梯子问题
第二讲：勾股定理的运用
勾股定理的运用一、梯子问题【典型例题】例1 如图1-1，一个梯子AB长5米，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为3米，梯子沿墙滑动后停在DE的位置上，如图1-2所示，测得BD长为1米，求梯子顶端A下落了多少米？二、两点间的距离问题例2 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？例3-1 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间。
一位旅客携带一件长60cm 的画卷，这件画卷能放入行李架吗？例3-2 如图，有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ） A ．cm 41 B ．cm 34 C ．cm 25 D ．cm 35【典型例题】例4 一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方向航行，则一个小时后两船相距多远？例5 某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西 60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风影响。
（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果精确到0.1小时）* 例6 阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”。
一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n －1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，解这个方程，得x＝，即x≈6.6.（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝＝＝10（cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB ＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n （n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.则可得，FG＝×4，所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：图8（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而WORD格式整理将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.专业资料值得拥有。
中考专题训练——不定方程的应用题
中考专题训练——不定方程的应用题不定方程是指未知数满足一定条件的方程，其解可以是整数、有理数、实数或复数。
不定方程的应用题在数学问题中具有重要的实际意义。
下面我们来讨论一些中考中常见的不定方程应用题。
一、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是一类经典的不定方程应用题。
假设鸡和兔子的总数量为n，总脚数为m。
已知鸡的脚数为2，兔子的脚数为4、问题是如何确定鸡和兔子的数量。
我们可以设鸡的数量为x，兔子的数量为n-x（因为鸡和兔子总数为n）。
根据题意可以列出方程：2x+4(n-x)=m化简方程得到：2x+4n-4x=m整理得到：2n-2x=m将n看作常数，此时方程为一元一次方程。
我们可以通过解方程来确定鸡和兔子的数量。
例题：一共有20只鸡和兔子，它们的总脚数为56、求鸡和兔子的数量分别是多少？解答：设鸡的数量为x，兔子的数量为20-x。
根据题意可得方程：2x+4(20-x)=56化简得方程：2x+80-4x=56整理得：-2x=-24解得：x=12所以鸡的数量为12，兔子的数量为20-12=8二、汉诺塔问题汉诺塔问题是另一个经典的不定方程应用题。
问题是如何将一堆盘子从起始柱子移动到目标柱子，过程中需要满足以下条件：(1)每次只能移动一个盘子；(2)大盘子不能放在小盘子上面。
假设有n个盘子，设解为f(n)，可以将其分解为三个步骤：(1)将n-1个盘子从起始柱子移动到过渡柱子；(2)将第n个盘子从起始柱子移动到目标柱子；(3)将n-1个盘子从过渡柱子移动到目标柱子。
根据上述分解可得递推公式：f(n)=2f(n-1)+1其中f(1)=1为初始条件。
例题：有3个盘子，问最少需要多少步才能将它们从起始柱子移动到目标柱子？解答：根据递推公式可得：f(3)=2f(2)+1=2(2f(1)+1)+1=7所以最少需要7步才能将3个盘子从起始柱子移动到目标柱子。
三、梯子问题梯子问题是另一个常见的不定方程应用题。
问题是如何确定梯子的总长度。
墙角梯子下滑问题及勾股定理
1、墙角梯子下滑问题例析2、“勾股定理”错解剖析3、“勾股定理”应用误区4、“勾股定理”中的思想方法5、勾股定理逆定理的运用几例1、墙角梯子下滑问题例析把一架梯子的底端放在地上，另一端斜靠在垂直于地面的墙上，从侧面看，此时的梯子、地面和墙面就构成一个直角三角形，课本P18页第11题就是以此为切入点，引出的梯子下滑问题．请大家再欣赏一例．【题目】如图1，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，∠ABO=60°．（1）求AO与BO的长．（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC∶BD=2∶3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米．②如图3，当A点下滑到'A点，B点向右滑行到'B点时，梯子AB的中点P 也随之运动到'P点．若∠POP’＝15°，试求'AA的长．图1 图2 图3 【分析】（1）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BO的长，然后用勾股定理可求出AO的长．（2）在①的条件中，我们知道了AC与BD的比例关系，要求AC长，可通过比例关系间接求AC，然后根据下滑的梯子与墙壁仍然构成了直角三角形，把三边关系用勾股定理结合起来可求解．在②中，OP和OP’都是直角三角形斜边上的中线，可马上想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再从斜边与中线构成的等腰三角形中寻找角度关系求解．解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，所以∠OAB=30°又AB=4m，所以OB＝12AB＝2（m）．根据勾股定理，OA22AB OB-2242-3m）．（2）①设AC=2xm，BD=3xm，在Rt△COD中，OC＝32x)m，OD＝(2＋3x) m，CD＝4m．根据勾股定理OC2＋OD2＝CD2，所以32x)2＋(2＋3x)2＝42．所以13x 2＋(12－x ＝0．因为x ≠0，所以13x ＋(12－＝0，所以x m ．所以AC ＝2x m ．即梯子顶端A 沿NO ． （3）点P 和'P 分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ’OB ’的斜边A ’B ’的中点， 因为PA=PO ，PA ’＝P ’O,所以∠PAO ＝∠AOP ，∠P ’A ’O ＝∠A ’OP ’，所以∠P ’A ’O －∠PAO ＝∠A ’OP ’ －∠POA ＝∠POP ’＝15°．因为∠PAO=30°，所以∠P ’A ’O ＝45°．所以A ’O ＝2所以AA ’＝OA －A ’O ＝（m ）．点评：要解决梯子问题，一定要充分利用好两点：一是勾股定理，二是梯子长度不变。
墙和梯子的应用题
墙和梯子的应用题一、墙和梯子应用题嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊墙和梯子的应用题。
这可有意思啦，就像生活中的小谜题一样。
