2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系!

第2讲 两直线的位置关系基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.答案 C2.(2017·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，因此选C. 答案 C3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)， 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋2y ＋3＝0D.x ＋2y －3＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0. 答案 D5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B.答案 B6.平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A.y ＝2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝－2x ＋3D.y ＝2x －3解析 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0，1)，B (1，3)，则点A 关于点(1，1)对称的点为M (2，1)，点B 关于点(1，1)对称的点为N (1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3，故选D. 答案 D7.(2017·丽水调研)已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2).两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).故选C.8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A.x ＋2y －4＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y－3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A 二、填空题9.(2017·宁波月考)点(2，1)关于点(－1，－1)的对称点坐标为________；关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________.解析 设点(2，1)关于点(－1，－1)的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝2＋x 02，－1＝1＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3，即所求对称点为(－4，－3).设点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0，3). 答案 (－4，－3) (0，3)10.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案 －911.(2017·余姚市检测)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.解析 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝012.(2016·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝013.(2017·温州十校联考)设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝________；若l 1⊥l 2，则m ＝________. 解析 若l 1∥l 2，则3＋m 2＝45＋m ≠5－3m8⇒m ＝－7；若l 1⊥l 2，则(3＋m )×2＋4(5＋m )＝0⇒m ＝－133.答案 －7 －133能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2017·舟山市调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102B.10C.5D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上，∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 答案 D15.如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A.210 B.6 C.3 3D.2 5解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A 2(－2，0)两点间的距离.于是|A 1A 2|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210. 答案 A16.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解析 易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直， 即△APB 为直角三角形，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立. 答案 517.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.∵k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.①又∵k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).答案 (2，4)18.(2017·绍兴一中检测)两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________.解析∵l1∥l2，且P∈l1，Q∈l2，∴l1，l2间的最大距离为|PQ|＝[2－（－1）]2＋（－1－3）2＝5，又l1与l2不重合，所以l1，l2之间距离的范围是(0，5].答案(0，5]。