分式求值全解
分式求值的技巧点拨
分式求值的技巧点拨胡伟在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x 1x +的值。
解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。
二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。
其中231m -=，231n +=。
解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- n m mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+=∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。
因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。
三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。
解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。
四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
(完整word版)分式求值中的一些解题技巧
分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。
注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。
1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。
初中数学分式化解求值解题技巧大全
化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b ck b c a===，则∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
解：因为a a b ba b 2222++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1由a b +<0 故有a b +=-1所以a b a b a ba a b b a b33221313+-=+-+-()()评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。
分式化简求值的七种类型
分式化简求值的七种类型分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析.㈠与因式分解相结合的单一化简例1、先化简：22221224323a a a a a a a -+-÷---,再求当3a =-时分式的值。
思路分析：题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法,一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式.如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来.解：原式=()()()()()()()()()()()()()()()()21121211131313321222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+-+÷=•=-+---++ 当a=-3时，原式=()()()23142233263-+==⨯-⨯-+ 点评：注意特殊的二次三项式()()()2x a b x ab x a x b +++=++因式分解的方法,以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用,比如2221222333a b b a b a b a b-+--+÷+-+的化简，应注意分组.2221222333a b b a b a b a b -+--+÷+-+()()22133321a b a b a b a b --+=•+--+ ()()()()113121a b a b a ba b a b +--++=•+--+6a b +=。
㈡巧变幻求值型例2：设abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。
思路分析:第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc,第3个分式的分子,分母同时乘b. 解：原式=1a b bc ab a abc bc b abc bc b++++++++ 1111111b bc bc b b bc bc b bc b bc b ++=++==++++++++ 点评：仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。
题型16 分式化简求值(解析版)
