北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)数学(文科)试题
北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习(二模)试题文(含解析)
/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，V 和 K 满足一个线性关系，即V=v0源自(1K k0)
（其中
v0
,
k0
是正数），则以下说法正确的是
A. 随着车流密度增大，车流速度增大
B. 随着车流密度增大，交通流量增大
C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大
D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小
12.已知 a log2 9 ， b log3 m ， c log5 15 ，则满足 a b c 的一个正整数 m 为
_____________. 【答案】27. 【解析】 【分析】 由对数值的运算得：a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当 m＝27 时，b＝log3m ＝log327＝3 满足 a＞b＞c，得解． 【详解】因为 a＝log29＞log28＝3，
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1.已知集合 A {x x 1或x 3}, B {x x 2 0}，则 A B
A. x x 1或x 2 B. x 1 x 2
【详解】 5i ＝ 5i（1+ i) ＝ 5 5 i .实部为 5 ，虚部为 5 .
1- i
2
22
2
2
故答案为：(1) 5 ；(2) 5 .
2
2
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11.在 ABC 中， A 4
， a2 b2
c2
ab ， c 3，则 C __________
北京市东城区2013学年度第二学期高三综合练习(二)
北京市东城区2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）（东城二模） （时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合<<-=∈<-=x x B R x x x x A 2|{},,0)1(|{},,2R x ∈那么集合B A是 ( ) ∅.A },10|.{R x x x B ∈<< },22|.{R x x x C ∈<<- },12|.{R x x x D ∈<<-2．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．则图中x 的值等于 ( )754.0.A 048.0.B 018.0.C 012.0.D3．已知圆的极坐标方程是,cos 2θρ=那么该圆的直角坐标方程是 ( )1)1.(22=+-y x A 1)1(.22=-+y x B 1)1.(22=++y x C 2.22=+y x D4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是 直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D5．阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为 ( )1.A2.B3.C4.D6．已知,53)4(s =-x in π那么sin2x 的值为 ( ) 253.A 257.B 259.C 2518.D 7．过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若,10||=AB 则AB 的中点到y 轴的距离等于( )1.A2.B3.C4.D8．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当∈x )0,(-∞时，0)()(/<+x xf x f （其中)(/x f 是)(x f 的导函数），若=⋅=⋅=c f b f a ),3(log 3log ),3(33.03.0ππ),91(log 91log 33f ⋅则a ，b ，c 的大小关系是 ( )c b a A >>. a b c B >>. b a c C >>. b c a D >>. 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知向量),,1(),3,2(λ=-=b a 若a∥b，则λ=10.若复数ii a -+1是纯虚数，则实数a 的值为 11．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 若=3a ,5,224s S =则1a 的值为 4,s 的值为12.如图，AB 为⊙0的直径，AC 切⊙0于点A ，且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若,ND MN CM ====CM AC 则,22 =AD ,13.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 种．14.在数列}{n a 中，若对任意的*,N n ∈都有t t a aa a n n n n （=-+++112为常数），则称数列}{n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列}{n a 满足,221n a n n -=则数列}{n a 是比等差数列，且比公差;21=t ③若数列}{n c 满足),3(,1,12121≥+===--n c c c c c n n n 则该数列不是比等差数列；④若}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，则数列}{n n b a 是 比等差数列．其中所有真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数-=x x x f cos 3(sin )().sin x(I)求)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)当)32,0(π∈x 时，求)(x f 的取值范围． 16.（本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：（单位：人）按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优秀的有30人．，(I)求a 的值；(Ⅱ)在合格的同学中按男、女分层，得到一个容量为的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题共14分）如图，△BCD 是等边三角形，=AB ,90, =∠BAD AD 将△BCD 沿BD 折叠到D BC /∆的位置，使得./B C AD ⊥(I)求证：;/AC AD ⊥(Ⅱ)若M ，N 分别是B C BD /,的中点，求二面角N-AM -B 的余弦值．18．（本小题共14分）已知函数).0(ln )(>+=a x a x x f (I)求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)如果),(00y x P 是曲线)(x f y =上的任意一点，若以),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值； (Ⅲ)讨论关于x 的方程212)(2)(3-++=x a bx x x f 的实根情况． 19.（本小题共13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率,23=e 原点到过点),0(),0,(b B a A - 的直线的距离是⋅554(I) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若椭圆C 上一动点),(00y x P 关于直线x y 2=的对称点为2121111),(y x y x P +求的取值范围；(Ⅲ)如果直线)0(1=/+=k kx y 交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20.（本小题共13分）已知数列===-1421,,1},{n n n n a a a a a *).(1,014N n a n ∈=+(I)求⋅74,a a(Ⅱ)是否存在正整数T ，使得对任意的*,N n ∈有T n a +n a =? (Ⅲ)设,10101010321 +++++=n a a a a S 问：S 是否为有理数？说明理由，。
北京市东城区2024届高三下学期5月二模试题 数学 含答案
北京市东城区2023-2024学年度第二学期高三综合练习（二）数学2024.5本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知梊合A=｛斗x+l$0},B ={x l -2釭<l}，则A `B= （）(A){xix< l }(C )｛斗立－2}CB) {xl-2sx<l}(D)伈|－2$x$-l}(2)下列函数中，在区间(1,+w ）上单调递减的是（）(A)f(x)＝石(8).f(x)=e 勺l CD) f (x) = In.xCC)f (x) = x +-冗7冗石(3)在丛ABC 中，A ＝一，C=-,b = ，则a = （(A)I4 12(B)五(C)石(D)2X2y 2(4)已知双曲线一－－－－＝l(a>a 2 b2 (a> O,b> 0)过点(3，五），且一条渐近线的倾斜角为30,则双曲线的方程为（）X2(A)—-y 2= l322Xy (C)—-—=1 622CB) x 2_2'..:.. = 13(D)x 2-4沪＝1(5)直线l:y = -1与圆E: x 2 + y 2 -4x = 0交千A,B 两点，若圆上存在点C,使得6ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标可以为（(A)（O,0)(B)(4,0)CC)(1，f3)(D)(2,2)(6)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球．从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机膜出l个小球，则两次膜到的小球颜色不同的概率为（2 3 4(A).:. (B).::.(C).:. (D)...:..5 5 5 5(7)已知函数f(x)=lx-lle x与直线y=l交千A(x i,y,),B（凸心）两点，则1斗－对所在的区间为（）(A)(0,1)CB) (1,2) CC){2,3)(D)(3,4)(8)已知平面向量ei 'e2'伤，e4是单位向批，且el..L今，则”ei.e3= e z. e4"是“e3·e4= 0"的（）(A)充分不必要条件(C)充分必要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(9)庐音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为2冗h(t) = Asin妞(A>O,u)>O)，其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，T＝—-，它是Q物体振动一次所需的时间；J表示频率，f=－，它是物体在单位时间里振动的次数下表为我国古代五T声音阶及其对应的频率j.：音宫商角徵习习归�Hz I 440Hz小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔－个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设3两次声音咱度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在［主＋00］上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）(A)宫(B)商(C)角(D)徵(l0)设无穷正数数列忆｝，如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得a111 = a, +a2 +a产...+a n,那么称忆｝为内和数列，并令丸＝m,称｛bl，}为{a n}的伴随数列，则（）(A)若忆｝为等差数列，则忆｝为内和数列(B)若忆｝为等比数列，则忆｝为内和数列（C)若内和数列忆｝为递增数列，则其伴随数列{b,,}为递增数列(D)若内和数列忆｝的伴随数列仇｝为递增数列，则忆，，｝为递增数列第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区2019届高三下学期综合练习(二模)数学(文)试题含答案
A 0, 0,
的部分图象如图所示 .
