随机信号ch41
CH4各态历经性与随机实验
随机信号分析第4章各态历经性与随机实验本章讨论：由实际样本数据探测信号的统计特性。
其理论基础是信号的各态历经性理论。
作业4.1，4.2，4.4，4.6(改错)目录4.1 各态历经性ξA[ •]是在[ -T,T ]时段上进行时间平均的算子。
T2. 均值各态历经的数学模型从数学上，均值各态历经性就是统计平均等于样本函数的时间平均的特性，即[](,)[(,)]E X t A X t ξξ=则必须满足下列条件：(1)统计平均要与t 无关，变为常数。
即随机信号X(t)是均值平稳的；(2)对于各个样本的样本(时间)平均要与无关，是确定量。
[](,)E X t ξ[(,)]A X t ξξξ只有这样，式两边才为常数，并有可能相等。
任何一个样本函数都无法遍历信号的各种状态。
每条样本函数可能经历了随机信号的各种状态，任何一个样本都可能充分地代表r.s.的统计特性。
3.判断均值各态历经性的定理：零均值平稳()()n R q τδτ=BB例题：设随机过程，Y t X t Z +=)()(例题：设随机过程，()sin()X t B wt =+Θ其中B 为[]11(,)lim (,)n i n i E X t X t n ξξ→∞==∑t t τ+ξ5ξ6ξ1ξ3ξ4ξ21(,)2T T X t dtT ξ−=∫[]11(,)lim (,)m T k m k A X t X t m ξξ→∞==∑ξ1t 1t τ+2t τ+2t 3t τ+3t从数学上，相关各态历经性就是统计相关函数等于样本时间相关函数的特性，即[)()][)()]E X t X t A X t X t ττξξ（＋＝（＋，，ξ则必须满足下列条件：(1)统计相关函数要与t 无关，仅与有关。
即X(t)的相关函数是平稳的；(2)对于各个样本的样本时间相关函数[]()()E X t X t τ＋τ2. 数学模型ξ要与无关，仅与有关。
只有这样，式两边才为常数，并有可能相等。
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
北邮随机信号答案ch4
Y
(t
)
=
⎧ ⎪ ⎨
− X
y0 (t)
⎪⎩ y0
X (t) < −x0 − x0 ≤ X (t) < x0
X (t) ≥ x0
（1）已知输入过程 X(t)的一维概率密度，求输出 Y(t)的一维概率密度。
（2）当输入 X(t)为零均值平稳正态随机过程时，自相关函数为 RX (τ) ，求输出 Y(t)的一维
Y (t) 的均值为： E[Y (t)] = 1⋅[1− FX (0)] + (−1) ⋅ FX (0) = 1− 2FX (0) 。
（2）解法一：（按照 RY (τ ) 的定义）
RY (τ ) = E[Y (t)Y (t −τ )] = P{X (t) X (t −τ ) > 0}− P{X (t) X (t −τ ) < 0}
v1, v2;τ
=
exp
⎧ ⎨
j
⎩
2 i =1
vi mX
−
1 2
2 i =1
2
[R(τik ) − mX
k =1
]vi
vk
⎫ ⎬ ⎭
∑ ∑ =
exp
⎧⎨− ⎩
1 2
2 i =1
2 k =1
[
R(τ
ik
)
−
mX
]vi
vk
⎫ ⎬ ⎭
，其中τ
ik
=
⎧0 ⎨⎩τ
i=k ， i, k = 1, 2 。
i≠k
所以 RX (τ) = I 2 exp{α2c + α2RX (τ)}，将 RX (τ ) 展开成泰勒级数得
Rx (t)
=
N0 2
随机信号分析与处理第一讲
随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。
本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。
从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。
通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。
1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。
而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。
本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。
课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。
通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。
随机信号
第一部分 课程主要内容1信号及随机信号概念：事物的变化与运动都是通过一定形式的物理量、化学量、生物量或者其他量的变化表现出来的，这些量随时间的变化统称为信号。
对于各种各样的信号，可按不同方法分类。
常见几种分类如下： ⎩⎨⎧随机信号确定性信号⎩⎨⎧离散信号连续信号 ⎩⎨⎧非周期信号周期信号本门课程则主要学习随机信号及其相关的处理方法和原理，在此之前先对随机信号以及对应的确定信号做一简单解释定义。
确定信号：表征信号的所有参量都是确定的，能写出明确的瞬间函数值()()00ϕ+ω⋅=t A t e sin ，()也就确定时00 t e t t ,=。
