数学人教版九年级下册28.1锐角三角函数作业.1锐角三角函数作业
九年级数学下册第28章锐角三角函数28-1锐角三角函数3特殊角的三角函数值新版新人教版
5 [2023·枣庄]如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具， 它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端 悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打 满水以后，由于杠杆末端的重力作用， 便能轻易把水提升至所需处，
若已知：杠杆 AB＝6 米，AO∶OB＝2∶1，支架 OM⊥ EF，OM＝3 米，AB 可以绕着点 O 自由旋转，当点 A 旋 转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点 B 到水平地 面 EF 的距离为_(_3_＋___2_)_米．(结果保留根号)
第28章 锐角三角函数
28.1.3 特殊角的三角函数值
1 [2023·天津]sin 45°＋ 22的值等于( B ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
2 [2023·深圳]爬坡时坡面与水平面夹角为 α，则每爬 1 m
耗能(1.025－cos α)J，如图，若某人爬了 1 000 m，该坡
角为 30°，则他耗能( )
sin A＝ac，cos B＝ac，tan A＝ab，故 A 不一定成立； sin2 A＋cos2 A＝ac2＋bc2＝cc22＝1，故 B 一定成立； sin2 A＋sin2 B＝ac2＋bc2＝cc22＝1，故 C 一定成立；
tan A·tan B＝ab·ba＝1，故 D 一定成立． 【答案】A
C．锐角三角形 D．不能确定
9 (母题：教材 P70 习题 T10) 在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，
下列式子不一定成立的是( )
A．tan
A＝csions
A B
C．sin2 A＋sin2 B＝1
B．sin2 A＋cos2 A＝1 D．tan A·tan B＝1
【点拨】 设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，则
28.1锐角三角函数(1)精选
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边
b
C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
当∠A＝定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
∠A＝∠A‘＝ ，那么
B
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
C.不变
B 3.如图 A 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300 7
练习 如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB， 图中sinB可由哪两条线段比求得。
B B 3 5 A
试着完成图（2）
13
C
4 C A
(1)
(2)
解：如图（），在RtABC中， 1 AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， B sin . AB 5 AB 5
练一练
1.判断对错:
BC √ 1) 如图 (1) sinA= （ ） AB
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。
【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒． 故选：C ． 【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD， 则535x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是()535m -； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ， 则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得． 【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ． 【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =， 解得，AC ＝33， 由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米， 在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=， 解得，3x =（米)，故选：B ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论． 【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1） 故选D ． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可． 【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3． 故答案为：3或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
人教版九年级下册数学：第二十八章《能力测试题含答案不全
人教版九年级下册数学：第二十八章《能力测试题《28.1 锐角三角函数》一、基础题1．如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosB 的值是( ) A.45 B.34 C.35 D.432．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为( ) A.12 B.32 C.55 D.2553．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则cosB 的值为( )A.74 B.35 C.34 D.454．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB ＝( )A.35B.45C.34D.43 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( ) A ．扩大2倍 B ．缩小12C ．不变D ．无法确定6．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则sinA 的值是( )A.512B.125C.513D.12137．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2a ＝3c ，则∠A 的正弦值等于 ．8．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sinA 和sinB 的值．9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝1213，AB ＝26，求△ABC 的周长．二、提升题10．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( )A.12B.55C.1010D.255 11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( )A.34B.43C.35D.4512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，求BC 的长度．13．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD的面积．14．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求cosP 的值．28.2 解直角三角形及其应用（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在中，，，，则边长为（）A. B. C.或 D.或2. 如图，，，，，则A. B. C. D.3. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，海轮所在的处与灯塔的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里4. 如图，在高为，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A. B. C. D.5. 在离电视塔的处，测得塔顶仰角为，若测角仪高度为，则电视塔高为（）A. B. C. D.6. 如图，沿方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在上取一点，使，，，要使，，成一直线，那么开挖点离点的距离为（）A. B. C. D.7. 如图，在中，，，，则A. B. C. D.8. 如图是一长为米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为米，最深处为米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A. B. C. D.9. 在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿北偏西方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为A. B. C. D.10. 如图，等腰的底角为，底边上的高，则腰、的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在中，，，，那么________度．12. 小明同学从地出发沿北偏东的方向到地，再由地沿南偏西的方向到地，则________．13.在中，，，若，则的长度为________．14. 如图，岛在岛的北偏东，岛在岛的北偏西方向，且为海里，为海里，则________．15. 在中，，为边上的高，，则线段的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离出发点的水平距离为________．17. 如图，，之间是一座山，一条高速公路要通过，两点，在地测得公路走向是北偏西．如果，两地同时开工，那么在地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设，，为射线上一点，于，于，则等于________ （用、的三角函数表示）19. 如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为________（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌．小明在山坡的底部处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡垂直于视线，米，米，则这块宣传牌的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口出发以∕的速度向正东方向航行，后到港口，又从港口以同样的速度后航行到港口，此时在处测得港口位于港口的南偏西方向上，求该艘轮船以∕的速度返回到港口所需的时间．（精确到，参考数据：，，，，，）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在处观测对岸点，测得＝，小英同学在距处米远的处测得＝，请你根据这些数据算出河宽．（精确到米，参考数据，）23. 如图，一幢居民楼临近山坡，山坡的坡度为，小亮在距山坡坡脚处测得楼顶的仰角为，当从处沿坡面行走米到达处时，测得楼顶的仰角刚好为，点，，在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，＝米，＝米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，）25. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图所示，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．（1）如图中，当于时，测得，求此时支撑臂的长．（2）在图中，当不垂直时，测得，求此时的长（结果保留根号）．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵，∴，当为钝角三角形时，如图，∵，，∴，∵，∴由勾股定理得，∴；当为锐角三角形时，如图，，故选．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，，∴．