平面几何入门(全等三角形：六)

全等三角形的知识点总结

全等三角形的知识点总结三角形是初中数学中的基础概念之一，而全等三角形则是三角形中一个重要的概念。

全等三角形在平面几何的研究中占据着重要地位，对于理解和解决相关问题有着重要的帮助。

本文将围绕全等三角形展开，总结其相关的知识点。

一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相同形状和相等的对应边和对应角的三角形。

具体来说，如果两个三角形的对应边和对应角分别相等，那么这两个三角形就是全等三角形。

全等三角形具有以下性质：1. 对应边相等性质：两个全等三角形的对应边相等。

2. 对应角相等性质：两个全等三角形的对应角相等。

3. 对应边角相等性质：两个全等三角形的对应边和对应角分别相等。

二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。

4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角和一对对边分别相等，则这两个三角形全等。

三、全等三角形的应用1. 证明问题：全等三角形经常被用于证明相关的几何问题。

通过使用全等三角形的性质，可以推导出其他的几何关系和定理。

2. 计算问题：在计算问题中，全等三角形可以提供一些关键信息，帮助我们求解未知量。

例如利用全等三角形的判定方法，可以求解出未知边长、角度等问题。

3. 构造问题：全等三角形的性质可以被用于构造一些特殊的图形或者几何结构。

通过构造全等三角形，可以获得所需的图形。

四、全等三角形的应用举例1. 根据已知条件证明两个三角形全等：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。

根据ASA判定法，可以证明两个三角形全等。

2. 计算未知量：假设有一个三角形ABC，已知∠A = 30°，AC = 5，BC = 8。

利用全等三角形的性质，可以计算出其他角度和边长的值。

全等三角形的常见类型归纳

全等三角形的常见类型全等三角形是初中平面几何的一个重要内容，也是中考必考的内容之一。

识别两个三角形全等一般有边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）四种方法。

全等三角形的题目很多，但不外乎以下四种类型：一、轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。

把△ABC沿直线L翻折后，能与△A”B”C”重合，则称它们是轴对称型全等三角形。

下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴L是对称点所连线段的垂直平分线。

识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图（1）中的AC，图（4）中的AA”），有些具有公共角或对顶角（如图（2）中的∠BAC＝∠B”AC”，图（3）中的∠ACB＝∠A”CB”）。

例1.如下图，在∠A的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。

试说明：AF平分∠A。

二、平移型全等三角形把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△A”B”C”与△ABC称为平移型全等三角形。

有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。

下图是常见的平移型全等三角形。

图（1）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”。

图（2）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”，BC∥B”C”，BC＝B”C”。

例2. 如下图，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D点，∠C的平分线CE交AB、AD于E、F，过F作FG∥BC交AB于G点。

试说明：AE＝BG。

三、旋转型全等三角形将△ABC绕顶点A旋转角后，到达△AB”C”的位置，则称△ABC和△AB”C”为旋转型全等三角形。

如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形。

识别旋转型全等三角形时，要注意图（1）（2）（3）中以点A、B、B”和点A、C、C”为顶点的三角形都是顶角为的等腰三角形，∠BAC和∠B”AC”隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等。

全等三角形及其应用(含答案)

6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理

专题02 全等三角形中的六种模型梳理专题02 全等三角形中的六种模型梳理全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，也是平面几何中的基础知识之一。

全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。

在学习全等三角形的过程中，我们可以通过六种模型来更好地理解和应用这一概念。

本文将以深度和广度的要求，全面探讨全等三角形的六种模型，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 回顾全等三角形的概念在深入探讨全等三角形的六种模型之前，我们首先需要回顾一下全等三角形的概念。

在平面几何中，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，我们就称它们为全等三角形。

全等三角形的性质包括边长相等、对应角度相等、周长相等和面积相等。

这些性质是我们理解全等三角形的基础，也是之后探讨六种模型的重要依据。

2. 全等三角形的基本模型我们来看全等三角形的基本模型。

当两个三角形的对应边和对应角均相等时，这两个三角形就是全等的。

这是最基本的全等三角形模型，也是其他五种模型的基础。

通过这个基本模型，我们可以理解全等三角形的定义和性质，为之后的探讨打下基础。

3. 侧边-夹角-侧边模型我们来探讨侧边-夹角-侧边模型。

当两个三角形的一个对应边和夹角以及另一个对应边均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中经常用到，比如通过已知一个角和两边的长短来确定两个三角形是否全等。