常见有许多动态激励信号如阶跃、正弦等都是确定信号。
随机信号：“随机”两个字的本义含有不可预测意思，不能用单一时间函数表达，也就是指一些不规则的信号。
常见的噪音和干扰都属于随机信号范畴。
确定信号是理论上的抽象，与随机信号的特性之间有一定联系，用确定性信来分析系统，使问题简化，在工程上有实际应用意义。
采用傅立叶理论分析。
随机信号或称随机过程，采用统计数学方法，用随机过程理论分析研究。
随机信号的一般特性有均值，最大小值、均方值，平均功率值及平均频谱等。
2 随机信号处理系统模型随机信号处理学科的目的总的来说是找出这些随机信号的统计规律，解决它们给工作带来的负面影响。
而为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号x(n)是由白噪声w(n)激励某一确定系统的响应（如图）随机信号的参数模型只要白噪声的参数确定了，研究随机信号就可以转为研究产生随机信号的系统。
信号的现代建模方法是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。
提出来众多的数据模型，而针对随机信号则常用线性模型是分别是AR （自回归）模型、MA （滑动平均）模型、ARMA （自回归滑移平均）模型，以下简单介绍3种模型。
（1）AR 模型随机信号x(n)由本身的如干次过去值x(n-k)和当前的激励值w(n)线性组合产生：1()()()pk k x n w n a x n k ==--∑该系统的系统函数是：11()1pkk k H z a z-==+∑P 是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用AP （p ）来表示。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号电子课件绪论
2023
PART 05
随机信号处理的应用
REPORTING
通信系统中的随机信号处理
信号传输
在通信系统中，随机信号处理用 于改善信号传输质量，降低噪声 和干扰的影响，提高通信的可靠
性和稳定性。
调制解调
通过调制解调技术，将低频信息 信号转换成高频载波信号，实现 信号的传输和接收。随机信号处 理在调制解调过程中起到关键作
用。
信道编码
信道编码是通信系统中用于纠正 传输过程中产生的错误的一种技 术。随机信号处理用于设计和分 析各种信道编码方案，提高通信
系统的性能。
雷达系统中的随机信号处理
目标检测
雷达系统通过发射随机信号并接收反射回的信号进行目标 检测。随机信号处理在目标检测中起到关键作用，能够提 高目标检测的准确性和可靠性。
分类
按照不同的分类标准，随机信号可以分为不同类型，如按照统计特性可以分为 高斯随机信号和非高斯随机信号；按照时间是否连续可以分为连续时间随机信 号和离散时间随机信号。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、 方差、概率密度函数等，这些特 性描述了信号的总体“平均”或
“概率”性质。
频谱特性
在雷达系统中，随机信号可用 于目标检测、跟踪和成像等。
地球物理学
在地球物理学中，随机信号可 用于地震数据处理、地球磁场
测量和气象预报等。
金融领域
在金融领域，随机信号可用于 股票价格分析、市场波动预测
和风险管理等。
2023
PART 03
随机信号处理基础
REPORTING
随机信号的描述方法
01
02
03
地球物理学
在地球物理学领域，随机信号处理用于分析和解释地震、地质等数据，研究地球内部结构 和运动规律。
清华随机信号分析基础课件CH4各态历经性与随机模拟
2T 2T
(1
2 ) R X ( ) m X d 2T
lim
T
T 0
R X ( ) d 0
0
R X ( ) d
电子科技大学通信学院 27
4.1 各态历经性
3、广义各态历经（遍历性）
默认为“各态历经”
D [ X ( ,s)]= 0
lim
2T 2T
T
2T
lim 0
a
T
2 0
s in ( 2 T 0 ) s in ( 2 T 0 )
有界
电子科技大学通信学院 20
4.1 各态历经性
电子科技大学通信学院
21
4.1 各态历经性
即
T
lim
1 2T
T T
C X ( ) d lim
电子科技大学通信学院
29
4.1 各态历经性
电子科技大学通信学院
30
4.1 各态历经性
电子科技大学通信学院
31
4.1 各态历经性
电子科技大学通信学院
32
2
电子科技大学通信学院 8
4.1 各态历经性
lim
1 4T
2
T
T
T
T T
c ( t1 , t 2 ) d t1 d t 2
X(t)平稳
T
lim
1 4T
2
T
T
T T
c ( t1 t 2 ) d t1 d t 2
令 即
t 1 +t 2 =u , 2 t1 u ,
第三章 随机信号的描述
图3-1 抛硬币得到的随机样本序列
2.随机信号可以用它的统计平均特征来表征 随机信号可以用它的统计平均特征来表征 虽然上述抛硬币实验所得到的随机序列在任何 n点上都无法事先预料确定的结果，但人们经过长 期实践和深入研究之后发现，在大量重复实验或 者观察下，它的结果会呈现某种规律性。表3-1是 历史上几位著名学者的实验记录。