（一）简单的墙和梯子问题示例比如说，有一堵墙，高度是6米，咱们有个梯子靠在墙上，梯子的底部距离墙根2米。
那这个梯子有多长呢？这就是个典型的直角三角形问题啦，墙的高度和梯子底部到墙根的距离是直角边，梯子就是斜边。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那就是6的平方加上2的平方，36 + 4 = 40，梯子的长度就是根号40米啦，化简一下就是2倍根号10米。
（二）稍微复杂一点的情况要是这堵墙在一个院子里，院子里有障碍物呢？比如说墙高8米，梯子长度是10米，但是梯子只能从离墙根3米远的地方开始放，因为旁边有个花坛。
这时候，梯子能够到墙顶吗？咱们还是用勾股定理来算一下。
梯子长度10米是斜边，离墙根3米是一条直角边，那这条直角边对应的墙高的平方就等于10的平方减去3的平方，100 - 9 = 91，墙高就是根号91米，大概是9.54米。
可墙只有8米高，所以梯子是能够到墙顶的，还多出来一段呢。
（三）再看一个有角度的问题如果梯子和地面的夹角是60度，墙高5米，那梯子得多长呢？我们知道在直角三角形里，正弦函数sin是对边比斜边。
这里墙高是对边，梯子是斜边。
sin60度等于根号3除以2，那梯子的长度就是5除以sin60度，也就是5除以（根号3除以2），化简一下就是10除以根号3，再分母有理化就是10倍根号3除以3米啦。
（四）墙和梯子在实际生活中的应用1. 在装修房子的时候，工人要上到二楼外墙去修补一些地方，二楼大概3米高，他们的梯子得多长合适呢？假设梯子底部离墙根1米，按照勾股定理，梯子长度就是根号（3的平方+1的平方），也就是根号10米。
2. 在消防队救援的时候，楼有5层，每层大概3米，也就是15米高。
如果要把梯子架到楼顶救人，梯子底部得离楼多远合适，假设梯子长度是20米。
专题05 利用勾股定理解决实际问题(原卷版)
专题05 利用勾股定理解决实际问题知识点框架典型题型考查题型一梯子滑落问题1．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．2．（2022·江苏·连云港市新海实验中学八年级期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．(1)求AC的值；(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．3．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图①，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．考查题型二 旗杆高度问题4．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且5BC m =，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD 为x m.(1)请用含有x 的整式表示线段AD 的长为 m ；(2)求这棵树高有多少米？5．（2022·江苏苏州·八年级期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC ，DE 垂直于地面AF ，滑道AC 的长度与点A 到点E 的距离相等，滑梯高 1.5m BC =，且0.5m BE =，求滑道AC 的长度．6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面即AC =9米），升起云梯到火灾窗口B 处，已知云梯长AB =15米，云梯底部距地面AE =3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD 有多高？考查题型三大树折断前高度7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，货车高AC＝3.2m，AC与地面垂直，货车卸货时后面支架AB翻折落在地面A1处，经过测量A1C＝1.6m，求翻折点B与地面的距离．8．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，一棵高5.4m的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离BC ，求大树折断处离地面的高度AB．3.6m9．（2021·江苏扬州·八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?10．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度A B．考查题型四航海问题11．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，2问乙船的航速是多少？12．（2022·江苏苏州·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？13．（2021·江苏盐城·八年级期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？14．（2021·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？考查题型五汽车超速问题15．（2021·江苏泰州·八年级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．(1)求BC的长．(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．16．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．17．（2020·江苏苏州·八年级期中）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．考查题型六是否受台风影响问题18．（2017·江苏省阜宁中学八年级期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60˚的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间?19．（2017·江苏无锡·八年级期中）如图，公路PQ和公路MN交于点P，且①NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP＝米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．20．（2022·江苏淮安·八年级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？21．（2019·江苏·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A 处测得它到马路的距离为9m ，已知在距离载重汽车41m 处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s 速度行驶的载重汽车，能给一楼A 处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？考查题型七 选址使两地距离相等问题22．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，在笔直的高速路旁边有A 、B 两个村庄，A 村庄到公路的距离AC ＝8km ，B 村庄到公路的距离BD ＝14km ，测得C 、D 两点的距离为20km ，现要在CD 之间建一个服务区E ，使得A 、B 两村庄到E 服务区的距离相等，求CE 的长．23．（2022·江苏江苏·八年级期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上AB 、两点相距50km ，CD 、为两村庄，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知30km DA =，20km CB =，现在要在公路AB 上建一个土特产品市场E ，使得C D 、两村庄到市场E 的距离相等，则市场E 应建在距A 多少千米处并判断此时DEC ∆的形状，请说明理由．