绿色通道 集合逻辑关系1-3
高考绿色通道 集合
数学
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考 纲 要 求
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系； 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题； 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定 集合的子集； 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义； 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个 简单集合的并集与交集； 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会 求给定子集的补集； 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
第一模块 集合与常用逻辑用语
数学
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2．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}， 则右图中阴影部分所表示的集合是 A．{x|－2≤x<1} C．{x|1<x≤2} B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x<2} ( )
解析：题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为 {x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}．由集合的运算，知 (∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}． 答案：C
数学
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高考资讯
第一模块 集合与常用逻辑用语
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从新课改两年各省份的高考信息统计可以看出，命题 呈现以下特点： 1．考查题型以选择题为主，有时也会出现填空题， 基本属于容易题、中档题． 2．重点考查集合间的关系与基本运算，充分条件和 必要条件的判断，命题及其关系以及全称命题、特称命题 的否定．特别是利用充要条件考查其他知识的掌握．
数学
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4.常见结论 (1)若集合A中有n个元素，则集合A的子集有 2n 真子集有 2n－1 个． B∩A ，A∩A＝ A ，A∩Ø＝ 个，
《绿色通道》人教版物理必修1课件1-5
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∆v 加速度a＝ 也称为“速度变化率” 加速度 ＝ 也称为“速度变化率”， ∆t 加速度(a) 加速度 表示单位时间的速度变化量， 表示单位时间的速度变化量，反映了 速度变化的快慢及方向 加速度a的大小与速度 的大小与速度v无直接联 ①加速度 的大小与速度 无直接联 也无直接联系， 大 不一 系，与∆v也无直接联系，v大，a不一 也无直接联系 定大； 大 也不一定大 也不一定大． 定大；∆v大，a也不一定大．如飞机飞 行的速度v很大 也可能等于零 很大， 也可能等于零； 行的速度 很大，a也可能等于零；列 车由静止到高速行驶， 车由静止到高速行驶，其速度变化量 关系 很大，但经历时间也长， 很大，但经历时间也长，所以加速度 并不大②加速度a的方向与速度 的方向与速度v的方 并不大②加速度 的方向与速度 的方 向无关，但一定与∆v的方向相同 与 的方向相同， 向无关，但一定与 的方向相同，a与 v同向，物体做加速直线运动，反向则 同向， 同向 物体做加速直线运动， 做减速直线运动
Байду номын сангаас
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可总结如下： 可总结如下：
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特别提醒： 特别提醒： (1)物体是做加速运动还是减速运动，不能根据加速度 物体是做加速运动还是减速运动， 物体是做加速运动还是减速运动 的正负来判断， 当加速度与速度均为负值时， 的正负来判断 ， 当加速度与速度均为负值时 ， 速度就增 加． (2)速度的变化趋势与加速度的变化趋势无关，加速度 速度的变化趋势与加速度的变化趋势无关， 速度的变化趋势与加速度的变化趋势无关 减小时，速度不一定减小． 减小时，速度不一定减小．
高考绿色通道 排列与组合
组合与组合数 1.组合：从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素 合成一组 ， 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2.组合数：从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的 所有 不同组合的个数 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的 组合数．
第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布
数学
第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布
数学
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变式迁移 3
(2008·天津高考)有4张分别标有数字
1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片， 从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡 片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种 (用数字作答)．
数学
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解：(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)．甲为特殊 元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有
6 A1种，其余 6 人全排列，有 A6种．由分步乘法计数原理得符 3 6 合条件的排法共有 A1A6＝2160 种． 3
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)．先排最左边，除去
第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布
数学
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(5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺 序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布
第十一模块 计数原理、概率、随机变量及其分布
学
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(7)与无任何限制的排列相同，有 A7＝5040 种． 7 (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排 法有 A3种，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相邻的排法 5
高考绿色通道 逻辑连接词
1 解：(1)綈 p：∃x∈R，x －x＋ <0，这是假命题， 4
2
1 12 因为∀x∈R，x －x＋ ＝x－2 ≥0 恒成立． 4
2
(2)綈 q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由 于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 成立． (4)綈 s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于 x ＝－1 时，x3＋1＝0.
第一模块 集合与常用逻辑用语
数学
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5．命题：“至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上” 的否定是 ( )
A．至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上 B．至少有一个点不在函数y＝kx(k≠0)的图象上 C．所有点都在函数y＝kx(k≠0)的图象上 D．所有点都不在函数y＝kx(k≠0)的图象上
第一模块 集合与常用逻辑用语
数学
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【例 3】 判断下列命题是否是全称命题或 特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)有一个实数 α，sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)所有的实数 a，b，方程 ax＋b＝0 恰有唯 一解； 1 (4)存在实数 x，使得 2 ＝2. x －x＋1
第一模块 集合与常用逻辑用语
数学
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短语“所有”、“任意”、“凡是”、“每一个” 等在陈述句中都表示事物的全体，这些词语都可以理解为 全称量词，相应的命题是全称命题．短语“有一个”、 “有些”、“至少有一个”在陈述句中都表示事物的个体 或部分，可以理解为存在量词，相应的命题是特称命题.
