广东省肇庆市2012届高三第二次模拟数学理科试题

肇庆市中小学教学质量评2012届高中毕业班第二次模拟试题数 学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 1．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 球的表面积公式24S R π=，体积公式343V R π=其中R 为球的半径2．样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=A ．22i - B ．22i + C ．3i - D ． 3i +2．若集合2{|23},{|1,}M x x N y y x x R =-<<==+∈，则集合M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. [1,3)D. R3．已知ABCD 中，(3,7)AD = ，(2,3)AB =-，对角线AC 与BD 交于点O ，则的坐标为A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．给出以下三幅统计图及四个命题：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的是 A ．①②B ．①③ C. ①④D ．②④5. “α是锐角”是“cos α=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为A. 4163π+B. 1632π+C. 832π+D. 328π+7. 已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时,)()(x g x h -=，则)(x hA . 有最小值1-,最大值1B . 有最大值1,无最小值C . 有最小值1-,无最大值D . 有最大值1-,无最小值8．若对于定义在R 上的函数()f x ，其函数图象是连续的，且存在常数λ（R λ∈），使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是“λ-同伴函数”．下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是 A ．“-21同伴函数”至少有一个零点 B . 2()f x x =是一个“λ-同伴函数” C . 2()log f x x =是一个“λ-同伴函数” D. ()0f x =是唯一一个常值“λ-同伴函数” 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9．不等式|3||3|3x x +-->的解集是 ▲ .10．在数列{}n a ，11=a ，n a a n n +=+1，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图2所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能.（1） ▲ （2） ▲11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 则第一天通过检查的概率是 ▲ ；若5)21(x +的第三项的二项式系数为5n ，则第二天通过检查的概率 ▲ .12．曲线32361y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为_ ▲_.13．若点P 在直线1:30l x my ++=上，过点P 的直线2l 与圆22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，且||PM 的最小值为4，则m = ▲ ．14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为 ▲15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠= ▲ .三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）如图4，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：︒=∠90ACD ，︒=∠60ADC ，︒=∠15ACB ，︒=∠105BCE ，︒=∠45CEB ，DC =CE =1（百米）.（1）求∆CDE 的面积； （2）求A ，B 之间的距离.17.（本小题满分12分）“肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名。

”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A 和品种B ）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n 小片水塘，在总共2n 小片水塘中，随机选n 小片水塘种植品种A ，另外n 小片水塘种植品种B ．（1）假设n =4，在第一大片水塘中，种植品种A 的小片水塘的数目记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）试验时每大片水塘分成8小片，即n =8，试验结束后得到品种A 和品种B 在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表：分别求品种A 和品种B 的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？18.（本小题满分14分）如图5，AB 是圆柱ABFG 的母线，C 是点A 关于点B 对称的点，O 是圆柱上底面的圆心，BF 过O 点，DE 是过O 点的动直径，且AB =2，BF =2AB . （1）求证：BE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥D —BCE 的体积最大时，求二面角C —DE —A 的平面角的余弦值.19.（本题满分14分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，1a t =，点（S n ，1+n a ）在直线21y x =+上，n ∈N *． （1）若数列{}n a 是等比数列，求实数t 的值；（2）设n n na b =，在（1）的条件下，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）设各项均不为0的数列}{n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的整数i 的个数称为这个数列}{n c 的“积异号数”，令nn n b b c 4-=（n N *∈），在（2）的条件下，求数列}{n c 的“积异号数”.20.（本小题满分14分）已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系． 21．（本小题满分14分）设函数32()(0)f x x ax bx x =++>的图象与直线4y =相切于(1,4)M ．（1）求()y f x =在区间(]0,4上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数,()s t s t <，当s x t ≤≤时，函数32()f x x ax bx =++的值域是[],s t ，若存在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由；2012届高中毕业班第二次模拟试题数学（理科）参考答案一、选择题1B 解析： 22(1)221z i i z i+=++=+-2C 解析：因为{|1}N y y =≥，M N = [1,3)3D 解析：如图所示，AC AB AD =+ =(－2，3)+(3，7)=(1，10). ∴OC =12AC =(12，5).∴CO =(12-，－5).4B 解析：①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到近18亿，②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．5A 解析：α是锐角则有cos α=cos α=α不一定是锐角。