24．（2021·江苏扬州·八年级期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A ，小川家住B ．两家相距10公里，小渝家A 在一条笔直的公路AC 边上，小川家到这条公路的距离BC 为6公里，两人相约在公路D 处见面，且两家到见面地点D 的距离相等，求小渝家A 到见面地点D 的距离．考查题型八最短路径问题25．（2022·江苏南京·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图①），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；①当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．26．（2021·江苏扬州·八年级期中）探究一：如图1，已知AB=BD，AB①BC，①C=90°，E和F分别是BD和CD上的动点，且BE=DF，①ABE与①BDF全等吗？若全等，请说明理由．探究二：如图2，一只蚂蚁从一个长为6，宽为5，高为3 的长方形顶点A从表面爬行到另一个顶点B，请问爬行的最短距离的平方的值是．探究三：如图3，等边三角形ADC中，边长为4，高为AF，AE=CD，求（BD+CE）2的最小值．。
梯子使用安全要求资料
检查梯子的稳定性
总结词
确认梯子的支撑腿稳固，不会发生倾斜或摇晃。
详细描述
在放置梯子时，应确保梯子的支撑腿平稳地接触地面，没有松动的土壤或石块。 同时，检查梯子的折叠机构是否正常，保证梯子在使用过程中不会突然折叠或 倒塌。
检查梯子的磨损情况
总结词
查看梯子的踏板、横档和手柄等部位是否有磨损或损坏。
详细描述
梯子断裂问题及解决方案
总结词
01
梯子断裂是非常危险的问题，可能导致使用者严重受伤甚至死
亡。
解决方案
02
确保选择符合安全标准的合格梯子，并定期检查和维护。避免
过度使用或超载，确保每个梯级只承受一个人的重量。
预防措施
03
不使用有明显损伤或缺陷的梯子，避免在不稳定或不平整的表
面上使用梯子。
06
总结与建议
02
正确使用梯子能够确保作业人员 的安全，避免意外事故的发生。
梯子使用不当的后果
使用不稳定的梯子可能导致人员摔伤 、跌落等意外事故。
未采取适当的安全措施，如未佩戴安 全带、未使用支撑物等，会增加作业 人员受伤的风险。
梯子的种类与选择
直梯
折叠梯
伸缩梯
铝合金梯
适用于普通高度的攀爬， 结构简单，但占地面积
如果需要携带重物攀爬梯子，应尽量 分散物品的重量，避免集中承载导致 梯子变形或损坏。
04
不同场景下的梯子使用安全要求
在室外使用梯子的安全要求
室外地面状况
确保梯子放置在平坦、坚实的地 面上，避免在松软、湿滑或不平
整的地面上使用梯子。
天气条件
避免在恶劣天气条件下使用梯子， 如大风、雨雪、冰冻等，这些天气 条件可能导致梯子不稳固或滑倒。
专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)
专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。
类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB ∠=︒．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD ∠=︒，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB 中， 2.5AO =，30OAB ∠=︒，2AB ∴=根据勾股定理知BO ，60OCD ∠=︒，30ODC ∴∠=︒，在AOB ∆和DOC ∆中，OAB ODC AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD ∴=，OC OB =，52BD OD OB ∴=-==． 【变式训练1】如图所示，一架梯子AB 斜靠在墙面上，且AB 的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO2==米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：（米）；△AO=AA1+OA1△OA1=24米-4米=20米，△在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，△由勾股定理得：OB1米，△BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11B．11≤h≤12C．h≥12D．0＜h≤12【答案】B【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13cm，△h＝24﹣13＝11cm．△h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC =3cm ，CD =4cm ，AB =12cm ，连接BD 、AD ，在Rt △BCD 中，BD （cm ），在Rt △ABD 中，AD （cm ）． 故吸管插在盒内部分的长度h 的最大值为13cm ．故答案为：13．类型三、最短距离问题例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】10【解析】由题意，如图1所示，得AG == 如图2所示，得10AG ==，如图3所示，AG ==△蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【变式训练1】如图所示，ABCD 是长方形地面，长8m AB =，宽5m AD =，中间竖有一堵砖墙高2m MN =．一只蚂蚱从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________m 的路程．【答案】13【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加2MN ，原图长度增加4米，则8412m AB =+=，连接AC ．△四边形ABCD 是长方形， 12m AB =，宽5m AD =，△13m AC ===．△蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．故答案为：13【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ．一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是____________．【答案】130cm【解析】如图所示，△楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，△130AB ==(cm) 即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，△△ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=， 以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ⊥于D ，30MON ∠=︒，160AO =m ，1802AD OA ∴==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点， AD BC ⊥，12BD CD BC ∴==，在Rt △ABD 中，60BD ==m ，120BC ∴=m ，重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD△ON 于D ，△△MON ＝30°，AO ＝160m ，△AD ＝12OA ＝80m ， 以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，△AD△BC ，△BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD 中，BD 60m ==，△BC ＝120m ，△卡车的速度为250米/分钟，△卡车经过BC 的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、是否超速问题例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC △AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】这辆小汽车超速，每小时超速3.2千米．