【人教A版】2012高三数学(文)《绿色通道》一轮复习第1章1-1课件
• 【例1】 已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋ 3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．
• 解：∵1∈A， • ∴a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3
＝1. • (1)若a＋2＝1，则a＝－1， • 当a＝－1时，a＋2＝a2＋3a＋3＝1. • ∴a＝－1不符合题意． • (2)若(a＋1)2＝1，则a＝0，或a＝－2. • 当a＝0时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a
＋3＝3，符合题意， • 当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，
• (3)若a2＋3a＋3＝1， • 则a＝－1，或a＝－2， • 由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合
题意．
• 综上可知，实数a的值为0.
• ①条件m∈A，若集合A是用列举法表示 的，则m应是集合A中的一个元素，若集 合A是用描述法表示的，则m应满足集合 中的描述条件；
• 解：(1)∵A的区间“长度”为3， • ∴log2t－2＝3，即log2t＝5，t＝32. • (2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12， • ∴B＝[2,12]， • ∴B的区间“长度”为10. • 设A的区间“长度”为y， • ∵f(x)∈A的概率不小于0.6，
• ∴ ≥0.6，∴y≥6，
• 【例4】 已知集合A＝[2，log2t]，集合B ＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.
• (1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度” 为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t 的值；
• (2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概 率不少于0.6，试确定t的取值范围．
• (2)若B⊆A，求实数a的取值范围；
• (3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若 不能，试说明理由．
2020-2021学年人教版 高一 数学必修1第一章《集合与逻辑用语》知识导图
集合与常用逻辑用语 单元知识导图
集合
1.1集合的含义 1、集合与元素的含义
集合：A 元素：a
2、元素与集合的关系
a∈A
3、集合中元素的特点
确定性 互异性 无序性
4、集合的表示方法
列举法 描述法
5、常见数集
N、 N*或 N+ 、Z 、Q、R
1.2集合间的基本关系 1、子集的概念
A∩B={x|x∈A，且x∈B}
3、全集补与集
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4、并集、交集、补集的 运算性质
集合与常用逻辑用语 单元知识导图
逻辑用语
1.4充分条件与必要条件
1．全称量词和存在量词
1.5全称量词
全称量词
存在量词
1、充分条件------判定定理 2、必要条件------性质定理 3、充要条件------数学定义
与存在量词
对充分条件和必要条件的进一步划分：
条件 p 与结论 q 的关系 p⇒q，且 q⇒/ p q⇒p，且 p⇒/ q
p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q
结论 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件
量词
所有的、任意一个
符号
∀
命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题
结论 全称量词命题的否 定是存在量词命题
p ⇒/ q，且 q ⇒/ p
p 是 q 的既不充分也不必要条件
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
∀x∈M，﹁p(x )
存在量词命题的否 定是全称量词命题
存在一个、至少有一个 ∃
含有存在量词的命题叫做存在量词命题
“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可用 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用
《绿色通道》人教版物理必修1课件3-4要点
北．求这两个力合力的大小和方向．
解法 1：取 3mm 长的线段表示 5N，作出平行 四边形如图乙所示，量得对角线长为 21mm，合力 F 大小为 35N， 合力的方向沿 F1、 F2 夹角的平分线． 解法 2：由于两个力大小相等，所以作出的平 行四边形是菱形，可用计算法求得合力 F，如图丙 所示， F＝ 2 OD ＝ 2F1cos30° ＝ 3 F1≈ 34.6N，方向 沿 F1、 F2 夹角的平分线．
来理解：
(1)合力与分力是一种等效替代关系，即合力与分力共 同作用的效果相同． (2)一个物体不能同时受到分力与合力，也就是说合力 与分力不能同时存在．分析物体受力应从施力物体和受力
物体的角度分析．
(3)合力既可能大于分力的大小，也可能等于或小于分 力的大小，合力大小由分力大小和方向共同决定．
变式训练1 人 教 版 必 修 一 · 新 课 标 物 理 ·
其方向与比较大的那个分力的方向相同．
③合力的变化范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2
特别提醒： 人 教 版 必 修 一 · 新 课 标 物 理 ·
(1)若三个共点力F1、F2、F3的合力为F，设F1≤F2≤F3.