这个模型的理解和运用可以帮助我们更好地解决实际问题。

4. 夹角-边-夹角模型接下来，我们继续探讨夹角-边-夹角模型。

当两个三角形的一个夹角和两个对应边的夹角均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型的理解有助于我们在解题过程中更灵活地运用全等三角形的性质，从而更快地解决问题。

5. 边-边-边模型我们来看一下边-边-边模型。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中也经常用到，通过边长的关系来判断两个三角形是否全等。

全等三角形的表示方法

全等三角形的表示方法
全等三角形是三角形中最常见的一种形状，它由三条相等的边和
三个相等的内角构成。

因此，全等三角形又被称为“等边三角形”。

平面几何中，一般记为△ABC。

更准确地说，全等三角形的特点是三条边的长度相等（也就是说
边长都是a），而且三个内角的度数也相等，可以表示为∠A = ∠B =
∠C = 60°或120°，这取决于边的数量（即直角三角形或钝角三角形）。

因此，对于全等三角形，可以先用一个△ABC表示，往后再接上
三条相等的边长表示。

例如：△ABC（a=b=c）。

全等三角形的特点决定它具有许多独特的性质，例如它的面积和
周长。

面积计算公式可以表示为S=1/2*a²*sin(60°)，周长的计算公
式为P=3*a，其中a为任意一条边的长度。

此外，对于全等三角形，可以利用勾股定理求出它的高：h=a√3，特别的，它有一条叫做根长，可以用来表示全等三角形的任意边，其
计算公式为x=a*√3。

全等三角形在数学及几何中都很重要，它可用来解决许多问题，
因此它是一种常见的几何图形，可以通过三个相等边和三个相等角表示。

通过它的特性，可以求出它的面积、周长以及它的高和根长的长度。

全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

七年级全等三角形知识点

七年级全等三角形知识点全等三角形是初中数学中非常重要的一部分，它是平面几何学中基础的一个概念，也是许多复杂性质的前提条件。

在初中学习阶段，深入理解全等三角形的基础知识是非常必要的。

下面，我们来详细地了解一下七年级全等三角形知识点。

一、全等三角形的定义全等三角形是指在平面内，若两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形完全相同，彼此重合，称之为全等三角形。

二、全等三角形的性质1. 相等必重合：如果两个三角形是全等的，那么它们一定重合在一起。

2. 全等三角形的对应边角相等：在两个全等三角形中，对应的边和对应的角都是相等的。

3. 全等三角形的内角和相等：在一个全等三角形中，三个内角的和等于180度。

三、全等三角形的判定1. SSS判定法：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。

2. SAS判定法：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

3. ASA判定法：若两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形求解三角形的性质：我们可以利用全等三角形的性质来证明之前所学三角形的性质，比如角平分线定理、垂心定理等。

2. 证明两条线段平行：我们可以通过构造全等三角形来证明两条线段平行，这也是初中数学中常用的证明方法之一。

3. 量角度：我们可以利用全等三角形来量角度，比如在一些复杂的图形中，可以通过构造全等三角形来得到某些角度的度数。

五、练习全等三角形在学习了全等三角形的基本知识后，我们需要通过大量的练习来巩固这些知识。

下面，我们提供一些练习题，供大家训练。

1. 若ABC和DEF是两个全等三角形，那么∠B = ?2. 若两个三角形的两个角和一条边分别相等，则这两个三角形是什么关系？3. 通过构造全等三角形，证明AD // BC。