【解析】根据题意，得18,30,90AC m AB m C ==∠=︒，在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：24.BC ==小汽车2秒行驶24米，则1小时行驶243600432002m ⨯=， 即小汽车行驶速度为43.2千米/时，因为43.2＞40，所以小汽车超速行驶，超速43.240 3.2-=（千米/时）．【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶至B 处，若小汽车与观测点间的距离AB 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速【解析】根据题意，得AC=30m ，AB=50m ，△C=90°，在Rt△ACB 中， 40===BC m ， △小汽车的速度4020/72/70/2==>m m s km h km h s； △这辆小汽车超速．课后练习1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （,,A C D 共线）处同时施工．测得30,8km,105CAB AB ABD ∠=︒=∠=︒，求BD 长．（结1.414≈≈）【答案】BD 长约为5.7km ．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，30,8km CAB AB ∠=︒=，14km 2BE AB =∴=，60ABE ∠=︒，105ABD ∠=︒，45DBE ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒，Rt BDE ∴是等腰直角三角形， 5.656 5.7(km)BD ∴==≈≈， 答：BD 长约为5.7km ．2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点,A B ，其中AB AC =，由于某种原因，电C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H B 、、在同一条直线上），并新修一条路CH ，已知CB =千米，2CH =千米，1HB =千米．（1）CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH 比原路CA 少多少干米？【答案】（1）是，证明见解析；（2）12千米．【解析】（1）△在CHB 中，2,1,CH BH BC ===22221+=，CHB ∴是以BHC ∠为直角的直角三角形，CH AB ∴⊥，△点到直线垂线段的长度最短，CH ∴是村庄C 到河边的最近路．（2）设AC AB x ==，1BH =千米，(1)AH AB BH x ∴=-=-千米，在Rt ACH 中，由勾股定理得：222CH AH AC +=，2222(1)x x ∴+-=，解得52x =， 52AC AB ∴==千米，CH ∴比CA 少51222-=千米． 3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】公路AB 段没有危险不需要暂时锁锁，见解析【解析】公路AB 段没有危险不需要暂时封锁，如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．△CA CB ⊥，800AC =米，600BC =米，△1000AB =（米）．△8006004801000BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． △450480<，△公路AB 段没有危险不需要暂时封锁．4．如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，△ACB =90°，在Rt △ABC 中，△△ACB =90°，△AB 2=AC 2+BC 2=5002+12002=1690000，△AB ＞0，△AB =1300米；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，由题意知AD =200米，A 'C △MN ，△A 'C =AC +AD +A 'D =500+200+200=900米，在Rt △A 'BC 中，△△ACB =90°，△A 'B 2=A 'C 2+BC 2=9002+12002=2250000，△A 'B ＞0，△A 'B =1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．5．某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE△MN ，BF△MN ，△四边形AEFD 为矩形△12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，△由勾股定理得：13AC ===△这个最短距离为13km ．6．如图，某工厂A 到直线公路l 的距离AB 为3千米，与该公路上车站D 的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C ，使CA ＝CD ，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】258千米 【解析】由题意可得：AB=3，AD=5△在Rt△ABD 中，4BD ===设AC=CD=x ，则BC=4-x ，在Rt△ABC 中，2223(4)x x +-=，解得：x=258 △物品中转站与车站之间的距离CD 的长为258千米 故答案为：258千米。
梯子长度、七桥问题、公平席位_
不符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
1、梯子长度问题
‟ 问题:
如图所示 , 在一棟楼房的后 面有一个很大的花园 , 在花园的 边上有一个紧靠着楼房的温室 , 温室伸入花园 2 米 , 高 3 米 , 在温 室的正上方是楼房的窗台 , 现有 一架 7 米长的梯子 , 我们能否将 这架梯子的一端放在花园中 ,另 一端靠在楼房的墙上 , 使得梯子 不碰坏温室棚 ? 若否 , 问梯子至 少应为多长?
分配方案的推广
当对m方进行席位分配时，假设第i方有pi人， 分得ni个席位。当增加一个席位时， 计算
pi2 Qi ni ( ni 1)
将新增的席位分配给Qi最大的一方。
实例
系别
学生人数 人数、代表比例 总代表(21) 人 代
10.815
分配
一系
二系 三系
103
63
51.5
10
31.5 34
总投资：
（4）三城合作，在C城建厂。总投资：
比较结果以 问题是如何分担费用
总费用
为最小， 所以选择联合建厂方案，下面的
中有3部分：联合建厂费；A城至B城的管道费： ； ；B城至C城的管道费： 由三城按污水量比例5：3：5分担， 是为A、B 由A、B
C城提出：
两城铺设的管道费，由他们负担；B城同意，并提出
显然第二种情况比第一种情况的公平程度好。
新的公平测试标准－相对度量
p1/n1－p2/n2>0,则分配方案对A不公平，对A的相 对不公平度： p1 / n1 p2 / n2
rA p2 / n2
p1/n1－p2/n2<0,则分配方案对B不公平，对B的相 对不公平度： rB p2 / n2 p1 / n1
谈谈力学中的“梯子”问题
。
一 均匀 梯子 靠 在 光 滑 的 墙 上
0
。
,
如 图 (一 ) 所 示
,
。
梯 子重
P
,
梯 子 与 地 面 之 间 的 夹角为
,
若 梯子 与 地 面 之 间 的 接 触 是 粗 糙 的
,
求 地面 和 墙 对
在 分 析 梯 子 的 受力情 况 时
子 是均 匀 的
:
,
通常
先 找出 重 力 点
。
。
因为 梯
:
2
。
’ 1 、g c
: 牡丛 召
乙
, ,
,
.
