1.3 顺序统计量
统计学(贾俊平第六版)课后思考题及答案
第一章导论1.什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
2.解释描述统计和推断统计描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可以分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？分类数据：是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。
顺序数据：是只能归于某一有序类别的非数字型数据。
虽然也有列别，但这些类别是有序的。
数值型数据：是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义分类数据和顺序数据说明的是事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此也可统称为定性数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此也可称为定量数据或数量数据。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念总体是包含所研究的全部个体（数据）的集合；样本是从总体中抽取的一部分元素的集合；参数是用来描述总体特征的概括性数字度量；统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量；变量是说明现象某种特征的概念。
比如我们欲了解某市的中学教育情况，那么该市的所有中学则构成一个总体，其中的每一所中学都是一个个体，我们若从全市中学中按某种抽样规则抽出了10 所中学，则这10 所中学就构成了一个样本。
在这项调查中我们可能会对升学率感兴趣，那么升学率就是一个变量。
我们通常关心的是全市的平均升学率，这里这个平均值就是一个参数，而此时我们只有样本的有关升学率的数据，用此样本计算的平均值就是统计量。
6.变量可以分为哪几类分类变量：一个变量由分类数据来记录就称为分类变量。
顺序变量：一个变量由顺序数据来记录就称为顺序变量。
数值型变量：一个变量由数值型数据来记录就称为数值型变量。
离散变量：可以取有限个值，而且其取值都以整位数断开，可以一一例举。
顺序统计量法
顺序统计量法
顺序统计量法是一种计算随机变量中各种统计量的方法。
需要对
原始数据进行排序操作，并以此计算出各种统计量，包括中位数、分
位数、极差等。
下面分步骤阐述一下这种方法的应用。
首先，将原始数据按照大小排序，从小到大或从大到小都可以，
只要保证数据的顺序一致即可。
排序可以手动进行，也可以使用计算
机软件进行。
接下来，计算中位数。
中位数是指原始数据中位于中间位置的数值，即将原始数据按照大小排序后，位于中间位置的数值。
如果数据
总数为奇数，则中位数为中间位置的数值；如果数据总数为偶数，则
中位数为中间两个数值的平均值。
其次，计算分位数。
分位数是将数据分为若干部分的数值，一般
用来表示数据的分布情况。
常用的分位数包括四分位数、十分位数等。
四分位数是将数据分为四部分，每部分包含相等的数据量。
第一个四
分位数（Q1）为数据中位于排序后1/4位置的数值，第二个四分位数（Q2）为数据中位于排序后1/2位置的数值，第三个四分位数（Q3）
为数据中位于排序后3/4位置的数值。
最后，计算极差。
极差是指数据中最大值与最小值之间的差距。
可以使用排序后的数据求得。
极差越大，说明数据分布越分散；极差
越小，说明数据分布越集中。
顺序统计量法是一种简单而常用的统计方法，可以用来计算各种
统计量，包括中位数、分位数、极差等。
在实际应用中，可以根据需
要选择相应的统计量并进行计算。
次序统计量理论及应用
顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(
顺序统计量
在移动互联网的发展中，顺序统计量扮演着重要的角色。
特别是近些年，各种
新的移动应用在竞争之下，顺序统计量可以提供及时准确的数据，帮助移动应用开发者能够以可控的成本快速获得用户成功转换的可行性路径。
首先，顺序统计量可以支持移动应用产品经理及其他产品设计人员更有针对性
地应用产品设计。
它可以帮助他们确定每一步准确的细节，从而使产品设计更精准，更具可行性。
此外，顺序统计量还可以帮助移动应用开发者解决流量来源的瓶颈，它可以通过精准规划圈选和投放广告流量来展现自身的优势所在，以此来提升渠道的效率。
另外，顺序统计量可以帮助移动应用实现用户忠诚度的准确统计和挖掘，从而
更有效地实现业务拓展，粉丝运营等目标。
总之，顺序统计量在移动互联网发展中发挥着不可替代的作用，可以准确定位产品设计细节，帮助开发者解决流量来源瓶颈，提升渠道效率，甚至有助于拓展用户忠诚度，从而提升整体业务绩效。
第六章 统计量及其抽样分布
样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分 布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
第 一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观 察值1 2
3
4
11
1.