2
（Ⅱ）若对于任意的 x 0, m ， f x 1恒成立，求 m 的最大值 .
（ 17）（本小题 13 分）
某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修
. 现有甲、乙
两名工 人同时
从事这项工作，下表记录了某月 1 日到 10 日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数 .
（ 3）执行如图所示的程序框图，输入 a 2, b 5 ，那么输出的 a, b 的值
分别为
（A） 7, 3
（ B） 3, 3
（C） 5, 3
（ D） 5, 2
（ 4）若 x, y 满 足 2x - 1＃ y x，则点 ( x, y) 到点 (- 1,0) 距离的最小值为
（A） 5
（ B） 3 5 5
s2 乙
的大小
.（只
需写出结论） ； （III ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件
不超过 3 件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人
.
（ 18）（本小题 14 分）
如图所示的五面体 ABCDEF 中，平面 ADE 平面 ABCD , AE DE , AE DE , AB ∥ CD ， AB BC , DAB 60o， AB AD 4 ． （Ⅰ）求四棱锥 E ABCD 的体积； （Ⅱ）求证： EF ∥平面 ABCD ； （Ⅲ）设点 M 为线段 BC 上的动点，求证： EM 与 AM 不垂直．
车流速度 V （千米 / 小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度 K （辆 / 千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数 .
K
一般的， V 和 K 满足一个线性关系，即
2018北京东城高三二模语文试题及答案
2018北京东城高三二模语文试题及答案北京市东城区2017—2018学年度第二学期高三综合练习（二）语文 2018.5 本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共8小题，共24分。
阅读下面的文字，回答1—8题。
材料一墨作为书写工具，同时也是重要的文化传承载体，已有几千年的历史。
殷商时代的甲骨文就以石墨、朱砂填色。
汉代纸料发明后，出现了一种以漆烟和松煤制成的丸状墨，这是日后用墨的滥觞．。
唐代是文化交流最广泛的朝代之一。
唐末奚超避乱至歙州，见此地多松且质优，新安江水质极佳，因此留在此地制墨。
因墨的主产区为歙州，故得名“歙墨”。
其后奚超之子改进捣烟、和胶的方法，制成了“拈来轻、嗅来馨、磨来清”“丰肌腻理、光泽如漆”的佳墨。
制墨工艺的改进，让书写更加流利，也加快了文化的传播速度。
宋室南渡后，宋墨的制作技艺臻．于成熟。
制墨业的繁荣表现在三个方面：第一，油烟墨的创立，开辟了中国制墨业的新领域。
千百年来，制墨主要以松烟为原料，由于长年累月取松烧烟，致使松树被砍伐殆．尽，新的制墨原料——桐油烟便应．运而生。
第二，制墨从业人员众多，名家辈出。
宋代制墨名家见诸史册的多达百余人，他们在选料、配方、烧制、用胶、捣杵等工艺方面，都有独到之处。
第三，达官贵人及文人墨客与制墨工匠切磋技艺，促进了制墨技艺的发展。
创造“瘦金体”书法的宋徽宗喜欢墨又懂制墨，他亲自实践，推动了制墨业的发展。
苏轼、陆游、黄庭坚等文人都有过参与制墨的经历。
宣和三年A.徽墨的发展经历了石墨、汉代丸状墨、唐代歙墨三个阶段B.唐墨以桐油烟为主要原料，墨色黑润，坚而有光，馨香浓郁C.清代徽墨墨雕题材丰富，一块徽墨的装饰图案汇集多种文化元素D.具有厚重历史文化的徽墨坚持创新，不断充实中国文化的内涵3.根据材料一，下列不属于．．．明代徽墨蓬勃发展原因的一项是（3分）A.新原料的应用B.新工艺的使用C.雕刻技术的进步D.文化人士的呼吁材料二作为传统工艺制品，徽墨因其装饰图案文化内容丰富，兼具实用与欣赏功能。
东城区普通高中示范校高三数学综合练习(二)及答案
东城区普通高中示范校高三数学综合练习（二）2012.3命题学校：北京市第十一中学学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集2,{|30},{|1}U A x x x B x x ==-->=<-R ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x2．已知直线l 过定点（-1，1），则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆122=+y x 相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥ C ．,βm n m =⊥ α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 4．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ） A.61 B. 92 C. 185 D. 315. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A.（30，42］B.（42，56］C.（56，72］D.（30，72）mO PQ MN6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A ．112 B.80 C.72 D.64（第5题图）（第6题图）7. 已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a 8.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是（ ）4π x 2π 2π4π S Oπx 2π 2π4π S Oπx 2π 2πS Oπx 2π 2π4π S Oπ4俯视图 正视图侧视图4 43A B C D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区20172018学年度第二学期高三综合练习一
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << （2）复数i1iz =-在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2-（B ）1-（C ）2（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（A ）2n ≤ （B ）3n ≤（C ）4n ≤ （D ）5n ≤输出S结束是开始否0,0n S ==1n n =+2nS S =+（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）2（B ）22（C ）32（D ） 4（6）函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）3(1,)2（D ）3(,2)2（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2023.5北京东城区 高三二模数学 答案
北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准2023.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D （6）C（7）B（8）C（9）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）π12（13）0m =(答案不唯一)（14）717（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin b A a B =，由题设得sin cos02Ba B a -=，2sincos cos 0222B B Ba a -=，因为022B π<<，所以cos 0.2Ba ≠所以1sin22B =.26B π=,3B π=.………………6分（Ⅱ）选条件①：sin sin 2sin .A CB +=因为3,3b B π==，sin sin 2sin .A C B +=由正弦定理得26a c b +==，由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-，解得9ac =.所以1sin 24ABC S ac B ==△．由9,6,ac a c =⎧⎨+=⎩解得3a =.………13分选条件②：c =已知,3,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==，因为c b <，所以6C π=,2A π=.223.a b c =+=所以13322ABC S bc ==△．（17）（共14分）解：（I ）由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，，所以AC ⊥平面ABD ．因为BE ⊂平面ABD ，所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，所以BE ⊥平面ACD ．所以BE CD ⊥.………………6分（II ）设AEADλ=，[0,1]λ∈.取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ，则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ，所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD .如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，3)D ．所以(2,0,0)BA =- ，3)AD = ，(2,2,0)BC =- ，(1,3)CD =-，(3)BE BA AE BA AD λλλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,(2)30.x y x z λλ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3x λ=，则3y λ=，2z λ=-.于是(33,2)λλλ=-n .因为直线CD 和平面BCE所成角的正弦值为10，所以||10|cos ,|10||||CD CD CD ⋅<>==n n n ，整理得2826110λλ-+=，解得12λ=或114λ=.因为[0,1]λ∈，所以12λ=，即12AE AD =.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7………3分（Ⅱ）（i）随机变量X 可能的取值为0，1，2．这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.2793(0)7C P X ===；2762(1)7C P X ===；2762(2)7C P X ===．则随机变量X 的分布列为：X 012P372727X 的数学期望32260127777EX =⨯+⨯+⨯=．………11分（ii）DX DY <.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-.所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△………………6分（Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24, y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩得222(24)0k x km x m +-+=．由0∆>有10km ->．设1111(,),(,),A x yB x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k =．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x kmx k+-==.N 到准线的距离20221k km d x k -+=+=，12AB x =-==依题意有2ABd =，222k km k -+=，整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )2x f x x x '=+-，(0)1f '=-，(0)0f =.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.………………5分（Ⅱ）令()()e (sin cos )2x g x f x x x '==+-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，(1)e(sin1cos1)20g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.………………11分（Ⅲ）满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin ex xa x <-恒成立.令()sin e xx x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx-≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，1()e x x h x -'=，()h x '与()h x 的情况如下：x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e-所以min 1()(1).eh x h ==-当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1[,0)e-.因为sin [1,1]x ∈-，所以()x ϕ的最小值小于1-且大于2-．所以a 的最大整数值为2-.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设知(5){478}A =，，，(5)=3s .………………4分（Ⅱ）依题意()1(12)i s a i n ≥=，，， ，则有11.()i s a ≤因此12111.()()()n n s a s a s a +++≤ 又因为12111()()()n n s a s a s a +++=，所以() 1.i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.………………9分（Ⅲ）依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ≠时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，.同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .………………15分。
