，故P ＝15t ＋2；当20≤t ≤30时，图像过点(20，6)，(30，5)，故P ＝－110t ＋8.故P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t<20，－110t ＋8，20≤t ≤30.由题意可设Q ＝kt ＋m ，把(4，36)，(10，30)代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＝4k ＋m ，30＝10k ＋m ，解得k ＝－1，m ＝40，∴Q ＝40－t.设日交易额为f(t)，则f(t)＝P·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2（－t ＋40），0≤t<20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8（－t ＋40），20≤t ≤30，即f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋6t ＋80，0≤t<20，110t 2－12t ＋320，20≤t ≤30.当0≤t<20时，f(t)＝－15t 2＋6t ＋80＝－15(t －15)2＋125，∴f(t)max ＝f(15)＝125；当20≤t ≤30时，f(t)＝110t 2－12t ＋320＝110(t －60)2－40，∴f(t)max ＝f(20)＝120.综上，第15日的交易额最大，为125万元．B 组(冲刺满分)13.(2018安徽一模，5分)已知函数f(x)＝exx －kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是( )A ．(0，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24C ．(0，e) D ．(0，＋∞) 答案：B解析：∵函数f(x)＝e xx －kx 有且只有一个零点，∴方程e xx －kx ＝0只有一根，又∵x ≠0，∴k ＝exx 2.设g(x)＝e xx 2，则g′(x)＝e x（x －2）x3. 令g′(x)＝0，解得x ＝2，当x>2或x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0<x<2时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x ＝2时，g(x)的极小值g(2)＝e24，且当x<0时，g(x)∈(0，＋∞)，画出函数g(x)的图像如图，∴要使k ＝e x x 2只有一根，由图像可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24.14.(经典题，12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m ≤4且mR)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中10,06,4()4,68.2x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩…剟(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 答案：(Ⅰ)203小时 (Ⅱ)65解：(Ⅰ)∵m ＝3，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧304＋x，0≤x ＜6，12－3x2，6≤x ≤8.(2分)当0≤x ＜6时，由304＋x≥2，解得x ≤11，∴0≤x ＜6；当6≤x ≤8时，由12－3x 2≥2，解得x ≤203，∴6≤x ≤203，∴0≤x ≤203.(5分)故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．(6分)(Ⅱ)(法一)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2.∵8－x ＋10m x －2≥2对6≤x ≤8恒成立，即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－8x ＋1210max(6≤x ≤8)．(9分)令g(x)＝x 2－8x ＋1210，则函数2(4)4()10x g x --=在[6，8]上是单调递增函数，∴当x ＝8时，函数g(x)＝x 2－8x ＋1210取得最大值65，∴m ≥65，即m 的最小值为65.(12分)(法二)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2. 注意到1y ＝8－x 及y 2＝10m x －2(1≤m ≤4且mR)均在x [6，8]上单调递减，∴y ＝8－x ＋10m x －2在x [6，8]上单调递减，(9分)∴y ≥8－8＋10m 8－2＝5m 3.由5m 3≥2，得m ≥65，∴m 的最小值为65.(12分)。
2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练12函数与方程
课时标准练12 函数与方程基础巩固组1.以下图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2.设f (x )=3x +3x-8,用二分法求方程3x +3x-8=0在x ∈(1,2)内的近似解的进程中得f (1)<0,f>0,f<0,那么方程的根落在( ) A.(1, B.,C.,2)D.不能确信3.已知函数f (x )=(15)x-log 3x ,假设实数x 0是方程f (x )=0的解,且x 0<x 1,则f (x 1)的值( )A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零4.(2018新疆乌鲁木齐一模)函数f (x )=e x +2x-3的零点所在的一个区间是( ) A.(-12,0)B.(0,12)C.(12,1) D.(1,32)5.已知f (x )=|tan x|,那么函数y=f (x )+log 4x-1的图象与x 轴的交点个数是( )6.已知x 0是f (x )=(12)x+1x 的一个零点,x 1∈(-∞,x 0),x 2∈(x 0,0),则( ) (x 1)<0,f (x 2)<0 (x 1)>0,f (x 2)>0 (x 1)>0,f (x 2)<0 (x 1)<0,f (x 2)>07.若f (x )是奇函数,且x 0是y=f (x )+e x 的一个零点,则-x 0必然是以下哪个函数的零点( ) =f (-x )e x -1 =f (x )e -x +1 =e x f (x )-1 =e x f (x )+18.(2018北京西城区一模)函数f (x )=2x +log 2|x|的零点个数为( )9.(2018陕西榆林一模)直线y=x 与函数f (x )={2,x >m ,x 2+4x +2,x ≤m的图象恰有三个公共点,那么实数m 的取值范围是 .10.已知函数f (x )={log 2(x +1),x >0,-x 2-2x ,x ≤0,假设函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,那么实数m 的取值范围是 .11.函数f (x )={|x 2+2x -1|,x ≤0,2x -1+a ,x >0有两个不同的零点,那么实数a 的取值范围为 .综合提升组12.(2018陕西西安模拟)设函数f (x )={2x,x ≤0,log 2x ,x >0,假设关于x 的方程[f (x )]2-af (x )=0恰有三个不同的实数解,那么实数a 的取值范围为( ) A.(0,1] B.(0,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1)13.已知f (x )是概念在R 上的奇函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=2 016x +log 2 016x ,那么函数f (x )的零点个数是 ( )14.已知函数f (x )=|2x-2|+b 的两个零点别离为x 1,x 2(x 1>x 2),那么以下结论正确的选项是( ) <x 1<2,x 1+x 2<2 <x 1<2,x 1+x 2<1 >1,x 1+x 2<2 >1,x 1+x 2<115.(2018河北衡水中学考前仿真,7)已知函数f (x )={12-2x ,x ≤0,|lnx |,x >0,那么函数g (x )=2f [f (x )]-1的零点个数为( )创新应用组16.(2018河北衡水中学押题二,12)已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在三个零点,则a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-2,2) C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)17.