20.
52. 0.
5
21
2.
25.
03. 5.
0
23
2.
30.
53. 0.
5
24
3.
35.
04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章 统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律 （1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平 均数估计总体平均数提供了理论依据。 （2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率 提供了理论依据 2、中心极限定律 （1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体 中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u， 方差为s2/n的正态分布。 （2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足 够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)
秩统计量
1 Ri = ∑ I ( X j ≤ X i ) ， I ( X j ≤ X i ) = j ≠i 0 Ri 是不超过 X i 的 X j 的计数，记
n
X j ≤ Xi X j > Xi
R = ( R1 , R2 ,L, Rn )
称为秩统计量。 6 有结数据的秩 设 X 1 , X 2 ,L X n 是来自总体 X 的样本， 样本中相同 的数据称为结，一个结的数据重复的次数称为结长， 结的秩为排列后位置序号按结长的平均。例如 样本观测值为： 2 排序后： 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 4
为线性秩统计量。an (g) 为记分函数。 cn (i) 为回归常数，
i = 1,L, n 。
3
3 顺序统计量分布函数
n为奇数 n为偶数
设总体的分布函数 F ( x ) ， 则第 r 个顺序统计量 X ( r ) 的分布函数为
Fr ( x) = P ( X ( r ) ≤ x) = P (至少r个X i小于或等于x)
= ∑ P( X 1 , X 2 ,L, X n中恰好有j个小于x)
j =r
n i i = ∑ Cn F ( x) [1 − F ( x) ] i =r n −i
时， S n+ 记为 S + ，是符号统计量。 8 线性秩统计量： 设 X 1 , X 2 ,L X n 为样本， Ri 为 X 1 , X 2 ,L X n 中的秩。 定义 an (g) 和 cn (g) 为在1,2,L, n 上的函数，称
n
S n = ∑ cn (i )an ( Ri )
i =1
7 线性符号秩统计量
+ (g) 设 Ri+ 为 | X i | 在 X 1 , X 2 ,L, X n 中的秩，定义 an
顺序统计量公式证明
顺序统计量公式证明顺序统计量是统计学中非常重要的概念之一，它描述了一组数据中第k个最小值或第k个最大值的概念。
在实际应用中，顺序统计量常常被用于数据分析、质量控制、风险管理等领域。
为了证明顺序统计量的公式，我们需要先了解几个基本的数学概念和定理。
首先，我们需要了解什么是数学期望。
数学期望定义为随机变量取值的概率加权和。
在概率论中，数学期望是一个非常重要的概念，它描述了随机变量的平均水平。
其次，我们需要了解方差的概念。
方差是随机变量取值与数学期望的离散程度，即随机变量取值分布的散布程度。
方差越大，随机变量的取值分布越分散；方差越小，随机变量的取值分布越集中。
最后，我们需要了解协方差的概念。
协方差是两个随机变量取值之间的相关程度的度量。
如果两个随机变量取值之间的协方差为正，则它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，则它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，则它们之间没有相关关系。
在了解了上述数学概念之后，我们可以开始证明顺序统计量的公式了。
首先，我们考虑证明第k个最小值的期望公式。
我们可以将一组n个数据按照从小到大的顺序排列，那么第k个最小值的期望可以表示为：E[X(k)]。
根据数学期望的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)p(x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)p(x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)p(xk) （1）根据概率的定义，上述公式（1）可以化简为：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1+x2+…+xn-k+1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2+x3+…+xn-k+2)+…+(xk)P(X ≤xk) （2）其中，P(X≤xi)表示随机变量X小于等于xi的概率。
根据顺序统计量的定义，我们可以得到：E[X(k)] = (x1+x2+…+xn-k+1)P(X≤x1)+(x2+x3+…+xn-k+2)P(X≤x2)+…+(xk)P(X≤xk) （3）由于随机变量X的概率分布是离散的，因此P(X≤xi)对于所有的i都是相等的，等于1/n。
1-4 次序统计量
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量 它的值 x(1) 是样本 最小次序统计量， 其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个； 称为最大次序统计量 最大次序统计量， 值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。 它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？ 这件事情是否是一个玩笑？
8
思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里， 思考 ℃ 的开水里， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的 意义上，我感觉很舒服。 意义上，我感觉很舒服。
16
乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到 工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己 元 据了解，公司共有 人 工资 职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员 ； 每人 2000；10 个业务员每人 1000 。 ； 一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。 平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ， ， ， ,
2
定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
1-4 次序统计量
等于极差的四分之一。
(3). 大多数情况下，数据基本上落在“均值±2个 标准差”的区间内，否则这个数据就被认为是
异常的大或异常的小。
在绝大多数情况下，一组正常的数据基本上 落在“均值±3个标准差”的区间内。
14
例
从总体中抽取容量为6的样本，测得样本值为 32， 65， 28， 35， 30， 29，
特别，最小次序统计量X (1) 和最大次序统计量X ( n ) 的分布 密度为
f X (1) ( x) n[1 F ( x)]n1 f ( x), f X ( n ) ( x) n[ F ( x)]n1 f ( x).