再次 为
O
`
,
如 果在上述 的梯 子上
上 去 一 个体 重 为 彬 的 人
,
已 知 梯 子 与 地 面 之 间 的 夹角
,
o
,
问 这个 人 到 达 什 么 位 置 时
(三 )
,
,
梯 子将 开 始滑 动
。
?
梯 子 受 力 情 况如 图
。 ,
) 听示
我 们 把 人 和 梯 子 一 起 考虑
, 一
。
则可 根据
,
F 一
了万
万 下了
,
和
、 g t
鉴
)
t ,
求得
。
其次
如 果 梯 子 与 地 面 和 墙 壁 之 间 的 接触 都 是 不 光 滑 的
,
梯重仍为
: ,
p
,
长仍 为
l
。
若梯 子 与地 面 之 间 的 摩 擦 系 数为 砰
与墙 壁 之 间 的 摩 擦 系数 为 拌
关于梯子的平衡问题
但 对 一定 的梯子
O
,
P 随着 Ctg
,
小 的增大而 减 小
二
圈
学 过 力 学 的 高 巾学生 一般 都 能做出如 下 的结 果
:
时
,
小
这 就是 说 梯
, ,
与墙 之 间 的压 力 P 如 梯竖直地立 着
,
是 因 梯 子 靠墙而 产 生 小二 9 0
, 。
它 因 与竖 直
。
的墙平 行而 靠不 上墙
支持 力 P 通 过
点
,
且 因墙 光 滑 又 垂 直 于
,
平 衡 的 影响
:
墙
,
人 与 梯的 合 重 G
的大 小 (
,
W+ G , 和
,
人爬梯 时
和 梯的 合 重 G
人 的 重 量 W 加 在梯 上
=
,
使人
,
方 向 (竖直向下 ) 恒 定
: 心 由。 经 。 到达 。 时
: ,
只 是 作用 点的 位 置
。
且 永 远 与 P 大小 相 等方
。
向 相反
但 随着
的增长而 有 一定 的 限 度
。二
. 二
如为摩 擦 力 则 最
协
大静 摩 擦是 其 限 度
况
。
上 面 列 出 的① 式 即 平 衡
二
P 的 力大 到 最 大 摩擦 f
Q时 的 极 限 情
。
此后如 小 再 减小 总之
,
。
,
梯 子 就 滑倒
,
梯靠 墙使 墙受压
由芝 M 荟 C O S 小=
2
,
得
初中数学梯子下滑问题教案
教案：初中数学梯子下滑问题教学目标：1. 让学生理解梯子下滑问题的背景和意义，提高解决实际问题的能力。
2. 培养学生运用勾股定理解决几何问题的思维方法。
3. 培养学生合作交流的能力，提高学生解决问题的策略。
教学内容：1. 勾股定理的应用2. 梯子下滑问题的解决方法教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入梯子下滑问题，展示图片，让学生观察并描述梯子下滑的过程。
2. 提问：梯子下滑时，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？二、探究（15分钟）1. 让学生分组讨论，思考如何解决这个问题。
2. 引导学生运用勾股定理，分析梯子下滑过程中三角形的三边关系。
3. 每组派代表分享解题思路和答案。
三、讲解（20分钟）1. 讲解勾股定理的原理和应用。
2. 引导学生理解梯子下滑问题中三角形的三边关系。
3. 讲解梯子下滑问题的解决方法，步骤如下：a. 确定梯子下滑前后两个位置的坐标。
b. 画出梯子下滑前后两个位置的三角形。
c. 运用勾股定理，列出方程。
d. 解方程，求出未知量的值。
e. 分析结果，得出结论。
四、练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生互相讨论，解决练习过程中遇到的问题。
五、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结梯子下滑问题的解决方法。
2. 提问：解决梯子下滑问题需要注意哪些事项？六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
2. 鼓励学生发挥创造力，提出新的解题方法。
教学反思：本节课通过梯子下滑问题，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高了学生的动手能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生理解梯子下滑问题中三角形的三边关系，培养学生运用勾股定理解决几何问题的思维方法。
同时，要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
梯子停靠问题整改报告模板
梯子停靠问题整改报告模板背景为了更好的提高公司生产效率，并保障员工的安全，公司在生产线上安装了一条自动化梯子。
但近期公司在使用过程中发现，梯子在停靠时存在不良情况，甚至出现了安全事故。
为此，我们组织了相关技术人员进行问题排查，并制定了整改计划。
问题描述1.梯子在停靠时出现晃动，松动现象；2.梯子爬升过程中停靠不稳定，容易滑动或者脱落；3.实际运行与设计不符，梯子二次加工未按标准操作。
影响分析梯子的不良情况已经给公司带来了很大的工作效率和安全隐患。
以下是具体影响：1.由于梯子的不稳定性，在使用时无法站得稳，导致操作员无法按正常节奏操作，影响生产效率；2.梯子的滑动和松动容易导致人员跌倒和受伤，造成安全事故；3.设计与实际情况不符，未按操作标准进行加工，导致出现问题，这将对公司的口碑产生负面影响。
解决方案针对上述问题，我们制定了如下的整改计划：1.对梯子停靠的固定点进行重新调整，采用金属螺丝加固，以提高梯子的稳定性；2.对梯子爬升过程中的各个接点进行重新加固和检查，保证梯子的安全性；3.对设计上与实际情况不符的地方进行改进，以提高梯子的使用性能。
整改计划实施过程整改计划的实施流程如下：1.按照整改计划，对固定点进行重新调整，采用金属螺丝加固；2.在加固过程中，对梯子各个连接接点进行了重新加固和检查；3.对梯子二次加工的问题进行了改进。
整改效果经过整改方案的实施，梯子停靠的晃动和松动现象得到完全解决，梯子的稳定性得到提高。
实际使用效果良好，对公司生产效率和员工的安全保障具有重要意义。
总结为了保障企业生产安全和员工的身体健康，我们制定了整改计划，并严格按照计划落实整改，取得了良好的效果。
希望今后能够加强对梯子的监督和维护，及时发现并解决梯子使用中存在的问题。
同时，加强对操作员的培训，提高操作规范性和安全意识，共同维护生产安全和企业形象。
梯子问题
16. [梯子长度]一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?