(2018湖南衡阳八中一模,10)已知函数f (x )={|x +1|,x ≤0,|log 2x |,x >0,假设方程f (x )=a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-1,1] C.(-∞,1)D.[-1,1)课时标准练12 函数与方程A 中图象表示的函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B 中函数的图象不持续;D 中函数在x 轴下方没有图象.应选C .由f<0,f>0可得方程f (x )=0的根落在区间,内.应选B .f (x )=(15)x-log 3x 在(0,+∞)内递减,若f (x 0)=0,那么当x 0<x 1时,必然有f (x 1)<0.应选A . 观看各选项,∵f (0)=e 0-3<0,f -12=e -12-4<0,f (12)=e 12-2<0,f (1)=e -1>0,f (32)=e 32>0, ∴零点所在的一个区间为(12,1).应选C .由f (x )+log 4x-1=0,得f (x )=-log 4x+1,作出函数y=f (x ),y=-log 4x+1的大致图象,因两个函数图象有3个交点,故y=f (x )+log 4x-1的图象与x 轴的交点个数为3.应选C .如图,在同一平面直角坐标系下作出函数y=(12)x ,y=-1x 的图象,由图象可知当x ∈(-∞,x 0)时,(12)x>-1x ,当x ∈(x 0,0)时,(12)x <-1x,因此当x 1∈(-∞,x 0),x 2∈(x 0,0)时,有f (x 1)>0,f (x 2)<0,选C .由已知可得f (x 0)=-e x 0,则e -x 0·f (x 0)=-1,e -x 0f (-x 0)=1,故-x 0必然是y=e x f (x )-1的零点.函数f (x )=2x +log 2|x|的零点个数,即为函数y=-2x 的图象和函数y=log 2|x|的图象的交点个数.如下图,交点个数为2.应选C .9.[-1,2) 直线y=x 与射线y=2(x>m )有一个交点A (2,2),且与抛物线y=x 2+4x+2在(-∞,m ]上的部份有两个交点B 、C.由{y =x ,y =x 2+4x +2,解得B (-1,-1),C (-2,-2). ∵抛物线y=x 2+4x+2在(-∞,m ]上的部份必需包括B 、C 两点,且点A (2,2)必然在射线y=2(x>m )上,才能使y=f (x )图象与y=x 有3个交点,∴实数m 的取值范围是-1≤m<2.10.(0,1) 因为函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,因此f (x )-m=0有3个根,因此y=f (x )的图象与直线y=m 有3个交点.画出函数y=f (x )的图象,由抛物线极点为(-1,1),可知实数m 的取值范围是(0,1).11.(-∞,-12) 由于当x ≤0时,f (x )=|x 2+2x-1|的图象与x 轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意知只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x =-2a ,结合图形(图略)得-2a>1⇒a<-12.关于x 的方程[f (x )]2-af (x )=0的解为f (x )=0或f (x )=a ,而函数f (x )的图象如下图,由图象可知,方程f (x )=0只有一解x=1,而原方程有三解,因此方程f (x )=a 有两个不为1的相异的解,即0<a ≤1.作出函数y=2 016x和y=-log 2 016x 的图象如下图,可知函数f (x )=2 016x+log 2 016x 在x ∈(0,+∞)内存在一个零点. ∵f (x )是概念在R 上的奇函数,∴f (x )在x ∈(-∞,0)内只有一个零点.又f (0)=0,∴函数f (x )的零点个数是3.应选C .函数f (x )=|2x -2|+b 有两个零点,即y=|2x -2|与y=-b 的图象有两个交点,交点的横坐标确实是x 1,x 2(x 2<x 1),在同一坐标系中画出y=|2x -2|与y=-b 的图象(如下),可知1<x 1<2.当y=-b=2时,x 1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x 1+x 2<2.由g (x )=0,得2f [f (x )]-1=0,令f (x )=z ,得2f (z )=1,则f (z )=12,当z ≤0时,12-2z =12,得z=0;当z>0时,|ln z|=12, 解得z=1√e 或z=√e ,作出函数y=f (x )的图象,如以下图所示,直线y=0与y=f (x )的图象只有一个交点.∵y=√e>12,∴直线y=√e 和直线z=√e 与y=f (x )的图象别离有2个交点,3条直线与y=f (x )的图象共5个交点,即函数g (x )=2f [f (x )]-1有5个零点.应选C .∵函数f (x )=ax 3-3x 2+1在R 上存在三个零点,∴f (x )的极大值与极小值异号,很明显a ≠0,由题意可得f'(x )=3ax 2-6x=3x (ax-2),那么由f'(x )=0可得x 1=0,x 2=2a, 由题意得不等式:f (x 1)f (x 2)=82−122+1<0,即:42>1,a 2<4,-2<a<2. 综上,可得a 的取值范围是(-2,0)∪(0,2).作出函数f (x )={|x +1|,x ≤0,|log 2x |,x >0的图象如下,由图可知,x 1+x 2=-2,-log 2x 3=log 2x 4,即x 3·x 4=1,当x=0时,f (0)=1,当-log 2x 3=1时,x 3=12. 故方程f (x )=a 有四个不同的解时,对应的x 3∈[12,1). 因为x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4=-2x 3+1x 3,其在x 3∈[12,1)上是减函数,因此-2+1<-2x 3+1x 3≤-1+2,即-1<-2x 3+1x3≤1.因此x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4∈(-1,1].应选B .。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题12 函数模型及其应用 含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题12函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.基础知识融会贯通1．几类函数模型二次函数模型f(x)＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质【知识拓展】1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .重点难点突破【题型一】用函数图象刻画变化过程【典型例题】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C ）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【解答】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．【再练一题】某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）近似满足函数的关系式为（a，b为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A．35min B．30min C．25min D．20min【解答】解：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象的解析式为，图象过（5，100）和（15，60），则，得，即y＝80（）20，t≥5，当y＝40时，得80（）20＝40，即80（）20，得（），得2，得t＝25，即最少需要的时间为25min，故选：C．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【题型二】已知函数模型的实际问题【典型例题】在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e ＝2.71828…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时【解答】解：由题意可知，∴e30k，∴e10k，∴e20k+b＝（e10k）2•e b•120＝30．故选：A．【再练一题】地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝35，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【题型三】构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型【典型例题】已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．