5
定理 1.20
设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为
F(x)), X 1 , X 2 ,, X n 为其样本， 则次序统计量的分布 密度为 ( X (1) , X (2) ,, X ( n) ) 的联合分布密度为
n n! f ( yi ), y1 y2 yn f ( y1 , y2 ,, yn ) i 1 0, 其他
6
定理 1.21
设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为
F(x)), X 1 , X 2 ,, X n 为其样本， 则次序统计量的分布 密度为 ( X (1) , X ( n ) ) 的联合分布密度为
定理
证明
次序统计量是充分统计量。
当给定 X (1) x(1) ,, X ( n ) x( n ) 时，由于X 1 , X 2 ,, X n
1 P( X i1 x(1) ,, X in x( n) ) n!
独立同分布，所以
此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量。
3
§1.4 顺序统计量的分布
§1.4 顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为一、顺序统计量的定义当取值为时定义取值为由此得到的称为样本 定义(1)(2)()) (,,,)..n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
顺序统计量
−1 ! − !
−1
1−
−
()
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值
落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于
“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间
(x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，
100
•T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n
( X i )2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知，
n i 1
1 n
是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i
i 1
•是总体期望的充分统计量。
3、分位数
设(1) ≤ (1) ≤ ⋯ ≤ () 为取自总体 X 的
次序统计量，称 Mp为p分位数。
+1 ,
= ൞1
+
2
若不是整数
+1
,
若是整数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
25%
QL
25%
QM
② 不受极端值的影响
③ 计算公式
布，
X
0
1
2
设总体 X 的分布如下:
p
1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1
x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
顺序统计量
例2：设总体X~G l，X1,X2,…,Xn为X的样 本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。
1 1 2 ) 60 x5 (1 x3 )3 dx 0 2
y x3y (1 y ) dy 7 20( z z )dz
3 3 4
8
1
7 4 7 5 5(1 ( ) ) 4(1 ( ) ) 0.1207 8 8
四、思考
例5：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分 布，
五数概括与箱线图
次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在 得到有序样本后，容易计算如下五个值： 最小观测值 x min = x (1) ; 最大观测值 x max = x (n); 中位数 m 0.5 ; 第一 4 分位数 Q 1 = m 0.25 第三 4 分位数 Q3 = m 0.75 。 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数 据的轮廓。
X(1)
0
19/27
1
7/27
2
1/27
X(2)
0
7/27
1
13/27
2
7/27
p
X(3)
p
0
1/27
1
7/27
2
19/27
p
X(1)
其分布 各不相同
进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
0 1 2
X(2) 0 7/27 0 0 1 9/27 4/27 0 2 3/27 3/27 1/27
顺序统计量的分布函数
顺序统计量的分布函数
顺序统计量（也称为排名统计量或秩统计量）是指在一组样本数据中，根据数据的大小顺序将每个数据的位置确定下来的统计量。
例如，在一组数据{3, 5, 1, 2, 4} 中，数字3 的顺序统计量为2，因为它在数据中的第二大。
顺序统计量的分布函数（也称为秩分布函数）是描述顺序统计量分布的函数。
对于一组数据，顺序统计量的分布函数F(x) 表示小于等于x 的顺序统计量的数量。
例如，对于数据{3, 5, 1, 2, 4}，顺序统计量的分布函数为：
F(1) = 1