∵，∴是直角三角形．∴．故选．3.【答案】A【解答】解：过点作于点．在中，∵海里，，∴海里．在中，∵海里，，∴海里．即海轮所在的处与灯塔的距离为海里．故选：．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为，在中，，，．∵，∴．∴．故选．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在中，，，则，即，又因为，则．故选．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，，，∴要使，，成一直线，则，∴，故选．7.【答案】B【解答】解：作于点．由题意知，∵，∴，∵，∴．∵，∴．∴．故选．8.【答案】B解：因为水平距离为米，则底面的坡度为．故选．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，，，，．∵，∴又∵，∴．∴是直角三角形．又∵，∴．∴．∴．故选．10.C【解答】解：∵等腰的底角为，底边上的高，∴．故选．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：在中，∵，，，∴，∴，∴（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：．12.【答案】【解答】解：如图：由题意知，，，∴.故答案为： .13.【答案】【解答】解：∵，∴，∵，∴；故答案为：．14.【答案】【解答】解：过点作，∵岛在岛的北偏东，岛在岛的北偏西方向，，，∴，，∴，∴，∵为海里，为海里，∴海里，∴．故答案为：．15.【答案】或【解答】解：①如图，是锐角三角形时，∵，，∴是等边三角形，∴，②是钝角三角形时，∵，∴，∵，∴，∴，综上所述，线段的长为或．故答案为：或．16.【答案】【解答】解：∵米，．∴设，，由勾股定理得，，即，解得，∴，米．故答案为．17.【答案】北偏东【解答】解：在地按北偏东施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵指北方向相互平行，、两地公路走向形成一条直线，∴这样就构成了一对同旁内角，∴，（两直线平行，同旁内角互补），∴可得在地按北偏东施工．故答案为：北偏东.18.【答案】【解答】解：∵于，于，∴，∴，，∴．故答案为：．19.【答案】【解答】∵在点处测得塔顶的仰角为，∴，∵，∴，20.【答案】米【解答】解：过作，交的延长线于，作于．中，∵，，∴，，∴．在中，∵，，∴．中，∵，，，∴，∴．答：宣传牌高约米．故答案为米．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵，．根据勾股定理可以得出：，，在以上式子中，设为，那么，设为，又因为，所以，根据以上设定可列出如下方程组：，∴．以轮船的速度从返回，所需的时间为：小时．【解答】解：∵，．根据勾股定理可以得出：，，在以上式子中，设为，那么，设为，又因为，所以，根据以上设定可列出如下方程组：，∴．以轮船的速度从返回，所需的时间为：小时．22.【答案】河宽为米．【解答】过作于，设＝米，在中：＝，＝＝在中：＝，，∴＝解之得：＝．23.【答案】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，即，解得，∴（米）．【解答】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，即，解得，∴（米）．24【答案】宣传牌高约米．【解答】过作于，，由（1）得：＝，＝，∴＝＝，中，＝，∴＝＝．中，＝，＝，∴＝．∴＝＝．答：宣传牌高约米．25.【答案】解：（1）在中，∵，，∴，∴；∴此时支撑臂的长为；（2）如图，过点作于点，当时，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为或．【解答】解：（1）在中，∵，，∴，∴；∴此时支撑臂的长为；（2）如图，过点作于点，当时，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为或．。
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》基础强化训练 含答案
word 版数学初中人教版 2021 年九年级下册 28.1《锐角三角函数》基础强化训练一．选择题1．cos30°的值是（ ）A．1B．C．D．2．式子 2cos30°﹣tan45°的值是（ ）A．1﹣B．0C． ﹣1D． ﹣3．计算：sin60°•tan30°＝（ ）A．1B．C．D．24．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么 sinA 的值为（ ）A．B．C．D．5．在△ ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝8，AC＝6，则 cosA 的值为（ ）A．B．C．D．6．在 Rt△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则 tanA 的值为（ ）A．B．C．D．7．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ，则 sinA＝（ ）A．B．C．D．8．已知 cosα＝ ，则锐角 α 的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°9．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 sinB 的值为（ ）A．B．C．D．1/8word 版数学初中10．如图，在 Rt△ ABC 中，∠A＝90°，sinB＝ ，AC＝2，则 BC 长为（ ）A．2B．4C．6二．填空题11．比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．12．计算：2sin30°﹣tan45°＝．13．已知 sinα＝ （α 为锐角），则 tanα＝．14．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，若 tanA＝ ，则 cosB 的值是15．在△ ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝6，则 AC 的长为三．解答题 16．计算：D．8． ．17．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣2+．18．计算：．2/8word 版数学19．计算： （1）2sin30°一 3tan45°•sin45°+4cos60° （2）初中+cos45°•sin60°20．设 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，若 b＝6，c＝10， 求 sinA、cosA 和 tanA．21．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝2，求 AB 的长．22．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边． （1）已知 c＝2 ，b＝ ，求∠B； （2）已知 c＝12，sinA＝ ，求 b．3/8word 版数学参考答案一．选择题1．解：cos30°＝ ．故选：B．2．解：2cos30°﹣tan45°＝2× ﹣1＝ ﹣1，故选：C．3．解：sin60°•tan30°＝ × ＝ ．故选：B．4．解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 sinA＝ ＝ ，故选：A． 5．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，则 cosA＝ ＝ ＝，故选：D． 6．解：在 Rt△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则 tanA＝ ＝ ， 故选：D． 7．解：∵sin2A+cos2A＝1，即 sin2A+（ ）2＝1， ∴sin2A＝ ，4/8初中word 版数学∴sinA＝ 或﹣ （舍去），∴sinA＝ ．故选：C． 8．解：∵cos30°＝ ，cos45°＝ ，∵ ＜＜ ，∴30°＜α＜45°，故选：B．9．解：∵Rt△ ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，∴cosA＝＝＝ ，∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝ ．故选：A． 10．解：在 Rt△ ABC 中，∠A＝90°，sinB＝ ，则 ＝，解得，BC＝6，故选：C．二．填空题11．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案为＜． 12．解：原式＝2× ﹣1＝0．13．解：∵sin2α+cos2α＝1，5/8初中word 版∴cosα＝＝，数学∴tanα＝＝ ＝，故答案为： ． 14．解：如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝ ，∴ ＝， 设 BC＝3x，AC＝4x，故 AB＝5x， 则 cosB＝ ＝ ＝ ． 故答案是： ．15．解：∵sinA＝ ＝ ，BC＝6，∴AB＝8， ∴BC＝＝＝＝2 ，故答案为：2 ．三．解答题16．解：原式＝ × +2﹣1＝ +1＝2+16/8初中word 版数学＝3．17．解：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣2+，＝|2﹣ |﹣1+4+ ，＝2﹣ ﹣1+4+ ，＝5．18．解：原式＝＝．19．解：（1）2sin30°一 3tan45°•sin45°+4cos60°＝2× ﹣3×1× +4×＝1﹣ +2＝3﹣ ；（2）+cos45°•sin60°初中＝+×＝+＝﹣ +＝．20．解：如图所示：∵Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，b＝6，c＝10，∴a＝＝8，∴sinA＝ ＝ ＝ ；cosA＝ ＝ ＝ ；tanA＝ ＝ ＝ ．7/8word 版数学21．解：∵在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°， ∴tanA＝ ＝ ．∵BC＝2， ∴ ＝ ，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．22．解：（1）∵sinB＝ ＝＝，∴∠B＝45°； （2）∵c＝12，sinA＝ ＝ ，∴a＝4， ∴b＝＝8 ，初中8/8。
《28.1 锐角三角函数》作业设计方案-初中数学人教版12九年级下册
《锐角三角函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 学生对锐角三角函数的基本概念有深入理解；2. 掌握三角函数在直角三角形中的基本应用；3. 培养学生对三角函数的应用能力，能够解决实际问题。
二、作业内容：1. 基础概念理解：a. 学生自行收集一些锐角三角形，并测量其中的角度和边长；b. 分析这些数据，尝试解释其中的数学规律，如高度与斜边、水平距离与直角边之间的关系；c. 总结锐角三角形的三个函数（正弦、余弦、正切）的含义和应用。
2. 应用练习：a. 给学生提供一些实际问题的场景，如建筑工地需要确定塔吊的高度，如何利用三角函数求解；b. 学生根据所学知识，尝试解决这些问题，并记录解题过程；c. 学生之间可以相互讨论，分享解题方法和思路。
3. 拓展思考：a. 给出一些复杂场景，如两个建筑物的高度差、角度差等，让学生尝试用三角函数进行求解；b. 引导学生思考三角函数在现实生活中可能的应用场景，如导航、地震监测等。
三、作业要求：1. 独立完成：作业需学生独立完成，不能依赖他人；2. 记录过程：学生需记录解题过程和思路，以便教师检查；3. 答案正确：学生需确保答案的正确性，如有疑问，可与同学讨论或请教老师。
四、作业评价：1. 答案正确性：学生提交的答案应符合数学逻辑，不应有明显错误；2. 解题思路：学生应能清晰地表达解题思路，说明三角函数在解决实际问题中的应用；3. 完成情况：学生应能按时完成作业，并认真对待每一项任务。
如有特殊情况，需向老师说明。
五、作业反馈：1. 教师对学生的作业进行批改，指出学生存在的问题和不足，给予针对性的建议和指导；2. 学生对教师的批改和建议进行反思，总结自己在作业中存在的问题，及时调整学习策略；3. 鼓励学生之间相互交流、学习，共同提高三角函数的学习效果。
通过本次作业，学生能够深入理解锐角三角函数的基本概念，掌握三角函数在直角三角形中的基本应用，培养学生对三角函数的应用能力，从而能够解决实际问题。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元复习卷(含解析)