4. 量出下图中的∠ACD的度数。

（插入图片）结语：在初中数学学习阶段，全等三角形的基础知识是非常重要的。

八年级上册数学全等三角形知识点总结

八年级上册数学全等三角形知识点总结
1. 三角形的边与角的关系：任意两边之和大于第三边，任意两角的和小于180°。

2. 全等三角形定义：如果两个三角形的对应的三边和三个内角都相等，则这两个三角形全等。

3. 全等三角形的性质：
- 对应的三边相等：若两个三角形全等，则对应的三边相等。

- 对应的三个角相等：若两个三角形全等，则对应的三个角相等。

- 对应的等角对应的边相等：若两个三角形全等，则对应的等角对应的边相等。

- 直角三角形的斜边相等：若两个直角三角形的两直角相等且一边对应相等，则两个直角三角形全等。

- 几何体的面与体全等条件：若两个几何体的对应面全等，且它们相应的边垂直，则两个几何体全等。

4. 全等三角形的判定方法：
- SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

- SAS判定法：如果两个三角形的一对边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。

- ASA判定法：如果两个三角形的一对角和它们夹着的两边分别相等，则这两个三角形全等。

- RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。

5. 全等三角形的应用：
- 用全等三角形的判定法判断两个三角形是否全等。

- 在平面几何问题中，利用全等三角形的性质推导出结论或解决问题。

例如，求线段的长、角的度数等。

构造三角形全等的方法

构造三角形全等的方法一、引言三角形是平面几何中最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题。

全等三角形指的是具有相同边长和角度的三角形，它们的形状完全相同。

本文将介绍几种构造全等三角形的方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

二、SSS法SSS法是构造全等三角形中最常用的方法之一，它基于三角形边长相等的性质。

具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和一条边长相等的线段DE。

2. 以点D为圆心，DE的长度为半径，画一个圆。

3. 以点A为圆心，以AB的长度为半径，画一个圆。

该圆与第一步中的圆交于点F。

4. 连接BF和AF，得到三角形ABF。

5. 证明AF=DE，BF=DE，AB=DE，即可得到三角形ABF与三角形ABC全等。

三、SAS法SAS法也是构造全等三角形常用的方法之一，它基于三角形两边和夹角相等的性质。

具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和一个角度a。

2. 在角ABC的一侧，以BC为边，以角a的度数为顶角，画一条射线。

3. 在射线上取一点D，使得BD=AB。

4. 连接AD，得到三角形ABD。

5. 证明AD=AC，BD=AB，角BAD=角BAC，即可得到三角形ABD与三角形ABC全等。

四、ASA法ASA法是构造全等三角形的另一种常用方法，它基于三角形两角和夹边相等的性质。

具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和两个角度a和b。

2. 在角ABC的一边，以角a的度数为顶角，画一条射线。

3. 在射线上取一点D，使得角BDA的度数为角BAC的度数。

4. 连接BD，得到三角形ABD。

5. 证明角BAD=角BAC，角BDA=角BCA，AD=AC，即可得到三角形ABD与三角形ABC全等。

五、AAS法AAS法也是构造全等三角形的一种方法，它基于三角形两角和一边相等的性质。

具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和两个角度a和b。

2. 在角ABC的一边，以角a的度数为顶角，画一条射线。

3. 在射线上取一点D，使得角BDA的度数为角BAC的度数。

全等三角形及其应用(含解答)

全等三角形及其应用专题辅导1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常需要借助全等三角形的知识。

全等三角形说课稿

全等三角形说课稿一、说教材本文“全等三角形”是几何学中的重要部分，它不仅是初中数学教学的重点，也是学生掌握平面几何的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法，是整个几何图形学习的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

（1）作用与地位：全等三角形作为几何图形的基本元素，在初中数学课程中占据核心地位。

它既是前期学习的三角形知识的拓展，也是后续学习相似形、四边形等知识的基础。

通过全等三角形的学习，学生可以更好地理解几何图形的性质和变化。

（2）主要内容：本文主要围绕全等三角形的基本概念、性质、判定方法等方面进行讲解。

包括以下小节：1. 全等三角形的定义：介绍了全等三角形的含义，即能够完全重合的两个三角形。

2. 全等三角形的性质：分析了全等三角形的对应边、对应角相等的性质。

3. 全等三角形的判定方法：讲解了SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并分析了它们的应用场景。