显然，当三个力方向相同时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2＋ F3. (2)若三个力中最大那个力在另外两个力的合力的变化 范围内，则合力F最小值为零，Fmin＝0；若三个力中最大
种相反情况，如3N、5N、10N，第三力不在前两个力的合
力取值范围内，虽然此时最小合力为第三力与前两合力之 和的差，10N－(3＋5)N＝2N.由组合法可知，上述两种情况
分别有三种解法，结果肯定一致．
特别提醒： 人 教 版 必 修 一 · 新 课 标 物 理 ·
在有些问题中，如果不需考虑物体的转动和形变，物
高中数学中的集合运算与逻辑关系分析
高中数学中的集合运算与逻辑关系分析在高中数学中，集合运算与逻辑关系是非常重要的概念。
通过对集合的交、并、差等运算，以及对逻辑关系的分析，我们可以更好地理解和应用数学知识。
首先，我们来讨论集合的基本运算。
集合是由一些确定的元素所构成的整体。
在集合运算中，最基本的运算有交、并、差和补运算。
交集是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的交集为{2,3}。
并集是指两个集合中所有元素构成的新集合。
例如，集合A和集合B的并集为{1,2,3,4}。
差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的新集合。
例如，集合A减去集合B的差集为{1}。
补运算是指一个集合相对于全集的差集。
例如，对于全集U={1,2,3,4}，集合A的补集为{4}。
除了基本运算，还有一些特殊的集合运算，如幂集、笛卡尔积等。
幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
例如，集合A={1,2}的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
笛卡尔积是指两个集合中元素的所有可能有序对所构成的集合。
例如，集合A={1,2}和集合B={a,b}的笛卡尔积为{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
在集合运算中，我们还需要注意一些重要的性质。
例如，交换律、结合律、分配律等。
交换律指的是交集和并集的运算顺序不影响最终结果。
例如，对于集合A 和集合B，A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
结合律指的是多个集合的交集和并集的运算顺序不影响最终结果。
例如，对于集合A、集合B和集合C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
分配律指的是交集和并集之间存在分配关系。
例如，对于集合A、集合B和集合C，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
除了集合运算，逻辑关系也是数学中的重要概念之一。
逻辑关系可以通过命题和条件语句来描述。
命题是陈述句，可以判断真假。
例如，数学是有趣的。
《集合与常用逻辑》课件
VS
详细描述
集合的互异性是确保集合中元素唯一性的 重要性质。在集合中，每个元素只出现一 次，没有重复。这一性质确保了集合中元 素的唯一性和明确性，避免了重复和混淆 。在处理集合时，互异性是一个重要的基 础，确保了数学逻辑的准确性和严密性。
02
集合的运算
Chapter
集合的交集
总结词
表示两个集合中共有的元素组成 的集合。
详细描述
设$A$和$B$是两个集合，则$A$ 与$B$的交集记作$A∩B$，表示 所有既属于$A$又属于$B$的元素 组成的集合。
集合的并集
总结词
表示两个集合中所有的元素组成的集 合。
详细描述
设$A$和$B$是两个集合，则$A$与 $B$的并集记作$A∪B$，表示所有属 于$A$或属于$B$或同时属于$A$和 $B$的元素组成的集合。
集合的差集
总结词
表示属于第一个集合但不属于第二个集合的元素组成的集合 。
详细描述
设$A$和$B$是两个集合，则$A$与$B$的差集记作$A−B$， 表示所有属于$A$但不属于$B$的元素组成的集合。
集合的对称差集
总结词
表示属于第一个集合或属于第二个集 合但不同时属于两个集合的元素组成 的集合。
详细描述
详细描述
三段论推理通常由两个前提和一个结论组成，两个前提 分别称为大前提和小前提，结论是根据前提的逻辑关系 推导出的新事实。例如，“所有人都会死亡（大前提） ，苏格拉底是人（小前提），所以苏格拉底会死亡（结 论）”。
假言推理
总结词
假言推理是一种基于条件和结论的逻辑推理方法，其 中条件是已知的事实，结论是根据条件推导出的新事 实。
教师资格《(高中)数学》三色速记手册
红色：表示重难点/蓝色：表示易错点/绿色：表示理解点第一部分数学学科知识第一章中学数学基础知识【考点一】集合集合的基本概念1、集合的含义：由一些对象组成的一个整体称为集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中的元素的三个特性确定性，互异性，无序性3、集合的表示列举法，描述法，Venn图集合的基本关系1、元素与集合的关系属于∈不属于2、集合与集合的关系集合的基本运算【考点二】简易逻辑逻辑联结词：或且非p命题：x=0，q命题：y=0简单命题+逻辑联结词=复合命题命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。
（根据命题可知一个命题不是真命题就是假命题）命题的四种形式与相互关系：注：互为逆否命题的两个命题同真同假。
互为逆命题或否命题的两个命题真假互不相关。
充要条件常用逻辑用语—量词“任意一个”“一切”等表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词，表示符号：。
含有全称量词的命题叫全称命题。
“存在一个”“至少有一个”等表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，表示符号：。
含有存在量词的命题叫特称命题。
所有正方形都是矩形。
每一个有理数都能写成分数的形式。
有些三角形是直角三角形。
存在一个实数x，使得x2+x-1=0。
全称命题与特称命题的否定（非否命题-注意区分）技巧：改量词，只否定结论写出下面命题的否命题【考点三】算法初步程序框图的三种基本逻辑结构顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的。
条件结构：是指包含条件框，用来判断条件是否成立的结构。
循环结构：是指按照某种条件反复执行某些步骤的结构，在循环结构中反复执行的步骤为循环体，一般来说，循环结构中心包含有条件结构。
【考点四】函数的概念与性质一、函数的定义二、函数的基本性质奇偶性函数y=f（x）中，如果对于函数定义域内任意一个x，有f（-x）=－f（x），则称函数f（x）为奇函数。
若f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
判断方法：1、定义法：a.求出定义b.判断定义域是否关于原点对称c.求f（-x）并比较f（-x）与f（x）或f（-x）与-f（x）2、图形法：奇函数图形在其定义域内关于原点对称，偶函数图像在其定义域内关于y轴对称。
绿色通道北师大版 高中必修5数学 教学资源 第3章§1.1-1.2
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2．x2＋1 与 2x 两式都随 x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能 想个办法，比较 x2＋1 与 2x 的大小，而且具有说服力吗？
答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x2＋1≥2x.