人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数 单元复习卷一、单选题1．如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是()A ．74cmB ．64cmC ．54cmD ．44cm2．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA 的值是( )A B C D 3．如图所示，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥．若4PC =，则PD 的值为( )A ．1.5B ．4C ．2D ．14．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）A ．1813B ．139C ．32D ．25．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（ ）A ．35B ．53C ．45D ．346．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（ ）．A ．15B ．13C D 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果1sin 3A =，那么sinB 的值是( )A B ．C D ．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝kx 交于点C （4，n ），则tan ∠OCB 的值为（ ）A ．13B C D ．389．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<10．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝_____．13．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，则AC 的长为_______．16．在Rt ABC 中，190,cos 2C A ︒∠==，那么A ∠的度数是___________.17．取一张边长为4的正方形纸折五角星．操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD 对角线的交点O ，将纸片折叠，使得点H 与点O 重合，折痕为EF ，再将四边形EFOG 折叠，使得EF 与FO 重合；③最后再将∠CFO 沿着FO 折叠，得到图5，沿图中虚线PM 剪一刀．展开得图6．（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°．小黄同学提出了质疑！若已知．请求出sin ∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的．18．如图一，矩形纸片ABCD 中，已知:5:3AB BC =，先按图二操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则的余弦值________．HAF19．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝__．三、解答题20．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y ⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．22．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．24．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．25．如图，甲船在A处发现乙船在北偏东的60 的B处，如果此时乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．26．苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：a________，b=________；（1）统计表=（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，A 、B 是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问A 、B 同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．区域频数频率宿迁4a 连云港70.175淮安b0.2徐州100.25盐城120.27527．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1．6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0．8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）28．当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．（1）如图1，墙角O ∠=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB 的长度．（2）如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．（3）如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．答案第1页，共26页参考答案：1．B 【解析】【分析】首先过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N ，再利用三角函数计算AM 和BN ，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N54AC BD cm ＝＝30ACP BDQ ︒∠=∠=MC ND =∴ AMC BDN∆≅∆1sin 3054272AM BN AC ︒∴===⨯= 所以2271064MN =⨯+= 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM 的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.2．D 【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC 的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图：，由勾股定理，得由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA=AD AC 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．3．C【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得15OPC AOP ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得30OP C BO E C P P ∠+∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质可得122PE PC ==，最后根据角平分线的性质即可得．【详解】如图，过点P 作PE OB ⊥于点E ，,15//AOP BO PC O P A ∠︒∠== ，15OPC AOP ∠∴∠==︒，30OPC BO PCE P ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CEP △中，114222PE PC ==⨯=，又15AOP BOP ∠︒∠== ，PE OB ⊥，PD OA ⊥，2PD PE ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=23x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=23 x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（23x）2，解得：x=1813或0（舍），则该菱形的宽是18 13，故选A．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．A【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.6．D【解析】【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC =BC ＝2，AB =∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sin A=13，∴cos A，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.8．A【解析】【分析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为（4，-4），过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【详解】过B 作BE ⊥直线OC 交于点E由题意可得，点A 坐标为（2,0）点B 坐标为（0,4）把C 点横坐标代入直线y=-2x+4，可得y=-4故点C 坐标为（4，-4）∴直线OC ：y=-x∴∠EOB=45°，即△OEB 是等腰直角三角形∵在△OEB 中，OB=4，∴同理可得∴∴tan ∠OCB=BE EC 13故正确答案为A【点睛】此题主要考查两点距离和三角函数，三角函数一定要构造出直角三角形，找出对应边的长度是解题关键9．C【解析】【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45︒∴0<sin α,选项A 正确，不合题意；B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，D ．sin 45︒cos 45︒cos αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．10．A【解析】【详解】试题分析：仔细分析各选项中格点三角形的特征即可作出判断.仔细分析图形特征可得A 不是直角三角形，B 、C 、D 均为直角三角形，故选A.考点：格点三角形的特征点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握格点中互相垂直的线段的特征，即可完成.11．513【解析】【分析】根据三角函数的定义解答．【详解】如图作PA ⊥x 轴，垂足为A ．OP 13=，cos ∠POA =513．故答案为513．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．12．1517【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，∴AC 15==，∴sin B ＝1517AC AB =．故答案为：1517．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．+【解析】【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒ ，30AB =，AE BE ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒ ，CE ∴=∴=+=AC AE CE∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．14．135【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=，所以在Rt△ACD中，CD= ．考点：解直角三角形的应用．15【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．∵∠C=90°，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16．60【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵∠C=90°，cos A12=，∴∠A=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．17．18 3 5【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得到∠ABC=2∠MPN，即可求解；（2）过点O作OM⊥BC于点M，设OF=FH=x，BM=k，则MH=3k，利用勾股定理求得x=53k，求得∠OFC的正弦函数即可比较得出结论．【详解】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，∴∠MPN=36°÷2=18°；（2）过点O作OM⊥BC于点M，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB ．设OF=FH=x ，BM=k ，则MH=3k ，在Rt △OFM 中，OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x ，∴222OM MF OF +=，即()2223k x k x +-=，整理得：6kx=10k 2，∴x=53k ，∴3553OM k sin OFC OF k ∠===，∵，35≠，∴∠OFC≠36°．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，正弦函数等，作出常用辅助线构建直角三角形是解题的关键．18【解析】【分析】设AB =5，BC =3，根据折叠的性质，结合勾股定理求出AH ，过H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，解直角三角形AHF ，求出AM ，最后根据余弦的定义计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ：BC =5：3，设AB =5，BC =3，由折叠可知：AD =AE =BC =DF =3，FH =FC =2，则EH =EF -HF =3-2=1，∴AH又AF =H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，设AM =x ，则MF =x ，则2222AH AM HF MF -=-，即()22222x x -=-，解得：x =AM =∴cos ∠HAF =AM AH ，．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．19【解析】【分析】过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，根据正方形的性质可得CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，从而得到AD ＝4，BE ＝6，再由勾股定理可得AB ＝10，AF ＝BF ＝，然后设BG ＝x ，再由勾股定理FG ＝2，即可求解．【详解】解：过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，∵四边形CDFE 是边长为2的正方形，∴CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AD ＝4，BE ＝6，∴AB 10，AF ＝BF ，设BG ＝x ，∵FG 2＝AF 2﹣AG 2＝BF 2﹣BG 2，∴（2﹣（10﹣x ）2＝（）2﹣x 2，解得：x ＝6，∴FG 2，∴sin ∠FBA ＝FG BF【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．20．6.2．【解析】【分析】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，可得四边形ABDM 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为23°，在△ACM 中求出CM 的长度，然后在Rt △CDE 中求出CE 的长度．【详解】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，则四边形ABDM 为矩形，AM=BD=6米，在Rt △ACM 中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan ∠，∴CD=（米），在Rt △CDE 中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴≈6.2（米）．21．（1）① 90&#ξΦ0B0;，60&#ξΦ0B0;；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3）113C x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P 关于⊙O 的“视角”是指从点P 引出两条射线，当两条射线和⊙O 相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P 关于⊙O 的“视角”；直线l 关于⊙O 的“视角”是指当直线l 与⊙O 相离时，直线l 上的点Q 距离圆心O 最近时，点Q 关于⊙O 的“视角”就是直线l 关于⊙O 的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°，则说明在直线l 上存在一点P 距离点C 最近，且点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则此时点P 是l 与以点C 为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，PE ⊥x 轴于点E ，由已知分析可得DP=DH=∠PDE=60°，在△PDE 中可求得DE 和PE 的长，得到点P 的坐标，把P 、D 的坐标代入直线l 的解析式可求得k 的值；②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC 的长，可得点C 的坐标；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，由已知条件可求得OC 的长，可得此时点C 的坐标；综合起来可得C x 的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），-+=.∴()1k b0∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.设点P在直线l上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥x轴于点H，PE⊥x轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D 的坐标为(1 0)，-，∴DH =．∴tan ∠CDH=CH DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PD ⋅PE= PD ⋅sin60°=3，∴1，∴点P 的坐标（13）．把点P 的坐标代入l : y kx k =+-，解得： k ．②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=1=cos30 =AC=4cos303PC = ，∴OC=AC-OA=13，∴此时C x =13；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，连接CP ，∵在△ABO 中，AO=1，，∴tan ∠BAO=BO AO=∴∠BAO=60°，∴AC=sin 60PC∴1，∴此时C x 1，综上所述，C x 的取值范围为：113c x -<<.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.22．23米【解析】【分析】根据锐角三角函数求得线段AE ，从而求得旗杆AB 的高度．【详解】解：在Rt △ADE 中，∵ tan ∠ADE ＝AE DE，∠ADE ＝54°，∴ tan 15 1.3820.7AE DE ADE ≈=⨯⋅∠=又∵ 1.8BE CD ＝＝，∴ 20.7 1.822.523AB AE BE =+=+=≈答：旗杆AB 的高度约为23 m ．【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键．23．（1）∠CBD 与∠CEB 相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠． 【解析】【详解】试题分析：（1）由AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD ，结合∠A=∠CEB 即可得到∠CBD=∠CEB ；（2）由∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，可得∠EBC=∠BDC ，从而可得△EBC ∽△BDC ，再由相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=2x ，结合BC=32AB ，AB 是直径，可得BC=3x ，OB=OD=x ，再结合∠ABC=90°，可得x ，CD=-1）x ；由AO=DO ，可得∠CDF=∠A=∠DBF ，从而可得△DCF ∽△BCD ，由此可得：CD DF BC BD =，这样即可得到tan ∠CDF=tan ∠DBF=DF BD .试题解析：（1）∠CBD 与∠CEB 相等，理由如下：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠CBD=∠BAD ，∵∠BAD=∠CEB ，∴∠CEB=∠CBD ，（2）∵∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，∴∠EBC=∠BDC ，∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD BE BC=；（3）设AB=2x ，∵BC=32AB ，AB 是直径，∴BC=3x ，OB=OD=x ，∵∠ABC=90°，∴x ，∴CD=）x ，∵AO=DO ，∴∠CDF=∠A=∠DBF ，∴△DCF ∽△BCD ，∴CD DF BC BD =∵tan ∠DBF=DF BD∴tan ∠点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF ，把求tan ∠CDF 转化为求tan ∠DBF=DF BD；（2）通过证△DCF ∽△BCD ，得到DF CD BD BC =.24．（1）（2）60-海里．【解析】【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD ∆中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD 30=︒，BC=120则DC=60故60cos30DC AC AC ︒===解得：AC=答：此时点A 到军港C 的距离为（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N可得∠1=30︒，∠BA ＇A=45︒则∠2=15︒，即A ＇B 平分∠CBA设AA ＇=x ，则A ＇故CA ＇=2A ＇N=2x =x +=∴x 60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．25．北偏东30【解析】【分析】构建两个直角三角形后，令BD=x ，则AB=2x ，；BC=a ，则．在RT △ACD 中运用勾股定理可求出a 和x 之间的关系，从而得到AB=BC ，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．【详解】设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，∴∠ADB=90 ，∠BAD=30∴AB=2BD，由勾股定理得：AD，∵乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船的速度是/小时，∴设BC=a,则AC a，又在Rt△ABD中,令BD=x,则AB=2x,AD，又∵在Rt△ADC中,2AC=22AD DCa (舍负)，∴x=2又在Rt△ABD中，AB=2x，∴AB=a，∴AB=BC，∴∠C=∠CAB，∴∠ABD=∠C+∠CAB，∴∠ABD=2∠C.∵∠ABD=60∴∠C=30∴∠CAD =60∴这时甲船应朝北偏东30 方向行驶，才能最快追上乙船．【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题．26．（1）0.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）16【解析】【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a 的频数、b 的频率利用公式即可求出答案；（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为0．175，∴数据总数为70.17540÷=，∴4400.1a =÷=，400.28b =⨯=．故答案为0.1，8；（2）∵0.10.1750.20.250.2751++++=，∴各组频率正确，∵400.2751112⨯=≠，∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表如下：AB C D ABA CA DA B ABCB DB C AC BC DCD AD BD CD∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：16．【点睛】此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.27．1．1m．