2019东城区高三二模文科数学试卷及答案
北京市东城区2019年度综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U AB =ð（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}（2）若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 （3）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 （4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）43（B ）83 （C ）4 （D ）8（5）已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l 的距离是 （A ）22 （B ）2 （C ）223（D ）22正视图侧视图俯视图（7）△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++=，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 （A ）32（B（C ）3 （D）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京东城区2012学年第二学期高三第二次综合练习文科数学试题及答案
北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（A ）{}1,2（B ）{}1x x ≤ （C ）{}1,0,1- （D ）R（2）“3a =”是“直线30ax y +=与直线223x y +=平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）执行右图的程序框图，则第3次输出的数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知圆2220x y x m y +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）2 （5）将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（A ）1sin y x =- （B ）1sin y x =+ （C ）1cos y x =- （D ）1cos y x =+（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（7）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(4,)+∞ （C ）(0,2) （D ）(0,4)（8）已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记card ,card S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不可能的是（A ）card 1,card 0S T == （B ）card 1,card 1S T == （C ）card 2,card 2S T == （D ）card 2,card 3S T ==第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京东城区2012学年第二学期高三第二次综合练习文综试题及答案
北京市东城区2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二）文科综合能力测试本试卷共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
图1是中国林业产值构成（%），其中第一产业以育苗、营林、森林保护为主；第二产业以森林资源加工为主；第三产业以林业科技、森林旅游、环境产业等为主。
读图1，回答1、2题。
1．1995～2005年中国A．林业产值增长缓慢B．森林旅游发展迅速C．植树造林成绩显著D．森林资源加工发展快2．在没有其他设备的情况下，森林旅游中迷路应选择的最佳方法是A．点燃篝火求救B．沿溪水流向走C．爬到山顶求救D．看星空辨方向走城市流是人、物、信息、资金、技术等在城市间发生的流动现象。
表1是2008年中国部分省级区之间的城市流强度（不包括港澳台），城市流强度是区域城市间相互联系中城市外向功能（集聚与辐射）所产生的影响量。
读表1，回答3～5题。
表l3．表中A．城市流强度倍数：广东／上海>贵州／西藏B．后五位省级区地跨我国地势的三级阶梯C．有2个省级区既没海岸线也没有陆疆D．与山东相邻的省区有江苏、上海、北京4．广东城市流强度最高的主要原因是①地理位置优越②城市群规模较大③矿产资源丰富④生态环境好⑤政策引导⑥科技水平高A．①②⑤B．①④⑥C．②③④D．③⑤⑥5．与贵州相比，海南最突出的自然灾害是A．洪涝B．泥石流C．台风D．地震6．我国东北平原粮食商品率高的主要原因是①雨热同期②耕地面积广③人口密度较小④科技水平高A．①②B．③④C．①④D．②③图2为某区域一月平均气温和风向示意图。
读图2，回答7～9题。
7．甲地与乙地气温差异的主要原因是甲地A．白昼更短黑夜更长B．海拔更低C．正午太阳高度更低D．暖流影响8．图中A．风都由印度洋吹向陆地B．风形成的直接原因是温度差异C．东南风比西北风给陆地带来更多降水D．东南风形成的主要原因是海陆热力差异9．图示季节是A．非洲热带草原的枯黄期B．松花江的春汛期C．地中海沿岸的多雨期D．阿根廷小麦的播种期地层是地壳发展过程中形成的各种成层岩石的总称，正常情况下，下面的岩层总是比上面的岩层古老。
北京2013届东城高三二模文科数学试题及答案
北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科） 2013.05一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203lo g 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．44、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、 已知命题:p x ∀∈R，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则s i n s i n αβ>．下列命题是真命题的是（ ）A ．p q∧⌝ B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q∧6、 已知x ，y 满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y=+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、 根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3， D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a ta a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；频率x 俯视图侧（左）视图正（主）视图②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t=；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③ C．③④ D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9、 已知向量()23a=-，，()1bλ=，，若a b∥，则λ=________．10、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、 在A B C △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、 过抛物线24y x=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10A B =，则A B的中点P 到y 轴的距离等于________．14、 对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1yx x=-，②log 1a yx =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）已知函数)()sin s sin f x xx x=-．⑴ 求()f x 的最小正周期； ⑵ 当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴ 求x ，y ；⑵ 若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、 （本小题共14分）如图，B C D △是等边三角形，A B A D =，90B A D ∠=︒，M ，N ，G 分别是B D ，B C ，A B 的中点，将B C D △沿B D 折叠到B C D '△的位置，使得A D C B '⊥． ⑴ 求证：平面G N M ∥平面A D C '； ⑵ 求证：C A '⊥平面A B D ．GN MDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln a f x x x=+（0a>）．19、 （本小题共13分）已知椭圆C：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率2e=，原点到过点()0A a ，，()0B b -，的5．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 如果直线1y kx =+（0k≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，41n a -=，411n a +=（*n ∈N）．⑴ 求4a ，7a ；⑵ 是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n Tna a +=．北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（文科）2013.05一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32-（10）12，152； （11）4（12）3π， 2 ； （13）4 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x=-=21co s 2sin )2x x x-11=2co s 2)22x x +-1sin (2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2Tπ==π2．（Ⅱ） 因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意可得2992718x y ==，所以11x =，3y =．（Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种．因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是B D ，'B C 的中点， 所以//M N D C '． 因为M N ⊄平面A D C '，D C '⊂平面A D C '， 所以//M N 平面A D C '．A CDMNG同理//N G 平面A D C '．又因为M N N G N = ，所以平面//G N M 平面A D C '．（Ⅱ）因为90B A D ∠=，所以A D A B ⊥．又因为'A D C B ⊥，且'A B C B B = ，所以A D ⊥平面'C A B ．因为'C A ⊂平面'C A B ，所以'A D C A ⊥． 因为△BCD 是等边三角形，A B A D =， 不防设1A B =，则B C C D B D ===1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'A B C A ⊥．因为A B A D A = ，所以'C A ⊥平面A BD ． …………………………………14分（18）（共14分）解:(Ⅰ) ()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞, 则|221()a x a f x xxx-=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足0021()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立．又当00x >时,200311222x x -<-+≤,（19）解(Ⅰ) 因为2c a=，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线A B ：1xy ab-=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164xy +=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，E F 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k+-==+，21114M M y kx k=+=+．所以21M B M My k x k+==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414kk k kk-++=++．又因为0k ≠，所以218k =．所以4k =±． ………………………………13分（20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ），则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n na a a +==，而222n T n t n ta a a +++==从而n t na a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．…………13分。
