管理决策分析第二版第5章_贝叶斯决策分析

预备知识
一、先验概率与后验概率 先验概率 ( Prior probability) 先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个 随机变量; 先验概率通常是经验丰富的专家的纯 主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的 支持率 p, 在进行民意调查之前, 可以先验概率 来表达这个不确定性. 后验概率 ( posterior probability) 后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率. 后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和 似然函数计算出来.
离散情形 若θ取n个值θj（j=l, 2, …, n），H取m个值Hi （i＝1, 2, …, m），则信息值的可靠程度对 应一个矩阵—贝叶斯决策的似然分布矩阵
p( H1 / 1 ) p( H 2 / 1 ) p( H m / 1 ) p( H 1 / 2 ) p( H 2 / 2 ) p( H m / 2 ) p( H 1 / n ) p( H 2 / n ) p( H m / n )
P(Hi/θj) H1 H2 H3 θ1 0.6 0.3 0.1 θ2 0.2 0.5 0.3 θ3 0.2 0.2 0.6
2
20 25 10
3
20 a1 10 2 a 10 a3
Q ( q ij ) 3 3
例5.2 试对该企业新产品开发方案进行决策。
根据历年资料，该产品各需求状态的概率分 别为p(θ1)=0.3，p(θ2)=0.4，p(θ3)=0.3。为 使新产品开发产销对路，该拟试销作市场调 查，试销结果可能有三种：需求量大(H1)、 需求量一般(H2)、需求量小(H3)。调查结 果值的可靠性如下表所示：
E a2 / H1 0
aopt (H1)＝ a1 即：市场调查畅销时，最 优方案是生产该新产品。
例5.1
2、预验分析： 当市场调查值为 H2（产品滞销）时：
E a1 / H 2 1.5 p 1 / H 2 ( 0.5) p 2 / H 2 1.5 0.1818 ( 0.5) 0.8182 0.1346 （万元）
第五章 贝叶斯决策分析
引言
决策是需要信息的，信息包括两个方面：１、 结果值；２、自然状态的概率。 贝叶斯决策是分析有关自然状态概率的信息对 决策的影响。 面临的问题是：一方面信息越准确对决策越有 利；一方面获得信息是有成本的。这两者之间会有 一个平衡，因此需要知道信息的价值。 要想知道信息的价值，必须了解贝叶斯分析的 原理。
有关的概率公式
贝叶斯公式：
p i / H p( H / i ) p( i ) p( H ) p( H / j ) p( j ) p( H / j ) p( j )
j 1 n

1,2, , n; p( H ) 0) (i
5.1.2 贝叶斯决策的基本方法
利用市场调查获取的补充信息值Hi 或τ去修 正状态变量θ的先验分布，即依据似然分布 矩阵所提供的充分信息，用贝叶斯公式求出 在信息值H或τ发生的条件下，状态变量θ的 条件分布 p(θ/H)。 先验概率—p(θ) ：由以往的数据分析得到的 概率； 后验概率—p(θ/H)：在得到信息之后，重新 加以修正的概率。

再利用后验分布进行决策分析，选出最满意 的可行方案；
对信息的价值和成本作对比分析，对决策分 析的经济效益情况作出合理的说明． 验后分析和预验分析的异同： 相同：都是通过贝叶斯公式修正先验分布 不同：主要在于侧重点不同

贝叶斯决策的基本步骤
4.序贯分析（主要针对多阶段决策） 指把复杂的决策问题的决策分析全过程划分 为若干阶段，每一阶段都包括先验分析、预 验分析和验后分析等步骤, 每个阶段前后相 连,形成决策分析全过程．
贝叶斯决策的基本步骤
1.验前分析
依据数据和资料以及经验和判断，去测算和 估计状态变量θ的先验分布p(θ) ； 计算各可行方案在不同θ下的条件结果值；