【解析】【详解】试题分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC•sin∠CAF 求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CG=CD•sin∠CDE求出CG的长，然后根据FG=FC+CG计算即可．试题解析：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0．744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0．336m，∴FG=FC+CG≈1．1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1．1m．考点：解直角三角形的应用．28．（1）（2）3；（3）1 4【解析】【分析】（1）过A 点作OB 的垂线AE ，证明E 点与B 点重合即可求得OB 的长；（2）在点A 运动过程中，AB 长不变，∠AOB=30°不变，考虑到同弧所对的圆周角不变，所以构造半径为3且过AB 两点的圆O ＇，易知O O ＇=3，C O ＇=O 、O ＇、C 三点共线时，得最值；（3）过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，根据sin O =35，不妨设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)，证明FGE ∆∽EHD ∆，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）如图1，过A 点作AE ⊥OB ，∵∠O=30°，OA=6∴AE=132OA = 又AB=3，AE ⊥OB∴B 点与E 点重合∴OB =（2）如图2，在C 点的另一侧作等边三角形ABO ＇，连接O O ＇，连接O ＇C 交AB 于点，则∠A O ＇B=60°，以O ＇为圆心，以3为半径作圆，则A 、B 点在圆上，又因为∠AOB=30°=12∠A O ＇B ，故O 点在圆上，当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的距离最大．∵△ABC 、△AB O ＇为等边三角形∴四边形AO ＇BC 为菱形∴O ＇C 与AB 互相垂直平分，AD=1322AB =，∠CAD=60°∴CD=tan AD CAD ⋅∠∴O ＇C=2CD=∴当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的最大距离为当OO ＇+O ＇C 3=+ （3）如图：过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，∴∠DHE=∠FGE=90°∵sin O =35，设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)∵DEF ∠=90°∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°∴∠DEH=∠EFG=∴FGE ∆∽EHD ∆ ∴FG GE EH DH= ∴••FG DH GE EH=即9(44)ab GE b a GE =--∴24()90GE b a GE ab --+=∵0∆≥∴216)360b a ab --≥（化简后得到：4(4)0b a b a --≥（）∵b a ≥，∴40b a -≥，∴40b a -≥∴4b a≥∵FG//DH ，∴OF OD =OG OH =44a b ≤4a a =14【点睛】本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．。
人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)
第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习(填空题) 含答案
第28章锐角三角函数 同步学习检测（一）一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题3分，共96分） 1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ； 6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ； 11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ； 16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、 、 ；21、 ； 22、 ；23、 ； 24、 ； 25、 ；26、 ；27、 ；28、 ；29、 ；30、 ；31、 ；32、 ；1．（2009年济南）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．2．（2009年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 3. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)4．（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5.（2009年桂林市．百色市）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电 线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．6．（2009湖北省荆门市）计算：104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______． 7.（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）8．（2009桂林百色）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．9．（2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 ▲ cm 2(结果 精确到0.1，73.13≈)10．（09湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东ο30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．11．（2009年孝感）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．12．（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 13．（2009年南宁市）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶 的路程AB为 _____________海里（结果保留根号）．14．（2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为_________.15.2009年鄂州)小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为____________米．16．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ， 则AB 的长是 cm ．17．(2009宁夏)10．在Rt ABC △中，903C AB BC ∠===°，，， 则cos A 的值是 ．18．（2009年包头）如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 19．（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．20．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．ANBM21．（2009年益阳市）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 . 22．（2009白银市）如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．23. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .24．(2009年温州)如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 25．（2009年深圳市）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC 的高度，他发现 绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A 点并与地面形成30º角时，绳子末端D 距A 点还有1米，那么旗杆BC 的高度为 .26．（2009年深圳市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ， 若AB=8，BD=5，则CD= .27．（2009年黄石市）计算：1132|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°＝ .28．．（2009年中山）计算：19sin 30π+32-0°+()＝ .29．（2009年遂宁）计算：()3208160cot 33+--o －＝ .30．(2009年湖州)计算：()02cos602009π9--+°＝ . 31.（2009年泸州）︒+--+-30sin 29)2009()21(01＝ . 32.（2009年安徽）计算：|2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+＝ . 二、解答题（每小题4分，24分）1.(2009年河北)图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？OEC D2．（2009年新疆乌鲁木齐市）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）BADC北东西南4. （2009山西省太原市）如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，求建筑物A ．B 间的距离．5．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏ABC EF60°30°CDBA 北60°30°西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）6．（2009河池）如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60o ，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．1.5C 60oA1.51．22 2. 16.1 3. 3.5 4. 2(32)- 5. 43 6. 327. 3.5 8. 43 9. 20.3 10. 100 11. 45(或0.8); 12. 33 13.. ()40340+ 14.1:215. 3200 16. 10 17. 53 18. π33-19..532 20. 10，22916n +（或23664n +）21. 3122. 5 23。
九年级数学人教版下册28.1锐角三角函数——30°45°60°角的三角函数值值及其运算
A
BC=2accmm 求：Rt△ABC中∠B的三角函数值。
A
30°
4cm
2 3 cm
C
60° B
2cm
Sin60°= 3
2
Cos60°= 1
2
3acm 30° 2a cm
C
60° B acm
Sin60°= 3
2
Cos60°= 1
2
60°角的正弦、余弦、正切是 一个定值，分别是：
31
3
22
tan60°= 3
人教版九年级数学下册
28.1锐角三角函数
30°、45°、60°角的三角函数值及其有关运算
三角王国比一比
情景导入
90° 45° 45°
90° 30° 60°
三角函数
A 正弦：SinA=
B
C 余弦：CosA=
正切：tanA=
对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边
都是90°，∠A=30°，∠C=60°
2cm 3、在进行特殊角的三角函数值计算时我们应
1、特殊值的三角函数值我们是如何推导的？
C
60° B acm
Sin30°= Sin30°= 30°、45°、60°角的三角函数值及其有关运算
SinA=Sin30°=
1
2 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°
1随着角的增大，函数值怎样变化？
4. 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，cosA = sinB tanA · tanB =1 .