二、统计特征量 1.数学期望（均值） 数学期望（ 数学期望 均值） 随机变量的均值用表示定义为： m = E[x ] = ∫ xp ( x ) dx (3-7) 如果是电压或者电流，均值可理解为第n点上电压或电流的“直流分量”。 2.均方值 均方值 随机变量的均方值定义为： E [ x ] = ∫ x p ( x ) dx (3-8) 如果是电压或者电流，均方值可理解为在第n点上电压或电流在1欧姆电阻上 的“平均功率”。 3.方差 方差 随机变量的方差定义为： 2 σ xn = E[( x n m xn ) 2 ] (3-9) 如果是电压或者电流，方差可以理解为电压或者电流的起伏分量在1欧姆电阻 上消耗的平均功率。 利用（3－6）容易得到方差、均值、均方值的关系： (3-10) σ xn 2 = E[ x n 2 ] m xn 2 以上三个特征量仅与一维概率密度有关。对于平稳随机过程，方差、均值、 均方值都是与时间无关的常熟，可以将时间坐标省去，今后将用和来表示均 值与方差。
C xx (m) = E[( x n m x )( x n + m m x )]
三、各态遍历随机信号 上面我们讨论了一些统计特征量的定义与求法，都需要预 先知道一维、二维概率分布，在实际上这是不现实的。虽 然用无穷多个平行样本序列（集合）的平均得到的统计特 性倾于统计平均，但要对一个平稳随机过程获得很多的平 行样本序列在实际中也是很困难的。 由于平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而变化，全 体集合的平均就可以用无穷时间的平均来代替，这就是各 态遍历假设。 各态遍历随机信号（ergodic random signal）是指所有样 本函数在某给定时刻的统计特性与单一样本函数在长时间 内的统计特性一致的平稳随机信号。
随机信号分析CH4习题及答案
习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ）（b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的定义：[][](,)(,)MSEA Y t s E Y t s =， 即随机信号的每条样本的时间平均都相同，并在均方误差意义下等于其统计平均。
图（a ）中每条样本的时间平均都不相同，()1Y t 不可能是均值各态历经信号；图（b ）中每条样本的时间平均都可能相同，且大致等于其统计平均，()2Y t 很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，41(),0Y pq T C TTττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据定理 4.1的充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
又解：根据定理4.1的充要条件11lim ()4lim 2211lim 240221L TL T L L L pq T C d d L L T pq L ττττ--→∞→∞→∞==⋅⎛⎫- ⎪⎝⋅⋅=⎭⎰⎰因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经（各自广义各态历经，且[][]()()()()A X t Y t E X t Y t ττ+=+）的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[][][][]()(),()()A X t E X t A Y t E Y t == [][]()()()()A X t X t E X t X t ττ+=+[][]()()()()A Y t Y t E Y t Y t ττ+=+[][]()()()()A X t Y t E X t Y t ττ+=+[][]()()()()A Y t X t E Y t X t ττ+=+因而[]()[][][][]()[]()()()()()())(()A aX t bY t aA X t bA Y t aE X t b A Z t E E Y t Z t E aX t bY t =+⎡⎤⎣⎦=+=+=+=⎡⎤⎣⎦所以，()Z t 是均值各态历经信号[]()()[][][][][][][][]()()[]2222()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()())A aX t bY t aX t bY t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a A Z t Z t E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t E aX t bY t aX E t Y Z t t b t Z ττττττττττττττ=++++⎡⎤⎣⎦=+++++++=+++++++=++++⎡⎤++⎣⎦==()Z R τ因此，()Z t 是相关各态历经信号，也是广义各态历经。
Ch4 随机变量的数字特征
1 x f ( x) 1 x 0
求D(X) 解:
, 1 x 0 ,0 x 1 , 其它
E( X )
2
0
1
x(1 x)dx
2
x(1 x)dx 0
0
1
1 E( X ) x (1 x)dx x (1 x)dx 1 0 6
(2) 当XY =0时,只说明Y 与X之间没有线性关系,并不 能说明Y 与X之间没有其他函数关系,从而不能推 出Y 与X独立.