二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：（1）知识与技能：1. 理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的性质。

2. 学会使用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等三角形，并能运用这些判定方法解决实际问题。

3. 能够运用全等三角形的知识，解释生活中的几何问题。

（2）过程与方法：1. 通过观察、实践、探索，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 学会与他人合作，共同解决问题，提高团队协作能力。

（3）情感态度与价值观：1. 培养学生对几何学的兴趣，激发学生学习数学的热情。

2. 培养学生严谨、细致的学习态度，树立正确的价值观。

三、说教学重难点（1）重点：1. 全等三角形的定义和性质。

2. 全等三角形的判定方法。

（2）难点：1. 对全等三角形判定方法的理解和应用。

2. 在实际问题中运用全等三角形知识解决问题。

在教学过程中，需要关注学生对重难点的掌握情况，通过启发式教学、问答法等手段，帮助学生克服难点，确保教学目标的达成。

全等三角形动点问题的解题思路

一、问题描述在平面几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

动点问题是指在平面上确定一个点，而后移动这个点以满足一定条件。

全等三角形动点问题则是要求在平面上确定一个点，使得以该点为顶点的所有全等三角形的面积之和最大或最小。

这个问题在数学竞赛和几何学研究中常常出现，解题思路精妙而严谨。

二、解题思路1. 确定顶点我们可以考虑在给定的平面上确定一个点作为全等三角形的顶点，用坐标(x,y)表示。

这个顶点的选取形成了问题的基础。

2. 寻找基线我们需要确定一个基线，可以是平行于x轴或y轴的直线，也可以是不平行于坐标轴的直线。

该基线将与顶点形成两条边，作为全等三角形的两条边。

3. 定义第三顶点在确定了顶点和基线之后，我们需要找到以确定的顶点和基线为两边的所有全等三角形的第三个顶点。

这个顶点与已知两边的长度和角度有关，需要通过数学方法求解。

4. 计算面积我们可以根据已知的三角形三边长度和角度来计算全等三角形的面积，然后将所有全等三角形的面积相加，得到总的面积。

通过对顶点和基线的选择，使得总面积达到最大或最小。

三、求解方法1. 枚举法一种直观的方法是使用枚举法，即遍历所有可能的顶点和基线组合，计算出每一组合对应的全等三角形面积之和，然后找出最大或最小的值。

这种方法的缺点是计算量大，需要耗费大量时间和精力。

2. 几何分析法另一种方法是通过几何分析，利用三角形的性质和面积公式来推导出最优的顶点和基线选择。

这种方法需要一定的数学功底和几何直觉，但可以避免枚举法的缺点，得到更加精确和高效的解答。

3. 数学建模法还可以采用数学建模的方法，将全等三角形动点问题转化为数学问题，通过建立数学模型和运用优化理论来求解。

这种方法需要对数学理论和数值计算都有较高的要求，但可以得到较为严谨和可靠的结果。

四、举例说明以确定顶点为(-1,2)、基线为y=3和寻找基线不平行于坐标轴的情况为例，说明全等三角形动点问题的解题思路。

我们固定顶点为(-1,2)，然后确定基线为y=3，寻找第三个顶点在基线的两侧。

八年级数学几何图形第06讲全等三角形的基本类型(学生版)

第06讲全等三角形的基本类型（原卷版）典例剖析+针对训练类型一平移型典例1（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．针对训练11．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．类型二对称型典例2（2021秋•江阴市期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．（1）求证：△ABO≌△DCO；（2）若∠OBC＝35°，求∠OCB的度数．针对训练22．（2021秋•江阴市校级月考）如图，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB．求证：∠ABO＝∠DCO．类型三旋转类型典例3（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．针对训练33．（2021春•商河县校级期末）如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：BD＝CE；（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．4．（淄川区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．求证：△AFB≌△AGE．类型四一线三等角典例4（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM ＝6，BN＝2，求MN．本号资料皆@@来源*于微信公众号：数学第六感（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．典例5（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．针对训练45．（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）6．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（）A．（﹣2√2，0）B．（﹣2√3，0）C．（﹣2√5，0）D．（﹣4，0）7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为．第二部分专题提优训练1．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC ＝20，AB＝8，则BE的长度为（）。