6A 解析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长。

设正方形的边长为a ，则222a =，即2a =，所以，长方体的体积为122416V =⨯⨯=,球的体积为3244133V ππ=⨯⨯=故几何体的体积为124163V V V π=+=+.7C 解析：画出|()||21|x y f x ==-与2()1y g x x ==-的图象,它们交于A 、B 两点.由“规定”，在A 、B 两侧, |()|()f x g x ≥故()|()|h x f x =；在A 、B 之间, |()|()f x g x <,故()()h x g x =-.综上可知, ()y h x =的图象是图中的实线部分,因此()h x 有最小值-1,无最大值.8A 解析: A 正确，令0x =，得11()(0)022f f +=．所以11()(0)22f f =-．若(0)0f =，显然()0f x =有实数根；若(0)0f ≠，211()(0)((0))022f f f ⋅=-<．又因为()f x 的函数图象是连续不断，所以()f x 在1(0,)2上必有实数根．因此任意的“12-同伴函数”必有根，即任意“12-同伴函数”至少有一个零点．B 错误．用反证法，假设2()f x x =是一个“λ-同伴函数”，则22()0x x λλ++=，即22(1)20x x λλλ+++=对任意实数x 成立，所以2120λλλ+===，而此式无解，所以2()f x x =不是一个“λ-同伴函数”．C 错误.因为2()log f x x =的定义域不是R.D 错误，设()f x C =是一个“λ-同伴函数”，则(1)0C λ+=，当1λ=-时，可以取遍实数集，因此()0f x =不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．二、填空题9解析：3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 当3x <-时，有(3)(3)3x x -++->得63->，无解.当33x -≤≤时，有333x x ++->，32x >，∴332x <≤. 当3x >时，有3(3)3x x +-->，即6>3，∴3x >.综上，有32x >. 10．（1）处应填30i >（3分）；（2）处应填p p i =+（2分）解析：该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因此于它也是变化的，且满足第i 个数比其前一个数大1i -，,第1i +个数比其前一个数大i ，故应有p p i =+.故(1)处应填30i >；（2）处应填p p i =+ 11解析：53（3分），31（2分） （1） 随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，∴第一天通过检查的概率为49141035C P C ==.（2）由第三项的二项式系数为251052C n n ==⇒=，故第二天通过检查的概率为4811013C P C ==. 12解析：320x y --=. 223663(1)33y x x x '=++=++≥. 当1x =-时，min3y '=；当1x =-时，5y =-. ∴切线方程为53(1)y x +=+，即320x y --=.13解析：1±. 画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明2l 是圆C 的切线，由于222216PM PC CM PC =-=-，所以要||PM 最小，只需||PC 最小，即点C 到1l=所以|PM|4=，解得1m =±． 14解析1：由2224cos sin 0x x y y x y ρθθ⎧==⎧+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩32,4π⎛⎫⎪⎝⎭解析2：由cos sin 0tan 1θθθ+=⇒=-，因为0θπ≤≤，所以34πθ=，故交点的极坐标为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭15解析：连接BD ，BD 与EC 相交于点F ，设1CED ∠=∠，2DFE ∠=∠1A ACE ∠=∠+∠ ,2CD B ECD ∠=∠+∠，CD B A ∠=∠，ECD ACE ∠=∠，12∴∠=∠，而90ADB ∠= ，CED ∴∠=45°. 三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）连结DE ，在∆CDE 中，3609015105150o o o o o DCE ∠=---=， （1分） 11111sin150sin3022224o o BCD S DC CE ∆=⋅⋅=⨯=⨯=（平方百米） （4分）（2）依题意知，在RT ∆ACD中，tan 1tan 60o AC DC ADC =⋅∠=⨯= （5分）在∆BCE 中，1801801054530o o o o o CBE BCE CEB ∠=-∠-∠=--= 由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠得1sin sin 45sin sin30o oCE BC CEB CBE =⋅∠=⨯=∠ （7分） ∵000cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45o o o o =-=+12==（9分） 在∆ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠ （10分）可得22AB -=∴AB = （12分） 17．（本小题满分12分） 解：（1）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. （1分）4811(0)70P C ξ===，13444816(1)70C C P C ξ===，22444836(2)70C C P C ξ===，31444816(3)70C C P C ξ===，4811(4)70P C ξ=== 即ξ的分布列为（4分） ξ的数学期望为11636161()0123427070707070E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （6分） （2）品种A 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：1(101979210391100110106)1008A x =+++++++= （7分）()22222221138********.4A s n=+++++++≈ （8分） 品种B 的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：1(115107112108111120110113)1128B x =+++++++= （9分）()22222213504182114.7B s n=+++++++≈ （10分） 由以上结果可以看出，品种B 的样本平均数大于品种A 的样本平均数，且品种B 的样本方差小于品种A ，故应该选择种植品种B. （12分） 18．