高三数学10.4

高三数学练习10. 4一、填空题1.已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ， 则∁R M ∩N 等于{x |x ≥1} 。

2设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于 413 。

3化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为 0 。

4将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是 f (x )＝2sin x 。

5已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，方程()1(,1)f x kx k k R k =++∈≠且有4个零点，则k 取值范围是_1(,0)3-__ ____6 已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为 94.7 将函数()2sin()(0)3f x x ωωπ=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 2 .8若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是π二、解答题9、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求： ①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间； ③函数)(x f 图像的对称轴。

9、解∵22cos 1352sin 25)(x x x f +-==2352cos 2352sin 25--x x =235)2cos 232sin 21(5--x x =235)32sin(5--πx ， ∴①)(x f 最小正周期π=T ；②由Z k k x k ∈+≤-≤+,2323222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,1211125ππππ；③由)(232Z k k x ∈+=-πππ，得)(x f 的对称轴为)(1252Z k k x ∈+=ππ10、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 10、解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a <72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72.故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．11、如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝loga (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围。

11、解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2，整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.12、已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e a 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e ，e]上的最小值12、解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·a ax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea)＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]，令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e ，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e ，e]时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[1e ，e]上是增函数，∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；[来源:学科网]②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0；当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e ，e]上为增函数，∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e ≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[1e，e]上是减函数，∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．13.函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值.【解】 （1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x x x'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; 当k是偶数时，则2()2a f x x x'=-.所以当x ∈(时，()0f x '<，当x ∈)+∞时，()0f x '>. 故当k 是偶数时，f(x )在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（2）若2010k =，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N .记g (x ) = f (x ) – 2ax = x 2 – 2 a ln x – 2ax ,222()22()a g x x a x ax a x x'=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解；令()0g x '=,得20x ax a --=.因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x . 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数；当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =. 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =.则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，， 两式相减得22ln 0 a x ax a +-=，因为a >0，所以222ln 10 (*)x x +-=. 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得1a =．高三数学练习10. 4一、填空题 1已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ， 则∁R M ∩N 等于 。

2设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x2，|x |>1，则f (f (12))等于 。

3化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为 。

4将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是 。

5已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，方程()1(,1)f x kx k k R k =++∈≠且有4个零点，则k 取值范围是___ ____6 已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为 .7 将函数()2sin()(0)3f x x ωωπ=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 .8若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________二、解答题9、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求： ①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间； ③函数)(x f 图像的对称轴。

10、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．11、如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围。