c
a
b
解：
1. 模型的假设，符号说明(表)，问题的分析：
如题做图：那么宽a=2m，高b=3m，
问：现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗?，
就是说c=7时，要接触地面和墙，却不能接触a和b
问题二：能满足要求的梯子的最小长度为多少?。
数学建模基础问题梯子长度问题（含程序和数据）
梯子最短长度问题的优化模型摘要本文建立了一个关于当存在紧靠墙壁的长方体障碍物时，如何确定靠墙梯子最短长度问题的优化模型。
本文首先将梯子问题抽象成一个几何问题：在xy平面上，过定点（2,3）的直线l被x轴、y轴所截的线段最小长度。
即：直线l以点()3,2为轴，从与x轴平行顺时针旋转到与x轴垂直的过程中，被x轴、y轴所截的线段最小长度。
模型I，模型II分别应用直角三角形边角关系原理和相似三角形相关边成比例原理，以直线l与x轴夹角和直线l与x轴交点与点()0,2的距离为变量建立了求单变量最小化的数学模型。
应用牛顿迭代法中的三等分点搜索法对模型I，模型II进行求解，并同时对模型I，模型II的函数是单峰函数给出了证明。
模型I和模型II的求解结果是：7的梯子会碰坏温室顶棚；当梯子与地面的夹角为0.8528rad，梯子在地面的长度为m落脚点与温室水平直线距离为2.6207m时，所需梯子长度最短，最短长度7.0235m。
模型III应用同线向量斜率原理，以直线l与x轴、y轴交点距原点距离为变量，建立了一个二元变量有约束非线性最优化模型。
应用序列二次规划法()SQT对模型III进行求解：当梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为4.6207m，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为6.5162m时，所需梯子长度最短，最短长度为7.0235m。
三个模型的求解结果是一致的且当梯子取最短长度时，各变量的取值互不矛盾。
关键字：单变量最小化二元变量有约束非线性最优化牛顿迭代法一、问题的重述与分析在一栋楼的后面有一个很大的花园，在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室，温室伸入花园2米，高3米，在温室的正上方是楼房的窗台，现有一架7米的梯子，我们能否将这架梯子的一端放在花园中，另一端靠在楼房的墙上，使得梯子不碰坏温室棚？若否，问题梯子至少应为多长？我们所关心的是：如何使梯子长度最小，以何种函数形式表示出梯子长度L。
从左视图观察我们可以把问题抽象为一个几何问题（如图1）：在xy平面上，过定点（2,3）的直线l被x轴、y轴所截的线段最小长度。
2022年中考数学专题复习：梯子滑动最值问题
NM B CAP QE DN MBCOAP Q梯子滑动最值问题一.模型分析模型1：如图，∠POQ =90°，点A 、B 分别在射线OP 、OQ 上运动，满足AB =2t ，C 为AB 中点，求点C 的运动轨迹。
简析：连接OC ，在OP 、OQ 上分别取点M 、N ，使OM =ON =OC 。
易知OC =12AB =t ， 故C 点轨迹是以O 为圆心，半径长为t ， M 、N 为其两端点的圆弧。
延申：当OC ⊥AB ，即OA =OB 时，△OAB 面积最大。
模型2：如图，∠POQ =α(α≤90°)，点A 、B 分别在射线OP 、OQ 上运动，点C 在△OAB 内部，且满足AC =BC =t ，∠ACB =2α，求点C 的运动轨迹。
简析：连接OC ，在OP 、OQ 上分别取点M 、N ，使OM =ON =OC 。
延长BC 至点D ，使CD =BC ，连接AD 、OD 。
BD 与OA 相交于点E 。
易知AB ⊥AD ，则AC =12BD 。
又因∠ADC =∠AOB =α，则△ADE ∽△BOE ，△DEO ∽△AEB ， 故有∠AOD =∠ABD =∠BAC 。
KF DEN MCBOAQ由∠BAC +∠DAC =90°，则∠AOD +∠AOB =90°，即OB ⊥OD 。
由C 为BD 中点，则OC =12BD ，故有OC =t 。
易知点C 为△OAB 的外接圆圆心，故C 点轨迹是以O 为圆心，半径长为t ，M 、N 为其两端点的圆弧。
反思：原理1可视为原理2中α=90°的特殊情形。
