随机集理论概述

随机集概述1 引言随机集理论(Random Sets Theory, RST)主要是指有限集统计(FISST)理论，需要较为复杂的数学基础，如集合论、逻辑代数、测度论、拓扑学和泛函分析等。

该理论能够解决复杂环境下信息融合、多目标跟踪的各种问题，是目前信息融合和多目标跟踪研究领域最受关注的方向之一。

利用随机集理论，可以将多目标问题中的探测、跟踪、属性识别等问题统一起来，并能解决多目标状态的后验估计、多目标信息融合算法的性能评估等棘手问题。

20世纪70年代，随机集理论最早由D．G．Kendall和G．Matheron分别基于统计几何的思想各自独立提出的。

G. Matheron在研究的过程中丰富了随机集理论。

随后，Mahler于1994年系统地提出了随机集理论的一种特例即有限集合统计学理论，该理论在信息融合和多目标跟踪领域中的应用经历了三个发展阶段：(1)研究起步阶段(1994—1996年)该阶段的研究主要集中在多传感器多目标跟踪问题利用随机集理论的数学描述。

Mahler 将一些单传感器和单目标的概念“直接”推广到多传感器多目标系统。

利用Bayes方法、随机集统计学理论对多传感器多目标状态估计问题进行了重新描述，并证明Dempster-Shafer 理论、模糊逻辑、基于准则的推理都是规范Bayes建模方法的推论。

(2)研究发展阶段(1997—1999年)这段时期，Mahler等人在前期研究基础上完善了多目标系统规范Bayes方法的有关内容，更着力设计一种更为系统和实际的不确定信息处理和融合方法。

(3)理论研究成果的实现阶段(2000—至今)在此期间，Mahler等人利用随机集理论将单传感器单目标系统推广到多传感器多目标系统的研究中。

从统计的角度提出了多目标集合概率分布的“一阶矩滤波器”概念以及相应的PHD滤波算法。

近年来，基于随机集理论的方法应用在信息融合和多目标跟踪中，越来越受到学者的重视，国外学者以I. R. Goodman，Ronald Mahler，Ba-Ngu V o等为代表，已取得大量的理论成果以及一些应用成果。

国内对随机集理论在多目标跟踪方面的研究只处于起步阶段，对于随机集的研究仍很大程度停留在枯燥的理论研究阶段的初期。

但对于有限集合统计(FISST)的研究已有了初步的成果，近五、六年内才逐渐有关于这方面的文章发表。

随着国外研究的发展推动，国内有很多科研单位已经开始进行该领域的探索研究，以上海交通大学的施文康教授、杭州电子科技大学的文成林教授、海军航空工程学院的何友教授为代表的研究者及其研究团队在随机集领域做了大量的理论工作，已取得一些研究成果，但并没有形成明显的应用研究成果。

因此，在随机集统计理论、PHDF算法研究和应用实践方面，特别是随机集在多目标跟踪方面的研究，我国仍然需要加大投入，赶超国外的先进技术，促使以后的研究工作将更多的集中在如何将它应用到现实环境中。

2 随机集理论及其性质2.1 随机集理论随机集是指取值为集合的随机元，是概率论中随机变量(或随机向量)概念的推广，实际上就是元素及其个数都是随机变量的集合。

随机变量处理的是随机点函数，而随机集处理的是随机集值函数。

随机集理论是点变量(向量)统计学向“集合变量”统计学的一种推广。

这里可用两个例子来形象的说明随机变量和随机集的概念。

图2.1(a)以“转盘赌博”游戏为例解释随机变量的概念。

转盘的每一次旋转相当于一个随机试验w，它属于样本空间Ω。

每次随机试验得到的结果是指针指向的随机整数值x ，它是一个随机变量，它取集合A 中的某一个数值。

这里A={$0，$5，$10，$15，$25，$30，$80，$100}，可对每个x (w )的取值赋予一定的概率P 。

类似地，一个随机集也是一个随机变量，但是它的取值是一个集合，即由某个集合的若干子集构成的集类上的一个元素。

图2.1(b)是以多目标身份识别为例解释随机集的概念。

设A ’={a , b , c }代表三种不同类型的目标，则A ’的8个子集构成一个集类，其中包括空集。

若随机试验与上例中相同，则每次随机试验得到的结果是指针指向的随机有限集合X ，这就是一个随机集，并可对随机集的每次实现赋予一定的概率P ，如图2.1(b)所示，例如X (w )={a , b }表示观测到a 、b 两个目标，X (w )={Ø}表示没有观测到目标。

可见，当X (w )只取单元素集合时，它就相当于一个随机变量。

P (w ∈Ω:x (w )=$0)=0.284P (w ∈Ω:x (w )=$5)=0.200P (w ∈Ω:x (w )=$10)=0.126P (w ∈Ω:x (w )=$15)=0.131P (w ∈Ω:x (w )=$25)=0.082P (w ∈Ω:x (w )=$30)=0.095P (w ∈Ω:x (w )=$80)=0.048P (w ∈Ω:x (w )=$100)=0.034P (w ∈Ω:x (w )={a })=0.284P (w ∈Ω:x (w )={b })=0.126P (w ∈Ω:x (w )={c })=0.082P (w ∈Ω:x (w )={a ,b })=0.200P (w ∈Ω:x (w )={a ,b })=0.131P (w ∈Ω:x (w )={b ,c })=0.095P (w ∈Ω:x (w )={a ,b ,c })=0.048P (w ∈Ω:x (w )={Ø})=0.034(a)(b)图2.1 随机变量和随机集 (a)随机变量 (b)随机集2.2 随机集的基本概念在随机试验中用Ω表示试验的样本空间，Ω中的基本元素为ω，称为样本点。