【解答】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴y v2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为：45【再练一题】某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax+b；②f（x）＝2x+a；③f（x）＝x2+b．则你认为最适合的函数模型的序号是．【解答】解：若模型为②，则f（1）＝2+a＝4，解得a＝2，于是f（x）＝2x+2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1+b＝4，解得b＝3，于是f（x）＝x2+3，f（2）＝7，f93）＝12，f（4）＝19，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得，解得a，b，经检验是最适合的函数模型．故答案为：①．命题点2构造指数函数、对数函数模型【典型例题】已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．（1）y与x的关系式为；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到0.1）．（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）【解答】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2500×0.8x；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，令2500×0.8x≥500，∴0.8x≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数，∴x ≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 故答案为：（1）y ＝2500×0.8x，（2）7.2．【再练一题】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2，单位是m /s ，其中O 表示燕子的耗氧量的单位数．记v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，则O 1是O 2的 16 倍．【解答】解：v ＝5log 2，当v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，则25＝5log 2，即25，即O 1＝10×25，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，5＝5log 2，即2，即O 2＝10×2，∴24＝16，故则O 1是O 2的16倍， 故答案为：16命题点3 构造y ＝x ＋ax (a >0)型函数【典型例题】某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x 吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ．【解答】解：设总费用为y ，则y ＝3x +103x 2240，当且仅当3x 即x ＝40时取等号．故答案为：40．【再练一题】某辆汽车以xkm /h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，由题意可得y，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5（120﹣k），解得k＝100，∴y（x﹣100）∵每小时的油耗不超过9L，∴（x﹣100）≤0，即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]，故答案为：[60，100]命题点4构造分段函数模型【典型例题】2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额，税款＝应纳税额×适用税率﹣速算扣除数，税后工资＝纳税所得额﹣税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，则甲的应纳税额对应的税率为10%，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为2000×10%﹣105＝95元；（2）根据题意，设乙的工资为x元，个税改革之前其应缴的个税为y元，个税改革之后其应缴的个税为y′元，则y，y′，若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即y′＝14660，分析可得有0.1（x﹣5000）﹣210＝x﹣14660，解可得x＝15500，该职工的税款15500﹣14660＝840元，在个税改革之前，该职工的税款y＝0.25×（15500﹣3500）﹣1005＝1995元，则职工乙享受减税红利为1995﹣840＝1155元；故答案为：（1）95，（2）1155．【再练一题】某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18﹣x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．【解答】解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）＝k1（18﹣x）2，由题意可知h（15）＝9，即9＝9k1，故k1＝1，此时利润f（x）＝（x﹣8）（18﹣x）2，当15≤x≤30且x∈N×时，设h（x），又h（15）＝9，故9，故k2＝3．此时利润f（x）＝（x﹣8）．∴f（x）．（2）当10≤x≤15且x∈N×时，f′（x）＝（x﹣18）（3x﹣34），令f′（x）＝0可得x＝18（舍）或x，∴当10≤x时，f′（x）＞0，当x≤15时，f′（x）＜0，∴f（x）在[10，）上单调递增，在（，15]上单调递减，∵x∈N×，且f（11）＝147，f（12）＝144，∴当x＝11时，f（x）取得最大值147．当15≤x≤30且x∈N×时，f′（x），令f′（x）＝0可得x＝10±2（舍），∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增，∴当x＝30时，f（x）取得最大值f（30）＝99．综上，当x＝11时，f（x）取得最大值147．答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．基础知识训练1．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当时该别墅总造价最低【解析】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为)．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当时该别墅总造价最低．2．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．已知在时刻时点P距离地面的高度为，其中，求的解析式；在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【答案】（1）．；（2）摩天轮转动的一圈内，有点P距离地面超过70m.【解析】（1）由题意可得（2）由解得：故摩天轮转动的一圈内，有距离地面超过3．小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式，并写出这个函数的定义域；当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润最大，并求出这个最大值．【答案】（1）见解析；（2）32400【解析】由题每本书的成本为7元设每本纪念册的销售价格为x元．当时，当时，，小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式为：．此函数的定义域为．．，当，则当时，当，则当时，所以当时，小王获得的利润最大为4．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．【解析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x–80）件．x+（x–80）=320，解得x=200．∴x–80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8–m）辆．得：，解得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r 都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？需说明理由至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】由题意，把，2，3代入得：，解得，所以，所以，；把，2，3代入，得：，解得，所以，所以；更接近真实值，应将作为模拟函数．