例2 设(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，R为半径 的圆的内部，则随机变量X与Y不相关, 但X与Y也
不相互独立. 解：由已知得
1 2 f ( x, y ) R 0
3。Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)； (a,b为常数)
4。Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)；
5。若X与Y独立，则 Cov(X, Y)=0.
例1 设(X,Y)具有概率密度
0 x y 1, 8 xy , f ( x, y) 其它。 0,
E( X )
x f ( x , y )dxdy y f ( x , y )dxdy
E (Y ) y j pij
i 1 j 1
E (Y )
§4.2 方差
1.定义 设X是一随机变量，若E{[X-E(X)]2} 存在，
则称为随机变量 X 的方差，记为D(X)或Var(X)．即
3. E(X±Y)=E(X) ±E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
随机信号的描述
1.5 信号的相关分析
相关表述两个信号（或一个信号不同时刻） 相关表述两个信号（或一个信号不同时刻）之间的线性关系 或相似程度。 或相似程度。
1．相关函数 ．
在相关分析中， 在相关分析中，通常研究的是 x(t ) 与 y (t )的时延信号 y (t − τ ) 的线性相关和波形相似程度。 的线性相关和波形相似程度。 均为实能量信号的情况下， 在 x(t ) 和 y (t )均为实能量信号的情况下，有：
1 R xy (τ ) = lim T →∞ T 1 = lim T →∞ T
自相关函数有
∫ ∫
2 −T 2 2 −T 2 T
T
y (t ) x(t − τ ) dt y (t + τ ) x(t )dt
பைடு நூலகம்
1 R x (τ ) = lim T →∞ T 1 = lim T →∞ T
∫ ∫
2 −T 2 2 −T 2 T
R xy (τ ) = ∫
∞ −∞
x(t ) y (t − τ ) dt = ∫
∞ −∞
x(t + τ ) y (t ) dt
自相关
R x (τ ) = ∫
∞ −∞
x(t ) x(t − τ ) dt = ∫
∞ −∞
x(t ) x(t + τ ) dt
均为实功率信号，则它们的互相关函数定义为： 设 x(t )和 y (t ) 均为实功率信号，则它们的互相关函数定义为：
正弦信号Asin(ωt+φ)的自相关函数为Rx(τ)=(A2cosωτ)/2
（4）随机信号的自相关函数将随ψ 2的增大快速衰减。 τ 的增大快速衰减。
x
（5）互相关函数为非奇非偶函数，但满足 互相关函数为非奇非偶函数，
随机信号重要知识点整理
随机信号重要知识点整理1．能量信号和功率信号通常称2)(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。
信号的总能量是对2)(t x 在整个时间范围积分，即⎰∞∞-=dt t x E x 2)( （1.6） 同理，离散信号的总能量定义为∑∞-∞==n x n x E 2)( （1.7）如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量无限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即∞<=⎰-∞→222)(1lim T T dt t x TP T x （1.8）或（对于离散信号）∞<+=∑-=∞→NNn T x n x N P 2)(121lim （1.9） 则称)(t x 或()x n 为功率信号。
然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。
而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。
仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。
2. 窄带信号与宽带信号时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换：⎰∞∞-ΩΩΩ=d e X t x t j )()(21π（1.10）其中)(ΩX 是)(t x 的傅里叶变换，又称为频谱，它等于⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11）可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表示。
如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。
与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
3. 信号处理的理论基础数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅立叶级数；3）z －变换。
时域分析、频域分析。
FFT 算法，滤波器设计。
第四节 随机信号