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类型一 用不等式(组)表示不等关系
[例 1] (1)一个两位数个位数字为 x，十位数字为 y，且这个两位数大于 70， 用不等式表示为________．
[解析] 设两位数可表示为 10y＋x，∴70<10y＋x. [答案] 10y＋x>70
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(2)为打造“书香校园”，某学校计划用不超过 1 900 本科技类书籍和 1 620 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个．已知组建一个中型图书角需 科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本， 人文类书籍 60 本．设组建中型图书角 x 个，用不等式组将题目中的不等关系表 示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
(n∈N*，n≥2)．
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[问题思考] 1．不等关系与不等式有什么区别？ 答案 不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“≠”、“＞”、 “ ＜ ” 、 “≥” 、 “≤” 表 示 ； 而 不 等 式 则 是 不 等 关 系 的 具 体 体 现 ． 可 用 “a≠b”、“a＞b”、“a＜b”、“a≥b”、“a≤b”等式子表示，不等关系 是通过不等式体现的．
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红色：表示重难点/蓝色：表示易错点/绿色：表示理解点第一部分数学学科知识第一章中学数学基础知识【考点一】集合集合的基本概念1、集合的含义：由一些对象组成的一个整体称为集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中的元素的三个特性确定性，互异性，无序性3、集合的表示列举法，描述法，Venn图集合的基本关系1、元素与集合的关系属于∈不属于2、集合与集合的关系集合的基本运算【考点二】简易逻辑逻辑联结词：或且非p命题：x=0，q命题：y=0简单命题+逻辑联结词=复合命题命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。
（根据命题可知一个命题不是真命题就是假命题）命题的四种形式与相互关系：注：互为逆否命题的两个命题同真同假。
互为逆命题或否命题的两个命题真假互不相关。
充要条件常用逻辑用语—量词“任意一个”“一切”等表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词，表示符号：。
含有全称量词的命题叫全称命题。
“存在一个”“至少有一个”等表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，表示符号：。
含有存在量词的命题叫特称命题。
所有正方形都是矩形。
每一个有理数都能写成分数的形式。
有些三角形是直角三角形。
存在一个实数x，使得x2+x-1=0。
全称命题与特称命题的否定（非否命题-注意区分）技巧：改量词，只否定结论写出下面命题的否命题【考点三】算法初步程序框图的三种基本逻辑结构顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的。
条件结构：是指包含条件框，用来判断条件是否成立的结构。
循环结构：是指按照某种条件反复执行某些步骤的结构，在循环结构中反复执行的步骤为循环体，一般来说，循环结构中心包含有条件结构。
【考点四】函数的概念与性质一、函数的定义二、函数的基本性质奇偶性函数y=f（x）中，如果对于函数定义域内任意一个x，有f（-x）=－f（x），则称函数f（x）为奇函数。
若f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
判断方法：1、定义法：a.求出定义b.判断定义域是否关于原点对称c.求f（-x）并比较f（-x）与f（x）或f（-x）与-f（x）2、图形法：奇函数图形在其定义域内关于原点对称，偶函数图像在其定义域内关于y轴对称。
【绿色通道】高考数学总复习 1-1集合与常用逻辑用语课件 新人教A版
2．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}， 则右图中阴影部分所表示的集合是 ( )
A．{x|－2≤x<1}
C．{x|1<x≤2}
B．{x|－2≤x≤2}
D．{x|x<2}
解析：题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为 {x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}．由集合的运算，知 (∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}． 答案：C
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<
－1或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于
A．{x|－2≤x<4} C．{x|－2≤x<－1} 解析：∁UB＝{x|－1≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}． 答案：D
(
)
B．{x|x≤3或x≥4} D．{x|－1≤x≤3}
数集 自然数集 正整数集 表示 法 N N*或 N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
(5)集合有三种表示法： Venn图法．
列举法
、
描述法
、
2．集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相 同 A中任意一元素均为B中的元素 符号语言 A⊆B且A⊇B ⇔A＝B A⊆B 或B⊇A 或 Ø⊆A，Ø B(B≠Ø)
命题及其关系的考查力度会逐渐加强．
1．集合的概念与运算，主要从以下三个方面考查：
一是对集合基本概念的认识和理解水平，如集合的表示法、
元素与集合的关系、集合与集合的关系、集合的运算；二 是以集合为工具考查对集合语言和集合思想的应用水平， 在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及 应用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力；三是以集 合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力．因此，集 合的复习应抓好基本概念与运算的落实和对集合语言的识 读理解能力．
绿色通道答案
对应学生用书P94基础达标一、选择题1．已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：集合A表示不等式3－3x>0的解集，显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.答案：C2．(2010·河南大学附中高一期末)下列关系式中，正确的是()A．{2,3}≠{3,2}B．{(a，b)}＝{(b，a)}C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1}解析：A中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B中集合中的点不同，故集合不同；C中{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}＝R；D中{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}≠{x|y＝x＋1}＝R.故选C.答案：C3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Q}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：偶数是整数，可以是正数、零或负数．答案：D4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝2010}B ．{y |(y －2010)2＝0}C ．{x ＝2010}D ．{2010}解析：A ，B ，D 中都只有一个元素“2010”，故它们都是相同的集合；而C 中虽然只有一个元素，但元素是等式x ＝2010，而不是实数2010，故它与其它三个不同．答案：C5．(2010·山东新泰高一检测)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是一个点集，是由一组有序数对构成的集合．故选C.答案：C6．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合M 满足M ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则集合M 为( )A ．