事件是Ω的一个子集，但是一般情况下不把Ω的所有子集都作为事件来考虑，而是把具有某种限制而又相当广泛的一类Ω的子集作为事件，因此有事件域的概念。

定义2.1 设Ω是样本空间，F 是由Ω的一些子集构成的集合，如果满足以下条件： (1) Ω∈F ；(2) 若A ∈F ，则A 的补集也属于F ；(3) 若对于1,2,,n n A σ∀=∈ ，则1n n A F ∞=∈ 。

则称F 为事件域，F 中的元素称为事件。

一般把满足上述条件的集F 称为σ-域，所以事件域是一个σ-域。

在事件域F 的基础上，设定义在F 上的实值集函数P (A )满足下述条件：非负性：A F ∀∈，有P (A )≥0； 归一性：P (Ω)=1；可列可加性：若对于1,2,,n n A F ∀=∈ ，且对i j ∀≠，A i A j = Ø；有：11()()n n n n P A P A ∞∞===∑则称P 是定义在二元组(Ω,F )上的概率，P (A )为事件A 的概率。

样本空间Ω，事件域F 和概率P 是描述一个随机试验的三个基本组成部分，三者的有序总体(Ω,F ,P )为概率空间。

定义2.2 设F 是样本空间Ω上的一个σ-域，称序偶(Ω,F )为可测空间。

在概率空间与可测空间的基础上，引入随机集的概念。

定义2.3 设有概率空间(Ω, F , P )，(,)σψψ是一个可测空间，σψ是空间Ψ的σ-域，Ψ的所有子集构成的集类用幂集2Ψ表示，那么随机集可以定义为集值映射：Σ:Ω→2Ψ，定义随机集Σ的概率分布：(){:()},P A P A A ωωσ∑ψ=∑∈∀∈定义2.4 令(,,)P σΩΩΩ是一个概率空间，其中Ω是样本空间，σΩ是Ω上的σ-代数，P Ω是概率测度，(,)θσΘ是一个可测空间。

对于每一个可测映射(,)θσσΩ，有x ：Ω→Θ，可以表示为：{x │x (w )∈A }∈σΩ，若A θσ∀∈，则x 是一个随机变量。

下面以一个实例说明随机集概念在信息融合系统中的具体表示：例2.1 已给定概率空间(,,)P σΩΩΩ，样本空间Ω={a , b , c , d }为不同进攻方式的集合，目标空间U={A 1, A 2, A 3, A 4}为几个将被攻击的城市集合，其中:a =“海上进攻”；b =“陆上进攻”；c =“空中进攻”；d =“远程导弹进攻” A i =“攻击第i 个城市”，i =1，2，3，4。

在实战中可以根据已存的经验条件，在进攻方式Ω和目标城市U 之间建立一个多值映射∑:Ω→U 来表示这种军事攻击的目的关系，∑就是一个随机集：∑(a )={A 1, A 2, A 4} ∑(b )={A 3, A 4} ∑(c )={A 1, A 2, A 3, A 4} ∑(d )={A 1, A 2}这种随机集模型的建立，为多信息融合中的态势及威胁估计提供了很好的算式基础，把模糊的威胁概念用清晰的数学形式表达了出来。

而且这种随机集表达，为在战场上利用信息融合技术进行态势和威胁估计提供了条件。

当随机量的值为集合时这个随机量就是随机集。

随机集是一种集合映射，与传统的函数映射相比，随机集将一事件映射为一个集合，当映射成一个变量时，随机集就蜕变为随机变量或随机向量。

因此，随机集理论实际上拓宽了基于概率论的随机过程理论。

从本质上来讲，随机集和随机变量并没有太大的区别，随机变量处理的是随机点函数，而随机集处理的是随机集值函数。

2.2 随机集的集积分和集导分RFS 统计理论的核心是多目标集积分和集导数计算。

因此，在Bayes 框架中，计算多目标估计问题的关键是基于集积分和集导数的信任密度的概念。

定义2.5 设Θ为非空集合，如果集函数m:2Θ→[0,1]满足：m(Ø)=0和()1A m A ⊆Θ=∑，则称由：()(),B ABel A m B A ⊆=∀⊂Θ∑，所定义的函数Bel:2Θ→[0,1]为Θ上的信度函数（BeliefFunction ）。

利用随机集得到的概率质量函数需要借助Radon-Nikodym 导数，计算困难。

因此，常用信任质量函数的形式，并利用集导数得到随机集的概率密度函数。

（1）集积分在多目标跟踪中，不管f (Y )是多目标似然或多目标Markov 密度或多目标先验或后验，在区域S Y ⊆内f (Y )的集合积分均可定义为：()()()11112121(){,,}!1(){}{,}2n n n Ss n S S Sf Y Y f y y dy dy n f f y dy f y y dy dy δφ∞=⨯=+++∑⎰⎰⎰⎰其中，S n 是集合S 的n 重的笛卡尔积。

（2）集导数要构造多传感器多目标传感器模型的多目标似然函数g k (Z k |X k )，或者多目标运动模型的多目标Markov 转移密度f k|k -1(Z k |X k -1)，就需要集积分的逆操作，即集导数。

令β(S)是任一函数，常为信任质量函数，其中自变量S 是任意闭子集。

如果Z ={z 1,…,z m },其中z 1,…,z m 是互不相同的，集导数定义为：()0()()()lim ()zz z S S S z λββδβδλ∆→∆-∆其中，z ∈Δz ∈S ，Δz 是z 的一个小邻域，()z λ∆是Δz 的Lebesgue 测度，即集合Δz 的超体积。