备考2021年中考一轮复习点对点必考题型题型16 分式化简求值考点解析1．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．2．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．五年中考1．（2019•成都）先化简，再求值：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=√2+1．【点拨】可先对1−4x+3进行通分，x2−2x+12x+6可化为(x−1)22(x+3)，再利用除法法则进行计算即可【解析】解：原式=(x+3x+3−4x+3)×2(x+3)(x−1)2=x−1 x+3×2(x+3) (x−1)2=2x−1将x=√2+1代入原式=2√2+1−1=√22．（2018•成都）化简：（1−1x+1）÷xx2−1【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案．【解析】解：原式=x+1−1x+1×(x+1)(x−1)x=x x+1×(x+1)(x−1)x＝x﹣13．（2017•成都）化简求值：x−1x2+2x+1÷（1−2x+1），其中x=√3−1．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．【解析】解：x−1x+2x+1÷（1−2x+1）=x−1(x+1)2•x+1x−1=1x+1，∵x=√3−1，∴原式=1√3−1+1=√33．4．（2016•成都）化简：（x−1x）÷x2−2x+1x2−x．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式=x2−1x•x2−xx2−2x+1=(x+1)(x−1)x•x(x−1)(x−1)2=x+1．5．（2015•成都）化简：（aa+2+1a−4）÷a−1a+2．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式=a(a−2)+1(a+2)(a−2)•a+2a−1=(a−1)2(a+2)(a−2)•a+2a−1=a−1a−2．一年模拟1．（2019•成华二诊）先化简，再求值：8x 2−4x+4÷（x 2x−2−x ﹣2），其中|x |＝2．【点拨】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据|x |＝2即可解答本题． 【解析】解：8x −4x+4÷（x 2x−2−x ﹣2）=8(x−2)2÷x 2−(x+2)(x−2)x−2 =8(x−2)2⋅x−2x 2−x 2+4=8x−2⋅14 =2x−2，∵|x |＝2，x ﹣2≠0， 解得，x ＝﹣2， ∴原式=2−2−2=−12． 2．（2019•青羊二诊）先化简，再求值：2x−6x−2÷(5x−2−x −2)，其中x ＝﹣1．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 【解析】解：原式=2(x−3)x−2÷5−(x+2)(x−2)x−2=2(x−3)x−2•x−2−(x+3)(x−3)=−2x+3， 当x ＝﹣1时，原式＝﹣1．3．（2019•锦江二诊）化简求值：(x+2x−2+4x 2−4x+4)÷x x−2，其中x =−12． 【点拨】首先把括号内的式子进行通分相加，然后把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后把x 的值代入求解即可． 【解析】解：原式=[x 2−4(x−2)2+4(x−2)2]•(x−2)x=x 2(x−2)2•(x−2)x=xx−2当x =−12时，原式=−12−12−2=15．4．（2019•武侯二诊）化简：m 2+2m+1m+2÷(m −2+3m+2)【点拨】首先进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】解：原式=(m+1)2m+2÷(m+2)(m−2)+3m+2=(m+1)2m+2×m+2(m+1)(m−1)=m+1m−1． 5．（2019•双流二诊）先化简，再求值：（1x+2+4x2−4）÷1x2−4x+4，其中x ＝2+√7．【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解析】解：原式＝[（x−2(x+2)(x−2)+4(x+2)(x−2)）]•（x ﹣2）2=x+2(x+2)(x−2)•（x ﹣2）2 ＝x ﹣2将x ＝2+√7代入，得x ﹣2＝2+√7−2=√7 6．（2019•金牛二诊）化简：（a ﹣2+42−a ）÷a 2−16a−2． 【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式=(a−2)2−4a−2•a−2(a+4)(a−4)=a(a−4)a−2•a−2(a+4)(a−4)=a a+4．7．（2019•郫都二诊）化简：m 2+2m+1m 2+2m÷(1−1m+2)【点拨】首先进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】解：原式=(m+1)2m(m+2)÷[m+2m+2−1m+2] =(m+1)2m(m+2)⋅m+2m+1=m+1m ．8．（2019•郫都一诊化简：(m −1−8m+1)÷m 2−6m+9m 2+m【点拨】直接将括号里面通分，进而分解因式化简即可． 【解析】解：原式=[(m−1)(m+1)(m+1)−8m+1]×m 2+mm 2−6m+9=(m+3)(m−3)(m+1)⋅m(m+1)(m−3)2 =m(m+3)m−3．9．（2019•高新一诊）化简：(1−1a+2)÷a 2+2a+1a 2−4【点拨】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解析】解：原式＝（a+2a+2−1a+2）÷(a+1)2(a+2)(a−2)=a+1a+2•(a+2)(a−2)(a+1)2=a−2a+1．