{2,4}B ．{1,3}C ．{1,2,4}D ．{2} 解析：∵x ∈A ，且x ∉B ，∴x 取1,3.故M ＝{1,3}．答案：B二、填空题7．用符号“∈”或“∉”填空：(1)2________{x |x <11}；(2)3________{x ∈Z |－5≤x ≤2}．解析：(1)因为22<(11)2，所以2∈{x |x <11}．(2)因为{x ∈Z |－5≤x ≤2}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，所以3∉{x ∈Z |－5≤x ≤2}． 答案：(1)∈ (2)∉8．用描述法表示集合{－12，23，－34，45，…}为________． 答案：{x |x ＝(－1)n ·n n ＋1，n ∈N ＋}9．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的说法有________．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确； 方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－2}，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相等，故③不正确．答案：①三、解答题10．用另一种方法表示下列集合：(1){－3，－1,1,3,5}；(2)已知M ＝{2,3}，P ＝{(x ，y )|x ∈M ，y ∈M }，写出集合P ；(3){1，2， 3，2, 5，…}．解：(1){x |x ＝2k －1，k ∈Z 且－1≤k ≤3}；(2)P ＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}；(3){x |x ＝n ，n ∈N *}．11．(1)集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x 2}可化简为________．以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由．学生甲：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0,1}； 学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0,0)，(1,1)}．(2)试用列举法表示集合C ＝{x ∈N |61＋x ∈Z }，D ＝{61＋x∈N |x ∈Z }．解：(1)由于集合A 的代表元素为实数，不为点，因此学生甲的答案正确，此时集合A 可化简为{0,1}．(2)因为x ∈N 且61＋x ∈Z ，所以1＋x ＝1,2,3,6，所以x ＝0,1,2,5，故C ＝{0,1,2,5}．同理61＋x＝6,3,2,1，故D ＝{6,3,2,1}．创新题型12．当a ，b 满足什么条件时，集合A ＝{x |ax ＋b ＝0}至少有一个元素？解：当a ≠0时，ax ＋b ＝0为一元一次方程，求解可得x ＝－b a， 此时集合A ＝{x |x ＝－b a}，即集合A 有一个元素； 当a ＝0且b ＝0时，ax ＋b ＝0为恒等式0＝0，此时集合A ＝R ；当a ＝0且b ≠0时，等号左边为ax ＋b ＝b ，等号右边为0，显然等式不成立，不满足题意．因此当a ≠0或a ＝b ＝0时，集合A 至少有一个元素．《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)对本节的要求是：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．高考更多地是将集合作为一种语言，要求能用自然语言和集合语言描述不同的具体问题．常考题型为“新定义”，以选择题、填空题形式出现，考查集合的含义．【例1】 已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．思路分析：先分析“孤立元”的含义，再根据不含“孤立元”的条件写出所有符合不含“孤立元”的集合，最后确定个数．解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合有：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．故填6.答案：6【例2】定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6思路分析：由于x∈A，y∈B，那么在计算xy时，可以进行如下分类：(1)x＝1，y＝0；(2)x＝1，y＝2；(3)x＝2，y＝0；(4)x＝2，y＝2.解析：依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.答案：D温馨提示：对于此类定义新概念型创新问题，应正确理解所给的新定义，找准集合中元素的特点．。
【绿色通道】高三数学一轮复习 第1章集合与常用逻辑用语检测 文 新人教A版
单元质量检测(一)一、选择题1．(2009·福建高考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U A 等于( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x <2}C ．{x |x <0或x >2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：由x 2－2x >0得x >2或x <0，所以∁U A ＝{x |0≤x ≤2}． 答案：A2．(2009·安徽高考)若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |2x ＋13－x<0}，则A ∩B 是( )A ．{x |－1<x <－12或2<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |－12<x <2}D ．{x |－1<x <－12}解析：∵A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，－12)∪(3，＋∞)，∴A ∩B ＝(－1，－12)，故选D.答案：D3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x ≤0}，集合B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{2}C ．{0,2}D ．{1,4}解析：本题考查集合与不等式的相关知识，首先由集合A 得0≤x ≤2(x ∈Z )，即A ＝{0,1,2}，再由集合B ＝{0,2,4}，故选C.答案：C4．集合A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{y |y ＝(12)x，x >0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(－∞，0)解析：易得集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{y |0<y <1}，所以A ∩B ＝(0,1)故选C. 答案：C5．设集合M ＝{x |x 2<4，且x ∈R }，N ＝{x |x <2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题知，M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x <2}．那么，若a ∈M ，则a ∈N 成立，反之不一定成立．于是a ∈M 是a ∈N 的充分不必要条件．答案：A6．命题：“∀x ∈R ，x 2－x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋2≥0B ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2≥0C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋2<0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2<0解析：根据全称命题的否定是特称命题可知应选C. 答案：C7．有下列四个命题，其中真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n解析：对于选项A ，令n ＝12即可验证不正确；对于选项C 、选项D ，可令n ＝－1加以验证其不正确，故选B.答案：B8．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 2＋y 2＝1得x 2＋x ＝0，Δ＝1>0，从而“k ＝1”推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件．答案：A9．(2009·上海高考)“－2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根可得Δ＝a 2－4<0⇒－2<a <2，故可知－2≤a ≤2是方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根的必要不充分条件．