④ 一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的 样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上 也需要无限长的时间记录。
x5(t) 0 t
x4(t)
0
x3(t) 0
t
x2(t) 0
t
x1(t) 0
t
t t1 t2
二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有： • 幅值域：均值、方差、均方值 概率密度函数等 • 时间域：自相关函数、互相关函数 • 频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等 1、均值x、方差
x5(t) 0 t
x4(t)
0
x3(t) 0
t
x2(t) 0
t
x1(t) 0
t
t t1 t2
随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样 本函数的集合（总体）。记作{x(t)}，即： { x(t) }={ x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}
随机变量：随机过程在某一时刻t1之取值x(t1)是一个随机变 量，随机变量一般定义在样本空间上。
dx
AT
1 [ x A]
2
A x
2
2
p( x )
1
A x
2
2
p( x )
1
A x
2
2
-A
A
i 1
n
ti
x 0
T x
对于确定性信号
dt / dx p( x )
T
概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随 机信号的主要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概 率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。（参见下 页图）在实际应用中，当不知道所处理的随机数据服从何 种分布时，可以用统计概率分布图和直方图来估计p(x)。
随机信号的相关函数
随机信号的自相关函数（一）实例分析：现代通信中，跳频扩谱通信或是ASK 调制中，想传递的信息都是用若干频率的正弦波的有无来代表，发送的序列属于随机序列。
在传输的过程中由于受到强烈的加性白噪声干扰使原信号被噪声淹没，日常生活中，人们密切相关的手机通讯就是这样一个容易受到环境天气等影响，信道同样也存在这样一些噪声干扰。
我们从时域波形已经完全不能区分哪些是信号哪些是噪声了。
这个时候一般的幅度检测已经失效了。
试想我们是否可以利用相关函数从噪声中提取有用信号呢？针对这样的疑问我们做一个简单的分析。
发送序列()X n ，噪声序列为Ns()n ，实际接收到的解调后的序列是()Y n 。
三者之间的关系是：()()Ns()Y n X n n =+接收端的信号()Y n 的自相关函数：()[()()]y R m E Y n Y n m =+{[()()][()()]}E X n Ns n X n m Ns n m =++++()()()()X XNs NsX Ns R m R m R m R m =+++信号和白噪声不相关，即()()0XNs NsX R m R m ==。
而白噪声的自相关函数是一个脉冲：2()()Ns Ns R m m σδ=。
对于()X R m ，当发送某个频率的正弦波时它也是同频率的正弦波，如果发送零即无信号时它也是零。
计算出接收到信号的自相关函数()Y R m ，去除白噪声的冲激项就可以判断出信号的有无以及正弦波频率的大小。
（二）MATLAB仿真clear;n=[1:30]; % 序列长度x=10*sin(2*pi*0.1*n); % 正弦信号x，频率 f=0.1，周期T=10 noise=20*randn(1,30); % 噪声信号Rns=xcorr(noise,'unbiased')y=x+noise; %接受信号Ry=xcorr(y,'unbiased');subplot(411);plot(x,'*');xlabel('n');ylabel('A');title('(a) 发送的正弦波序列')subplot(412);plot(noise,'^')xlabel('n');ylabel('A');title('(b) 白噪声干扰信号')subplot(413);plot(Rns,'p')xlabel('m');ylabel('Rns');title('(c) 噪声的自相关函数')subplot(414);plot(Ry-Rns,'x')xlabel('m');ylabel('Rout');title('(d) 输出的自相关')（三）仿真结果051015202530-1010nA(a) 发送的正弦波序列051015202530-5050nA(b) 白噪声干扰信号0102030405060-5000500m R n s(c) 噪声的自相关函数0102030405060-2000200mR o u t(d) 输出的自相关（四）小结本案例中以一个正弦信号为输入信号，从仿真程序中可以很明显的看出输出自相关函数的周期和原正弦信号保持相同都是T=10，所以我们可以用以判断正弦信号的有无及大小。
CH4各态历经性与随机模拟新
?