北京市东城区2018—2019学年度第二学期高三英语综合练习(附答案)
北京市东城区2018—2019 学年度第二学期高三综合练习（一）英语2019.4 本试卷共10 页，共120 分。
考试时长100 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分：知识运用（共两节，45 分）第一节语法填空（共10 小题；每小题 1.5 分, 共15 分）阅读下列短文，根据短文内容填空。
在未给提示词的空白处仅填写一．个．适当的单词，在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。
ATons of waste is being left on Mount Qomolangma by a 1 (grow) number of visitors, which bothers many people. A team will deal with the task 2 the climbing season ends this May, by which time there will be fewer visitors. Garbage3 (collect) on Qomolangma requires two to three years of training, according to Cering Dandar, a mountaineer and guide.BFood is one of the most basic and important daily needs. It gives us the strength and energy we need 4 (work) and play. Food also plays a role in our social interactions. Whether we 5 (celebrate) important occasions or just relaxing with friends, eating is an important social pastime. It is also an important part of our culture.geogra phy, 6 a particular people like to eat can tell us a lot 7 a country’shistory and traditions.CGoing to museums has become a trendy thing to do during the holidays in China. A popular choice this Spring Festival was the Palace Museum, 8 a special exhibition was staged to provide a virtual royal experience for visitors. The entire museum9 (decorate) with newly-restored ancient royal lanterns and spring couplets,10 (write) by five Qing Dynasty emperors. including a set of the Chinese character “Fu”第二节完形填空（共20 小题；每小题 1.5 分，共30 分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
2019北京东城区高三理科数学二模试题
北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知复数2(1)(1)z a a i =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ B ）A ．2B ．1C ．1±D ．1-2.对于非零向量a ，b ，“2+0a b =”是“a//b ”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图,输出的T 等于（C ）A .10B .15C .20D .304.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ D ） A ．15π B ．18πC ．22πD ．33π5. 已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ）A.1[,0]3-B. 1(,]3-∞C. 1(0,]3D. 1(,]3-∞- 6.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ C ）A . 9[,3)4B . 9(,3)4C . (2,3)D . (1,3)7.已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A .(0,)6πB .(,)64ππC . (,)43ππD . (,)32ππ8. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()aa a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A ) A ．216B ．108C ．48D ．24第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置的横线上．9. 命题“000,x x ex ∃∈>R ”的否定是 ．10. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．11.已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为 ，样本数据落在[2,10)内的频率为 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1,:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）和直线46,:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩ （t 为参数），则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于 ．13. 在函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0)A ω>>的一个周期内，当9π=x 时有最大值21，当94π=x 时有最小值21-，若)2,0(πϕ∈，则函数解析式)(x f = ． 14. 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，22a =，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++， 且121n n a a ++≠，则123a a a ++=_______________，2010S =_______________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos 2A C += （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值．16．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：PE CD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求FT MN ⋅的值；（Ⅲ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-． （Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，设1223341n nn T cc c c c c c c +=++++， 若对一切*n ∈N 不等式4(2)n n mT n c >+恒成立，求实数m 的取值范围．20.(本小题满分14分)已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅱ) 设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．x ∀∈R ，x e x ≤ 10 11．32，0.412． 13．1sin(3)26x π+ 14．6，4020 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos2A C +=A B C π++=，所以sinsin()2223B AC π+=-=．…………………………………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．………………………………………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．…………………………………………………………11分解得1c =．…………………………………………………………………13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则3111433331227()55C C C C P A C ⋅⋅⋅==．…………………………………………………5分 （II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分31211(1)220P X C ===； 212133333331219(2)220C C C C C P X C ⋅+⋅+===； 21123636333126416(3)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====； 211239393331213634(4)22055C C C C C P X C ⋅+⋅+====．……………………………………………………………10分随机变量X 的均值为11916341551234220220555544EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．……………………………………………………………2分 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．…………………………………………………4分 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．……………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =．所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=9分 （Ⅲ）解：以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D，P ．(2,1,0)ED =，EP =，(1,1,PC =-．设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x y +=⎧⎪=令1x =，可得(1,2,0)=-n ．………………………12分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==n n n ．所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． …………………………………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =．………………………………………………3分（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=，124x x =-．……………………………………………………6分2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =． 切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ①切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ②由①，②，得1212(,)24x x x x T +．…………………………………8分则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-．所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．………………………10分 （Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．…………………………………………………13分 19．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②①-②得 1144n n n a a a +-=-．