答案：A10．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p 是q 的充要条件；②中p 是q 的必要不充分条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件；④中p 是q 的充要条件，所以选D.答案：D11．(2009·龙岩质检)对任意两个正整数m ，n 定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n (m 与n 奇偶性相同)mn (m 与n 奇偶性不同)，则集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝20，a ，b ∈N *}中元素的个数为 ( )A ．21B ．22C ．23D ．24 解析：由题知，若a ，b 的奇偶性相同有(1,19)，(2,18)，(3,17)，(4,16)，(5,15)，(6,14)，(7,13)，(8,12)，(9,11)，(10,10)，交换顺序可得(a ，b )的个数为20个，其中(10,10)交换后重复，故为19个；若a ，b 的奇偶性不相同，则有(1,20)，(4,5)，交换顺序得(a ，b )的个数为4个，故集合P 中元素的个数为23个．答案：C12．(2009·济南调研)设A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知A＝{x ||x －12|＋|x －32|≤2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ×B 等于( )A ．[0,1)∪(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：根据绝对值的几何意义，不等式|x －12|＋|x －32|≤2的解集为A ＝{x |0≤x ≤2}，又B ＝{x |x ≥1}，故A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，故A ×B ＝{x |0≤x <1或x >2}．答案：A 二、填空题13．已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．解析：根据题意，得m 2＝2m －1，解得m ＝1，经验证符合题意，所以m ＝1. 答案：114．(2009·南京一调)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }．若P＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.解析：由0≤x ＋12<4，得－12≤x <72，所以Q ＝{x |－12≤x <72}，故P －Q ＝{4}．答案：{4}15．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．答案：(－2,2)16．(2009·南通调研)已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：b ⊥(a －b )；条件N ：对一切x ∈R ，不等式|a －x b |≥|a －b |恒成立．则M 是N 的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：构造直角三角形OAB ，AB ⊥OB ，其中a ＝OA →，b ＝OB →，x b ＝OD →，则a －b ＝BA →，当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得|a －x b |>|a －b |，当点D 与点B 重合时， |a －x b |＝|a －b |，反之也成立．答案：充要 三、解答题17．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ab ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，根据元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝12即为所求．18．已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围．解：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴Δ＝4－12m <0，即m >13.(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一个解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一解x ＝32；若m ≠0，则Δ＝0，即4－12m ＝0，m ＝13.∴m ＝0或m ＝13.(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据(1)、(2)的结果，得m ＝0或m ≥13.19．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}． 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.20．(2009·蚌埠模拟)已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a <72.若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真． ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52<a ≤3或a ≥72. 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72}．21．已知条件p ：5x >a ＋1或5x <1－a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：5x <－a ＋1或5x >a ＋1，∴x <1－a 5或x >1＋a 5.已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1，令a ＝4，则p ：x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4.A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q .自以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不唯一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不可同时取得)即可)22．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠Ø？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设A ∩B ≠Ø，则方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y ， 得ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0 (*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0，解得－233≤a ≤233.因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠Ø，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．。
绿色通道 集合逻辑关系12
第1模块第2节[知能演练]一、选择题1．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：m，n均为偶数⇒m＋n为偶数，但m＋n为偶数m，n为偶数，如m＝1，n＝1.故选A.答案：A2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3B．2C．1 D．0解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．故选C.答案：C3．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为() A．①②B．②③C．①③D．③④解析：命题①的逆命题是“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”真命题．命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题．命题③的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题．命题④是假命题．故选C.答案：C4．设p：b2－4ac>0(a≠0)，q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：当Δ＝b2－4ac>0(a≠0)时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则Δ＝b2－4ac≥0(a≠0)．