10．（2019•龙泉二诊）化简：(3a a−1−a a+1)÷aa 2−1【点拨】直接去括号，进而分解因式化简即可． 【解析】解：原式=3a a−1×(a+1)(a−1)a −a a+1×(a+1)(a−1)a＝3（a +1）﹣（a ﹣1） ＝2a +4．精准预测1．先化简，再求值：（x ﹣2−12x+2）÷x−4x+2，其中x ＝2√3−4．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【解析】解：（x ﹣2−12x+2）÷x−4x+2 =x 2−4−12x+2÷x−4x+2 =(x+4)(x−4)x+2•x+2x−4＝x +4，当x ＝2√3−4时， 原式＝2√3−4+4＝2√3． 2．化简求值：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1，其中x =√2．【点拨】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．【解析】解：原式=2x−1−x 2+1x+1•(x+1)2x−2=x(2−x)1⋅x+1x−2＝﹣x （x +1） ＝﹣x 2﹣x当x =√2时，原式＝﹣2−√2． 3．化简：（a−2a+2+8a a 2−4）÷a+2a 2−2a【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式=(a−2)2+8a (a+2)(a−2)•a(a−2)a+2=(a+2)2(a+2)(a−2)•a(a−2)a+2＝a ． 4．化简：ab a+b⋅(a b−ba)．【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解析】解：原式=ab a+b •(a+b)(a−b)ab=a ﹣b ．5．先化简，再求值：(2a−1−1a )÷(a 2+a a 2−2a+1)，其中a 2+a ﹣1＝0． 【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由等式得出a 2＝1﹣a ，代入计算可得． 【解析】解：原式＝[2aa(a−1)−a−1a(a−1)]÷a(a+1)(a−1)2=a+1a(a−1)•(a−1)2a(a+1)=a−1a 2， 当a 2+a ﹣1＝0时，a 2＝1﹣a ， 则原式=a−11−a =−1． 6．化简：（1−n m+n ）÷mm 2−n 2． 【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解析】解：原式＝（m+n m+n −n m+n）•(m+n)(m−n)m=m m+n•(m+n)(m−n)m=m ﹣n ．7．计算：1x +x−2x +x÷x 2−4x+4x+1【点拨】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解析】解：原式=1x +x−2x(x+1)•x+1(x−2)2=1x +1x(x−2)=x−2x(x−2)+1x(x−2)=x−1x(x−2)． 8．先化简，再求值：1−x−2y x+y ÷x 2−4xy+4y 2x 2−y 2，其中x ＝﹣2，y =12． 【点拨】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值． 【解析】解：原式＝1−x−2y x+y •(x+y)(x−y)(x−2y)=1−x−y x−2y =−yx−2y ，当x ＝﹣2，y =12时，原式=16． 9．计算： （1）2m 2−1+3−m 1−m 2；（2）(ab −b 2)÷a−b ab ⋅(−a2b)2． 【点拨】（1）直接利用分式的加减运算法则化简得出答案； （2）直接利用分式的混合运算法则化简得出答案． 【解析】解：（1）原式=2(m+1)(m−1)−3−m(m+1)(m−1)=−1+m(m+1)(m−1)=1m+1；（2）原式＝b （a ﹣b ）•ab a−b •a 24b=a 34． 10．计算：（8x+1−x +1）÷x 2−6x+9x 2+x【点拨】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【解析】解：原式＝（8x+1−x 2−1x+1）•x(x+1)(x−3)2=−(x+3)(x−3)x+1•x(x+1)(x−3) =−x 2+3xx−3．11．计算：（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9x 2−1【点拨】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解析】解：原式=2(x+1)−(x−1)x+1×(x+1)(x−1)(x+3)2 =x+3x+1×(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1x+3． 12．先化简，再求值：（m +2+52−m ）÷3−m 2m−4，其中m ＝﹣1． 【点拨】把m +2看成m+21，先计算括号里面的，再算乘法，化简后代入求值．【解析】解：（m +2+52−m ）÷3−m 2m−4， ＝（m+21−5m−2）⋅2(m−2)3−m ，=m 2−4−5m−2⋅2(m−2)3−m，=(m−3)(m+3)m−2⋅2(m−2)3−m ， ＝﹣2（m +3）， ＝﹣2m ﹣6，当m ＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）﹣6＝2﹣6＝﹣4．13．