求：Rt△ABC中∠A和∠B的三角函数值。 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°
人教版九年级数学下《第二十八章锐角三角函数》单元练习题含答案
第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。
28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)
28.1锐角函数（一）知识点1：当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的角都有唯一的确定的值。
观察图的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以 ＝__________=__________.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.同时： ＝__________=__________； ＝__________=__________. 所以当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值。
知识点2：正弦和余弦的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边和斜边的比值是一个固定 的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值。
（1）在Rt △ABC 中,∠C=900,把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作sinA ( sin ∠BAC ) 即 sinA= =（2）我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ， 即注意：（1）正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值；（2）正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 （3）sinA ，cosA 是整体符号，不能写成sinA,cosA 。
（4）每用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如 sin ∠BAC图19.3.2 A BC 对边邻边 ┌斜边ab c 在图中 ∠A 的对边记作a ∠B 的对边记作b ∠C 的对边记作cc b A A =∠=斜边的邻边cos（5）sin 2A 表示（sinA ）2，而不能写成sinA 2（6）三角函数还可以写成sin α，cos β。
知识点3正切的定义： 由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值。
我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ， 即注意：（1）正切是一个比值，是没有单位的数值；（2）正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 (3)tanA 是整体符号，不能写成sin 。
秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学
第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。
28.1 锐角三角函数 题目
足 3tan 数。 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
2
-4tan + 3 =0 ，求α的度
1-2sinAcosA
知识回顾 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3，则
AB= 5 ,sinA = 3 tanA = 4 .
cosB=
5
3 5
, cosA=
A
D
C
E
B
你能利用直角三角形的三边关系得到 sinA的取值范围吗？
0＜sin A＜1
正弦函数 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作 B sinA 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
c a A b ┌ C
300
450
450
┌
600
┌
P13 习题1.3 3题
独立 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
做一做P8 6
知识的内在联系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos 求:AB,sinB. 怎样 思考？
cos45 tan45 （2） sin 45
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300
练习
1.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
cos60 1 （3） 1 sin 60 tan30
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。
人教版九年级数学下册《28章锐角三角函数28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_3.doc
28.1 锐角三角函数（3）----特殊角的三角函数值教学设计教材分析锐角三角函数在测量距离、高度、角度中有着十分重要的作用，一些特殊角的三角函数值是经常用到的，本节课借助于学生熟悉的两个三角尺研究30°、 45°、 60°角的正弦、余弦和正切值，有助于学生进一步理解三角函数的定义。
学情分析30°角所在的三角形的学生已经学习了正弦、余弦和正切的定义及等腰直角三角形和三边间的关系，所以学生自己可探索出特殊角的三角函数值。
教学目标1.知识与技能 (即学习目标 )(1)理解并掌握30°、 45°、 60°角的三角函数值，能用它们进行有关计算；(2)能依据 30°、 45°、 60°角的三角函数值，说出相应锐角的度数.2.过程与方法.经历探索30°、 45° 60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义3.情感态度与价值观在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学生的推理能力和计算能力.教学重难点重点：熟记30°、 45° 6.0* 角的三角函数值.并用它们进行计算.难点：探索30°、 45°、 60°角的三角函数值的推导过程教学用具一体机、课件教学过程一、复习引入：1、结合图形，说出∠ A 的三角函数定义2、引入：根据前面的知识，如何求出特殊角的正弦值、余弦值，正切值？（展示学习目标）设计意图：通过复习，温故知新，导入新课，明确本节目标及重、难点。
二、新知探究，合作交流：探究一： 30° 45° 60°角的三角函数值1、一副三角尺中有几个不同的锐角？你们想知道这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少吗？2、学生探究出30°， 45°， 60°角的三角函数值，交流展示，教师整理归纳：锐角30°45°60°三角函数sinαcosαtan α设计意图：通过探究，让学生知道三个特殊角的三角函数值，并明确记忆方法。
初三年级数学下学期同步练习：28.1锐角三角函数
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
初三年级数学下学期同步练习：28.1 锐角三角函数
大家在遇到各种类型的题型时，能否沉着应对，关键在于平时多做练习，下文是由为大家推荐的初三年级数学下学期同步练习，一定要认真对待哦!