∴p是q的充分不必要条件．答案：A二、填空题5．e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋k e2，b＝k e1＋e2，则a∥b的充要条件是实数k＝________.解析：a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1.答案：±16．下列结论中为真命题的是________(填序号)．①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b2a<0；②已知甲：x ＋y ≠3，乙：x ≠1或y ≠2，则甲是乙的充分不必要条件；③数列{a n }(n ∈N *)是等差数列的充要条件是P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn 是共线的． 解析：①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数，则必有a >0，－b2a≤0，故①不正确．②x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3.据原命题与逆否命题等价，可知甲是乙的充分不必要条件，故②正确．③若{a n }是等差数列，则S n ＝An 2＋Bn ，即S nn＝An ＋B ，故③正确．答案：②③ 三、解答题7．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧； (4)若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0.解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题． (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．(4)逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0.真命题． 否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0.真命题． 逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0.假命题．8．命题p ：－2<m <0,0<n <1；命题q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<－m <2，0<n <1. 即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pq .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．[高考·模拟·预测]1．(2009·江西高考)下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：由1x ＝1y得x ＝y ，而由x 2＝1得x ＝±1，由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，而x <y得不到x 2<y 2，故选A.答案：A 2．(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B3．(2009·湖北高考)“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若sin α＝12，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×14＝12，但当α＝－π6时，cos2α＝12，而sin α＝－12.故选A.答案：A 4．(2009·全国卷)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a >b 且b >0，则必有a ＋b >0且ab >0，反过来，若ab >0，则a 与b 同号，而a ＋b >0，∴a 、b 同为正，即a >0且b >0.故选C.答案：C 5．(2009·枣庄第一次质检)下列结论： ①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧绨q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧绨q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确． ③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案：①③6．(高考预测题)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－|x ＋a |的定义域为集合B .(1)判定函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)问：a ≥2是A ∩B ＝Ø的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．解：(1)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1－1>0.2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，定义域关于原点对称，f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)B ＝{x |1－|x ＋a |≥0}，|x ＋a |≤1⇔－1≤x ＋a ≤1⇔－1－a ≤x ≤1－a ，B ＝[－1－a,1－a ]．当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a ]，有A ∩B ＝Ø. 反之，若A ∩B ＝Ø，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2.(注：反例不唯一) 所以，a ≥2是A ∩B ＝Ø的充分不必要条件．。
【绿色通道】高考数学总复习1-1集合与常用逻辑用语课件新人教A版
则 ∁U(A∩B)等于 A．{2,3}
B．{1,4,5}
()
C．{4,5}
D．{1,5}
解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∩B＝{2,3}．
又∵U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}． 答案：B
4．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}， 则实数a＝________.
其他章节结合的解答题，但一般难度不大.
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为 元素 元素组成的总体叫做 集合 (简称为 集 ．)
，把一些
(2)集合中的元素有三个性质：确定性 ， 互异性 ，
无序性．
(3)集合中元素与集合的关系分为 属于 和 不属于两
种，分别用 ∈ 和 ∉ 表示．
(4)几个常用集合的表示法.
素
空集
空集是任何集合的子集，是任何 非空集合 的真子集
或
Ø⊆A，Ø B(B≠Ø)
3.集合的基本运算
符号 表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
A∪B
A∩B
若全集为U，则集 合A的补集为∁UA
图形 表示
{x|x∈A或
பைடு நூலகம்
意义
x∈B}
{x| x∈A 且x∈B}
且x∉∁AUA}，＝x∈{xU|
4.常见结论
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 法
N
N*或N＋
Z
Q
R
列举法
(5)集合有三种表示法：
、 描述法
、
Venn图法．
2．集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
相等
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解析：p且q为假，则p与q不可能全真，而綈 p或q为假， 则綈 p与q均为假，从而p为真，q为假． 答案：A
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【例2】
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等
的负实根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p 或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
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短语“所有”、“任意”、“凡是”、“每一个” 等在陈述句中都表示事物的全体，这些词语都可以理解为 全称量词，相应的命题是全称命题．短语“有一个”、 “有些”、“至少有一个”在陈述句中都表示事物的个体 或部分，可以理解为存在量词，相应的命题是特称命题.