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ①③④ （填序号）； ①x+1x；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1y 2（2）将“和谐分式”a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a 2−2a+3a−1= a ﹣1+2a−1 （要写出变形过程）；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x 2−1x +2x，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．【点拨】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；（2）由原式=(a−1)2+2a−1=(a−1)2a−1+2a−1=a ﹣1+2a−1可得； （3）将原式变形为=2x+4x+1=2+2x+1，据此得出x +1＝±1或x +1＝±2，即x ＝0或﹣2或1或﹣3，又x ≠0、1、﹣1、﹣2，据此可得答案．【解析】解：（1）①x+1x=1+1x ，是和谐分式；②2+x 2=1+x2，不是和谐分式； ③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y 2+1y 2=1+1y 2，是和谐分式； 故答案为：①③④． （2）a 2−2a+3a−1=(a−1)2+2a−1=(a−1)2a−1+2a−1=a ﹣1+2a−1，故答案为：a ﹣1+2a−1． （3）原式=3x+6x+1−x−1x •x(x+2)(x+1)(x−1)=3x+6x+1−x+2x+1 =2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1＝2+2x+1，∴当x +1＝±1或x +1＝±2时，分式的值为整数， 此时x ＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意义时x ≠0、1、﹣1、﹣2， ∴x ＝﹣3． 14．先化简，再求值：a−3a−2÷（52−a+a +2），其中a 满足等式|a +1|＝0．【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由绝对值的性质得出a 的值，代入计算可得．【解析】解：原式=a−3a−2÷（a 2−4a−2−5a−2）=a−3a−2÷a 2−9a−2=a−3a−2•a−2(a+3)(a−3)=1a+3， ∵|a +1|＝0，∴a+1＝0，则a＝﹣1，所以原式=1−1+3=12．15．计算：(a2a−2+42−a)÷a+22a．【点拨】先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可得．【解析】解：原式=(a+2)(a−2)a−2•2aa+2＝2a．。
分式求值的几种常用方法
巩固练习：选用适当的方法
1 − 1 2 2 1、若 a + 2 + b+1 +c -2c+1=0，则 = a + b + c 17 2a − b + 3c = 2、若a : b : c = 3 : 4 : 5，则 6 a − 2b + c
1 1 2a − ab − 2b 3、若 - =2，则 = a b a − 3ab − b
x2 + x + 1 1 x 1 =7,即:x+ =6 解：由 2 = ，可知x ≠ 0, ∴ x + x +1 7 x x
x4 + x 2 + 1 2 1 ∴ =x + 2 +1 2 x x
1 2 =(x+ ) -2+1 x
=62 -1=35
x2 1 ∴ 4 = 2 x + x + 1 35
还能怎样求解？
1
a 1 a2 4、若 2 = ，求 4 的值. 答案：7 a +1 3 a +1 a+b-c a-b+c -a+b+c (a+b)(b+c)(c+a) 5、若 = = ，求 的值. 8或-1 c b a abc
练习：
1 x 2 1、已知:x +4x+1=0，求: 4 的值 14 x +1
2
a 2、若a -3a+1=0，则 4 = 2 a + 3a + 1
2
2
1 10
非负代数式之和为0 四、非负代数式之和为0 ☞
a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求: 的值 a-b
专题： 分式求值的几种常用方法
方法 2 引入参数法求值 2．已知x3＝y4＝7z≠0，求3x＋yy＋z的值．
解：设x3＝y4＝7z＝k≠0，则 x＝3k，y＝4k，z＝7k. ∴原式＝3×3k＋4k4k＋7k＝240kk＝5.
方法 3 消元法求值 3．已知ba＝dc＝2，求a＋a b和cc＋－dd的值．
解：∵ba＝dc＝2，∴a＝2b，c＝2d. ∴a＋a b＝2b2＋b b＝32. ∴cc－ ＋dd＝22dd－ ＋dd＝13.
4．【整体思想】已知1a＋1b＝6，求aa＋－132aabb＋＋bb的值．
解：由1a＋1b＝6，得b＋ aba＝6，∴a＋b＝6ab. ∴aa＋－132aabb＋＋bb＝aa＋＋bb＋－132aabb＝66aabb＋－132aabb＝138aabb＝16.
面的题目： 已知x2－3xx＋1＝15，求x4＋xx22＋1的值．
解：由x2－3xx＋1＝15知 x≠0， ∴x2－3xx＋1＝5，即 x－3＋1x＝5.∴x＋1x＝8. ∴x4＋xx22＋1＝x2＋1＋x12＝(x＋1x)2－1＝82－1＝63. ∴x4＋xx22＋1＝613.