模型3：如图，∠POQ =90°，点A 、B 分别在射线OP 、OQ 上运动，满足AB =t ，∠ACB =90°，∠BAC =α，求点C 的运动轨迹与路径长。
简析：连接OC 。
易知O 、A 、B 、C 四点共圆， ∠COQ =∠BAC =α，则点C 在直线上运动。
人字梯作业隐患清单与注意事项
人字梯作业隐患清单与注意事项人字梯作业时，需要注意什么1、确认梯子本身有没有问题检查梯子、踏板有无变形、损坏，螺栓有无松动现象，梯的固定拉杆是否可以有效固定，防滑垫是否脱落等。
2、确认地面情况梯子必须放在平坦坚固的地面上，保持水平。
放在通道上时需围篱标示，放在门後时，除围篱标示外还需将门上锁，避免他人突然开启撞到。
人字梯的固定拉杆需固定牢固、直梯斜度不可太斜，最好固定於牢固结构上。
3、登梯作业注意事项上下梯面朝梯，登高超过两米须系安全带，带上安全帽，不可站在顶板或最上一阶梯作业，不管高低，需要有人在旁边看护，扶稳。
作业时不可横跨梯顶板或坐顶板上作业，也不能背向梯作业。
不管有没有人扶稳。
站最上一阶梯作业，危险，禁止站顶板作业，危险，禁止使用前必须对梯子进行的检查内容：是否有断裂成缺失横档、防滑条或踏板。
在横档、防滑条和踏板上是否有油污。
是否存在断裂或有裂纹的横档、腐蚀生锈的其他部件。
是否存在有故障或松动的部件。
发现损坏或有故障的梯子必须马上作记号或贴上标签如:不安全，请不要使用。
立即更换，进行修理或处理掉有问题的梯子。
在被修理或处理前，有故障的梯子应保证不会再被使用。
使用过程中梯子载荷严禁超过额定的重量。
在光滑油腻的地面应使用带防滑底座的梯子；同时，应放置好、固定和有人协助看护。
作业人员在靠近有电的电线工作时必须遵守以下最小接近距离：50kV以下的电压，最小接近距离为10英尺（约3米）。
50kV以上的电压，最小接近距离为10英尺（约3米）基础上，每超过10kV加4英寸（约10厘米）。
如果使用过程中可能接触带电的电气设备时，必须使用扶手具有绝缘性能的梯子。
有些地方，比如过道、门口、车道处，由于其它作业，放置的梯子容易被人移动，所以应将梯子固定以防有人挪动，并设置相关的临时标志，随时留意。
可伸缩性的梯子两侧必须配有同样的扶手。
放置梯子的上空和底部必须无其他障碍物。
可伸缩性梯子使用时必须保护梯子的倾斜应有一定的角度:从梯子上部支撑点到梯脚的水平距离约为梯子工作长度的1/4。
谈谈力学中的“梯子”问题
在 A 点,
有地面 对梯 的正压 力
飞l 净.
N:,
方 向向上 ;
在 B点 ,
Z,
有 墙对 梯子 的正压 力 N
方向向
。
,
右 再 看一 下
梯子 与地面和 墙的表面 接触 处,
有无 相对滑
乡
/ /
/
,
动 或 相 对 滑动 趋 势
。
找 出摩 擦 力来
在 A点,
梯 子还受 到一
/ /
/
/
个 静 摩 擦 力 厂1 ,
,
。
达到最大 值 称为最 大静 摩 擦力 最大 静 摩擦 力与 正压 力成
。
正比
即:
尹 N 声 : 二 : , t
,
f N Z 一 环 2
2
(4 ) (5)
根 据物体 的平衡 条件 ,
,
列 出方程
将 业
丈 厂 用 , 、
2
(4 ) 、
( 5) 代 入 , 则得 :
N , 十 拟; N Z 一 P ~ O
、
。
,
力和 张 力 ) 摩 擦 力 要 熟悉 这几 个 力 的特性
分析 时 ,
。
要正 确画 出所受 的 力 不 能无
根 据 地 随意加 上 一 个力 ; 也 不 能 粗 心 大 意 而 漏 掉 一 个 力 ; 更不 能 把作 用 在 别 的 物体 上 的
。
力 拉过来
。
先看一种 简 单的情形
一 均匀梯子 靠在 光滑 的墙 上 ,
,
。
根 据题 给条件 分 析梯 子的 受 力 清 况 如 图 ( 二 ) 所
。
示
除重 力 尸 、
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一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的最大静摩擦系数分别为μ1，μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
这个问题提得好，非常具有代表性。
学会它的受力分析，基本可解决高中的所有刚体受力分析了。
你很走运啊，土豆。
对于一个刚体来说，他的总的受力情况和它总的加速度成牛顿第二定律关系。