相关各态历经的等价条件：
（1）随机信号X(t)的统计相关 E[X(t +τ)X(t)]与t无关，即
E X t X t RX
相关平稳是前提
（2）随机信号X(t)时间相关 A[X(t +τ)X(t)]要与ξ无关，即
Var A X t X t 0
可见X(t)为均值各态历经的。
2016/5/31
24
A X t , X t , A X t X t 1 L lim s t s t dt L 2 L L 1 T s t s t dt T 0 t 1 T s s d T 1 T s s d RX T 0
t
-T T
2.相关各态历经：
P A[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] 1
2016/5/31 18
A[ X (t , ) X (t , )] E[ X (t , ) X (t , )]
τ ,ξ的函数 t ,τ的函数
X t s t
RX t , t E s t s t
t
T
0
1 s t s t d T
1 t T s s d T t 1 T s s d RX T 0
RX (t , t ) E A n t A n t A2 Rn A2 q
1 lim T 2T
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RX ()
1
GX ()
2()
1
()
e||
e
||
2 2 2
cos 0
2 2 ( 0 )2 ( 0 )2
T sin 2 (T / 4) 2 (T / 4) 2
rect( / 2)
30 20 10
log
0 -10 -20 0 50 100 150 f 200 250 300
x(t ) sin(2 20t ) sin(2 40t ) n(t )
6
随机过程的功率谱密度 一、 功率谱密度的概念 回顾确定信号频谱的概念
频谱：
S ( ) s(t )e
jt
1 P 2
G ( )d
xT (t ) X T (t , )
X T () X T (, )
随机变 量
9
随机过程的功率谱密度
X T (, ) X T (t , )e jt dt
T T
1 1 2 P ( ) lim X T (, ) d 2 T 2T
( / T )
sinc(t ) sinc 2 ( / 2) 2
( / 2)
2e
2 2
e
2 / 2 2
/2
13
随机过程的功率谱密度
举例:已知谱密度为 ，求相关函数。 2 4 GX ( ) 4 10 2 9
解、 由因式分解 2 4 2 9 / 48 6 5 / 48 GX ( ) 4 2 2 2 10 9 1 9 由公式：
T
T
随机变 量
1 T 1 2 P lim x(t ) dt lim T 2T T T 4T 1 1 2 lim X T () d 2 T 2T
X T () d
2
1 2 G ( ) lim X T ( ) T 2T
1 P lim T 2T
x(t ) dt
2
x(t )
xT (t )
T
t
0
T
x(t ) xT (t ) 0
t T t T
2T
随机过程的样本函数及其截尾函数
8
随机过程的功率谱密度
推导：
X T () xT (t )e
jt
dt x(t )e jt dt
随机过程的功率谱密度 随机序列的功率谱
互功率谱 典型的随机过程 功率谱估计
2
随机过程的功率谱密度
本节主要内容
随机过程的功率谱密度 功率谱密度的概念 功率谱的性质 功率谱的计算举例
3
随机过程的功率谱密度 确定信号的时域和频域
1 0 -1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
R X ( ) 1 0 rX ( ) R X (0) 0 0
3 2 1
x(n)
0 -1 -2 -3 0 100 200 300 400 500
白噪声样本函数波形
25
随机过程的功率谱密度
2、正态随机过程
如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，
则称该随机过程为正态随机过程。 一维分布
功率谱密度采 样定理
q
T
23
随机过程的功率谱密度 五、 典型的随机过程
1、白噪声过程
N0 平稳白噪声功率谱密度： G X ( ) 2
G X ( )
FX ( )
RX ( )
N0 / 2
0
N0
0
N0 ( ) 2
白噪声的功率谱密度和自相关函数
24
随机过程的功率谱密度
白噪声相关系数：
GX (e j )
m
RX (m)e jm
1 R X ( m) 2
2