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第十五章击文本框弹出对象， 便可编辑修改哦！！
方法 1 利用分式的基本性质求值 1．【整体思想】已知1x－1y＝5，求分式2xx－ ＋32xxyy－ －2yy的值．
方法 4 整体代入法求值 5．已知 a2－a＋1＝2，则a2－2 a＋a－a2 的值为 1 ． 6．若 a2＋5ab－b2＝0，则ba－ba的值为 5 ．
分式求值的方法与技巧
分式专题三---分式求值的方法与技巧一．求值;1．已知()224++=+-x B x A x x x ,求A,B 的值; 2．已知:22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= 、B = 3．若()()212112+++=+++x B x A x x x 恒成立,则A ＋B ＝_______________;二．将条件式变形后代入求值;1．已知432z y x ==,z y x z y x +--+22求的值． 提示：已知连比,常设比值k 为参数,这种解题方法叫参数法2. 二、将求值变形代入求值．1．已知31=+xx ,的值求1242++x x x ． 2．已知的值求ba b a b ab a +-=-+,0622． 3.已知0132=+-a a ,求142+a a 的值; 4． 已知yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 5．已知231=-x x ,求分式221xx +的值．6．已知b a 43=,则222232b a b ab a -+-＝_______________;7.2007赤峰已知114a b +=,则3227a ab b a b ab-+=+- ． 8．已知311=+b a ,则bab a b ab a +++-23的值是_________. 9．如果a+a 1=3,则=+221a a __________. 10．已知错误!- 错误!=3,求分式错误!的值.11．若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 12．若0152=+-x x ,则x x x x 1122+++＝_______________; 13.已知02322=-+y xy x x ≠0,y ≠0,求xy y x x y y x 22+--的值; 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．14．已知a 2＋2a －1＝0,求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值,这种代入的技巧叫做整体代入．15．已知abc ＝1,则111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 16．已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值．17．若.1,11,11的值求bab a c c b +=+=+ 18．若7=+b a ,12=ab ,则ab b a 22+＝_______________;19．若b a a b -=-111,则b a a b +＝_______________; 20．如果n 222108++为完全平方数,则n ＝_______________;21．已知0199752=--x x ,则代数式()()211223-+---x x x 的值是多少22．已知：A=xy-x 2,B=xy y xy x 222+-,C=y x x -2,若A ÷B=C ×D,求D ． 24．已知ac c b b a 111+=+=+,且c b a ≠≠,你能否求出222c b a 的值请说出理由 25.2008四川省达州市符号“a bc d ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为：a bad bc c d =-,请你根据上述规定求出下列等式中x 的值． 2111111x x =--26．已知b a b a b a ab b a -+>>=+则且,0622的值为 27．3213213232y x y x x y x y -+--+ 28．143)1(2111=-+-x 29．已知01342=+++x x x ,先化简后求xx x -+-3932的值． 30．化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ,其中a ＝－3．。
分式求值五技巧
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题以下向同学们介绍了几种常用的技巧一、巧用整体代换例1：已知：x 1=2，求221x 的值 分析：用x 1表示221x ，用已知式整体代换所求式 解：由x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4所以221x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2••x 1=4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4求2222n mn m mn m +--的值分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222cb a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了 解：设2a =3b =4c =则a=2b=3c=4代入求值式：原式=2221694424332k k k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a a1=5则1242++a a a 为________ 分析：由a a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来即2241a a a ++=24a a 22a a 21a=a 221a 1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -21 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若x 1-y 1=31，求yxy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义（2）尽量找整数，利于求值计算解：令=2代入已知等式得，y=6把=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+ 原式=4028-=-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活。
分式求值的几种常用方法
分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。
分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。
求解分式的数值可以使用几种常用的方法。
下面将介绍一些常用的方法。
1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。
2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。
同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。
3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。
这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。