所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-．…………………………………………………2分 又12n n n b a a +=-，所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+， 所以21314a a =+=． 所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2nn b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++ 1144n =-+ 4(4)nn =+．……………………………………………………………………9分由4(2)n n mT n c >+，得243mn n n n +>++． 即(4)(2)(3)n n m n n ++>+．所以22683n n m n n++>+．所以22383811333n m n n n n n +>+=+++++．……………………………………11分 设238()133f x x x x=++++，1x ≥． 可知()f x 在[1,)+∞为减函数，又15(1)4f =，则当n ∈*N 时，有()(1)f n f ≤．所以154m >． 故当154m >时，4(2)n n mT n c >+恒成立．…………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ) '21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--=-+ 22(1)2(1)x ax x x +-=+22(22)1(1)x a x x x +-+=+．………………………………………3分 因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+． 设1()g x x x=+，(0,)x ∈+∞．1()2g x x x =+≥=． 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2． 所以222a -≤． 所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设0m n >>，则1mn>． 要证ln ln 2m n m nm n -+<-， 只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+．只需证2(1)ln 01m mn m n n-->+．……………………………………………………………11分设2(1)()ln 1x h x x x -=-+． 由(Ⅰ)知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >， 所以()(1)0m h h n>=． 2(1)ln 01m m n m n n-->+所以l n l n m n m m n -+<-．………………………………………………………14分。
东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(一)理科终稿
高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 19 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则AB =（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 19 页）（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<（C ）0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 19 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(一)理科终稿
高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 12 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A B =（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 12 页）（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<（C ）0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2019届高三数学下学期4月综合练习试题文(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{20},{210}A x x x B x x =+>=+>，则A B ⋂=A. 12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B. 12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C. {0}x x >D. R【答案】C 【解析】 【分析】首先求得集合A ,B ，然后进行交集运算即可. 【详解】求解不等式可得 ：{}|02A x x x =><-或，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，结合交集的定义可知：{0}x x >. 故选：C .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A. 2 B. -1C. iD. 2i +【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项：对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,22a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：22,24a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解【详解】由题()22x 1y 1++=,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3=的距离等3-（-1）=4 故选：D【点睛】本题考查圆的方程，点到线的距离公式，熟记一般方程与标准方程的互化是关键，是基础题4.设E 为V ABC 的边AC 的中点，+u u u r u u u r u u u rBE mAB nAC =，则,m n 的值分别为A. 11,2- B.1,12- C. 1,12-D. 11,2【答案】A 【解析】 【分析】将向量BE u u u r 用向量AB u u u r 和AC uuu r表示出来即可找到m 和n 的值，得到答案．【详解】∵1BE 2u u u r =（BA BC +u u u r u u u r ）BA BA AC 2++==u u u r u u u r u u u v -1AB AC 2+u u u r u u u r∴m 1,=-n 12= 故选：A ．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量BE u u u r 用向量AB u u u r 和AC uuur 表示出来是解题的关键，属基础题．5.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 梯形【答案】A 【解析】 【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.若,x y 满足0,10,26,x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y -的最大值为A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：22x y z x y -=-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=2倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=.故选：D .【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．7.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由题“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之举反例即可【详解】由祖暅原理知：“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同 故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题8.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A. 68%B. 88%C. 96%D. 98%【答案】C 【解析】 【分析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z 的关系，推理即可【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z ，则23204100,,x y z x y z x y z N ++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z 越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96% 故选：C【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9.在等差数列{}n a 中，262a a +=，则4a =___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质可得答案．【详解】根据题意，等差数列{a n }中，26a a +＝2， 则41a 2=⨯（26a a +）＝1；故答案为1【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．10.抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. 【答案】28y x = 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程； 【详解】抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x p 2=-， 由抛物线的定义可知1p2+=3，解得p ＝4， ∴C 的方程为y 2＝8x ； 故答案为2y 8x =【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题．11.在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间__________.【答案】π544π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （答案不唯一）【解析】 【分析】由题()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，则求()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调减区间即可【详解】由题因为任意两个不同的数12x x ，，都有()()1212f x f x 0x x -<-，则知()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，ππ3π2k πx 2k π,k Z,242+≤+≤+∈即π52k πx 2k ππ44+≤≤+,,k Z,∈当k=0时，π5πx 44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查三角函数的单调性，函数单调性定义，熟记三角函数性质，准确计算是关键，是基础题13.设函数2,,()1,.x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为__________； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】 (1). 0 (2). [)0,+∞ 【解析】 【分析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则()f x 的最小值可求；(2)讨论a<0,a=0和a>0时函数的单调性和最小值即可求解 【详解】(1)当a=1,()x e 2,1,f x 1,1.x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩,()f x =x e 2x,x 1,f -<'(x )=xe 2,f -'(x )>0,1>x>ln2;f '(x )<0,x<ln2;故()()min f x f ln222ln2;==-当()f x =x 1,x 1-≥（），()f x 单调递增，故()()min f x f 10==，又22ln20,->所以()f x 的最小值为0(2) ①当a<0时，由(1)知()f x =xe 2x,x a -<单调递减，故()()()f x f a f x ax 1>=-；（x a ≥）单调递减，故()()f x f a ,≤故()f x 无最小值，舍去； ②当a=0时，f(x)最小值为-1，成立③当a>0时，()f x ax 1=-（x a ≥）单调递增，故()()f x f a ≥； 对()f x =xe 2x,x a -<，当0<a ≤ln2,由(1)知()()f x f a >,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值x=a 处取得，成立当a>ln2, 由(1)知()()f x f ln2≥,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值为()(){}min f ln2,f a ,即()f x 有最小值，综上a 0≥故答案为0 ； [)0,∞+【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题14.