人教版八年级数学上册知识点归纳

精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；（8）全等表示方法：用“ ”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）（9）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；11.2三角形全等的判定（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）（3）证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；（4）经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；（5）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释）11.3角的平分线的性质（1）角的平分线的作法：课本第19页；（2）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；（4）性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）（5）三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；第十二章轴对称12.1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

论全等三角形判定和性质和技巧

论全等三角形判定与性质及其技巧袁崧浩三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一，大部分的平面几何都建立在三角形的基础上，本文将论述全等三角形的基础及其拓展。

一、全等三角形的判定公理1、边边边（SSS）三边对应相等的两个三角形全等2、边角边（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、角边角（ASA）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4、角角边（AAS）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等5、斜边、直角边（HL）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等二、全等三角形的性质1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3．全等三角形的对应边上的高对应相等。

4．全等三角形的对应角的角平分线相等。

5．全等三角形的对应边上的中线相等。

6．全等三角形面积相等。

7．全等三角形周长相等。

三、全等三角形题型的解题技巧1、制造全等三角形在一些题目中，你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形，这时就需要通过辅助线来制造全等三角形以解题，可利用等角和等边来作辅助线，一下介绍两种比较经典的方法：（1）倍长中线法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形,例题如下:如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证:2AD<AB+AC证明：延长AD至E，使DE=AD，连结CE∴易证三角形△ADB≌△EDC∴AB=CE在三角形ACE中，2AD<AC+CE（三角形两边之和大于第三边）故证毕（2）角平分线作垂线：利用定理（角平分线上的点到两边的距离相等）来在角平分线上的特定点做边的垂线，以构造全等三角形。

定理证明：证明：OP是∠MON的平分线，过P做PA⊥OM与A，PB⊥ON于B∵OP平分∠MON∴∠MOP=∠NOP即∠AOP=∠BOP∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO=∠PBO=90°∴△AOP≌△BOP∴PA=PB故证毕（逆定理证明类似）例题如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，DE⊥AB，求DE解：∵BC=8，BD=5∴CD=3∵DE⊥AB2、特殊三角形的性质与判定Ⅰ等腰三角形：（1）等腰三角形三线合一等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

平面几何中的相似与全等三角形

平面几何中的相似与全等三角形相似与全等三角形是平面几何中重要的基础概念之一。

它们在解决各种几何问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。

一、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但尺寸可以不同的三角形。

它们的对应角度相等，而对应边长成比例关系。

具体而言，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度满足∠A=∠D、∠B=∠E和∠C=∠F，同时边长满足AB/DE=BC/EF=AC/DF，则这两个三角形相似。

可以用以下符号来表示相似关系：△ABC∽△DEF。

相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角等价性质：相似三角形的对应角是相等的，即∠A=∠D、∠B=∠E和∠C=∠F。