，解得，至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因为.且时，.所以解得. .（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.所以商场每日销售该商品所获得的利润：因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.7．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，将（30，800），（60，2000）代入得，，解得，∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，则，解得．即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，解方程组，得，即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．8．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．（1）根据题意，填写下表．（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【答案】(1)(2) y=–20x+8300,当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．【解析】（1）填表如下：故答案为80–x，x–10，2×20×（80–x），2×20×（x–10）；（2）y=2×15x+2×25×（110–x）+2×20×（80–x）+2×20×（x–10），整理得y关于x的函数表达式为y=–20x+8300，∵–20<0，且10≤x≤80，∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=–20×80+8300=6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．9．一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．（a）说明图①中点A和点B的实际意义；（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．【答案】(1) A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．(2)（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；【解析】（1）设A,B两站相距千米，行驶时间是小时，依题意得，解得（千米/小时），即如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是（千米/小时）.（2）（a）A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为万元；B点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③，反映公交公司意见的是图②.10．某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(1)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；(2)若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】解：由题意得中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元则转账金额大于1000元，且小于10000元则只需要考虑当时的情况即可由，得即实数t的取值范围是11．2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价能出租的车辆数辆若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】(1)，且；(2)当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则，令，得，得，得，所以所求函数，且，知，租赁公司的月收益为，则，时，取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．12．2018年末，天猫某商铺为了制定2019年营销方案，分析了2018年每次促销活动时某网红产品的销售量单位：千套与销售价格单位：元的关系关系式为，其中，m为常数，已知销售价格为40元套时，每次促销可售出此产品21千套．求m的值；假设此产品的成本约为每套产品20元只考虑销售出的产品数，试确定销售价格x的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．【答案】（1）320；（2）见解析【解析】代入，得：，．设商铺所获利润为，则，令，则，令，时，，当时，，时，取得最大值，时，取得最大值．故销售价格为套时，该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．13．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中平方米如风吹落叶沙沙声的强度平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源强度平方米强弱等级分贝求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）将平方米，平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为平方米14．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以的速度航行时考虑到航线安全要求，每小时使用的燃料费用为万元为常数，且，其他费用为每小时万元．若游轮以的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；求该游轮单程航行所需总费用的最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】由题意时，每小时使用的燃料费为，解得；此时每小时的所有费用为，化简得，解得；又，，的取值范围是；设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则，令，则，即；由，得对称轴；，即，则函数上单调递减，在上单调递增；故当，即时，y取得最小值为；，即，则函数上单调递减，故当，即时，y取得最小值为；综上所述，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元．15．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?。
2020年高考一轮复习数学(文)课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用
课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________ 元/件时，利润最大.解析：设单价为6 + X,日均销售量为100- 10X,则日利润y= （6 + X-4）（100 —10x）- 20=—10x2+ 80x + 180=-10（x —4）2+ 340（0V X V 10）.所以当x= 4 时，y m ax= 340.即单价为10元/件，禾U润最大.答案：102. （2018盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R = a.A（a为常数），广告效应为 D = R — A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_______ .（用常数a表示）解析：D = R— A = a A—A，令t= A（t>0），贝U A= t2,所以D = at—12=—[t—2a f + fa2.所以当t= ~a，即A = ：a2时，D取得最大值.答案：；a243. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了__________ k m.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，9, 0 V x w 3,贝U y= 8+ 2.15 x— 3 + 1, 3V x< 8,8+ 2.15 X 5+ 2.85 x —8 + 1, x> 8,由y= 22.6，解得x = 9.答案：94. （2019盐城调研）一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于km，那么这批物资全部运到B市，最快需要h（不计货车的身长）.