例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。
这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。
5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。
例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。
中考分式化简求值问题含答案
中考中的分式的化简求值1.先化简：23x 4x 4x 1x 1x 1-+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】解：原式=()()()()222x 2x 23x 1x 1x 1x 2x 1x 1x 2x 2x 2+--++++⋅=-⋅=-++---。
取x=0，原式=02102+-=-。
【考点】开放型，分式的化简求值。
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）。
2.按要求化简：22a 3a 11a ++--．要求：见答题卡．=2a2a 3(a 1)(a 1)+--+-去括号 = ▲ ① =a 1(a 1)(a 1)-+-合并同类项 此处不填 = ▲ ②= ▲ ③= ▲ ④3.从三个代数式：2222a 2ab b 3a 3b a b -+--，，①②③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值。
【答案】解：选②与③构造出分式：223a 3ba b--， 4.阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式422x x 3x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为2x 1-+，可设()()4222x x 3x 1x a b --+=-+++则()()()()422242242x x 3x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++ ∵对应任意x ，上述等式均成立，∴a 11a b 3-=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1。
∴()()()()222242222222x 1x 21x 1x 2x x 311x 2x 1x 1x 1x 1x 1-+++-++--+==+=++-+-+-+-+-+。
这样，分式422x x 3x 1--+-+被拆分成了一个整式2x 2+与一个分式21x 1-+的和． 解答：（1）将分式422x 6x 8x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明422x 6x 8x 1--+-+的最小值为8．[来^&%源:中教网@~]【答案】解：（1）由分母为2x 1-+，可设()()4222x 6x 8x 1x a b --+=-+++，则()()()()422242242x 6x 8x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++。
分式的运算技巧
分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式求值
ａ
．
・ ．
三、 主 元代 入 法
例 ３ 若４ 口一 ３ ６— ６ ｃ ＝０ ． ａ＋２ ｂ一７ ｃ ＝０ （ ａ ｂ ｃ ≠０ ） ，
则 ＝
．．
．
．．．
．．
．．
．．
．．．
．．
！ ． ． ． ． ． 一
一
（ ｃ 一１ ） （ ａ一１ ）
１
＝
＝１ ２一（ 口 ６＋ ａ ｃ＋６ ｃ ）
＞ｏ，
＞ｏ ．
即 （ 手 ＋ 吾 ＋ 亨 ） ＋ ２ ・ （ ÷ ＋ ａ ＋ 号 ） ＝ ・
・ ．
＞
－。 。。 ． ’ ． ‘
一
＞ｏ
÷＋ Ｙ ＋ ÷＝ ｚ ０ ， ． ． ． ｏ — ｂ ＋ 告＋ — ｃ 一 ＝ １
八、 拆 项 抵 消 法
侈 ４ ８ 已知 Ｉ ａ ｂ ＋ ２Ｉ ＋Ｉ 口＋１ Ｉ ＝ ０ ．
例 ｌ ｏ 十 ÷ ＿ ３ ’ 则 ｎ ４ ３ ＋ ｊ １ ＋ ７
８
求
＋
＋ …
＋
解 设 ：６ ， 则 口＋ ６： ３ ， ：１ ． ａ
（ ２ ０ ０ ６ ｂ ２ ０ — ０ ６ ） 的值 口一 ） （＋ 解 由 题设 ， 可 知 。： 一１ ， ｂ＝ ２ ．
Ａ． １
Ｂ ．一 １
ｃ
．
２
南 ＝ 蔫 ＝
例２ 若 ¨ ａ
解
，
解 ． ‘ ｎ ６ ＋ｃ 一１ ＝ａ ｂ＋（ ２一 ａ一６ ）一１
＝ａ ｂ—ａ—ｂ＋１
：
（ ａ一１ ） （ ｂ一１ ）
６ ｃ ＋ａ—ｌ ＝（ ｂ一１ ） （ ｃ 一１ ） ，
八年级数学上册专项24 分式化简求值(四大类型)(解析版)
专项24 分式化简求值（四大类型）【典例1】（2021秋•北碚区校级期中）先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝2．【答案】x＝2时，原式＝1【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝1【变式1】（2021秋•雨花区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2022．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．当a＝2022时，原式＝﹣＝﹣．【典例2】（2021•射阳县二模）先化简，再求值：（）÷，其中x从1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝[]＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x可以取2或3，当x＝2时，原式＝，当x＝3时，原式＝＝1．【变式2】（2022•南京模拟）先化简，再求值：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．【解答】解：＝＝x2+2，∵分式有意义，∴x≠﹣1且x≠1，当x＝0时，原式＝2，当x＝2时，原式＝6．【典例3】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（﹣）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．【答案】2【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，由，解得：﹣1＜x≤2，∵x是整数，∴x＝0，1，2，由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，故x＝2，∴原式＝＝2．【变式3】（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝＝＝2（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+2﹣x+1＝x+3．解不等式组，得﹣3＜x≤1．由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，0，1，且x是整数，∴x＝﹣2．当x＝﹣2时，原式＝1．【典例4】（2021秋•兴宁区校级月考）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．【答案】6【解答】解：原式＝•＝•＝•＝2a（a+2）＝2（a2+2a），∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．【变式4】（2021秋•沭阳县校级月考）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．