根据某种决策准则评价选择，找出最满意方 案。 2.预验分析 比较分析补充信息的价值和成本的过程。 目的：判断是否值得去补充信息？

贝叶斯决策的基本步骤
例：小概率事件不会发生，因为如果发生，就不是小概率事件。 先验概率
p(小)=0.9; p(大)=0.1
p ( 发生 小 ) p ( 不发生 小 ) p ( 发生 大 ) 0 . 001 ＝ p ( 不发生 大 ) 0 . 999 0 .8 0 .2
二、全概率公式和贝叶斯公式 条件概率
如在事件Ａ发生的条件下求事件Ｂ发生的概率，将此概率记作P(Ｂ|Ａ).
设 A , B 是两个事件 , 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 条件概率 .
P (B A)
全概率公式 贝叶斯公式
P H
§5.1
贝叶斯决策的基本方法
5.1.2 贝叶斯决策的基本方法 补充信息（信息值） 指通过市场调查分析所获取的补充信息， 用已发生的随机事件H或已取值的随机变量 τ表示，称H或τ为信息值。 信息值的可靠程度 用在状态变量θ的条件下，信息值H的条件 分布p(H/θ)表示。
5.1.2 贝叶斯决策的基本方法
某工厂计划生产一种新产品，产品的销售情 况有畅销（θ1），滞销（θ2）两种，据以往 的经验，估计两种情况发生的概率分布和利 润如下表所示：
状态θ 概率P(θi) 利润（万元） 畅销（θ1） 滞销（θ2） 0.8 1.5 0.2 －0.5
例5.1
为了进一步摸清市场对这种产品的需求情况， 拟聘请某咨询公司进行市场调查和分析，该 公司对销售情况预测也有畅销(H1)和滞销 (H2)两种，对畅销预测的准确率为0.95，对 滞销预测的准确率为0.9：
P(Hi/θj) H1 H2 θ1 0.95 0.05 θ2 0.10 0.90
例5.1
解： 1、验前分析 记方案a1 为生产该新产品，方案a2 为不生产。 则： E (a1)=1.1（万元），E (a2)=0 记验前分析的最大期望收益值为E1，有： E1＝max{E (a1)，E (a2)} =1.1 因此验前分析后的决策为：生产该新产品。 即： aopt＝ a1 E1为不作市场调查的期望收益。
通过调查，该企业收益期望值能增加
E2 E1 1.1301 1.1 0.0301 （万元）
因此，只要调查费用不超过0.0301万元，就应该 进行市场调查；否则，则不应进行市场调查。
例5.1
3、验后分析：综上所述， 在咨询公司收费不超过0.0301万元的情况下， 进行市场调查，能使该企业新产品开发决 策取得较好的经济效益；否则，不做市场 调查。 若调查结果是该产品畅销，则应该选择方 案a1，即生产新产品； 若调查结果是该产品滞销，则应该选择方 案a2，即不生产新产品。
P i | H

i 1
P H | i P i , P i 0
P H | i P i
i 1
P H

P H | i P i
m
, P H

0
贝叶斯公式把条件概率和似然函数联系起来，因此可以用先 验概率求出后验概率。
§5.1
贝叶斯决策的基本方法
5.1.1 贝叶斯决策的基本方法 管理决策的两种偏向：(1)缺少调查，(2)调 查费用过高。 贝叶斯决策：为了提高决策质量，需要通过 市场调查，收集有关状态变量的补充信息， 对先验分布进行修正，用后验状态分布进行 决策。 贝叶斯决策的意义 贝叶斯决策可以做到少花钱多办事，提高决 策分析的科学性和效益性。
似然矩阵
事件发生的总概率
p ( 发生 )＝ p ( 发生 小 ) p ( 小 ) p ( 发生 大 ) p ( 大 ) ＝ 0 . 001 0 . 9 0 . 8 0 . 1 0 . 0809
后验概率
p ( 小 发生 )＝ p ( 发生 小 ) p ( 小 ) p ( 发生 ) ＝ 0 . 0009 0 . 0809 0 . 011

例5.1
2、预验分析： 再由贝叶斯公式
p j / Hi



p( H i / j ) p( j ) p( H i )
0 . 95 0 . 8 0 . 78 0 .1 0 .2 0 . 78 0 . 05 0 . 8 0 . 22 0 .9 0 .2 0 . 22 0 . 8182 0 . 1818 0 . 0256 0 . 9744
例5.1
2、预验分析：由全概率公式
p H i
n
p( H
j 1
i
/ j ) p( j )
得：
p ( H 1 ) 0 . 95 p ( H 2 ) 0 . 05
0 . 1 0 . 8 0 . 78 0 . 9 0 . 2 0 . 22
p ( 2 / H 1 ) p ( 1 / H 2 ) p ( 2 / H 2 )
例5.1
2、预验分析： 用后验分布代替先验分布，计算各方案的期 望收益值。

当市场调查值为 H1（产品畅销）时：
E a1 / H 1 1.5 p 1 / H 1 ( 0.5) p 2 / H 1 1.5 0.9744 ( 0.5) 0.0256 1.4488 （万元）
E a2 / H1 0
aopt (H1)＝ a2 即：市场调查滞销时，最优方案是不生产该 新产品。
例5.1
是否该进行市场调查？
不应进行调查 假定咨询公司收费为0.1万元。 2、预验分析： 通过调查，该企业可获得的收益期望值为：
E 2 E (aopt / H 1 ) p H 1 E (aopt / H 2 ) p H 2 1.4488 0.78 0 0.22 1.1301 （万元）