解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y,因为不计货车的身长，所以设列车为一个点,当且仅当估=400即v = 100时等号成立，y min = 8. 25 v 答案：85. (2019南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩 形的面积最大，则隔墙的长度为 __________________ .x = 12x — 2x 2=— 2(x — 3)2+ 18,当x = 3时，S 有最大值18,所以隔墙的长度为 3.答案：3 6.有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数 f(m)=1.06X (0.5[m ] + 1)(元)决定，其中m >0, [m ]是大于或等于 m 的最小整数.则从北京到上海 通话时间为5.5分钟的电话费为 _________ 元.解析：因为 m = 5.5,所以[5.5] = 6.代入函数解析式, 得 f(5.5)= 1.06 X (0.5X 6+ 1) = 4.24. 答案：4.24二保咼考，全练题型做到咼考达标 1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租 0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话 150分钟时，这两种方式电话费相 差 ________ 元.解析：依题意可设 S A (t)= 20+ kt , S B (t) = mt , 又 S A (100) = S B (100), 所以 100k + 20= 100m ,得 k — m =— 0.2，于是 S A (150) — S B (150) = 20+ 150k — 150m = 20+ 150X (— 0.2)=— 10, 即两种方式电话费相差 10元. 答案：102•某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高 1元时销售量就减少 5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件 _________ 元.可知最前的点与最后的点之间距离最小值为则y =X 16+400解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x ,则长为 24 - 4x其面积24— 4x216X时，时间最快.解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y= (1 000 —5x)X (100 + x) —80 X 1 000 =—5x2 + 500x+ 20 000 = —5(x—50)2+ 32 500，故当x = 50 时，y max= 32 500，此时售价为每件150元.答案：1503. (2019海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2017 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 _____________ .(参考数据:lg 1.12~ 0.05, lg 1.3~ 0.11, lg 2~ 0.30)解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1 + 12%) n> 200,得1.12n>磊，两边取常用对数，得n > lg 2爲21.3~曙。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测(十二)+函数模型及应用+Word版含解析
课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A．118元B．105元C．106元D．108元解析：选D设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.3．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x 25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x 25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C. 5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y×50%，故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.247．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：48.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2， 由⎩⎨⎧ h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x ＜6)， 由y ＝18x ＋3x 2≤10.5，解得3≤x ≤4. 因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]．答案：[3,4]9.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD ，所以x －48－y ＝42， 所以y ＝－12x ＋10， 定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， 所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数) .记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C (0)＝k 100＝24，得k ＝2 400， 所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)． (2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5， 当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号， 所以当x 为55时，y 取得最小值，最小值为57.5万元．11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p (x )x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480， m ＞30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达120－30最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120×100%＝75%.。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业12函数模型及其应用 含解析
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
7．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设这个广场的长为x米，
则宽为 米．
所以其周长为l＝2 ≥800，
当且仅当x＝200时取等号．
答案：800
8．[2019·上海宝山区模拟]王先先购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
答案：A
5．[2019·福建质检]当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为 n，由 n< 得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
答案：C
二、填空题
6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
答案：400
三、解答题
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
2020年高考数学(文科)复习课后作业 第12讲函数模型及其应用