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4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( A．綈 p：∃x∈R，sinx≥1 B．綈 p：∀x∈R，sinx≥1 ∃ C．綈 p：∃x∈R，sinx>1 D．綈 p：∀x∈R，sinx>1
)
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命 题． 答案：C
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考纲要求
1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“ 非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行 否定． 全称量词与存在量词是新课改后新增内 容．基本上这部分内容在高考中会出一 个小题，多以选择题的形式出现，重点 考查含有一个量词的命题的否定，或者 结合命题考查逻辑联结词，题目难度为 低档题.
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5．命题：“至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上” 的否定是 ( )
A．至少有一个点在函数y＝kx(k≠0)的图象上 B．至少有一个点不在函数y＝kx(k≠0)的图象上 C．所有点都在函数y＝kx(k≠0)的图象上 D．所有点都不在函数y＝kx(k≠0)的图象上
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解：由已知得：p，q 中有且仅有一个为真，一个 为假． ∆>0 p：x1＋x2＝－m<0⇒m>2. x x ＝1>0 1 2 q：∆<0⇒1<m<3. m≤2 ⇒1<m≤2； (1)若 p 假 q 真，则 1<m<3 m>2 (2)若 p 真 q 假，则 ⇒m≥3. m≤1或m≥3 综上所述：m∈(1,2]∪[3，＋∞)．
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1．已知命题p：3≥3；q：3>4，则下列选项中正确的 是 A．p∨q为假，p∧q为假，綈 p为真 B．p∨q为真，p∧q为假，綈 p为真 C．p∨q为假，p∧q为假，綈 p为假 D．p∨q为真，p∧q为假，綈 p为假 ( )
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解：(1)∵p是真命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，綈 p是假命题． (2)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈 p是真命题． (3)∵p是假命题，q是假命题， ∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，綈 p是真命题． (4)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈 p是真命题．
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变式迁移 2已知两个命题r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2 ∀ ＋mx＋1>0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命 题．求实数m的取值范围．
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π 解：∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )≥－ 2， 4 ∴当 r(x)是真命题时，m<－ 2. 又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即 x2＋mx＋1>0 恒成 立，有 ∆＝m2－4<0，∴－2<m<2. ∴当 r(x)为真，s(x)为假时，m<－ 2，同时 m≤－2 或 m≥2，即 m≤－2， 当 r(x)为假，s(x)为真时，m≥－ 2且－2<m<2， 即－ 2≤m<2. 综上，实数 m 的取值范围是 m≤－2 或－ 2≤m<2.
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解析：(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题． (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x∈R，x2＋1>0， ∴命题(4)是假命题．
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解析：因特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定为全称命题 綈 p：∀x∈M，綈 p(x)． 答案：D
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【例 1】
分 别指 出 由 下列命 题构成 的 “ p∨q” 、
“p∧q”、“綈 p”形式的命题的真假． (1)p：3是9的约数，q：3是18的约数； (2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直；
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解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的 真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情 况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最 后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
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【例 3】 判断下列命题是否是全称命题或 特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)有一个实数 α，sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)所有的实数 a，b，方程 ax＋b＝0 恰有唯 一解； 1 (4)存在实数 x，使得 2 ＝2. x －x＋1
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3．含有一个量词的命题的否定
命题 ∀x∈M，p(x) ∀ ∃x0∈M，p(x0)
命题的否定 ∃x ∃ 0∈M，綈 p(x0) 綈 ∀x∈M，綈 p(x)
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全称命题与特称命题的否定有什么关系？ 提示：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定 是全称命题.
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(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别， 全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在 量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直 接否定结论即可． (2)要判断“綈 p”命题的真假，可以直接判断，也可以 判断p的真假，因为p与綈 p的真假相对.
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(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2 ＋x－1＝0的两实根绝对值相等． (4)p：π是有理数，q：π是无理数． 思路分析：由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命 题的形式及其真值表直接判断．
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1 解：(1)綈 p：∃x∈R，x －x＋ <0，这是假命题， 4
2
1 12 因为∀x∈R，x －x＋ ＝x－2 ≥0 恒成立． 4
2
(2)綈 q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)綈 r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由 于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 成立． (4)綈 s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于 x ＝－1 时，x3＋1＝0.
解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从 而上述叙述中只有(綈 p)∨(綈 q)为真命题． 答案：D
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3．下列命题中是全称命题的是 A．圆有内接四边形 B. C.
()Leabharlann D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为 直角三角形 解析：由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”， 即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题． 答案：A
存在量词有：存在一个 ， 至少有一个 用符号“ ∃ ”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做 全称命题
；“对M
中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为： ∀x∈M，p(x) ，读作：“ 对任意x属于M，有p(x)成立 ”．
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(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中 的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为： ∃x0∈M，p(x， 0) 读作：“ 存在M中的元素x0，使p(x0)成立 ”．
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变式迁移 3
指出下列命题中，哪些是全称命题，哪
些是特称命题，并判断真假． (1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0； (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2； (3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|； (4)∃x∈R，使x2＋1<0. ∃