F(2) = 3
F(3) = 4
F(4) = 5
F(5) = 5
这表示，小于等于1 的顺序统计量有1 个（即数字1），小于等于2 的顺序统计量有3 个（即数字1、2 和3），以此类推。
顺序统计量的分布函数在统计学中被广泛使用，特别是在分析数据的稳定性和分布特征时。
它可以帮助我们了解数据的分布情况，并为进一步的统计分析提供基础。
顺序统计量的分布
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
§2-3 顺序统计量,经验分布函数
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（4）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则最小顺序统计量X
(1) 和最大顺序统计量
X (n)的概率密度函数分别为
n 1
f 1 ( x ) nf ( x )[1 F ( x )]
f n ( x ) nf ( x )[ F ( x )]n 1
的概率密度函数 f ( x ) 。
三． 直方图
回顾：概率密度的物理解释
连续型随机变量 X 落入区间 (x, x + x ]的概率:
P{ x < X x+x } = F(x+x) - F(x) 连续型随机变量落入区间(x, x + x ]的平均概率密度:
P{x X x x} F ( x x ) F ( x ) x x 连续型随机变量 X 在 X=x 的概率密度: P{x X x x} F ( x x ) F ( x ) F ' ( x) f ( x) Lim Lim x 0 x 0 x x
n为 奇 数 X n 1 ( ) 2 1 ( X n X n ) n为 偶 数 ( ) ( 1) 2 2 2
极差 Rn = X (n) －X (1)
样本中位数 m0.5
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（1）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则任意两个顺序统计 量X (i), X (j) （１≤ i < j ≤ n ）的联合概率密度函数为
n! f i , j ( x, y ) (i 1)! ( j i 1)! ( n j )! [ F ( x )]i 1 [ F ( y ) F ( x )] j i 1 [1 F ( y )] n j f ( x ) f ( y ) ( x y)
§1.4顺序统计量的分布（发）
第四节顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (5.4.1 ,,,),(,,,)(,,),(1,2,,), (,,,)( ,,,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序一、顺序统计量的定义定重新排列为当取值为时定义取值为由此得到的称为样本义(1)(2)()) (,,,)..n n x x x 顺序的对应的成统量为其计观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
全部次序统计量联合概率密度函数
全部次序统计量联合概率密度函数全部次序统计量联合概率密度函数是概率论和数理统计领域中的一项重要研究内容。
这个概念在物理、金融、生物以及其他学科中应用广泛，是很多问题的理论基础。
本文将介绍全部次序统计量联合概率密度函数的定义及性质，以及其在实际中的应用。
首先，我们来解释什么是次序统计量。
在一个有序样本中，第k个最小值被称为第k个次序统计量。
例如，一个由值为{2, 4, 6, 8}的样本所组成的有序序列，第3个次序统计量是6。
这个概念在统计领域中非常重要，因为对于样本中的每个次序统计量，我们可以推断出整个样本的性质。
接下来，我们将介绍全部次序统计量联合概率密度函数的定义。
假设我们有一个样本，它包含n个数字。
全部次序统计量联合概率密度函数是描述该样本所有次序统计量（第1个到第n个）的概率密度函数。
该函数可以表示为：f(x₁, x₂, …, xn) = n! / (p1! p2! … pn!)(F(x₁) - 0)(F(x₂) - F(x₁)) … (F(xn) - F(xn-1))(1 - F(xn))其中p1, p2, …, pn 表示每个次序统计量的出现次数，F(x)是样本的累积分布函数，n是样本总数。
该公式表示的是样本中每个次序统计量的出现概率。
次序统计量的出现与先后次序无关，两个不同次序统计量取值一样的具体情况在导出概率密度函数时需要将概率加起来。
我们可以看到，它是由每个次序统计量发生的概率相乘组成的。
其中的n！表示n个不同元素的全排列；p1! p2! … pn!表示具有相同值的次序统计量的重复出现所产生的影响。
在这个公式中，累积分布函数F(x)可以根据样本中所有数据的值计算得到。
虽然公式相对复杂，但是它提供了一个有用的方式来估计概率分布，同时也有助于对样本数据进行分析和建模。
下面是全部次序统计量联合概率密度函数的一些性质：1.对于一个具有多重对称性的分布，存在某些次序统计量与其他次序统计量具有相同的概率密度函数，因此它们在联合概率密度函数中应该计算在一起。
次序统计量理论及应用
顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。
经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