第12讲函数模型及其应用1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是()A.一次函数模型B.C.指数函数模型D.对数函数模型2.在某种新型材料的研制过程中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=lo x3.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()图K12-14.已知某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系为y=a log3(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年它们发展到只.5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.6.如图K12-2(1)是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图像.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图K12-2(2)和图K12-2(3)所示.图K12-2给出以下说法:①图(2)的建议是:提高付出成本并提高票价;②图(2)的建议是:降低付出成本但保持票价不变;③图(3)的建议是:提高票价但保持付出成本不变;④图(3)的建议是:提高票价并降低付出成本.其中所有正确说法的序号是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④7.[2018·马鞍山一检]某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年8.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税.已知某种酒每瓶的售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶.若每销售100元国家要征收附加税x元(即税率为x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元,则x的最小值为()A.2B.6C.8D.109.[2018·滁州模拟]将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量y=a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有L,则m的值为()A.5B.8C.9D.1010.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=-已知某家庭2018年前三个月的煤气费如下表:若四月份该家庭使用了A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元11.如图K12-3,已知边长为8米的正方形钢板被裁去了△DEF部分,图K12-3其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上,则矩形BNPM面积的最大值为平方米.12.某公司要购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润f(x)(万元)与机器运转时间x(单位:年,x∈N+)的函数关系式为f(x)=-x2+18x-25,则每台机器运转年时,年平均利润最大,最大年平均利润为万元.13.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害.为了给消费者提供放心的蔬菜,某农村合作社计划每年投入200万元给甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)的关系满足P=80+4,Q=a+120.设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值.(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收入最高?14.[2018·北京西城区模拟]某商品每件的成本为9元,售价为30元,一个星期可卖出72件,如果降低价格,销售量可以增加,且一个星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)成正比.已知商品单价降低2元时,一个星期多卖出8件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?最大利润是多少?15.[2018·合肥模拟]水培植物需要一种植物专用营养液,已知每投放a(0<a≤4且a∈R)个单位的营养液,它在水中的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式为y=af(x),其中f(x)=-若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应-时刻的浓度之和.根据经验,当水中营养液的浓度不低于4克/升时,它才能有效.(1)若只投放一次2个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天?(2)若先投放2个单位的营养液,3天后再投放b个单位的营养液,要使接下来的2天中,营养液能够持续有效,试求b的最小值.。
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课后限时集训(十二)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·银川模拟)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3 000元B ．3 800元C ．3 818元D ．5 600元B [由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，x －，800＜x ≤4 000，0.11x ，x ＞4 000，显然稿费应为800＜x ≤4 000，则0.14(x －800)＝420，解得x ＝3 800，故选B.] 2．(2019·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]3．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.]5．(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元C [甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.]二、填空题6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．8 [因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．]7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S m ax ＝400.]8．(2019·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5万元．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )m ax ＝282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元． 10．(2019·太原模拟)为了迎接国庆节，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115.令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －x ≤6，x ∈N *，－3x 2＋68x －＜x ≤20，x ∈N*(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y m ax ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)，当x ＝11时，y m ax ＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．B 组 能力提升1．(2019·莆田模拟)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 ( )A ．8B ．9C ．10D ．11C [设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n ≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.]2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]3．(2019·唐山模拟)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)．14a 2[令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝a A －A ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2，∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．]4．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立， 即m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2)．∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。