2. 边长成比例：相似三角形的对应边长成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

这一特性使得我们可以根据已知条件推导未知边长或角度。

3. 形状相似：相似三角形具有相同的形状，只是尺寸不同。

这使得相似三角形在几何问题中有着广泛的应用。

相似三角形在几何问题中的应用非常广泛。

例如，利用相似三角形可以解决间接测量问题，如计算高楼的高度、远处物体的距离等。

此外，相似三角形也常常用于解决图形的放大缩小问题，如地图的绘制、模型的制作等。

二、全等三角形全等三角形是指具有完全相同的形状和尺寸的三角形。

如果两个三角形的三个内角完全相等且对应边长相等，则它们是全等三角形。

用以下符号来表示全等关系：△ABC≌△DEF。

全等三角形具有以下重要性质：1. 三个内角相等：全等三角形的三个内角是完全相等的，即∠A=∠D、∠B=∠E和∠C=∠F。

2. 对应边长相等：全等三角形的对应边长是相等的，即AB=DE、BC=EF和AC=DF。

全等三角形的重要性质使得它们在解决几何问题时十分有用。

例如，利用全等三角形可以证明等腰三角形的性质，解决尺规作图问题，以及证明其他几何定理。

总结：相似与全等三角形是平面几何中的重要概念。

高中数学平面几何相似与全等三角形判定方法

高中数学平面几何相似与全等三角形判定方法在高中数学中，平面几何是一个重要的内容模块，其中相似与全等三角形的判定方法是学生们需要掌握的基本知识。

本文将详细介绍相似与全等三角形的判定方法，并给出具体的例子和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在判定两个三角形是否相似时，我们可以使用以下方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∠C1=∠C2，则这两个三角形相似。

2. AA判定法：如果两个三角形的一个角度相等，并且两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，且AB1/AB2=BC1/BC2=AC1/AC2，则这两个三角形相似。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边成比例，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，且AB1/AB2=AC1/AC2，则这两个三角形相似。

通过以上三种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

在解题过程中，可以根据已知条件选择合适的判定方法，从而快速得出结论。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，我们可以使用AA判定法来判断这两个三角形是否相似。

根据AA 判定法，如果∠A=∠D，且AB/DE=BC/EF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

通过这个例子，我们可以清晰地看到AA判定法的应用方法和判定过程。

二、全等三角形的判定方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

初二平面几何知识点

初二平面几何知识点一、关键信息1、平行线的性质与判定性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。

判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

2、三角形的相关知识三角形的内角和为 180 度。

三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。

三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3、全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

全等三角形的判定：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角三角形斜边直角边）。

4、等腰三角形性质：等腰三角形两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。

判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形。

5、等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于 60 度。

判定：三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

6、直角三角形性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

判定：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

二、知识点详细阐述11 平行线的性质与判定111 平行线的性质平行线是指在同一平面内，永不相交的两条直线。

当两条直线平行时，会产生一系列特殊的角度关系。

例如，若直线 a 平行于直线 b，被第三条直线 c 所截，那么同位角相等，即∠1 ＝∠2；内错角相等，即∠3 ＝∠4；同旁内角互补，即∠5 ＋∠6 ＝ 180°。

112 平行线的判定判定两条直线是否平行，可以通过角度关系来判断。

若同位角相等，即∠1 ＝∠2，则直线 a 平行于直线 b；若内错角相等，即∠3 ＝∠4，则直线 a 平行于直线 b；若同旁内角互补，即∠5 ＋∠6 ＝ 180°，则直线 a 平行于直线 b。

全等三角形教学内容

全等三角形教学内容这是全等三角形教学内容，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

全等三角形教学内容第1篇一、教学目标【知识与技能】了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质，能用符号正确表示两个三角形全等，能找出全等三角形的对应元素。

【过程与方法】在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，提高几何直觉和识图能力。

【情感态度与价值观】通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，提高勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。

二、教学重难点【重点】全等三角形的概念、性质及对应元素的确定。

【难点】全等三角形对应元素的识别。

三、教学过程(一)导入新课欣赏一组图片，提出问题提问1：你能从图中找出形状和大小都相同的图形吗?其中一个图形是另一个图形如何变化而来?他们能完全重合吗?你能列举出一些类似的例子吗?(二)生成新知由上图形成全等的概念：形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等三角形。

多媒体演示三中全等变换(全等、翻折、旋转)并提出问题：平移、翻折、旋转前后得到的三角形全等吗?接下来学生小组活动：多媒体投影要求：请你用事前准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形;在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流;指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角。

多媒体展示学生可能得到的图形，寻找对应元素有什么方法和规律吗?学生思考交流后师生共同总结归纳、板书。

提问：全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系?(三)应用新知(1)写出其他对应边及对应角;(2)求线段NM及线段HG 的长度。

(四)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：想一想，生活中还有哪些事物是全等的?四、板书设计《全等三角形》教案五、教学反思全等三角形教学内容第2篇教学目标：1、知识目标：（1）熟记边角边公理的内容；（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等。