设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】 (1). 0 (2). R A B =ð【解析】 【分析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系.【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0.x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0.综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð.【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象. 【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将x=2π3代入解析式求解即可；（Ⅱ）化简得f （x ）π2sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得f （x ）的最小正周期为π，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在[0，π]上的图象． 【详解】（I ）2π2π2ππf 4cos sin 13336⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2ππ4cos sin 132=+ 14112⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭1=-.（Ⅱ）()πf x 4cosxsin x 16⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ππ4cosx sinxcos cosxsin 166⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14cosx cosx 122⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭22cos x 1=-+cos2x =-12cos2x 22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ π2sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2πT π2==. 因为[]x 0,π∈，所以ππ11π2x ,666⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 列表如下：【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查．16.已知等比数列{}n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=，1342b a b +=，323S a =.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）2nn a =，32n b n =-；（Ⅱ）6226n n T n =⨯--.【解析】 【分析】（Ⅰ）{}n b 的公差为d ，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得n a ，再列1b d ，的方程，利用等差数列即可得出．（II ）利用分组求和法求和公式即可 【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d . 由12a a 6+=，得11a a q 6+=.因为1a 2=，所以q 2=.所以n 1n 1nn 1a a q 222--==⋅=.由134322b a b ,S 3a +=⎧⎨=⎩，得1112b 8b 3,3b 312d d ，+=+⎧⎨+=⎩解得1b 1,3.d =⎧⎨=⎩所以()n 1b b n 1d 3n 2=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知nn a 2=，n b =3n 2-.所以n nn a c b 322==⨯-.从而数列{}n c 的前n 项和()123nn T 322222n =⨯++++-L()n21232n 12⨯-=⨯--n 622n 6.=⨯--【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式，求和公式，分组求和，熟记通项公式，准确求和是关键，是中档题17.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）710；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”． 根据题意，()42P A 105==． （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况， 所以所求概率为710. （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由AB//CD ，得AG AB 2GC DC ==，进而AE AGEP GC，=证明EG //PC ，即可证明；（Ⅱ）由勾股定理推导BC AC ⊥，进而证明BC ⊥平面PAC ，即可求解；（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，证明AF ⊥平面PCD ，进而在直角三角形PAD 中求PF 长度【详解】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB2GC DC==. 由1PE PA 3=,得AE2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC PA ⊥. 由已知得AC 2=，BC 2=，AB 2=，所以222AC BC AB +=. 所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ， 所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=， 得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥. 又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 由PA 3=AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 【点睛】本题考查线面平行证明，面面垂直证明，利用垂直求长度问题，熟记判断定理，准确推理是关键，是中档题19.已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C .（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=，离心率12；（Ⅱ）32k =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题列a,b 方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c 关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，与椭圆联立消去y,得x 的方程，求点B 坐标，同理求点C 坐标，进而得BC 1k 2=，再由PA BC =，得k 方程求解即可 【详解】（I ）由题意得222,191.a 4b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆M 的方程为22x y 143+=.又c 1==， 所以离心率c 1e a 2==. （II ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，由22,x y 143y kx m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()22234k x 8kmx 4m 120+++-=.当Δ0>时，设()()1122B x ,y ,C x ,y ，则2124m 121x 34k -⋅=+，即2124m 12x 34k-=+. 将3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+，整理得3m k 2=-，所以2124k 12k 3x 34k --=+.所以()211212k 12k 9y kx m 234k --+=+=+.所以()22224k 12k 312k 12k 9B ,34k 234k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭.同理()22224k 12k 312k 12k 9C ,34k 234k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭. 所以直线BC 的斜率21BC 21y y 1k x x 2-==-.又直线PA 的斜率()PABC 3012kk 122-===--，所以PA //BC .因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =.所以()22224k 12k 34k 12k 31234k 34k +----=--++，解得3k 2=或12. 1k 2=时，()B 2,0-与A 重合，不符合题意，舍去. 所以四边形PABC 平行四边形时，3k 2=.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C 坐标且推得PA BC k k =是本题关键，是中档题20.已知函数()()22ln f x ax a x x =+--.（1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （2）当01a <<时，求()f x 零点的个数. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）两个. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）()()()2x 1ax 1f'x x+-=，由()f'10=，解得a 1=，检验x 1=时取得极小值即可；（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x+-==，由0a 1<<，得1x 1a=>，讨论单调性得()f x 在1x a =时取得极小值，并证明极小值为1f 0a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.再由零点存在定理说明函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上各有一个零点，即可解得 【详解】（I ）()f x 定义域为()0,∞+.()()()()()22ax a 2x 12x 1ax 11f'x 2ax a 2x x x+--+-=+--==. 由已知，得()f'10=，解得a 1=. 当a 1=时，()()()2x 1x 1f'x x+-=.所以()()f'x 00x 1,f'x 0x 1<⇔⇔. 所以()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,∞+.所以函数()f x 在x 1=时取得极小值，其极小值为()f 10=，符合题意 所以a 1=. （II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x+-==，由0a 1<<，得1x 1a=>.所以()()11f'x 00x,f'x 0x a a<⇔⇔. 所以()f x 减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11f lna 1a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为0a 1<<，所以1lna 0,1a. 所以110a -<.所以11f lna 10a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭.因为()()()2a 2a 2a 2e 1a f 11e ee e e ---+⎛⎫=++>+= ⎪⎝⎭， 又因为0a 1<<，所以a 2e 0-+>.所以1f 0e ⎛⎫> ⎪⎝⎭.根据零点存在定理，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.因为x lnx >，()()()()22f x ax a 2x lnx ax a 2x x x ax a 3=+-->+--=+-.令ax a 30+->，得3ax a -> 又因为0a 1<<，所以3a 1a a->. 所以当3ax a->时，()f x 0>.根据零点存在定理，函数()f x 在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 所以，当0a 1<<时，()f x 有两个零点.【点睛】本题考查导数与函数综合，导数与函数的单调性，函数零点问题，分类讨论思想，熟练运用零点存在定理是关键，是中档题。