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分)
1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100 米，那幺他上升的最大高度是
(D)
A.30 米
B.10 米
C. 米
D. 米
2.如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC 为，则两树间的坡面距离AB 为
(C)
A. B. C. D.
3.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)
在她家北偏东60 度500m 处，那幺水塔所在的位置到公路的距离AB 是( A)
A.250m
B. m
C. m
D. m
4.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是(C)
A. 2 3
B. 3 2
C. 3 4
D. 4 3
( 第2 题) ( 第3 题) ( 第4 题)
5.如果∠A 是锐角，且，那幺∠A=(B)
今天的努力是为了明天的幸福。
2020学年人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 作业设计
28.1 锐角三角函数一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. cos30°的相反数是( )A. －B. －C. －D. －2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A=，那么sin B的值是（）A. B. C. D.3. 已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A. B. C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 以上都不对5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （，）B. （，－）C. （－，－）D. （－，）6. 在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值A. 扩大2倍B. 缩小C. 不变D. 无法确定7. 如图，是的外接圆，AD是的直径，若的半径为则的值是A. B. C. D.二、填空题8. 计算：sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____．9. 在锐角△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan A－1|＋＝0，那么∠C＝________．10. 如图，若点A的坐标为，则sin∠1=_____．11. 观察下列等式根据上述规律，计算 ______ ．12. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值是________．三、解答题13. 计算+|-2|-2tan 60°+（）-1．14. 计算：（1）﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣tan 30°；（2）2cos 60°﹣（）﹣1+tan 600+|﹣2|.15. 先化简，再求值：，其中．参考答案1.C 【解析】∵cos30°=，∴cos30°的相反数是－.故选C.2.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，∴cos A=，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A=．故选A．3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为0°至45°之间，则，即，故选A．4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A=，cos A=，tan A=，故选B．5.A 【解析】点即为关于y轴对称的点的坐标是故选A.6.C7.B 【解析】如图，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在Rt△ACD 中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cos D===，∴cos B=cos D=.故选B．8.【解析】原式＝＝1＋1－＝．9.75°【解析】∵|tan A－1|＋2＝0，∴tanA=1，cosB= .∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．10.故答案：.11.1 【解析】∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°-α）=1.12.【解析】∵等边△ABC，∴AC=AB，∠B=∠CAD=60°.∵在△ADC和△BEA中，，∴△ADC≌△BEA，∴∠CDA=∠AEB，∴∠CEA=∠CDB，∴∠CFE=∠B=60°，∴∠AFG=60°，∴sin∠AFG=.13.解：+|-2|-2tan 60°+（）-1＝2＝5-.14.解：（1）原式=2﹣+1﹣1=.（2）原式=1﹣2+1+2﹣=2﹣．15.解：－=－==－．当x=tan 60°－1即x=－1时，原式=－=－=－．28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形.(1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝28 2，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米 8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米 9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD 的面积为( )A.12 B ．12 5 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.hsin α B.h cos α C.h tan αD ．h ·cos α 15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长；(2)求cos∠DAC的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝AC BC ，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝b a ，b ＝2 3，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 4 3 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝ac，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝4 3. 5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵tan A ＝a b，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.即∠B ＝30°，a ＝4 3，c ＝8.(2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×28 2＝14 2.又∵cos B ＝a c，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A ＝60°，a ＝14 6，b ＝14 2.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BCAB. ∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B. 8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB. ∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD＝35，即CE 4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DE AD ＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B.11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB ＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BH OH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OH OB，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CDBC，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.2 10 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE ＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2，∴sin B ＝CD BC ＝32， ∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.在Rt △ABC 中，AB ＝BCcos B ＝2cos60°＝212＝4， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝2 3. 即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形知识点 1 利用直角三角形解决一般的实际问题1. 如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地．已知AC ＝120 km ，∠A ＝30°， ∠B ＝135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米．2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据求出河宽．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)知识点 2 利用仰角、俯角解决实际问题3.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A.100 3m B ．50 2mC.50 3m D.100 33m4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为( )A.160 3m B．120 3mC.300 m D．160 2m5.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)6.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB ＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.7.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)能力提升8．为解决停车难的问题，在如图的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．9.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE 观景，然后在E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知AC⊥BC于点C，DE∥BC，BC＝110 m，DE＝9 m，BD＝60 m，α＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．11.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．参考答案1．解：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.∵∠A＝30°，AC＝120 km，∴EC＝60 km，AE＝120×cos30°＝60 3(km)．∵∠ABC＝135°，∴∠CBE＝45°，∴BE＝EC＝60 km，∴AB＝AE－BE＝60 3－60＝60(3－1)km.答：隧道开通后汽车从A地到B地需行驶60(3－1)km.2.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，设CE＝x米．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝45°，AE ＝CE ＝x 米． 在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x （米）． ∴3x ＝x ＋50，解得x ＝253＋25≈68.30. 答：河宽约为68.30米．