G X (e j )e jm d
1 RX (0) E{ X (n)} GX ()d 2
16
随机过程的功率谱密度
Z变换形式：
GX ( z )
m
e2 1 2 e 2e cos 1
20
随机过程的功率谱密度 四、平稳随机过程的采样定理
确定性信号的采样定理（Shannon采样定理）：
设s(t)为确定性连续限带实信号，频带范围（-c, c ）
sin(ct n ) s(t ) s(nT ) ct n n
n维分布
f X ( x)
1
2
N 2
T 1 1 exp x m K x m 1 2 2 K
特征函数
X (ω) E e
j1 X 1 jn X n
1 T T exp jm ω ω Kω 2
27
n i 1
29
随机过程的功率谱密度
例2、设随机过程 X (t ) A cos t B sin t ， 0 0 其中A、B
的周期函数，周期为 2 。
18
随机过程的功率谱密度
例、设平稳时间序列X(n)的自相关函数为 求X(n)的功率谱密度 GX (z ) 和 GX (e j ) 。
解、
RX (m) e|m|
GX ( z )
m
RX (m) z m
m
e |m| z m
X (t ) N (t ) S (t )
x S (t )2 1 f X ( x, t ) exp 1 2 2 2 2 （2 ）
若平稳正态过程具有均匀的功率频谱密度，则称此 过程为平稳正态白噪声。满足
f X ( x1 , x2 , , xn , t1 , t 2 , , t n ) f x xi , ti
功率谱密度是从频域角度描述随机过程统计特性的重
要数字特征,表示单位频带内信号的频率分量消耗在 单位电阻上的平均功率的统计平均值.
缺陷:不含相位信息
物理谱定义：
2GX ( ) 0 FX ( ) 0 0
11
随机过程的功率谱密度 二、平稳随机过程的功率谱密度
GX ( ) RX ( )e j d 1、定义：
定义随机过程的功率谱密度为：
1 2 GX ( ) E lim X T ( ) T 2T
X T ( ) X (t )e jt dt
T
T
对平稳和非 平稳都适应
10
随机过程的功率谱密度
1 2 GX ( ) E lim X T ( ) T 2T
f X ( x1 , t1 )
特征函数
x1 m(t1 ) 2 exp 2 2 (t1 ) 2 (t1 ) 1
1 2 2 X ( , t1 ) exp jm(t1 ) (t1 ) 2
26
随机过程的功率谱密度
17
随机过程的功率谱密度
2、平稳随机序列功率谱的性质
G j 不论X(n)是实序列还是复序列， X (e ) 是实函数。
GX (e j ) GX (e j )
G j 如果X(n)是实序列， X (e )是偶函数。
GX (e j ) GX (e j )
j GX (e ) 是非负的，且为
维纳－辛钦定理
1 R X ( ) 2
G X ( )e j d
条件:
RX () d GX ()d
要求均值为零 平均功率有限
若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有函数；
12
随机过程的功率谱密度
z/e 1 z ez (e2 1) z 1 GX ( z) , ze 1 1 z / e 1 (ez) e z ez 1 (e z)(ez 1) e
GX (e j ) GX ( z) |z e j
(e 2 1)e j j j (e e )(ee 1)
随机过程的功率谱密度
回顾上一讲的主要内容
估计的质量评价 无偏性：无偏估计、有偏估计，渐进无偏估计 有效性：估计的方差，估计的均方误差 一致性：一致估计 随机序列的数字特征估计 均值的估计 方差的估计 自相关函数的估计 互相关函数的估计
1
随机过程的功率谱密度
第四讲
主要内容：
1 其中T为采样周期,小于等于 f c , (c 2f c ) 。 2
21
随机过程的功率谱密度
平稳随机过程的采样定理：
设X(t)为零均值平稳随机过程，功率谱密度满足：
GX ( ) | | c GX ( ) other 0
则可将X(t)展开为：
平稳随机过程 采样定理
n n m
m
e
1
m
z
m
e
m 0
m
z
m
e z ez
n 1 m 0
z/e 右端第一式在 | z | / e 1处收敛为： 1 z / e
1 第二式在 | z | e 1 处收敛为 1 (ez) 1
19
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度
平稳正态过程 设X(t)是正态随机过程，若有
mX (t ) mX