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣1或x≥2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜3}D．R2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+13．（5分）执行如图所示的程序框图，输入a＝2，b＝5，那么输出的a，b的值分别为（）A．7，﹣3B．﹣3，﹣3C．5，﹣3D．5，24．（5分）若x，y满足2x﹣1≤y≤x，则点（x，y）到点（﹣1，0）距离的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．（5分）已知m，n，p，q为正整数，且m+n＝p+q，则在数列{a n}中，“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为．10．（5分）复数的实部为；虚部为．11．（5分）在△ABC中，，a2+b2﹣c2＝ab，c＝3，则∠C＝；a＝．12．（5分）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．14．（5分）已知直线l过点（1，1），过点P（﹣1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1＝a4，b2＝a2﹣a3，问：b37与{a n}的第几项相等？16．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．17．（13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．（Ⅰ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（Ⅱ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．（只需写出结论）；（Ⅲ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．18．（14分）如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE＝DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4．（Ⅰ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：（x﹣1）f（x）≥0．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为．A 为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：x＝4分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△P AF与△PMF的面积之比为，求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R，若P，F，Q三点共线，求证：∠MFR＝∠FNR．2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：B＝{x|x﹣2≥0}＝{x|x≥2}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，故选：A．2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得：a＝2，b＝5，不满足a＞b，a＝2+5＝7，b＝7﹣5＝2a＝7﹣2＝5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．4．【解答】解：由x，y满足2x﹣1≤y≤x，作出可行域如图，点（﹣1，0）到点（x，y）的最小距离为D到P的距离．即：＝．故选：C．5．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．【解答】解：若“{a n}是等比数列”，则a m•a n＝a12q m+n﹣2，a p•a q＝a12q p+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴a m•a n＝a p•a q成立，即必要性成立，若a n＝0，则{a n}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“a m•a n＝a p•a q”成立，但“{a n}是等比数列”不成立，即充分性不成立，则“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】解：由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，∴cos（β﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝＝故选：C．8．【解答】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±10．【解答】解：∵＝，∴复数的实部为；虚部为．故答案为：；．11．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：＝，解得：a＝．故答案为：，．12．【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．故答案为：27．13．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．14．【解答】解：设A（1，1）依题意点M的轨迹是以AP为直径的圆，圆心C的坐标为（0，2），半径为，∵|CQ|＝＝2，∴|CQ|﹣≤|MQ|≤|CQ|+，即≤|MQ|≤3．故答案为[，3]三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．∴依题意，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝﹣2a n，∴{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列．∴{a n}的通项公式为，前n项和．………………………．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b1＝﹣8，b2＝﹣6，因为{b n}为等差数列，d＝b2﹣b1＝2．所以{b n}的通项公式为b n＝2n﹣10．所以b37＝2×37﹣10＝64．令64＝（﹣2）n﹣1，解得n＝7．所以b37与数列{a n}的第7项相等．…………………..（13分）16．【解答】（本题满分共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，A＝2．因为，所以T＝π．所以．解得ω＝2．又因为函数f（x）的图象经过点，所以．解得．又因为，所以．所以．…………………………………………………………．（7分）（Ⅱ）因为x∈[0，m]，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，所以m的最大值是．………………………………………..（13分）17．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，．……………………………………………………．（4分）（Ⅱ）．……………………．（8分）（Ⅲ）设增加工人后有n名工人．因为每天维修的元件的平均数为：．所以这n名工人每天维修的元件的平均数为．令．解得．所以n的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．………．（13分）18．【解答】（Ⅰ）解：取AD中点N，连接EN．在△ADE中，∵AE＝DE，∴EN⊥AD．∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EN⊂平面ADE，∴EN⊥平面ABCD．又∵AE⊥DE，AD＝4，∴EN＝2．∵AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4，∴．∴；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，∴CD∥平面ABFE．又∵CD⊂平面CDEF，平面ABEF∩平面CDEF＝EF，∴CD∥EF．∵CD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（Ⅲ）证明：连接MN，假设EM⊥AM．由（Ⅰ）知EN⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴EN⊥AM．∵EM⊥AM，且EN∩EM＝E，∴AM⊥平面ENM．∵MN⊂平面ENM，∴AM⊥MN．在△AMN中，AN＝2，AM≥4＞AN，∴∠AMN＜∠ANM．∴∠AMN＜90°．这与AM⊥MN矛盾．∴假设不成立，即EM与AM不垂直．19．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝0.．f'（1）＝2．所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）．即y＝2x﹣2．……………．（5分）（Ⅱ）证明：记.．由g'（x）＝0解得x＝1．g（x）与g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以g（x）在x＝1时取得最小值g（1）＝2．所以．所以f'（x）＞0．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．又由f（1）＝0知，当0＜x＜1时，f（x）＜0，x﹣1＜0，所以（x﹣1）f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，x﹣1＞0，所以（x﹣1）f（x）＞0．所以（x﹣1）f（x）≥0．………………………………（13分）20．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c＝1，又，解得a＝2，c＝1．∵a2﹣b2＝c2，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）解：∵△P AF与△PMF的面积之比为，∴，则．设M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），则，解得．将其代入，解得m＝±9．∴M的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），若m＝0，则P为椭圆C的右顶点，由P，F，Q三点共线知，Q为椭圆C的左顶点，不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM的方程为．由消去y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2﹣108）＝0．△＝（4m2）2﹣4（27+m2）（4m2﹣108）＞0成立．由，解得．∴．得．当|m|＝3时，|n|＝3，，即直线PQ⊥x轴．由椭圆的对称性可得|MR|＝|FR|＝|NR|＝3．又∵∠MRF＝∠NRF＝90°，∴∠MFR＝∠FNR＝45°．当|m|≠3时，|n|≠3，直线FP的斜率．同理．∵P，F，Q三点共线，∴，得mn＝﹣9．在Rt△MRF和Rt△NRF中，，，∴tan∠MFR＝tan∠FNR．∵∠MFR，∠FNR均为锐角，∴∠MFR＝∠FNR．综上，若P，F，Q三点共线，则∠MFR＝∠FNR．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学（文）（东城） 第 1 页（共 12 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学 （文科） 2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{13},{20}A x x x B x x =<->=-≥或，则A B =U（A ）{}12x x x <-≥或 （B ）{}12x x -<≤ （C ）{23}x x ≤< （D ）R （2）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（A ）3y x = （B ）cos y x = （C ）x y e =（D ）1y x =+（3）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7,3- （B ）3,3-- （C ）5,3- （D ）5,2 （4）若,x y 满足21x yx -＃，则点(,)x y 到点(1,0)-距离的最小值为（A（B（C（D ）12（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六 个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的 体积为高三数学（文）（东城） 第 2 页（共 12 页）（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ）332000mm （D ）330000mm （6）已知,,,m n p q 为正整数，且m n p q +=+，则在数列{}n a 中，“m n p q a a a a ⋅=⋅”是“{}n a 是等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB . 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是（A（B（C（D（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 （A ）随着车流密度增大，车流速度增大（B ）随着车流密度增大，交通流量增大（C ）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 （D ）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小高三数学（文）（东城） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . （10）复数5i1i-的实部为 ；虚部为 . （11）在ABC ∆中，4A π∠=，ab c b a =-+222，3c =，则C ∠= ；a =____________. （12）已知2log 9a =，3log b m =，5log 15c =，则满足a b c >>的一个正整数m 为 . （13）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点.