3.A [解析] 因为tan ∠ABC ＝tan30°＝AC BC ＝100BC ＝33，所以BC ＝100 3m ．故选A.4.A5.182 [解析] 如图，仰角∠A ＝20°，AC ＝500米.在Rt △ABC 中，tan A ＝BCAC，所以塔高BC ＝AC ·tan A ≈500×0.3640＝182(米).故答案为182.6.解：(1)根据题意，在Rt△ABD中，∠BDA＝α＝60°，AB＝30米，∴AD＝ABtan60°＝303＝10 3(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD为10 3米．(2)过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，得∠BCE＝β＝30°，CE＝AD＝10 3米，CD＝AE.在Rt△BEC中，tan∠BCE＝BECE，即tan30°＝BE10 3，∴BE＝10(米)，∴CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20(米)．答：乙建筑物的高CD为20米．7.解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. ∵∠BCD＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDC ， ∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则ED ＝BE ＝2EC ＝2x (m)，DC ＝EC ＋ED ＝x ＋2x ＝3x (m)， ∴BC ＝BE 2－EC 2＝3x (m).由题意可知∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC ＝DC ， 即3x ＋60＝3x ， 解得x ＝30＋10 3. ∴ED ＝2x ＝(60＋20 3)m. 答：塔ED 的高度为(60＋20 3)m.8. 17 [解析] 设这个路段可以划出x 个这样的停车位，根据题意，水平距离为2.22＋2.2×2(x －1)＋52≤56，解得x 的最大整数值为17.故答案为17.9.过点D 作DH ⊥BC 于点H ，延长DE 交AC 于点F ，则DF ＝CH ，DH ＝CF .∵在Rt △BDH 中，α＝32°，∴DH ＝BD ·sin32°≈60×0.53＝31.8，BH ＝BD ·cos32°≈60×0.85＝51，∴CF ＝DH ≈31.8，CH ＝BC －BH ≈110－51＝59， ∴DF ＝CH ≈59，∴EF ＝DF －DE ≈59－9＝50. ∵在Rt △AEF 中，β＝68°， ∴AF ＝EF ·tan68°≈50×2.48＝124， ∴AC ＝AF ＋CF ≈124＋31.8＝155.8(m)． 答：AC 的高度约为155.8 m.10.(1)∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，AC ＝60 m ，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC cos ∠BAC ＝60cos60°＝120(m)．(2)过点D 作DE ⊥AA ′于点E ，连接A ′D .∵∠DAC ＝90°－60°＝30°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ADC 中，CD ＝AC ·tan ∠DAC ＝60×tan30°＝20 3(m)．∵∠AED ＝∠EAC ＝∠C ＝90°， ∴四边形ACDE 是矩形．∵ED ＝AC ＝60 m ，EA ＝CD ＝20 3 m ，∴在Rt △A ′ED 中，tan ∠EA ′D ＝ED EA ′＝ED EA ＋AA ′＝6020 3＋30 3＝2 35. 即从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值为2 35.11.(1)在Rt △DCE 中，∠DCE ＝30°， sin ∠DCE ＝DE CD， ∴DE ＝CD ·sin ∠DCE ， ∴DE ＝4×12＝2(米)．(2)如图，延长BD 交AE 的延长线于点F .由题意知∠BDG ＝45°， ∴∠F ＝∠BDG ＝45°. ∵∠DEF ＝90°， ∴∠EDF ＝∠F ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2米．设AC ＝x 米，则AB ＝AC ·tan ∠ACB ， ∴AB ＝x ·tan60°＝3x 米．在Rt △DCE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3(米)， ∴AF ＝EF ＋CE ＋AC ＝(2＋2 3＋x )米． 在Rt △ABF 中，tan F ＝AB AF，即tan45°＝3x2＋2 3＋x ，解得x ＝(3＋1)2＝4＋2 3， ∴AB ＝3x ＝(6＋4 3)米．答：大楼AB的高度为(6＋4 3)米．第2课时坡角、方向角与解直角三角形知识点 1 方向角问题1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB是( )A.2海里 B．2sin55°海里C.2cos55°海里 D．2tan55°海里2.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上．航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )A.22.48海里 B．41.68海里C.43.16海里 D．55.63海里3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为( )A.4 km B．2 3kmC.2 2km D．(3＋1)km4.如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？知识点 2 坡角问题5.如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．6.如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.7.如图，小华站在河岸上的点G，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m，BG＝0.7 m，BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8 m，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________m．(结果保留根号)8.如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)9.某地一天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．10. 如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈43，计算结果用根号表示)11.如图，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α，其中tan α＝2 3，无人机的飞行高度AH ＝500 3米，桥的长为1255米．(1)求H 到桥的左端点P 的距离；(2)无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度．参考答案1.C [解析] 由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°.∵AB∥NP，∴∠A＝∠NPA＝55°.在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，∴AB＝AP·cos A＝2cos55°（海里）．故选C.2.B [解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A.由题意，得MN＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°，∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°，∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠MNP＝22°，∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°，∴PA＝PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)．3.C [解析] 由题意知OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∠BAC ＝75°，则∠B ＝45°.过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H .在Rt △OAH 中，∠AHO ＝90°，OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∴AH ＝12OA＝2（km ）.在Rt △BAH 中，∠AHB ＝90°，∠B ＝45°，AH ＝2 km ，∴AB ＝2AH ＝2 2（km ）.故选C.4.解：如图，作AC ⊥BD 于点C .由题意知∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°.设AC ＝x 海里，则BC ＝3x 海里，DC ＝33x 海里．因为BC －DC ＝3x －33x ＝12，所以x ＝6 3.因为6 3＝108>64＝8，所以渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．5.100 [解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC ＝13＝33，所以∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×200＝100(米)． 6.30 [解析] 因为sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°. 7.(8 3－112) [解析] 如图所示，延长DG 交CA 的延长线于点H ，则DH ⊥CH ，过点B 作BE ⊥AH ，垂足为E .在Rt △ABE 中，i AB ＝4∶3，即BE AE ＝43.设BE ＝4x ，AE ＝3x (x >0).由勾股定理，得AB ＝5x .由AB ＝8，得x ＝85，从而BE ＝325＝GH ，AE ＝245.∴DH ＝DG ＋GH ＝1.6＋325＝8，AH ＝245＋0.7＝112.∵∠FDC ＝30°，∴∠C ＝30°.在Rt △CDH 中，DH CH ＝tan30°，即8CH ＝33，∴CH ＝8 3，∴CA ＝CH －AH ＝8 3－112（m ）.8.解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25米，∠ABC＝62°，∴AE＝AB·sin∠ABC＝25sin62°≈25×0.88＝22(米)，BE＝AB·cos∠ABC＝25cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt△ADE中，AE≈22米，tan50°≈1.19，∴DE＝AEtan50°≈221.19≈18.49(米)，∴DB＝DE－BE≈18.49－11.75＝6.74≈6.7(米)．答：应将坝底向外拓宽约6.7米．9.解：(1)由tanα＝13＝33，得α＝30°.(2)文化墙PM不需要拆除．理由：作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝6米，∴AD＝CDtanα＝6 3（米），BD＝6米，∴AB＝AD－BD＝6 3－6（米）<8米，∴文化墙PM不需要拆除．10.解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形．∵斜坡的斜面DB的坡度i＝1∶3，∴∠BDE＝30°.在Rt△BDE中，BD＝30米，∴BE＝BD·sin30°＝15（米），ED＝BD·cos30°＝15 3（米），∴BF＝CE＝CD－ED＝45 3（米）．在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∵tan ∠ABF ＝AF BF ，∴AF ＝BF ·tan53°≈45 3×43＝60 3(米)， ∴AC ＝AF ＋CF ＝AF ＋BE ≈60 3＋15（米）．答：楼房AC 的高度约是(60 3＋15)米．11.解：(1)在Rt △AHP 中，∵∠APH ＝α，AH ＝500 3米，∴tan ∠APH ＝AH HP ＝tan α， 即500 3HP＝2 3，解得HP ＝250(米)． 答：H 到桥的左端点P 的距离为250米．(2)过点Q 作QM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，则可得AM ＝HQ ＝HP ＋PQ ＝1255＋250＝1505(米)，QM ＝AH ＝500 3米．∵在Rt △QMB 中，∠QMB ＝90°，∠QBM ＝30°，QM ＝500 3米，∴BM ＝QMtan ∠QBM ＝500 333＝1500(米)， ∴AB ＝AM －BM ＝1505－1500＝5(米)．答：这架无人机的长度为5米．。