同时，他的力矩与它的转动趋向相关。
对于稳定的刚体，受力情况要整体分析，并且主要关注两个点。
1、受力平衡。
2力矩平衡。
先说第一点：
受力平衡可以列出两个方程。
就是：正交分解后，两个方向上受力平衡。
这里主要分析三个点：
a。
重心的重力。
b。
梯子上端的力：垂直于墙面的支持力；墙面对梯子的静摩擦力（如果没有静摩擦力，那么梯子向下滑动，因此摩擦力竖直向上。
）
c。
梯子下端的力：垂直于地面的支持力；地面对梯子的静摩擦力（如果没有静摩擦力，那么梯子向后滑动，因此摩擦力水平向前。
）
这里看来，所有的力都不需要分解了。
在水平方向上：N2＝f1；
在竖直方向上：G＝f2+N1
其中：f1<=u1N1，f2<=u2N2
在第二点，力矩平衡上，可以列出一个方程。
就是任意一点为轴，得到力矩平衡。
设梯子长度为2L。
（其实设成2更简单。
）
以重心为轴：N2LsinQ + f2LcosQ + f1LsinQ ＝N1LcosQ
这个方程组列出来以后，一切都好办了。
解方程组得到：
tanQ＝（N1-f2)/2f1>=N1/2f1>=1／2u1
所以，当f2=0，时，tanQ取得极小值1／2u1
无质量的梯子斜靠在墙上，墙和地面有摩擦，某人从下向上爬，问墙的支持力与地面摩擦力的变化
答案是增大好不，大哥。
我分析了，墙的摩擦力一定是增大的，地面的支持力一定是减小的。
但是墙的支持力和地面的摩擦力可大可小可不变，只要相等就行
受力分析
force analysis
将研究对象看作一个孤立的物体并分析它所受各外力特性的方法。
外力包括主动力和约束力(见约束)。
分析力的特性主要是为确定这些外力的作用点、方向等。
例如重力是地球对物体的引力，属于外加的主动力，作用点在物体的重心，方向铅垂向下。
约束力的大小一般是未知的（除非用测力器作约束体测定其作用力）。
有一部分约束的约束力方向是可以确定的。
例如绳索的约束力总是拉力，拉紧时方向沿绳；光滑面的约束力总是推力，方向沿该面法线。
沿粗糙接触面的约束力就是摩擦力（见摩擦）。
物体将开始运动时，摩擦力达到最大值。
如
果摩擦系数[kg2]已知，最大静摩擦力F与法向反力N[kg2]的数值关系为＝。
在平衡
情况下，摩擦力[kg2]的大小可以是从0到[kg2]之间的任一个值，其大小应根据力的平衡条件来计算。
另外，由铰链的构造还可确定约束力的方向。
例如圆柱铰的约束力可用垂直于圆柱轴的平面上的两个力表示；又如活动支座约束力的方向可用垂直于支承面的一个力[kg2]N[kg2]表示。
由牛顿运动定律可知,物体是否平衡由外力确定,物体不平衡时的加速度也由外力确定，都与物体内部相互作用的内力无关。
所以求解力学问题时，常有意识地选取某部分作为研究对象，把它看作一个物体，并把它从周围环境的约束中割开，而加以相应的外力。
解除约束后的物体称为隔离体。
画出隔离体及其所受全部外力的图称为受力图。
例如重为[kg2]的梯子
置于光滑的铅垂墙和粗糙的水平地面之间(图1[斜靠在光滑墙上的梯子受力
图]),地面和梯接触的摩擦力为,梯子
点和墙体点间用水平绳拉紧。
若把梯子作为隔离体,它的受力图如图1[斜靠在光滑墙上的
梯子受力图]所示。
其中[kg2]T[kg2]
为绳的张力；G[kg2]为梯的重力；N[kg2]为光滑墙的反力；N[kg2]为地面反力；[kg2]F[kg2]
为摩擦力。
梯子将要滑动时，[kg2]达到最大摩擦力[kg2],一般情况＜。
如果整个物体的受力图尚不足以达到解题目的（方程个数少于未知力个数）,可依物体内部结构的特点,把它拆为两个隔离体，拆离处的相互作用力满足作用和反作用定律。
从这两个隔离体的受力图，可写出增加的方程数目，以达到解题目的。
例如,图2[三铰拱]的三铰拱，
由于用了两个固定铰链支座，因此有四个支座反力,[kg2],[kg2],[kg2](图3[kg2][三铰拱受力图]
之a)。
由整体列出的三个平衡方程不足以解出这四个未知数。
这时可从中间铰[kg2][kg2]处将它拆成两部分，画出两个受力图(图3[三铰拱受力
图]
之b)在铰[kg2][kg2]处,两个图上的，大小相等、方向相反。
这样，六个未知量，
，，，，[kg2]就可由两个隔离体的六个平衡方程解出如拆成两部分还不能求解,可拆成几部分。
求物体内部的某个构件的受力大小，更须将构件拆开。
例如求桁架杆件内力时，可将杆件
截断，而附以沿杆的力。