当点P 在BC 边上时，AB OP ×uu u r uu u r的值为 ；当点P 沿着 BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ×uu u r uu u r 的最小值为 .（14）已知直线l 过点(1,1)，过点(1,3)P -作直线m l ⊥，垂足为M ，则点M 到点(2,4)Q 距离的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）设数列{}n a 满足：11=a ，120n n a a ++=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足41a b =，322a a b -= ，问：37b 与{}n a 的第几项相等？高三数学（文）（东城） 第 4 页（共 12 页）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛π<ϕ>ω>ϕ+ω=2,0,0sin A x A x f 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意的[]0,x m ∈，()1f x ≥恒成立，求m 的最大值.（17）（本小题13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修. 现有甲、乙两名工人同时 从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.（I ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（II ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差2s 甲与乙维修的元件数的方差2s 乙的大小.（只需写出结论）； （III ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.（18）（本小题14分）如图所示的五面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ,AE DE ⊥,AE DE =,AB ∥CD ，AB BC ⊥,60DAB ∠=，4AB AD ==．（Ⅰ）求四棱锥E ABCD -的体积； （Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅲ）设点M 为线段BC 上的动点，求证：EM 与AM 不垂直．高三数学（文）（东城） 第 5 页（共 12 页）已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：(1)()0x f x -≥.（20）（本小题14分）已知椭圆22221(0)：x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12.A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 为 椭圆C 上异于A 的两个动点，直线,AP AQ 与直线:4l x =分别交于,M N 两点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15，求M 的坐标； （III ）设直线l 与x 轴交于点R ，若,,P F Q 三点共线，求证：MFR FNR ∠=∠.高三数学（文）（东城） 第 6 页（共 12 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）参考答案及评分标准 2019.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）C （5）C （6）B （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）2x y =?（10）2-；1 （11）3π（12）10 （答案不唯一） （13）2；2- （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15） （共13分）解: （Ⅰ）依题意，数列{}n a 满足：11=a ，12n n a a +=-，所以{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列. 则{}n a 的通项公式为1(2)n n a -=-，前n 项和1[1(2)]1(2)1(2)3n n n S ⨯----==--. ………………………. 7分 （Ⅱ）由 (Ⅰ) 可知，81-=b ， 62-=b ，因为{}n b 为等差数列， 212d b b =-=. 所以{}n b 的通项公式为210n b n =-. 所以372371064b =⨯-=. 令1)2(64--=n ，解得7=n .所以37b 与数列{}n a 的第7项相等. …………………..13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，2A =. 因为51264Tππ-=，所以T =π.高三数学（文）（东城） 第 7 页（共 12 页）所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+= . 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2ϕπ<，所以=6ϕπ. 所以()2sin(2)6f x x π=+. …………………………………………………………. 7分（Ⅱ）因为 []0,x m ∈ ，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 当2662x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，时，即0,6x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()f x 单调递增， 所以()(0)1f x f ≥=，符合题意； 当52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π≥=，符合题意； 当532,662x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，即2,33x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π<=，不符合题意；综上，若对于任意的[]0,x m ∈，有()1f x ≥恒成立，则必有03m π<≤， 所以m 的最大值是3π. ………………………………………..13分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）设A 表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”． 根据题意，51()102P A ==． …………………………………………………….4分 （Ⅱ）高三数学（文）（东城） 第 8 页（共 12 页）22s s >甲乙. ……………………………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）设增加工人后有n 名工人.因为每天维修的元件的平均数为1[354+64+6+3+7+8+4+4+7+4+5+5+4+5+5+4+7]=10.10+++（）（） 所以这n 名工人每天维修的元件的平均数为10n. 令103n ≤. 解得103n ≥. 所以n 的最小值为4． 为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人……….13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）取AD 中点N ，连接EN ． 在△ADE 中，AE DE =， 所以EN AD ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，EN ⊂平面ADE ,所以EN ⊥平面ABCD ．又因为AE DE ⊥，4AD =，所以2EN =.因为AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==， 所以ABCD S =梯形所以123-E ABCD V =⨯= …………….5分 （Ⅱ）因为AB ∥CD ，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ， 所以CD ∥平面ABFE ．又因为CD ⊂平面CDEF ，平面ABEF 平面CDEF EF =，所以CD ∥EF ．因为CD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，高三数学（文）（东城） 第 9 页（共 12 页）所以EF ∥平面ABCD ．…………….10分（Ⅲ）连接MN ，假设EM AM ⊥.由（Ⅰ）知EN ⊥平面ABCD ，因为AM ⊂平面ABCD ,所以EN AM ⊥．因为EM AM ⊥, 且ENEM E =，所以AM ⊥平面ENM ． 因为MN ⊂平面ENM ， 所以AM MN ⊥．在△AMN 中，2,4AN AM AN =≥>， 所以AMN ANM ∠<∠. 所以90AMN ∠<． 这与AM MN ⊥矛盾．所以假设不成立，即EM 与AM 不垂直．…………….14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，(1)0f =.2211'()2(1ln )112ln f x x x x x=+-+=++. '(1)2f =. 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-. 即22y x =-.…………….5分（Ⅱ）记21()12ln g x x x=++. 33222(1)(1)'()x x g x x x x +-=-=. 由'()0g x =解得1x =．()g x 与'()g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：高三数学（文）（东城） 第 10 页（共 12 页）所以()g x 在1x =时取得最小值(1)2g =． 所以21()12ln 20g x x x =++≥>.所以'()0f x >. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0f =知，当01x <<时，()0f x <，10x -<，所以(1)()0x f x ->； 当1x >时，()0f x >，10x ->，所以(1)()0x f x ->. 所以(1)()0x f x -≥. ………………………………13分（20）（共14分）解：（I ）由题意得1,1,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,1.a c =⎧⎨=⎩因为222a b c -=，所以23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………………4分 （II ）因为ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15， 所以1||||5AP PM =. 所以16AP AM =. 设00(4,)(0),(,)M m m P x y ≠，则001(2,)(6,)6x y m +=，高三数学（文）（东城） 第 11 页（共 12 页） 解得001,6m x y =-=. 将其代入22143x y +=，解得9m =±. 所以M 的坐标为(4,9)或(4,9)-. ……………………………… 8分（III ）设00(4,),(4,),(,)M m N n P x y ，若0m =，则P 为椭圆C 的右顶点，由,,P F Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点， 不符合题意.所以0m ≠.同理0n ≠.直线AM 的方程为(2)6m y x =+. 由22(2),6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得2222(27)4(4108)0m x m x m +++-=. 2222(4)4(27)(4108)0m m m Δ=-+->成立. 由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+. 所以00218(2)627m m y x m =+=+. 所以22254218(,)2727m m P m m -++. 当3m =时，3n =，2254227m m-+=1，即直线PQ x ⊥轴. 由椭圆的对称性可得||||||3MR FR NR ===.又因为90MRF NRF ∠=∠=︒，所以45MFR FNR ∠=∠=︒.高三数学（文）（东城） 第 12 页（共 12 页） 当3m ≠时，3n ≠，直线FP 的斜率22221806275429127FP m m m k m m m -+==---+. 同理269FQ n k n =-. 因为,,P F Q 三点共线， 所以226699m n m n=--. 所以9mn =-.在Rt MRF Δ和Rt NRF Δ中，||||tan ||3MR m MFR FR ∠==，||3||tan ||||3FR m FNR NR n ∠===， 所以tan tan MFR FNR ∠=∠.因为,MFR FNR ∠∠均为锐角，所以MFR FNR ∠=∠.综上，若,,P F Q 三点共线，则MFR FNR ∠=∠. ………………………………14分。