第2章 债券与股票的敏感度分析

意义：在收益率微小变动下，债券价格的 回报率的标准差（风险）为收益率的D倍。
6
2.1.2 久期的性质
久期是关于息票率、收益率、到期时间 的函数，故久期性质就是讨论上述的变 量关系。 久期与债券息票率之间的关系
定理1～3
7
久期与债券息票率之间的关系
定理1：无息债券的Macaulay久期等于它 们的到期时间。
对于零息债券，麦考莱久期与到期日相同，则久期随
到期日增加而增加 对于付息债券，麦考莱久期的最大极限为1＋1/y。这 个极限独立于息票率。（Grandaville，2001）
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而 增加。
D 2 D 0, 2 0 T T
12
定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到 期收益率越小，久期越大。 tc 1 D 证明：由久期的定义 p (1 y )
=1
t T T ct (1 y)t ct (1 y)t 2 c (1 y ) 2tD D 2D2 t D2 D2 p p p t 1 t 1 t 1 T
14
久期：现金流现值翘翘板的支点
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每 次现金流发生时间加权平均的结果！
1 p D [(1 y )] p y 1 N ( y c) (1 y ) 1 N y c[(1 y ) 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。
11
Macaulay久期与到期日的关系
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长， 久期越大。
23
例子
到期收益率 5％ 调整久期 4.33年 债券价格 凸性 100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的 价格将如何变化？
pD D py 4.33 100 2% 8.66
*
1 2 pc pc(y ) 0.4813 2 100 8.66 0.4813 91.82
Ct Ct D t [ / ] t t (1 y ) t 1 (1 y ) t 1 TCT CT 1 0 20 [ ... ]/ 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) T
8
T
T
Macaulay久期与债券息票率之间的关系
现值
时间
15
2.1.3 久期的应用
例子：假设一个10年期零息债券，10年期 即期利率为8％且具有0.94%的波动，则该 债券价格的波动率为？
dP 10 ( ) 0.94 8.7% P 1 0.08
16
3.5.4 久期的缺陷
久期对利率的敏感性进行测量实际上只考 虑了价格变化与收益率之间的线性关系。 而实际上，市场的实际情况是非线性的。 所有现金流都只采用了一个折现率，也即 意味着利率期限结构是平坦的，不符合现 实。
定理2：附息债券的Macaulay久期小于它 们的到期时间。
T Ct Ct D t [ / ] t t (1 y ) t 1 (1 y ) t 1 T Ct 1 C1 2C2 TCT [ ,..., ]/ 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 T Ct T C1 TC2 TCT [ ... ]/ T 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 (1 y ) T
p
)}
13
t ct (1 y) ct (1 y) 2 2 D ( t D ) 0 p p t 1 t 1
T 2 T
t
t
t ct (1 y) D 1 2 { D } 0 y 1 y t 1 p
T 2
t
下面证明
t T ct (1 y)t c (1 y ) 2 2 2 t ( t D ) ( t 2 tD D ) p p t 1 t 1 T
21
2
S D D c(1 y ) 1 y 1 y 1 y S D D c(1 y )
2 2
T
2
S (D D ) c 2 (1 y )
2
ct (1 y)t here, S (t D)2 p t 1
注意：久期是平均意义上的到期时间。 凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债 券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸性越 小，现金流越分散则凸性越大。
两边取对数得到
N
1 y ln p ln y ln{c[1 ] } N N (1 y ) (1 y)
10
ln p 1 p y p y
1 cN (1 y) N 1 (1 y) N N y (1 y) N 1 N N y c[1 (1 y) ] y (1 y)
用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是
不合理的
17
2.1.5 凸性及其性质
久期可以看作是债券价格对利率波动敏感 性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可 以对久期计量误差进行有效的校正。 为什么需要凸性，能否从数学上给予解 释？
T t (t 1)Ct 1 d P 1 1 c 2 2 t P dy P (1 y) t 1 (1 y) 2
2.1 债券模型与敏感性
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有 影响：债券本身的溢价或损失（资本利 得），利息收入和再投资收益。 债券风险管理的重要策略之一就是，如何 消除利率变动带来的风险，即利率风险免 疫（Interest rate immunization），即使 得债券组合对利率变化不敏感。
22
根据泰勒公式 p( y) dP 1 1 1 d 2P 1 2 2 dy ( dy ) D dy c ( dy ) p dy p 2 p dy 2 2
在这里回报r是关于利率变化⊿y的函数，这对 于风险计量模型具有非常重要的意义
r dp / p f (dy)
对于市场风险计量，只要知道了dy的变动规律， 则r的变动规律可以通过定价方程得到。
这样
dD p (1 y ) p 1 y [ ] p p 2 dy p p
S p (1 y ) p 1 y [ ] p p 2 1 y p p p p 2 1 y (1 y )( ) p p p p D D c(1 y ) 1 y 1 y
所以，D＜T
9
Macaulay久期与债券息票率之间的关系
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率 越高，久期越短。 证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
c 1 c 1 1 p [1 ] k N N N ( 1 y ) ( 1 y ) y ( 1 y ) ( 1 y ) k 1
由定理6可知
t ct (1 y ) dD 1 { D2} dy 1 y t 1 p
T 2
t
ct (1 y ) 1 S 2 { (t D) } 1 y t 1 p 1 y
T
t
dp 1 y 则 又由于 D dy p
20
记
dp d2 p p, 2 p dy dy
18
凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出 的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释 把凸性看成久期对利率的敏感度，这是错误的。
dp d ( / p) dD dy dy dy d p dp 2 p( 2 ) ( ) dy dy [ ] 2 p D －c
2
19
2
凸性的金融学含义
T t t 1 t
T D 1 T 2 1 p t t ct (1 y )t 1 2 tc (1 y ) t y p t 1 p y t 1 t tc (1 y ) t T
T t 2ct (1 y ) t 1 p { [(1 y)( / p)]( t 1 1 y t 1 p y T t 2ct (1 y ) t 1 { D2} 1 y t 1 p
1
2.1.1 久期(Duration)
Ct 设债券的价格P满足P , 则有 t t 1 (1 y ) dP T tCt 1 T tCt t 1 dy t 1 (1 y ) 1 y t 1 (1 y )t
利率或到 期收益率
T
T T tCt Ct dP / P T tCt 1 ( / ) t 1 t t dy 1 y t 1 (1 y ) t 1 (1 y ) t 1 (1 y ) D D* 1 y
对于1个包含N 种债券、每种债券的投资 比例为wi的债券组合
D wi D , wi 1
i 1 i i 1
N
N
26
债券组合免疫
2004年初，经测算某养老金负债的久期为7年， 该基金投资两种债券，其久期分别为3年和11年， 那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才 能不受2004年利率风险变化的影响？
25
dp1 dp2 dp N1 N2 dy dy dy 1 dp N1 p1 1 dp1 N 2 p2 1 dp2 ( ) ( ) p dy p p1 dy p p2 dy N1 p1 N 2 p2 D D1 D2 p p

w1D w2 D
1
2
4
2.1.2 久期的性质
1、久期有效地计量了债券的风险，久期与 债券风险的关系如下：
dP / P 由修正久期的定义 D*得到 dy
dP * D dy P
5
则债券回报率的方差为
dP *2 var( ) D var(dy ) P