【答案】﹣．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝•＝•＝，∵x2﹣x﹣6＝0，∴x＝3或x＝﹣2，由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，故x＝3，∴原式＝＝﹣．1．（2022•丰顺县校级开学）先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：原式＝•＝，当x＝2时，原式＝＝．2．（2022•牟平区校级开学）化简求值：，再从﹣1≤x＜2中选一个整数值，对式子进行代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，∵﹣1≤x＜2且x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，当x＝1时，原式没有意义，舍去；当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝1；当x＝2时，原式＝﹣．3．（2022春•涟源市校级期末）先化简，再求值：，然后从﹣1，1，2是选一个合适的代入求值．【解答】解：原式＝＝＝＝．∵x≠±1，∴x＝2．当x＝2时，原式＝．4．（2022秋•房山区期中）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．【解答】解：∵x2﹣3x＝4，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝4，∴＝+﹣＝++1＝++1＝++1＝．5．（2022秋•岳阳县期中）先化简，再求值已知a2+3a﹣1＝0，求的值．【解答】解：＝﹣＝＝＝，∵a2+3a﹣1＝0，∴a2+3a＝1，∴原式＝＝1．6．（2022秋•北碚区校级期中）先化简，再求值：，其中a．b满足．【解答】解：＝[﹣]•＝（）•＝•＝，∵．∴a﹣＝0，b+1＝0，解得a＝，b＝﹣1，当a＝，b＝﹣1时，原式＝＝﹣．7．（2022秋•丰城市期中）化简：（﹣x﹣1）÷，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数解代入求值．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∵，∴﹣1＜x≤2，由分式有意义的条件可知：x不能取1和2，故x＝0，原式＝0+0+2＝2．8．（2022秋•随县月考）先化简、再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣13＝0．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣＝，∵x2+2x﹣13＝0，∴x2+2x＝13，∴原式＝．。
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【解析】
这道题也可以用字母代入法，可以得到 ， ，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到 、 、 连等，让它们都等于k
则x=ak y=bk z=ck
代入得 =
=
=
【探讨】
当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件
设
则（1） ，
（2）设 则x=ak y=bk z=ck
化简
结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简
代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
【练习】
1、已知 的值等于（）（设值代入）
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：
用a=-b-c代入 中的a，得到-2bc
用b=-a-c代入 中的b，得到-2ac
用c=-a-b代入 中的c，得到-2ab
原式=
例7（倒数变形）.
已知 求证
【解析】
已知条件是 的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将 改写成
的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件。
4.变形代入法
这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
例4（方程变形）.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求 的值.
【解析】
对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
=
=
=
=
=
【探讨】
当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2.设值代入法
，可以发现分式形式大致消失了，
剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc
将能从已知条件得到的关系列出来
, ,
左边和左边相乘，右边和右边相乘得
，
所以
【结论】
给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简
（3）设 则 其中
3.整式代入法
例3.已知： ，求分式 的值.
【解析】
如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为 ，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a
【探讨】
用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。
A． B. C. D.
2、若a2+b2=3ab,则(1+ 的值等于（）（整式代入）
A． B.0 C. 1 D.
3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证： ＜0.（非负变形）
4、已知：a+b+c=0.
求证： （代数式归类变形）
5、已知abc=1，求证： （对应变形）
a+b+c=0b=-2c
==>
a+2b+3c=0 a=c
用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来
=
例5（非负变形）.已知： ，求 的值.
【解析】
观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
其中 所以 =0 =0
得
再带入原式很容易求出解。
例6（对应变形）.证明：若a+b+c=0,则
【解析】
这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用 代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
写出变化后的形式 ， ，
=
所以
=
则 ，得证。
例8（归类变形）.
已知 ，且a、b、c互不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等，求证：
【解析】
已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：
分式求值问题全解
根据已知条件的不同，求含有字母分式值的方法也千奇百怪，种类繁多，在实战中不可能给我们时间来考虑到底用哪一种方法，所以必须熟练一种比较常用的方法，遇到这类题只要稍作变形，就可以逐一化解，真正做到快速准确地解题。
1.字母代入法
例1.b=a+1,c=a+2,d=a+3,求 的值.
【解析】
仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：