（本小题满分14分）（1）证明：AB 是圆柱ABFG 的母线，C 是点A 关于点B 对称的点， ∴AC 垂直圆柱的底面，即AC ⊥平面BDF ， （1分） ∵BE ⊂平面BDF ，∴BE AC ⊥ （2分） ∵DE 是圆柱上底面的直径，∴BE BD ⊥ （3分） ∵AC ⊂平面ACD ，BD ⊂平面ACD ，且AC BD B = （4分） ∴BE ⊥平面ACD （5分） （2）解：DE 是圆O 的直径，∴DBE ∠是直角，24DE BF AB ===设,(04)BD x x =<<,在直角三角形BDE 中，0BE =>，（6分）11422DBE S BD BE ∆=⋅==， （8分）当且仅当x =x ==”成立， （9分） ∵三棱锥D BCE -的体积等于三棱锥C DBE -的体积，而三棱锥C DBE -的高2BC =，∴三角形BDE 的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时，BD BE ==BDE 是等腰直角三角形 （10分） ∴BO DE ⊥∵AC DE ⊥，∴DE ⊥平面AOC （11分）连结CO ，AO ，从而有,CO DE AO DE ⊥⊥，∴AO C ∠是二面角C DE A --的平面角 （12分） 在三角形AOC 中，AO C BO C AO B ∠=∠+∠ 又2tan 12BC BOC BO ∠===，02BOC π<∠<，∴4BOC π∠=同理可得4AOB π∠=，∴2AOC π∠=（13分）cos cos0AOC π∠==，即二面角C DE A --的平面角的余弦值为0. （14分）解：（1）由题意，当2n ≥时，有112121n n nn a S a S +-=+⎧⎨=+⎩， （1分）两式相减，得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， 所以，当2n ≥时，{}n a 是等比数列 要使1n ≥时{}n a 是等比数列，则只需21213a t a t+==，从而得出1t =． （4分） （2）由（1）得，等比数列{}n a 的首项为11a =，公比3q =，∴13n n a -= （5分） ∴13n n n b na n -==⋅ ∴01221132333(1)33n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ① （7分） 上式两边乘以3得12313132333(1)33n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ② （8分） ①－②得0121233333n n n T n --=++++-⋅ ∴211344n n n T -=⋅+ （10分） （3） 由（2）知13n n b n -=⋅，∵41n n c b =- ∵14131c =-=-，2411233c =-=⨯，∴1210c c =-< （11分） ∵03)1()32(44411>⋅++=-=-++nn n n n n n n b b c c ，∴数列{}n c 递增. （12分） 由2103c =>，得当2≥n 时，c n >0. ∴数列{}n c 的“积异号数”为1. （14分） 20．（本小题满分14分） 解：（1）由题意得，())12,F F 圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从而12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>=（3分）∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆,其中长轴24a =,焦距2c =则短半轴1b =， 椭圆方程为:2214x y += （5分） （2）设()00,K x y ，则220014x y +=．∵HK KQ =，∴()00,2Q x y ．∴2OQ = （6分） ∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．(7分)又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． 令2x =，得0082,2y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (9分) 又()2,0B ，N 为DB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭． ∴()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． (11分) ∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=． (13分)∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切. (14分)解：（1）2()32f x x ax b '=++， （1分） 依题意则有：(1)0(1)4f f '=⎧⎨=⎩，即320,14,a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得69a b =-⎧⎨=⎩ ∴32()69f x x x x =-+令2()31290f x x x '=-+=，解得1x =或3x = （3分） 当x 变化时，(),()f x f x '在区间(]0,4上的变化情况如下表：所以函数32()69f x x x x =-+在区间(]0,4上的最大值是4，最小值是0. （4分） （2）由函数的定义域是正数知，0s >，故极值点3x =不在区间[],s t 上； （5分）①若极值点1x =在区间[],s t ，此时013s t <≤≤<，在此区间上()f x 的最大值是4，不可能等于t ；故在区间[],s t 上没有极值点； （7分） ②若32()69f x x x x =-+在[],s t 上单调增，即01s t <<≤或3s t <<，则()()f s s f t t =⎧⎨=⎩，即32326969s s s s t t t t⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得24s t =⎧⎨=⎩或s =4或t =4不合要求； （10分） ③若32()69f x x x x =-+在[],s t 上单调减，即1<s <t <3，则()()f s tf t s=⎧⎨=⎩，两式相减并除s t -得：2()6()100s t s t st +-+-+=， ①两式相除可得22[(3)][(3)]s s t t -=-，即(3)(3)s s t t -=-，整理并除以s t -得：3s t +=， ②由①、②可得31s t st +=⎧⎨=⎩，即,s t 是方程2310x x -+=的两根，即存在32s =32t =不合要求. （13分） 综上可得不存在满足条件的s 、t . （14分）。