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舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮
随机过程讲义
(内部交流)
目 录
目 录
1 Poisson 过程 舱舮舱 定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舲 另一个等价定义 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳 艐良艩艳艳良艮过程的其它性质 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳舮舱 顺序统计量 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舳舮舲 过程的稀疏 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴 复合艐良艩艳艳良艮过程及应用 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴舮舱 复合艐良艩艳艳良艮过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舴舮舲 复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用 舱舮舵 艐良艩艳艳良艮 过程的其它扩展 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舱 非齐次 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舲 条件 艐良艩艳艳良艮 过程 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舱舮舵舮舳 艐良艩艳艳良艮 随机测度 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 2 离散时间马氏链 舲舮舱 定义与例 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舲 状态分类 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舲舮舱 状态空间的分解 舮 舲舮舲舮舲 状态的常返 舮 舮 舮 舲舮舲舮舳 状态的周期性 舮 舮 舲舮舳 不变测度和平稳分布 舮 舮 舲舮舴 极限定理 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舲舮舴舮舱 极限分布 舮 舮 舮 舮 舲舮舴舮舲 比率定理 舮 舮 舮 舮 舲舮舵 一些例子 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 舮 1 舱 舳 舵 舵 舶 舷 舷 舸 舱舰 舱舰 舱舰 舱舱 12 舱舲 舱舴 舱舴 舱舵 舲舰 舲舰 舲舳 舲舳 舲舶 舲舷 33 舳舳 舳舳 舳舵 舳舶 舳船 舴舳 舴舶 舴舸
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PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
0，若x 0， x F ( x ) ，若x [0,2]， 2 1，若x 2．
因此，由(1)知，对于任意 x [0,2]，有
k n k
k x x P Fn ( x ) Ck 1 ( k 0,1,, n )， n n 2 2 x x x EFn ( x ) , DFn ( x ) 1 ； 2 2n 2
(4) 定理（格里纹科定理）
P{sup | Fn ( x ) F ( x ) | 0} 1
格里纹科定理表明：当n 相当大时，经验分布函数是 总体分布函数F (x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切 统计推断都以样本为依据，其理由就在于此。
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1.3 顺序统计量
例 4
X ( n ) maxX 1 , X 2 , , X n ，
求 X(1)的分布函数 F(1) ( x ) ，X(n)的分布函数 F( n ) ( x ) ， 以及 X(1)和 X(n)的联合分布函数 F ( u, v ) ． 先求 F(1) ( x ) ．对于任意 x ，有
F(1) ( x ) PX (1) x 1 PX (1) x 1 Pmin X 1 , X 2 , , X n x 1 PX 1 x , X 2 x , , X n x 1 PX 1 xPX 2 x PX n x 1 [1 F ( x )]n .
例 3 设母体 有密度函数
0 x1 2 x, f ( x) 其他 0, 并且 (1) (2) (3) (4) 为从 取出的容量为 4 的样本
的次序统计量。求 ( 3 ) 的密度函数 g3( x)和分布函数 G3 ( x) ，
1 并且计算概率 P(( 3) ) 。 2
求 F( n ) ( x ) ．对于任意 x ，有
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1.3 顺序统计量
F( n ) ( x ) PX ( n ) x Pmax X 1 , X 2 ,, X n x PX 1 x , X 2 x ,, X n x PX 1 xPX 2 x PX n x [ F ( x )]n .
X ( 1)
P
0 19/27
1 7/27
2 1/27
X ( 2)
P
0 7/27
1 13/27
2 7/27
X ( 3)
P
0 1/27
1 7/27
2 19/27
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1.3 顺序统计量
解2
P
P
P P
P P
P P
33 23 17 X (1) 1 27 27 3 3 2 1 7 X (1) 2 27 27 1 X (1) 3 27 1 X (3) 1 27 23 13 7 X ( 3) 2 27 27 33 2 3 17 X ( 3) 2 27 27 2 3 1 7 X ( 2) 0 27 27 2 3 1 7 X ( 2) 2 27 27
P Fn ( x )
k k k nk ( k 0,1,, n) ； Cn [ F ( x )] [1 F ( x )] n
1 F ( x )[1 F ( x )]． n (2) 对于给定的样本值 ( x1 , x2 , , xn ) ， Fn ( x ) 是一普通的分 EFn ( x ) F ( x ), DFn ( x )
二、 经验分布函数
定义
设 x1 , x 2 , , x n 是取自总体分布函数为 F(x) 的样
本 ， 若 将 样 本 观 测 值 由 小 到 大 进 行 排 列 , 为
x (1) x ( 2 ) x ( n ) ，则称 x ( 1 ) , x ( 2 ) , , x ( n )
P X ( 2) 1 1 P X ( 2) 0 P X ( 2) 2
13 27
我们可以清楚地看到这三个次序统计量的分布是不相 同的。 进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布， 如，X(1) 和 X(2) 的联合分布列为
X(2) X(1)
解 母体 的分布函数为
0, F (x) x2, 1,
由公式得出 ( 3 ) 的密度函数
x0 0 x1 x1
g 3 (y)=
=
4! [ F ( y )]2 [1 F ( y )]4 3 f ( y ) 2!(4 3)!
4! 2 2 [ y ] [1 y 2 ]2 y 2! 5 2 = 24 y [1 y ]
X3 0 1 2 0 1 2 0 1 2
X1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X2 0 0 0 1 1 1 2 2 2
X3 0 1 2 0 1 2 0 1 2
X1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
X2 0 0 0 1 1 1 2 2 2
X3 0 1 2 0 1 2 0 1 2
X ( 1) , X ( 2 ) , X ( 3 ) 分布列如下
X 1 , X 2 ,, X n 为样本， 则第 k 个次序统计量 X(k)的密度函数为
f k ( x)
n! [ F ( x ) k 1 ][1 F ( x )]n k f ( x ) ( k 1)!( n k )!
例 2 见 P8 例 1.3.1
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1.3 顺序统计量
二、直方图 （见教材）
样本数据的整理是统计研究的基础， 整理数据的最常用方 法之一是给出其频数分布表或频率分布表，其基本步骤是： 1、对样本进行分组：首先确定组数 k，作为一般性原则， 组数通常在 5-20 个。对容量较小的样本，通常将其分为 5 组或 6 组，容量为 100 左右的样本可分 7 到 10 组，容量在 200 左右的样本可分 9~13 组， 容量为 300 左右级以上的样本 可分 12 到 20 组。 2、确定每组组距：每组组距可以相同也可以不同。但实 际中常选用长度相同的区间，以 d 表示组距。 3、确定每组组限。 4、统计样本数据落入每个区间的个数——频数，并列出 其频数频率分布表。 具体例子略。 直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变
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1.3 顺序统计量
0 , 若 x 1; 3 8 , 若1 x 1.5; 4 8 , 若1.5 x 2; F8 ( x ) 6 8 , 若2 x 3.5; 7 8 , 若3 .5 x 5 1 , 若x 5.
序样本，用有序样本定义如下函数
为有
0, x x(1) k Fn ( x ) , x( k ) x x( k 1) , k 1,2, , n 1 n 1, x x( n )
称为经验分布函数。 则 Fn ( x ) 是 一 非 减 右 连 续 函 数 ， 且 满 足 Fn ( ) 0 和
0 y1
对于 y 的其他值 g3 y 0 。分布函数为
0, 6 G 3 ( y ) y ( 4 3 y 2 ), 1, y0 0 y1 y1
而概率
第 6 页 共 1 1 243 P（ ( 3 ) > ）=1- G3 ( ) =1-( ) 6 [4-3( 1 ) 2 ]= 2 2 2 256 2
X n 1 , n奇数 ( ) 2 ~ X 1 , n偶数 X X n n ( ) ( 1 ) 2 2 2
总体 X 的分布为 F ( x ) ，X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的 样本； X (1 ) minX 1 , X 2 , , X n ，
例 1 设总体 X 的分布为仅取 0，1，2 的离散均匀分布， 分布列为